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浙教版八上数学
第二章 特殊三角形章末复习
---------------格点图形
格点图形
藏
特殊角
450
900
特殊三角形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形
平行线
三线八角
1．如图是单位长度为1的正方形网格．（1）在图1中画出一条长度的平方为10的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
A
B
c
∟
A
B
C
D
赵爽弦图
勾股定理
--------------
证明
2.如图，在 5×5 的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1．四边形 的顶点都在格点上
．（1）证明：∠BCD 是直角．（2）求四边形 ABCD 的面积．
（1）证明：连接BD, ∵BC2=22+42=20 ，CD2=12+22=5，
BD2=32+42=25，BC2 +CD2=BD2 ．
∴∠BCD是直角．
（2）S四边形ABCD= 5×5 - ×1×5- ×2×4 - ×1×2 - 1 - ×1×4
.
=14.5
藏----------------------------直角
勾股定理逆定理
3.如图所示的正方形网格内，点A、B、C、D、E是格点，求∠D+∠C的度数
解：设正方形网格边长为a ，
则 CE2=a2+a2=2a2
DE2=(3a)2+(3a)2=18a2
CD2=(2a)2+(4a)2=20a2
∴CE2+DE2=CD2
∴△CDE是Rt△
∴∠D+∠C=900
(直角三角形两锐角互余)
藏----------直角
4．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
解：如图，连接AC．
∵AC2＝12+22=5，BC2＝12+22=5，AB2＝12+32=10，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
藏-------------等腰直角三角形
5．如图，在方格纸上的每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在正方形的顶点上．
（1）△ABC和△ACD都是直角三角形吗？为什么？
（2）由（1）能判定D，C，B三点在一条直线上吗？说明理由；
（3）求∠ADC的度数．
.
（2）D，C，B三点不在一条直线上，
理由：∵∠ACD＝90°，∠ACB≠90°，∴∠BCD≠180°，
∴D，C，B三点不在一条直线上；
（3）由（1）知，∠ACD＝90°，∵AC2＝CD2＝13，
∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ADC＝45°
解：（1）△ABC不是直角三角形，△ACD是直角三角形，
理由：∵AD2＝52+12＝26，AC2=32+22=13，
CD2＝32+22＝13，∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形，
∵AC2+BC2＝13+12+22＝18，AB2＝42＝16，
∴AC2+BC2≠AB2，
∴△ABC不是直角三角形；
6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，
已知△ABC是网格中的格点三角形．
（1）求BC的长．（2）求△ABC的面积．（3）求BC边上的高．
D
E
F
∟
H
6．解：（1）由图可知：BC＝＝．
.
（2）如图，S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE
＝4×4﹣×1×4﹣×2×4﹣×2×3
.
＝16﹣2﹣4﹣3＝7．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝×BC×AH，
.
∴7＝××AH，
.
∴AH＝．∴BC边上的高为．
.
7．如图所示的网格是正方形网格，求∠PAB+∠PBA的度数
解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
D
构造---------等腰直角三角形
法1：外角的眼光 + 法2：三线八角的眼光
8．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，
点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝ ．
解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F，
由题意得：AB2＝12+32＝10，AE2＝12+22＝5，EB2＝12+22＝5，
∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2，∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∵BD∥EC，∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，
∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∴∠AFD＝∠ADB，
∵∠AFD是△ABF的一个外角，∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，
∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，
E
F
构造-------等腰三角形+等腰直角三角形
9.如图所示的网格是正方形网格，（点A，B，C，D，E是网格线交点）
求∠BAC+∠CDE的度数
解：连接AD，
∵ AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，
∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD =450 ，∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF，
∴∠BAC+∠CDE=∠ACF +∠DCF=∠ACD=450 ，
F
平行线---------送角到恰当位置
10.如图均是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．
要求：（1）在图形1中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；
（2）在图2中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的无理数．
A
B
C
A
B
C
一线三等角--------开心图形（K型图）
11. 阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：在 △ABC 中, 三边的长分别为， ，，求 △ABC 的面积．
小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1 ），
再在网格中画出格点 ，借助网格就能算出△ABC 的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．
．
参考小明解决问题的方法，完成下列问题
（1）求 △ABC 的面积
（2）图2是一个 的正方形网格（每个小正方形的边长为 1）．
①利用构图法在图2中画出三边长分别为 ，2， 的格点△DEF；
② 求△DEF 的面积 ．
（3）如图3所示，已知△PQR ，分别以 PQ，PR 为边向外作正方形PQAF ，正方形 PRDE，连接EF ．
若PQ= ，PR=，QR =， 求六边形 AQRDEF 的面积．
.
(1) S△ABC= 9 - 1 -1.5 - 3=3.5
D
E
F
(2)
S△DEF=20 - 3 - 4 - 5=8
（3）S△PEF=10 - 2 - 3 =5
S△PQR=12 - 2 - 3 -2 =5
S六边形 AQRDEF=5+5+8+13=31
网格的价值---------显现无理数格点图形专项训练
在正方形的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点的连线为边的图形叫做格点图形。
1．如图是单位长度为1的正方形网格．（1）在图1中画出一条长度的平方为10的线段AB；（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
2. 如图，在 的方格纸中，每一个小正方形的边长都为．四边形 的顶点都在格点上．（1）证明： 是直角．（2）求四边形 的面积．
如图所示的正方形网格内，点A、B、C、D、E是格点，求∠D+∠C的度数
6．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
5．如图，在方格纸上的每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在正方形的顶点上．（1）△ABC和△ACD都是直角三角形吗？为什么？
（2）由（1）能判定D，C，B三点在一条直线上吗？说明理由；
（3）求∠ADC的度数．
6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知△ABC是网格中的格点三角形．（1）求BC的长．（2）求△ABC的面积．（3）求BC边上的高．
7．如图所示的网格是正方形网格，求∠PAB+∠PBA的度数
8．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝ ．
9.如图所示的网格是正方形网格，则 ________（点A，B，C，D，E是网格线交点）．
10.如图1和图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．要求：
（1）在图形1中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；
（2）在图2中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的无理数．
11. 阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：在 中 ，， 三边的长分别为 ，，，求 的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为 ），再在网格中画出格点 ，借助网格就能算出 的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图 1 中 的面积为 ．
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（2）图2是一个 的正方形网格（每个小正方形的边长为 ）．
①利用构图法在图2中画出三边长分别为 ，， 的格点；
② 的面积为 ．
（3）如图3所示，已知 ，分别以 ， 为边向外作正方形 ，正方形 ，连接 ．若 ，， 求六边形 的面积．
参考答案：1.
2. （1）证明：连接 ．，，，
． 是直角．
（2） ，
3.解：设正方形网格边长为a ， ，
∴ ∴ 为直角三角形，即
4．解：如图，连接AC．由题意，AC2＝5，BC2＝5，AB2＝10，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
5．解：（1）△ABC不是直角三角形，△ACD是直角三角形，
理由：∵AD2＝52+12＝26，AC2+CD2＝32+22+32+22＝26，∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形，
∵AC2+BC2＝13+12+22＝18，AB2＝42＝16，∴AC2+BC2≠AB2，
∴△ABC不是直角三角形；
（2）D，C，B三点不在一条直线上，
理由：∵∠ACD＝90°，∠ACB≠90°，∴∠BCD≠180°，
∴D，C，B三点不在一条直线上；
（3）由（1）知，∠ACD＝90°，∵AC2＝CD2＝13，
∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ADC＝45°
6．解：（1）由图可知：BC＝＝．（2）如图，
S△ABC＝S正方形EDBF﹣S△BCF﹣S△ABD﹣S△ACE＝4×4﹣×1×4﹣×2×4﹣×2×3
＝16﹣2﹣4﹣3＝7．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝×BC×AH，∴7＝×AH，
∴AH＝．∴BC边上的高为．
7．解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
8．解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F，
由题意得：AB2＝12+32＝10，AE2＝12+22＝5，EB2＝12+22＝5，
∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2，∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，∵BD∥EC，∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，
∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∴∠AFD＝∠ADF，
∵∠AFD是△ABF的一个外角，∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，
∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，
9. 解：连接AD，如图：
∵ ， ， ，
即 ，∴△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC ，
∴∠ACD ，∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF，
∴∠BAC+∠CDE=∠ACF +∠DCF=∠ACD ，
10.解：（1）如图1所示，△ABC为所求三角形；
（2）如图2所示，直角三角形为所求三角形．
11. （1） （2） ① 如下图：
；
②
（3） 如图所示，
，
，
所以六边形 的面积为 ．
