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浙教版八上数学
第二章 特殊三角形章末复习
------------三步搞定：①算术先行 ②代数表达 ③方程断后
代数几何熔一炉
已知的，可求的，算术搞定
------关键的，图上呈现
---标记数字
未知的，不可求的，代数表达
-------关键的，图上呈现
----标记符号
图形百态方程绘
局部结构，代数表达
--------重要的，图上呈现
----标记符号
整体结构，代数表达
---------重要的，图上呈现
----标记符号
等量关系------列方程--------特殊位置，特殊三角形
1．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，求∠GEF的度数
A
B
C
D
E
F
G
H
180
=
=
=
=
=
360
360
540
540
720
720
900
∠GEF=5×180=900
已知的，可求的，算术搞定------关键的，图上呈现---标记数字
2．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1；再过点P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，…，依此法继续作下去，求OP2022的值
.
┛
P2
O
P
P1
P3
P4
┛
┛
┛
┓
1
1
.
1
.
1
.
1
.
----∴OP2022＝＝．
.
已知的，可求的，算术搞定------关键的，图上呈现---标记数字
基本的边角计算--------起步的！
解：∵OP＝1，OP1＝
.
OP2＝，
.
OP3＝
.
3．要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为， 高为， 求放入木盒的细木条最大长度 ．
.
C
F
G
A
B
D
E
H
解：在Rt△ABC中，AC=
.
在Rt△ACE中，CE=
.
CE==
.
国旗旗杆和地面垂直
-----------
旗杆和地面的每一条直线垂直
AE
平面ABCD
AE
AC
2
.
.
4．如图，AB＝AC，AE＝ED＝DB＝BC，求∠A的度数．
-
-
-
-
x
x
2x
2x
3x
3x
x
几何结构，代数表达--------重要的，图上呈现----标记符号
法1：在△BCD中，
x+3x+3x=180
x=
.
法2：在△ABC中，
x+3x+3x=180
x=
.
法3：3x= (等腰三角形底角=)
.
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形顶角的外角 = 底角的2倍
5．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，求（a+b）2．
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝12+2×5＝22，
b - a
｛
解：大正方形的面积是12,
由 勾股定理可知a2+b2＝12，
又∵小正方形的面积为2，
∴（b﹣a）2＝2，
即b2+a2﹣2ab＝2
∴ab＝（12﹣2）÷2＝5，
重要的，要有整体替换的想法
6．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，求BD长
A
B
C
D
┛
450
┛
E
F
┛
解∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
┛
H
∴BC边上的高AH
∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC边的距离相等，
设为h
AE=DE=h=
.
法1：BE=3 - =
.
BD= =
.
∴BC= =
.
心中有符号，笔下有力量;
法2：S△ABD= ×3× = × BD× , BD=．
.
面积算两次，巧用勾股数。
7．如图，以Rt△ABC的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为S1、S2， 若Rt△ABC的面积为S3，S1 =4，S2 =8 ， 求S3 的值 ．
解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∵
S3=S1+S2=4+8=12
∴
=
∴
整体看，面积算两次：一方面……，另一方面……，综合起来可得……
8．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，
（1）请求出AC+CE的最小值．
.
.
解：连接AE交BD于C，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
∵四边形BDEF是矩形，BF＝DE＝1，EF＝BD＝8，
AF＝AB+BF＝5+1＝6，AE＝ ＝10，
∴AC+CE的最小值是10；
.
（2）请构图求出代数式
.
如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，
连接AE交BD于点C1，设BC＝x，则AE的长即为代数的最小值．过点E作EF∥BD交AB的延长线于点F，得矩形BDEF，
则AF＝2+3＝5，EF＝BD＝12，AE= =13
.
A
B
F
C1
D
E
C三步搞定：①算术先行 ②代数表达 ③方程断后
代数几何熔一炉： 已知的，可求的，算术搞定------关键的，标记数字
未知的，不可求的，代数表达-------关键的，标记符号
图形百态方程绘： 几何结构，代数表达--------重要的，标记符号
几何图形特征-----等量关系------列方程，
标记符号，化繁为简；凸显关系，拨云见日-------代数几何熔一炉，图形百态方程绘
1．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，求∠GEF的度数
2．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，…，依此法继续作下去，求OP2022的值
3．要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为， 高为， 求放入木盒的细木条最大长度 ．
4．如图，AB＝AC，AE＝ED＝DB＝BC，求∠A的度数．
5．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，求（a+b）2．
6．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，求BD长
7．如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，求 的值 ．
8．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，
（1）请求出AC+CE的最小值．
（2）请构图求出代数式+的最小值．
课后练习
1.如图：求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等.
2.如图，在三角形中，，，点为的中点，求点到的距离
3．在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，求点O到边AB的距离
4．直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，证明：
5．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，求长方形KLMJ的面积
6．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有 个；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝ ；
②b与c的关系为 ，a与d的关系为 ．
7. 如图所示，在 中，，，，分别以 ，， 为边在 的同侧作正方形 ，正方形 ，正方形 ，四块阴影部分的面积分别为 ，，，，求 的值
8.如图， 是一角度为 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 、 、 …，且 …，在 、 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，求锐角 的范围
课后练习参考答案：
解：如图，点P即为所求.
(1)作∠AOB 的平分线OC；
(2)连结MN，并作MN 的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，
则P点即为所求.
2.解：如图，连接，过点作于点，
，为的中点，，，，
在中，由勾股定理得：，
，，
即，解得：，
即点到的距离为，
3．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，CA＝6cm，∴AB＝10cm，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，∴OE＝OF＝OD，
设OE＝x，∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，
∴×6×8＝OF×10+OE×6+OD×8，∴5x+3x+4x＝24，∴x＝2，
4．解：∵直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，
∴由勾股定理可知：a2+b2＝c2，这个直角三角形的面积＝ab＝ch，
∴ab＝ch，∴a2b2＝c2h2，
∴＝＝＝＝，
5．解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：
则四边形OALP是矩形．∵∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠OBF＝∠ACB，
在△OBF和△ACB中，，∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC＝OB，同理：△ACB≌△PGC，∴PC＝AB，∴OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
∴长方形KLMJ的面积为10×11＝110．
6．解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2．
（2）三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3；
（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；
②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．
故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．
7.解：S4=6 ,S2=6, S1+S3=6=18
8．解：∵OE=EF，
∴∠EOF=∠EFO=α，∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，
同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，∵最多能添加这样的钢管6根，
∴7α＜90°，∴0°＜α＜
，
