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浙教版2022-2023学年七上数学第2章 有理数的运算 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．2022年2月5日，杭州某区最商气湿7℃，最低气温为-2℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）
A．5℃ B．9℃ C．-5℃ D．-9℃
2．下列计算结果是负数的是( )
A．(-1)×(-2)×(－3)×0 B．5×(－0.5)÷(－1.84)2
C． D．
3．两个有理数的和为0，则这两个数（ ）
A．都是0 B．至少有一个为0
C．互为相反数 D．一正一负
4．2021年是伟大的中国共产党百年华诞，从南陈北李相约建党历经百年沧桑发展到今天已有近9200万党员，其中9200万用科学记数法表示为（ ）
A．9.2×103 B．92×106 C．9.2×107 D．0.92×108
5．已知 ，则 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
6．近几年宁波市常住人口总量持续增长，根据第七次全国人口普查数据显示宁波市常住人口约为940.43万人，940.43万精确到（ ）
A．十分位 B．百分位 C．百位 D．万位
7．若规定一种运算“※”： ，则 （ ）
A．0 B． C． D．3
8．设 是自然数，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．1或－1
9． 减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，....，以此类推，一直减到余下的 ，则最后剩下的数是（ ）
A． B． C． D．
10．如果有4个不同的正整数 、 、 、 满足 ，那么 的值为（ ）
A．0 B．9 C．8076 D．8090
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算：= ．
12．若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则（x+y）2021＝ ．
13．已知a与b互为倒数，c是最大的负整数.|m|=2，则ab＋c－m2的值为 .
14．一只昆虫从点A处出发，以每分钟2米的速度在一条直线上运动，它先前进1米，再后退2米，又前进3米，再后退4米，…依此规律继续走下去，则运动1小时时这只昆虫与A点相距 米.
15．计算： .
16．一个小球落在数轴上的某点 ，第一次从点 向左跳1个单位长度到点 ，第二次从点 向右跳2个单位长度到点 ，第三次从点 向左跳3个单位长度到点 ，第四次从点 向右跳4个单位长度到点 ，...，按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点 所表示的数恰好是2020，则这个小球的初始位置点 所表示的数是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．
（1）（﹣5.3）+（﹣3.2）﹣（﹣5.3）﹣（+4.8）． （2）．
（3）（）． （4）×（﹣4）2．
18．认真观察，寻找规律
第1个算式：；
第2个算式：
第3个算式：；
第4个算式：
用你发现的规律解答问题：
（1）第n个算式为： ；
（2）计算：+ + + ；
（3）若，求 n 的值.
19．请你先认真阅读材料：
计算（﹣）÷（﹣+﹣）
解法1：
（﹣）÷（﹣+﹣）＝（﹣）÷[（）﹣（）]＝（﹣）÷（）
＝（﹣）÷＝﹣×3＝﹣
解法2：
原式的倒数为：
（﹣+﹣）÷（﹣）＝（﹣+﹣）×（﹣30）＝﹣20+3﹣5+12
＝（﹣20﹣5）+（3+12）＝﹣10
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：
（﹣）÷（）．
20．（1）尝试：比较下列各式的大小关系：（用“＞，＜，＝，≥或≤”填空）
①|－2|＋|3| |－2＋3|； ②|－6|＋|4| |－6＋4|；
③|－3|＋|－4| |－3－4|； ④|0|＋|－7| |0－7|.
（2）归纳：观察上面的数量关系，可以得到：|a|＋|b| |a＋b| （用“＞，＜，＝，≥或≤”填空）
（3）应用：利用上面得到的结论解决下面问题：若|m|＋|n|＝10，|m＋n|＝4，则m＝ .
（4）拓展：当|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|成立时，a、b、c应满足的条件是 （填写所有正确选项的序号） .
①1个正数，2个负数； ②2个正数，1个负数； ③3个正数； ④3个负数；⑤1个0，2个正数； ⑥1个0，2个负数； ⑦1个0，1个正数，1个负数.
21．如图，从左到右，在每个小格子都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
9 & # x ﹣6 2 …
（1）可求得x＝ ，第2021个格子中的数为 ；
（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2023？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（3）如果a、b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算：|9﹣&|+|9﹣#|+|&﹣#|+|&﹣9|+|#﹣9|+|#﹣&|得到，若a，b为前7个格子中的任意两个数，则所有的|a﹣b|的和为多少？
22．概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”.一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”.
（1）初步探究
直接写出结果：23＝ ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ；
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，（﹣1）n＝﹣1；③34＝43；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数.
（3）深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例： .
试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式（﹣3）4＝ ； ＝ ；
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于 ；
（5）算一算： ＝ .
23．将 个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这 个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
1 2 3 4 =
（2）若数组1，4，6， 是“运算平衡”数组，则 的值可以是多少？
（3）若某“运算平衡”数组中共含有 个整数，则这 个整数需要具备什么样的规律？
24．用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下：
M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…
M（ ） ，M（ ） ，M（ ） ，…
利用以上规律计算：
（1）M（28）×M（ ）；
（2）﹣1÷M（39）÷[﹣M（ ）].
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浙教版2022-2023学年七上数学第2章 有理数的运算 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．2022年2月5日，杭州某区最商气湿7℃，最低气温为-2℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）
A．5℃ B．9℃ C．-5℃ D．-9℃
【答案】B
【解析】由题意得
7-（-2）-9.
故答案为：B.
2．下列计算结果是负数的是( )
A．(-1)×(-2)×(－3)×0 B．5×(－0.5)÷(－1.84)2
C． D．
【答案】B
【解析】A、(-1)×(-2)×(－3)×0 =0，故A不符合题意；
B、5×(－0.5)÷(－1.84)2=5×(－0.5)÷1.842＜0，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、-1.2×3.75×（-0.125）=1.2×3.75×0.125＞0，故D不符合题意；
故答案为：B.
3．两个有理数的和为0，则这两个数（ ）
A．都是0 B．至少有一个为0
C．互为相反数 D．一正一负
【答案】C
【解析】这两个数的和为零，必定互为相反数.
故答案为：C.
4．2021年是伟大的中国共产党百年华诞，从南陈北李相约建党历经百年沧桑发展到今天已有近9200万党员，其中9200万用科学记数法表示为（ ）
A．9.2×103 B．92×106 C．9.2×107 D．0.92×108
【答案】C
【解析】9200万=92000000=9.2×107.
故答案为：C.
5．已知 ，则 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】∵（a－1）2＋｜b＋2｜＝0，
∴a－1＝0，b＋2＝0，
∴a＝1，b＝－2，
∴（1－2）2022＝1，
故答案为：B.
6．近几年宁波市常住人口总量持续增长，根据第七次全国人口普查数据显示宁波市常住人口约为940.43万人，940.43万精确到（ ）
A．十分位 B．百分位 C．百位 D．万位
【答案】C
【解析】940.43万精确到百位.
故答案为：C.
7．若规定一种运算“※”： a※b=ab+ab ，则 (-1)※4= （ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】C
【解析】∵ ，
∴.
故答案为：C.
8．设 是自然数，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．1或－1
【答案】A
【解析】当 为偶数时， ，
当 为偶数时， ，
故答案为：A.
9． 减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，....，以此类推，一直减到余下的 ，则最后剩下的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得
=1.
故答案为：B.
10．如果有4个不同的正整数 、 、 、 满足 ，那么 的值为（ ）
A．0 B．9 C．8076 D．8090
【答案】C
【解析】∵有4个不同的正整数a、b、c、d满足 ，
∴四个括号内的值分别是： ， ，
不妨设： ， ， ， ，
解得： ， ， ， ，
∴ .
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算：= ．
【答案】7
【解析】原式＝，
故答案为：7．
12．若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则（x+y）2021＝ ．
【答案】-1
【解析】∵|x﹣2|+（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
解得：x＝2，y＝﹣3，
故（x+y）2021＝（2﹣3）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1.
13．已知a与b互为倒数，c是最大的负整数.|m|=2，则ab＋c－m2的值为 .
【答案】-4
【解析】 与 互为倒数，c是最大的负整数，|m|=2，
， ， ，
，
，
.
故答案为：-4.
14．一只昆虫从点A处出发，以每分钟2米的速度在一条直线上运动，它先前进1米，再后退2米，又前进3米，再后退4米，…依此规律继续走下去，则运动1小时时这只昆虫与A点相距 米.
【答案】8
【解析】1小时分，
规定昆虫每前进一次和后退一次为一运动周期，则设昆虫的运动周期数为，每一周期所用总时间为.
设每周期前进的距离为，则；
由题意可得：；
假设昆虫运动所用总时间为T；则；
当分时，代入上式中可得但还剩余7.5分钟，由公式可得第8周需要15.5分钟，但是每一周期中后退时间比前进时间多0.5分钟，所以在第8周期中前进时间为7.5分钟，后退时间为8分钟.
由于运动一个周期后退一米，所以运动7个周期就后退7米，由于在60分钟内运动完7周期后正好剩余7.5分钟，这样在第8周期就正好前进的距离米，故运动1小时时这只昆虫与点相距为米.
故答案为：8.
15．计算： .
【答案】0
【解析】原式
，
故答案为：0.
16．一个小球落在数轴上的某点 ，第一次从点 向左跳1个单位长度到点 ，第二次从点 向右跳2个单位长度到点 ，第三次从点 向左跳3个单位长度到点 ，第四次从点 向右跳4个单位长度到点 ，...，按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点 所表示的数恰好是2020，则这个小球的初始位置点 所表示的数是 ．
【答案】1970
【解析】设 所表示的数是 ，则 ，
则 ．
，
解得： ．
点 表示的数是1970．
故答案为：1970．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．
（1）（﹣5.3）+（﹣3.2）﹣（﹣5.3）﹣（+4.8）．
（2）．
（3）（）．
（4）×（﹣4）2．
【答案】（1）解：（﹣5.3）+（﹣3.2）﹣（﹣5.3）﹣（+4.8）
＝（﹣5.3）+（﹣3.2）+5.3+（﹣4.8）
＝（﹣5.3+5.3）+（﹣3.2﹣4.8）
＝0+（﹣8）
＝﹣8；
（2）解：
＝（10﹣）×（﹣9）
＝﹣10×9+×9
＝﹣90+0.5
＝﹣89.5
（3）解：（）
＝（）×36
＝﹣×36﹣×36+×36
＝﹣27﹣20+21
＝﹣26；
（4）解：×（﹣4）2
＝÷﹣×16
＝﹣×16
＝
＝﹣．
18．认真观察，寻找规律
第1个算式：；
第2个算式：
第3个算式：；
第4个算式：
用你发现的规律解答问题：
（1）第n个算式为： ；
（2）计算：+ + + ；
（3）若，求 n 的值.
【答案】（1）
（2）解：原式=
=
=
=
=
（3）解：
∵n为正整数，所以n+1=9，n+2=10，则n=8.
19．请你先认真阅读材料：
计算（﹣）÷（﹣+﹣）
解法1：
（﹣）÷（﹣+﹣）
＝（﹣）÷[（）﹣（）]
＝（﹣）÷（）
＝（﹣）÷
＝﹣×3
＝﹣
解法2：
原式的倒数为：
（﹣+﹣）÷（﹣）
＝（﹣+﹣）×（﹣30）
＝﹣20+3﹣5+12
＝（﹣20﹣5）+（3+12）
＝﹣10
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：
（﹣）÷（）．
【答案】解：原式的倒数为：
∴原式＝．
20．（1）尝试：比较下列各式的大小关系：（用“＞，＜，＝，≥或≤”填空）
①|－2|＋|3| |－2＋3|； ②|－6|＋|4| |－6＋4|；
③|－3|＋|－4| |－3－4|； ④|0|＋|－7| |0－7|.
（2）归纳：观察上面的数量关系，可以得到：|a|＋|b| |a＋b| （用“＞，＜，＝，≥或≤”填空）
（3）应用：利用上面得到的结论解决下面问题：若|m|＋|n|＝10，|m＋n|＝4，则m＝ .
（4）拓展：当|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|成立时，a、b、c应满足的条件是 （填写所有正确选项的序号） .
①1个正数，2个负数； ②2个正数，1个负数； ③3个正数； ④3个负数；⑤1个0，2个正数； ⑥1个0，2个负数； ⑦1个0，1个正数，1个负数.
【答案】（1）＞；＞；=；=
（2）
（3）±3或±7
（4）①②⑦
【解析】（1）①，则；
②，则；
③，则；
④，则；
故答案为：＞；＞；=；=；
（2）由（1）中的结果可知：当a、b异号时，则有|a|＋|b|＞|a＋b|，当a、b同号或者其中有一个为零时，则有|a|＋|b|=|a＋b|，
∴综上所述：|a|＋|b|≥|a＋b|；
故答案为：；
（3）∵|m|＋|n|＝10，|m＋n|＝4，
∴|m|＋|n|＞|m＋n|，
由上述结论可得：m、n异号，
①当m为正数，n为负数时，则，即，代入|m＋n|＝4得：
，解得：或；
②当m为负数，n为正数时，则，即，代入|m＋n|＝4得：
，解得：或；
∴综上所述：或±3；
故答案为：±3或±7；
（4）由题意，分以下四类：
第一类：当a、b、c三个数都不等于0时，
①1个正数，2个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|，
②两个正数，一个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|，
③三个正数，此时|a|＋|b|＋|c|=|a＋b＋c|，不符合题意，舍去，
④三个负数，此时|a|＋|b|＋|c|=|a＋b＋c|，不符合题意，舍去；
第二类：当a、b、c三个数中有一个等于零时，
①1个0，2个正数，此时|a|＋|b|＋|c|=|a＋b＋c|，不符合题意，舍去，
②1个0，2个负数，此时|a|＋|b|＋|c|=|a＋b＋c|，不符合题意，舍去，
③1个0，1个正数，1个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|；
第三类：当a、b、c三个数中有2个等于0时，
①2个0，1个正数，此时|a|＋|b|＋|c|=|a＋b＋c|，不符合题意，舍去，
②2个0，1个负数，此时|a|＋|b|＋|c|=|a＋b＋c|，不符合题意，舍去，
第四类：当a、b、c三个数都等于0时，此时|a|＋|b|＋|c|=|a＋b＋c|，不符合题意，舍去，
综上所述：当|a|＋|b|＋|c|＞|a＋b＋c|时，符合条件的有①②⑦；
故答案为：①②⑦.
21．如图，从左到右，在每个小格子都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
9 & # x ﹣6 2 …
（1）可求得x＝ ，第2021个格子中的数为 ；
（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2023？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（3）如果a、b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算：|9﹣&|+|9﹣#|+|&﹣#|+|&﹣9|+|#﹣9|+|#﹣&|得到，若a，b为前7个格子中的任意两个数，则所有的|a﹣b|的和为多少？
【答案】（1）9；-6
（2）解：前m个格子中所填整数之和可能为2023，
∵9+（6）+2＝5，2023÷5＝404…3， 9+（6）＝3，
故前m个格子中所填数字之和可能为2023；
m的值为：404×3+2＝1214
（3）解：由于是三个数重复出现，那么前7个格子中，这三个数中，9出现了三次，
﹣6和2都出现了2次，
原式=[|9﹣（﹣6）|×2+|9﹣2|×2]×3+[|﹣6﹣9|×3+|﹣6﹣2|×2]×2+[|2﹣9|×3+|2﹣（﹣6）|×2]×2
＝[15×2+14]×3+[15×3+16]×2+[21+16]×2＝328.
【解析】（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴9＋&＋#＝&＋#＋x＝#＋x＋（ 6），
∴x＝9，&＝ 6，
由格子中后面有个数字2，可知#＝2，
故这个表格中的数据以9， 6，2循环出现，
∵2021÷3＝674…2，
∴第2021个格子中的数为-6，
故答案为：9，-6；
22．概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”.一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”.
（1）初步探究
直接写出结果：23＝ ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ；
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，（﹣1）n＝﹣1；③34＝43；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数.
（3）深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例： .
试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式（﹣3）4＝ ； ＝ ；
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于 ；
（5）算一算： ＝ .
【答案】（1）
（2）②③
（3）；73
（4）
（5）﹣
【解析】（1）23＝2÷2÷2＝ ；
故答案为： ；
（2）∵任何非零数的2次商等于这个数与它本身相除，结果为1，
∴任何非零数的2次商都等于1，
故①正确；
∵对于任何正整数n，当n为奇数时，（﹣1）n＝﹣1，当n为偶数时，（﹣1）n＝1，
∴②错误；
∵34＝3÷3÷3÷3＝ ，43＝4÷4÷4＝ ，
∴34≠43.
∴③错误；
∵负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，
∴④正确；
综上，说法错误的是：②③，
故答案为：②③；
（3）（﹣3）4＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（_3）＝（﹣3）×（﹣ ）×（﹣ ）×（﹣ ）＝ ，
＝ ×7×7×7×7＝73，
故答案为： ；73；
（4）∵an＝ ＝a× × ＝ ，
∴将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于 .
故答案为： .
（5）原式＝1÷（﹣2）2×（﹣3）3+（﹣4）1× ＝1× ×（﹣27）+（﹣1）＝﹣ .
23．将 个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这 个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
1 2 3 4 =
（2）若数组1，4，6， 是“运算平衡”数组，则 的值可以是多少？
（3）若某“运算平衡”数组中共含有 个整数，则这 个整数需要具备什么样的规律？
【答案】（1）解：数组1，2，3，4是“运算平衡”数组，+1-2-3+4=0；
（2）解：要使数组1，4，6， 是“运算平衡”数组，有以下情况：
1+4+6+m=0；-1+4+6+m=0；1-4+6+m=0；1+4-6+m=0；1+4+6-m=0；-1-4+6+m=0；-1+4-6+m=0；-1+4+6-m=0；1-4-6+m=0；1-4+6-m=0；1+4-6-m=0；-1-4-6+m=0；-1-4+6-m=0，-1+4-6-m=0，1-4-6-m=0；-1-4-6-m=0；共16中情况，
经计算得m=±1，±3，±9，±11；
（3）解：这n个整数互不相同，在这 个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．
24．用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下：
M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…
M（ ） ，M（ ） ，M（ ） ，…
利用以上规律计算：
（1）M（28）×M（ ）；
（2）﹣1÷M（39）÷[﹣M（ ）].
【答案】（1）解：M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…
则M对整数n运算规律是n-3，
M（ ） ，M（ ） ，M（ ） ，…
则M对分数 的运算规律是 ，
∴M（28）×M（ ）=
（2）解：﹣1÷M（39）÷[﹣M（ ）].
= ，
= ，
= ，
=-1.
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