1.4 二次函数的应用
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一、选择题
1、［2021·较易］若关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①；②x1＝5，x2＝6；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（5，0）和（6，0）．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
［思路分析］将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项①进行判断；
再利用根与系数的关系求出两根之积为30﹣m，这只有在m＝0时才能成立，故选项②错误；
将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y＝0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
［答案详解］解：一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m化为一般形式得：x2﹣11x+30﹣m＝0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4（30﹣m）＝4m+1＞0，
解得：m＞﹣，故选项①正确；
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝11，x1x2＝30﹣m，
而选项②中x1＝5，x2＝6，只有在m＝0时才能成立，故选项②错误；
二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m，
＝x2﹣11x+（30﹣m）+m
＝x2﹣11x+30
＝（x﹣5）（x﹣6），
令y＝0，可得（x﹣5）（x﹣6）＝0，
解得：x＝5或6．
∴抛物线与x轴的交点为（5，0）或（6，0），故选项③正确．
综上所述，正确的结论有2个：①③．
故选：C．
［经验总结］此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．
2、［2021·较易］一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2
C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
［思路分析］根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
［答案详解］解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
［经验总结］本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
3、［2021·较易］某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣）2+3 B．y＝﹣3（x+）2+3
C．y＝﹣12（x﹣）2+3 D．y＝﹣12（x+）2+3
［思路分析］待定系数法求解可得．
［答案详解］解：根据题意设函数解析式为y＝a（x﹣）2+3，
将点（0，0）代入，得：a+3＝0，
解得：a＝﹣12，
∴函数解析式为y＝﹣12（x﹣）2+3，
故选：C．
［经验总结］本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
4、［2021·较易］为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
［思路分析］主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
［答案详解］解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：A．
［经验总结］此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
5、［2021·较易］二次函数y＝﹣x2+2x+1与坐标轴交点情况是（ ）
A．一个交点 B．两个交点 C．三个交点 D．无交点
［思路分析］根据题目中的函数解析式可以求得这个二次函数的图象与坐标轴的交点个数．
［答案详解］解：当x＝0时，y＝1，
当y＝0时，0＝﹣x2+2x+1，
∴△＝b2﹣4ac
＝22﹣4 （﹣1） 1
＝8＞0．
∴与x轴有两个交点
∴即该函数图象与坐标轴共有三个交点．
故选：C．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、与y轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6、［2021·较易］下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
［思路分析］根据各个选项中的语句，可以写出y与x的函数关系式，然后即可判断哪个选项符合题意．
［答案详解］解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y＝x3，y与x不是二次函数，不符合题意；
B．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝108x，y与x不是二次函数，不符合题意；
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则y＝，y与x不是二次函数，不符合题意；
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y＝14πx2，y与x是二次函数，符合题意；
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
7、［2021·较易］二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所有解的积为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．5
［思路分析］根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标．
［答案详解］解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．
所以x1＝﹣1，x2＝5，
∴x1x2＝﹣1×5＝﹣5，
故选：C．
［经验总结］考查抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴．
二、填空题
8、［2021·较易］若函数y＝x2﹣x+m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 ．
［思路分析］根据判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m＞0，然后求出不等式即可．
［答案详解］解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故答案为：m＜．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9、［2021·较易］某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
［思路分析］根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
［答案详解］解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元，
则y＝[20﹣4（x﹣9）] （x﹣8）
＝﹣4x2+88x﹣448
＝﹣4（x﹣11）2+36，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
10、［2021·较易］已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 ．
［思路分析］解方程x2﹣2x﹣3＝0得A（﹣1，0），B（3，0），则抛物线的对称轴为直线x＝1，再确定C（0，﹣3），D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE+DE的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD的解析式为y＝x+1，则F（0，1），然后根据三角形面积公式计算．
［答案详解］解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），
连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，
∵BE+DE＝EA+DE＝AD，
∴此时BE+DE的值最小，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），
当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），
∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．
故答案为4．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．
11、［2021·较易］一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为 ．
［思路分析］根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧率）2可得函数解析式．
［答案详解］解：根据题意，y与x的函数关系式为y＝50（1﹣x）2，
故答案为：y＝50（1﹣x）2．
［经验总结］本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
12、［2021·较易］某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
［思路分析］飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
［答案详解］解：由题意得，
S＝﹣0.25t2+10t
＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣0.25（t﹣20）2+100，
∵﹣0.25＜0，
∴t＝20时，飞机滑行的距离最大，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案为：20．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键．
13、［2021·较易］从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
［思路分析］先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
［答案详解］解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：3．
［经验总结］本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
三、解答题
14、［2022·较易］为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据：
x（单位：万条） 200 300
y（单位：万元） 700 860
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）．
［思路分析］（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售利润＝总收益﹣总成本列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其即可．
［答案详解］解：（1）设y＝ax2+bx+500，把（200，700），（300，860）代入得，
，
解得，
∴y＝0.002x2+0.6x+500（x≥100）；
（2）由题意可知，W＝30（mx+n）﹣（0.002x2+0.6x+500）＝﹣0.002x2+（30m﹣0.6）x+30n﹣500，
∵﹣0.002＜0，
∴当x＝﹣＝600时，W有最大值，
∴m＝0.1时，600m+n＝1000，
∴n＝940，
∴m，n的值分别为0.1，940．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，理解题目中收益和成本之间的数量关系及二次函数的性质是解题关键．
15、［2022·较易］数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．
（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？
（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？
［思路分析］（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（20﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于13cm2建立方程求出其解即可；
（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，根据圆的面积公式求出两圆面积之和，再根据函数性质求最小值．
［答案详解］解：（1）设剪成较短的一短为xm，则较长的部分为（20﹣x）m，
由题意得：（）2+（）2＝13，
化简得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x1＝8，x2＝12，
当x＝8时，较长部分为12，
答：应该把铁丝剪成8m和12m的两个部分；
（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，
由题意得：S＝π （）2+π （）2＝（y﹣10）2+（0≤y≤20），
∵＞0，
∴当y＝10时，S有最小值，最小值为．
［经验总结］本题考查和二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式和一元二次方程．
16、［2022·较易］如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．
［思路分析］（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，根据面积公式列出一元二次方程，解之即可；
（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．
［答案详解］解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，
∴x ＝144，
解得x＝12或x＝18，
∴AB＝12cm或AB＝8cm，
∴AB的长为12厘米或8厘米；
（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，
∴S＝x ，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，
∵﹣＜0，
∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．
故答案为：150．
［经验总结］此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
17、［2022·较易］先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴代数式y2+4y+8的最小值为4．
（1）求代数式x2﹣6x+11的最小值；
（2）若a2+2a+1+|b﹣2022|＝0，则ab＝ ．
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20米的栅栏围成．如图，设AB＝x米，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
［思路分析］（1）根据阅读材料将所求的式子配方为（x﹣3）2+2，再根据非负数的性质得出最小值；
（2）根据阅读材料将所求的式子配方成（a+1）2+|b﹣2022|＝0，再根据非负数的性质求出a、b，代入ab计算即可；
（3）先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．
［答案详解］解：（1）x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2≥2，
∴代数式x2﹣6x+11的最小值为2；
（2）∵a2+2a+1+|b﹣2022|＝0，
∴（a+1）2+|b﹣2022|＝0，
∴a+1＝0，b﹣2022＝0，
∴a＝﹣1，b＝2022，
∴ab＝（﹣1）2022＝1，
故答案为：1；
（3）设花园的面积为ym2，由题意可得，
y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，y最大，最大值为50，
此时BC的长是20﹣2×5＝10＜15，
∴当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
［经验总结］本题考查了配方法的应用，非负数的性质，二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18、［2022·较易］2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
［思路分析］（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为w﹣200，利用函数性质求出w﹣200≥2200时的x的取值范围即可
［答案详解］解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，
由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．
［经验总结］本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
19、［2022·较易］如图所示，三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4m（即NC＝4m），建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求出大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？
（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF．
［思路分析］（1）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式；
（2）求出x＝2时y的值，与4.5作差，比较差与0.5的大小即可；
（3）求出E、F坐标，即可得到答案．
［答案详解］解：（1）设大孔抛物线的解析式为y＝ax2+6，把点A（﹣5，0）代入得：
25a+6＝0，
解得a＝﹣，
∴大孔抛物线的解析式为y＝﹣x2+6；
（2）当x＝2时，y＝﹣x2+6＝﹣×22+6＝，
∵﹣4.5＝＞0.5，
∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔；
（3）由NC＝4m，可知点F的纵坐标为4，代入解析式y＝﹣x2+6得：
﹣x2+6＝4，
解得：x＝±，
由抛物线对称性可知点E为（﹣，4），点F为（，4），
∴EF＝（米）．
答：大孔的水面宽度EF为米．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的应用，解题关键是建立函数模型，准确找出模型类型，然后利用待定系数法求出模型（即函数）的表达式，最后根据函数的性质得出结论．
20、［2022·较易］如图，用18米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃．
（1）设矩形一边为x（米），面积为y（平方米），求y与x的函数表达式；
（2）当矩形苗圃面积为72平方米时，求矩形的边长；
（3）当x为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？
［思路分析］（1）根据题意可知，矩形的一边长为xm，则另一边长为（18﹣x）m，故矩形的面积y＝x（18﹣x），然后化简，即可得到y关于x的函数表达式；
（2）令y＝72，解关于x的一元二次方程即可；
（3）将（1）中的函数关系式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可解决问题．
［答案详解］解：（1）由题意可得，
y＝x（18﹣x）＝﹣x2+18x，
即y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+18x；
（2）当y＝72时，则﹣x2+18x＝72，
解得：x1＝6，x2＝12，
∴矩形的一边长为6米，另一边长为12米；
（3）由（1）知，y＝﹣x2+18x＝﹣（x﹣9）2+81，
∵﹣1＜0，
∴当x＝9时，y取得最大值，最大值为81，
∴当x＝9时，所围苗圃的面积最大，最大面积是81m2．
［经验总结］本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
21、［2021·较易］某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
［思路分析］（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
［答案详解］解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（15，45）、（24，36）代入，得：
，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+60（15≤x≤24）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣15）y
＝（x﹣15）（﹣x+60）
＝﹣x2+75x﹣900，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜时，W随x的增大而增大，
∵15≤x≤24，
∴当x＝24时，W取得最大值，最大值为324，
答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是324元．
［经验总结］本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．1.4 二次函数的应用
— 常考精选 —
一、选择题
1、［2021·较易］若关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①；②x1＝5，x2＝6；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（5，0）和（6，0）．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2、［2021·较易］一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2
C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
3、［2021·较易］某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣）2+3 B．y＝﹣3（x+）2+3
C．y＝﹣12（x﹣）2+3 D．y＝﹣12（x+）2+3
4、［2021·较易］为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a
5、［2021·较易］二次函数y＝﹣x2+2x+1与坐标轴交点情况是（ ）
A．一个交点 B．两个交点 C．三个交点 D．无交点
6、［2021·较易］下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
7、［2021·较易］二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所有解的积为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．5
二、填空题
8、［2021·较易］若函数y＝x2﹣x+m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 ．
9、［2021·较易］某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
10、［2021·较易］已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 ．
11、［2021·较易］一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为 ．
12、［2021·较易］某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
13、［2021·较易］从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
三、解答题
14、［2022·较易］为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据：
x（单位：万条） 200 300
y（单位：万元） 700 860
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）．
15、［2022·较易］数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．
（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于13m2，应该怎么剪这根铁丝？
（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？
16、［2022·较易］如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．
17、［2022·较易］先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴代数式y2+4y+8的最小值为4．
（1）求代数式x2﹣6x+11的最小值；
（2）若a2+2a+1+|b﹣2022|＝0，则ab＝ ．
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20米的栅栏围成．如图，设AB＝x米，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
18、［2022·较易］2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
19、［2022·较易］如图所示，三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4m（即NC＝4m），建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求出大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？
（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF．
20、［2022·较易］如图，用18米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃．
（1）设矩形一边为x（米），面积为y（平方米），求y与x的函数表达式；
（2）当矩形苗圃面积为72平方米时，求矩形的边长；
（3）当x为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？
21、［2021·较易］某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
