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3.3 一元一次不等式
一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
要点：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
要点：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
三、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
一、单选题
1．下列不等式中，是一元一次不等式的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】根据一元一次不等式的定义进行判断．
【解答】解：A、一个普通的不等式，不含未知数，不是一元一次不等式；
B、含有一个未知数，且未知数的最高次数为1次，是一元一次不等式；
C、含有2个未知数，不是一元一次不等式；
D、未知数的最高次数为2次，不是一元一次不等式．
故选B．
【点睛】本题考查一元一次不等式，正确理解一元一次不等式的定义是解题关键．
2．如图在数轴上表示是哪一个不等式的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】直接根据数轴写出不等式的解集，判断即可．
【解答】解：根据数轴可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的方法是“”向右画，“”向左画，注意在表示解集时，“”要用实心圆点表示；“”要用空心圆点表示．
3．下列命题正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解
C．不等式的解集是 D．是不等式的解
【答案】B
【提示】对于A、B、D选项，可分别把x的值代入即可判断，C选项解出不等式的解集，即可判断．
【解答】解：因为当是，故A选项说法错误；
因为当是，故B选项说法正确；
解得，故C选项说法错误；
因为当是，故B选项说法错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的解集和解不等式．满足不等式的所有未知数的值组成的集合叫不等式的解集．
4．解不等式时，去分母步骤正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【提示】不等式两边都乘以6即可得解.
【解答】解:不等式两边都乘以6得，
故选: D.
【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质:
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变; .
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
5．与不等式的解集相同的不等式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】利用不等式的性质进行计算求解，逐项判断．
【解答】由，解得：，
A、由，解得：，故符合题意；
B、由，解得：，故不符合题意；
C、由，解得：，故不符合题意；
D、由，解得：，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是关键．
6．如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．a＜0
【答案】C
【提示】根据不等式的解法，给左右两边同时除以（a－1），且a－1≠0，根据不等式的解集为x＜1发现，不等号的方向发生了改变，由此可知a－1小于0，进而可以推出a的取值范围．
【解答】解：要解此不等式要在不等号的两边同时除以（a－1）且a≠1，不等号右边变为1，
∵不等号的方向发生了改变，
∴a－1＜0，解得a＜1，
故选C.
【点睛】本题考查解一元一次不等式，能够熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
7．不等式4（x－1）＜3x－2的正整数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【提示】去括号、移项、合并同类项，然后系数化成1即可求得不等式组的解集，然后确定正整数解即可．
【解答】解：去括号，得：4x-4＜3x-2，
移项，得：4x-3x＜4-2，
合并同类项，得：x＜2，
则正整数解是：1．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
8．已知关于的不等式与的解集相同，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
【答案】A
【提示】求出不等式的解集，对应即可得出答案．
【解答】解：，
解得，
，
解得，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是根据两不等式解集相同得出关于a的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，能够熟练的运用解不等式的知识解出不等式是关键．
9．初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要3.2元，洗一张相片需要1.4元，在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足2元，那么参加合影的同学人数（ ）
A．至多6人 B．至多5人 C．至少6人 D．至少5人
【答案】C
【提示】本题可设参加合影的人数为x，根据平均每人分摊的钱不足2元，列出不等式，解出x即可．
【解答】解：设参加合影的人数为x，
则有：1.4x＋3.2＜2x
0.6x＜ 3.2
x＞
所以至少6人．
故选：C．
【点睛】本题考查的是不等式的运用，解此类题目时常常是先设出未知数，再根据题意列出不等式、求解．
10．若方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】先求解关于的方程，根据题意列出关于的一元一次不等式，解不等式即可求解．
【解答】
去括号得
移项，合并同类项得
解得
方程的解是负数，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解题意求得的值是解题的关键．
二、填空题
11．已知不等式是一元一次不等式，则____．
【答案】
【提示】含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义列方程求解即可．
【解答】解：不等式是一元一次不等式
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，涉及到解绝对值方程，根据含义列出方程是解题的关键．
12．如果，则的取值范围是_____；不等式的解集是_____．
【答案】
【提示】根据不等式的性质，可得a的取值范围；根据解不等式，可得答案．
【解答】，
，
，
，
即，则的取值范围是；
，
，
，
不等式的解集是．
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的解集，解题关键是利用不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
13．的值不大于的值，的取值范围是_____．
【答案】
【提示】根据题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意，得：
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
的取值范围是
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是理解不大于即小于或等于．
14．已知等腰三角形的周长为，则这个等腰三角形的腰长x的范围是________．
【答案】
【提示】设等腰三角形的底边长为ycm，根据三角形三边的不等关系及周长，可得关于x的不等式，解不等式即可．
【解答】设等腰三角形的底边长为ycm，
由已知得，，
∴，
解得：x>3，
∵y=12-2x>0，
∴x<6
∴
故答案为：
【点睛】本题是一元一次不等式的简单应用，考查了三角形三边的不等关系、等腰三角形的定义，解一元一次不等式，关键是清楚三角形三边的不等关系及实际问题中三角形的边长为正这个隐含条件．
15．某种商品的价格在第一季度上升了10%，在第二季度下降了，但并不低于原价，则的取值范围是________．
【答案】
【提示】设某种商品的原价为1，则该商品在第一季度及第二季度的价格均可表示出来，根据不等关系：第二季度的价格≥原价，列出不等式并解不等式即可．
【解答】设某种商品的原价为1，则该商品在第一季度的价格为：1+10%，在第二季度的价格为(1+10%)[1－(a－5)%]
由题意，得：(1+10%)[1－(a－5)%]≥1
解得：
∵a>5
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是把两个季度的实际价格表示出来，并找出不等关系．
16．当________时，代数式的值是非负数．
【答案】
【提示】根据题意，列出不等式解不等式即可．
【解答】依题意
去分母得：
去括号得：
移项，合并同类项得：
化系数为1，得：
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
17．不等式的正整数解的个数为___________________．
【答案】2个
【提示】先求出一元一次不等式的解，再找出其正整数解即可得．
【解答】，
，
，
，
则不等式的正整数解为，共2个，
故答案为：2个．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．
18．若关于x，y的方程组的解使4x＋7y＞2成立，则k的取值范围是________．
【答案】k＞3
【提示】将第一个方程×2－第二个方程，得到4x+7y=2k-2-2，然后代入4x+7y＞2，解关于k的一元一次不等式即可．
【解答】
由①×2﹣②得：4x+7y=2k-2-2，∴2k-2-2＞2，∴2k＞6，解得：k＞3．
故答案为k＞3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法．利用整体法求解是解答本题的关键．
三、解答题
19．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
（6）；
（7）；
（8）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；数轴表示见详解
【提示】（1）-（8）根据解不等式的步骤：先去分母，然后去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
（1），
解得：；解集在数轴上表示如下：
（2），
移项得：，
化简得：，
解得：；解集在数轴上表示如下：
（3），
去分母得：，
移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下：
（4），
移项得：，
合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下：
（5），
去分母得：，
移项合并同类项得：，
解得：；解集在数轴上表示如下：
（6），
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项解得：；解集在数轴上表示如下：
（7），
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项化简得：；解集在数轴上表示如下：
（8），
移项合并同类项得：，
系数化为1解得：．解集在数轴上表示如下：
【点睛】题目主要考查解不等式的步骤及解法、在数轴上的表示，熟练掌握不等式的解法是解题关键．
20．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1)x-1＞2x；
(2)-x>1；
(3)-≤1.
【答案】（1）x＜-2（2）x＞2（3）x≥-2
【提示】(1)直接移项合并同类项进行计算求解，注意未知数的系数是负数的符号要变号,解出后在数轴上表示出来（2）先去分母，再移项合并同类项进行计算，结果在数轴上表示（3）先去分母，然后移项合并同类项进行计算求解，结果在数轴上表示出来.
【解答】(1)移项，得x-2x>1.
合并，得-x＞1.
系数化为1，得x＜-2.
其解集在数轴上表示为：
(2)去分母，得5x-1-3x>3.
移项，得2x>4.
系数化为1，得x>2.
把不等式的解集在数轴上表示为：
(3)去分母，得2(2x-1)-(9x+2)≤6.
去括号，得4x-2-9x-2≤6.
移项，得4x-9x≤6+2+2.
合并同类项，得-5x≤10.
系数化为1，得x≥-2.
把不等式的解集在数轴上表示为：
【点睛】此题重点考察学生对解不等式的应用能力，去分母，合并同类项是解题的关键.
21．若满足代数式的值与代数式的值相等，且求的取值范围．
【答案】
【提示】先根据题意求出x的值，再将x代入不等式求出的取值范围即可．
【解答】解:由题意，得
解得
将代入得
解得
所以的取值范围是
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式的问题，掌握解一元一次方程和一元一次不等式的方法是解题的关键．
22．老张与老李购买了相同数量的种兔，一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了2只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，老张养兔教不超过老李养兔数的．一年前老张至少买了多少只种兔？
【答案】一年前老张至少买了8只种兔．
【提示】设一年前老张至少买了只种兔，根据题意列出不等式方程即可．
【解答】设一年前老张至少买了只种兔，
根据题意可得：，
整理得： ，
解得：，
答：一年前老张至少买了8只种兔．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．
23．（1）解不等式：5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7；
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程2x﹣ax=3的解，求a的值．
【答案】（1）x＞﹣3（2）
【解答】解：（1）5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7，
5x﹣10+8＜6x﹣6+7，5x﹣2＜6x+1，﹣x＜3，
∴x＞﹣3．
（2）由（1）得，最小整数解为x=﹣2，
∴2×（﹣2）﹣a×（﹣2）=3，∴a= ．
（1）根据不等式的基本性质先去括号，然后通过移项、合并同类项即可求得原不等式的解集．
（2）根据（1）中的x的取值范围来确定x的最小整数解；然后将x的值代入已知方程列出关于系数a的一元一次方程2×（﹣2）﹣a×（﹣2）=3，通过解该方程即可求得a的值．
24．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组的关联方程是 ；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可）
（3）若方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）③ （2）（答案不唯一） （3）0≤m＜1
【提示】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，再写出方程即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：（1）解方程3x﹣1＝0
得：x＝，
解方程x+1＝0，
得：x＝，
解方程x﹣（3x+1）＝﹣5
得：x＝2，
解不等式组
得：＜x＜，
所以不等式组的关联方程是③，
故答案为：③；
（2）解不等式组，
得：＜x＜，
这个关联方程可以是x﹣1＝0，
故答案为：x﹣1＝0（答案不唯一）；
（3）解方程3﹣x＝2x，
得：x＝1，
解方程3+x＝2（x+），
得：x＝2，
解不等式组，
得：m＜x≤2+m，
∵方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，
∴0≤m＜1，
即m的取值范围是0≤m＜1．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的技能是解题的关键．
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3.3 一元一次不等式
一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
要点：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
二、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
要点：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
三、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
一、单选题
1．下列不等式中，是一元一次不等式的为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图在数轴上表示是哪一个不等式的解（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解
C．不等式的解集是 D．是不等式的解
4．解不等式时，去分母步骤正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．与不等式的解集相同的不等式是（ ）
A． B． C． D．
6．如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．a＜0
7．不等式4（x－1）＜3x－2的正整数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知关于的不等式与的解集相同，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．无法确定
9．初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要3.2元，洗一张相片需要1.4元，在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足2元，那么参加合影的同学人数（ ）
A．至多6人 B．至多5人 C．至少6人 D．至少5人
10．若方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知不等式是一元一次不等式，则____．
12．如果，则的取值范围是_____；不等式的解集是_____．
13．的值不大于的值，的取值范围是_____．
14．已知等腰三角形的周长为，则这个等腰三角形的腰长x的范围是________．
15．某种商品的价格在第一季度上升了10%，在第二季度下降了，但并不低于原价，则的取值范围是________．
16．当________时，代数式的值是非负数．
17．不等式的正整数解的个数为___________________．
18．若关于x，y的方程组的解使4x＋7y＞2成立，则k的取值范围是________．
三、解答题
19．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
（6）；
（7）；
（8）．
20．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1)x-1＞2x；
(2)-x>1；
(3)-≤1.
21．若满足代数式的值与代数式的值相等，且求的取值范围．
22．老张与老李购买了相同数量的种兔，一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了2只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，老张养兔教不超过老李养兔数的．一年前老张至少买了多少只种兔？
23．（1）解不等式：5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7；
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程2x﹣ax=3的解，求a的值．
24．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组的关联方程是 ；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可）
（3）若方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．
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