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浙教版2022-2023学年七上数学第2章 有理数的运算 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列式子中正确的是（ ）
A．﹣|﹣31|＝31
B．（﹣5）＋（﹣5）＋（﹣5）＋（﹣5）＋（﹣5）＝（﹣5）5
C．﹣8÷（2﹣4）＝﹣4＋2＝﹣2
D．|﹣3﹣1|＝|﹣3|＋|﹣1|
2．小明做了下列3道计算题：
① ，② ，③ .其中正确的有（ ）
A．0道 B．1道 C．2道 D．3道
3．已知两个数的和为负数，则这两个有理数（ ）
A．都为负数 B．都为正数
C．至少有一个为负数 D．必须一正一负
4．预防和控制新冠肺炎最有效的办法就是接种疫苗.截止2021年12月1日，某市累计接种新冠病毒疫苗超过350万剂次，用科学记数法表示350万为（ ）
A．35×105 B．3.5×105 C．3.5×106 D．3.5×107
5．计算 ( )
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是
A．非零两数的和一定大于任何一个加数
B．非零两数的差一定小于被减数
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数
D．小于1的两数之商一定小于被除数
7．现定义两种运算“ ”，“ ”.对于任意两个整数， ，则 的结果是（ ）
A．69 B．90 C．100 D．112
8．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（ ）
A．- B． C．2020 D．2021
9．求 的值，可令 ①，①式两边都乘以3，则 ②，②-①得 ，则 仿照以上推理，计算出 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．观察下列式子：
，
，
，
…
探索以上式子的规律，与计算 的结果相等的算式是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b＝a2+ab﹣5，例如：1#2＝12+1×2﹣5＝﹣2，则（﹣3）#6的值是 .
12．若m与n互为相反数，x、y互为倒数，则3m+2xy+3n-1的值为 .
13．今年的“十·一”黄金周是7天的长假，青城山风景区在7天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 单位：万人
若9月30日的旅游人数为0.1万人，七天中旅游人数最多的一天比最少的一天多 万人.
14．已知整数 的绝对值均小于5，且满 2021，则 的值为 ．
15．我们知道： 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 也可以看成 ，表示5与 之差的绝对值，也可理解为数轴上表示5与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离事实上，数轴上表示有理数 的点 的距离均可以用 来计算.根据以上材料，则使 的所有整数x的和是 .
16．以下是利用图形计算正整数乘法的方法，请根据图1~图4所示的规律，预测出图5所表达的算式为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）
（2）
（3）
18．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
问题：
计算：① ；
②
19．请你仔细阅读下列材料，计算：
阅读下列材料：计算 .
解法一：原式=
解法二：原式=
解法三：原式的倒数为
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_▲__是错误的.
请你选择合适的解法解答下列问题：计算：
20．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53=( )2= ；
（2） = ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
21．定义运算
观察下列运算：
，，， ，，， ，.
（1）请你认真思考上述运算，归纳运算的法则：
两数进行运算时，同号两数运算 ，异号两数运算 .
特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数.
（2）计算： ， .
（3）若，则 ，若，则 .
22．“ ”点游戏的规则是这样的：在整数范围内任意取四个数，然后进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可使用小括号、中括号），使其结果等于 ．例如，取 ， ， ， 这四个数进行运算，得： ，或 ，或 等．
（1）用-3，-1，5，3这四个整数，写出 种算式，使其运算结果为24；
（2）用 ， ， ， 这四个整数，写出 种不同的算式，使其运算结果为24；
（3）用 ， ， ， 这四个整数，写出 种算式，使其运算结果为 ．
23．本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算.
定义： 与 （ ， ， 都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作 .
运算法则如下：
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）如果 ，且 ，求出 的值；
（3）如果 ，则 .
24．已知 ， ， ，…,按照这个规完成下列问题：
（1） = .
（2）猜想：
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）
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浙教版2022-2023学年七上数学第2章 有理数的运算 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列式子中正确的是（ ）
A．﹣|﹣31|＝31
B．（﹣5）＋（﹣5）＋（﹣5）＋（﹣5）＋（﹣5）＝（﹣5）5
C．﹣8÷（2﹣4）＝﹣4＋2＝﹣2
D．|﹣3﹣1|＝|﹣3|＋|﹣1|
【答案】D
【解析】A、，此项不符合题意；
B、因为，
，
所以，此项不符合题意；
C、，此项不符合题意；
D、因为，，
所以，此项符合题意；
故答案为：D．
2．小明做了下列3道计算题：
① ，② ，③ .其中正确的有（ ）
A．0道 B．1道 C．2道 D．3道
【答案】B
【解析】 ，故①计算错误；
，故②计算正确；
，故③计算错误；
综上，计算正确的有1道.
故答案为：B.
3．已知两个数的和为负数，则这两个有理数（ ）
A．都为负数 B．都为正数
C．至少有一个为负数 D．必须一正一负
【答案】C
【解析】两个数的和为负数，这两个有理数可以都是负数或者有一个是负数且负数的绝对值比另一个数的绝对值大.
故答案为：C.
4．预防和控制新冠肺炎最有效的办法就是接种疫苗.截止2021年12月1日，某市累计接种新冠病毒疫苗超过350万剂次，用科学记数法表示350万为（ ）
A．35×105 B．3.5×105 C．3.5×106 D．3.5×107
【答案】C
【解析】350万=3500000=3.5×106.
故答案为：C.
5．计算 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式=
故答案为：D.
6．下列说法正确的是 （ ）
A．非零两数的和一定大于任何一个加数
B．非零两数的差一定小于被减数
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数
D．小于1的两数之商一定小于被除数
【答案】C
【解析】 两个负数的和小于任何一个加数，
选项 不符合题意；
当减数是小于或等于0的数时，差是大于或等于被减数的，
选项 不符合题意；
大于1的两数之积一定大于任何一个因数，
选项 符合题意；
当除数是真分数，被除数是正数时，商大于被除数，
选项 不符合题意.
故答案为：C.
7．现定义两种运算“ ”，“ ”.对于任意两个整数， ，则 的结果是（ ）
A．69 B．90 C．100 D．112
【答案】B
【解析】由题意知，（6 8）*（3 5）=（6+8-1）*（3+5-1）=13*7=13×7-1=90.
故答案为：B.
8．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（ ）
A．- B． C．2020 D．2021
【答案】A
【解析】原式，
，
，
，
，
故答案为：A.
9．求 的值，可令 ①，①式两边都乘以3，则 ②，②-①得 ，则 仿照以上推理，计算出 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ①，
①式两边同时乘以5，得 ②，
②-①得 ，即 .
故答案为：C.
10．观察下列式子：
，
，
，
…
探索以上式子的规律，与计算 的结果相等的算式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b＝a2+ab﹣5，例如：1#2＝12+1×2﹣5＝﹣2，则（﹣3）#6的值是 .
【答案】-14
【解析】 ，
，
，
，
故答案为：-14.
12．若m与n互为相反数，x、y互为倒数，则3m+2xy+3n-1的值为 .
【答案】1
【解析】∵m、n互为相反数，x、y互为倒数，
∴m+n=0，xy=1，
∴3m+2xy+3n-1＝ ，
故答案为：1.
13．今年的“十·一”黄金周是7天的长假，青城山风景区在7天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 单位：万人
若9月30日的旅游人数为0.1万人，七天中旅游人数最多的一天比最少的一天多 万人.
【答案】1.1
【解析】10月1日有游客：0.1+1.1=1.2 （万），
10月2日有游客：1.2-0.6=0.6（万），
10月3日有游客：0.6+0.2=0.8（万），
10月4日有游客：0.8-0.4=0.4 （万），
10月5日有游客：0.4-0.2=0.2 （万），
10月6日有游客：0.2+0.4=0.6 （万），
10月7日有游客：0.6-0.5=0.1 （万）；
7天中旅客最多的是1日为1.2万人，最少的是7日为0.1万人，
则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多1.2-0.1=1.1（万人）；
故答案为：1.1.
14．已知整数 的绝对值均小于5，且满 2021，则 的值为 ．
【答案】±4
【解析】∵1000a+100b2+10c3+d4=2021，整数a、b、c、d的绝对值均小于5，
∴个位上的1一定为d4产生，
∵（±3）4=81，（±13）4=81，
∴d=±3或d=±1，
①当d=±1，d4=1，
∴1000a+100b2+10c3=2020，
∴100a+10b2+c3=202，
∴个位上的2由c3产生，
∴c3=2或-8，
∵c的绝对值小于5，
∴c=-2，
∴100a+10b2-8=202，
∴100a+10b2=210，
即10a+b2=21，
∴此时个位上的1一定是b2产生的，
∵绝对值小于5的整数中，只有（±1）2=1，
∴b=±1，
将b=±1代入10a+b2=21，
解得a=2，
∴a=2，b=±1，c=-2，d=±1，
∴abcd=，
∴abcd=±4，
当d=±3时，d4=81，
1000a+100b2+ 10c3= 1940，
即100a+ 10b+c3= 194，
∵绝对值小于5的整数中，只有43= 64，
∴c=4，
∴100a+ 10b2= 130，
即10a+b2=13，
∵绝对值小于5的整数中，不存在某个数的平方的个位是3或7，
∴d=±3不符合题意，
综上所述，abcd的值为±4，
故答案为： ±4.
15．我们知道： 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 也可以看成 ，表示5与 之差的绝对值，也可理解为数轴上表示5与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离事实上，数轴上表示有理数 的点 的距离均可以用 来计算.根据以上材料，则使 的所有整数x的和是 .
【答案】4
【解析】 ，表示在数轴上x与-3和x与4距离之和为7，
∵-3与4之间的距离是7，
∴x的取值范围为-3≤x≤4，
∴符合条件的整数为-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
-3+(-2)+（-1）+0+1+2+3+4=4
故答案为：4.
16．以下是利用图形计算正整数乘法的方法，请根据图1~图4所示的规律，预测出图5所表达的算式为 .
【答案】
【解析】由图形知：图1中标的数字从个位开始，从右向左排列正是结果，为121，左下方的两组交点个数逆时针排列为11，右下方的两组交点个数逆时针排列为11，它们为两个因数，即11×11=121；
图2中标的数字从个位开始，从右向左排列正是结果，为231，左下方的两组交点个数逆时针排列为21，右下方的两组交点个数逆时针排列为11，它们为两个因数，即21×11=231；
图3中标的数字从个位开始，从右向左排列正是结果，为252，左下方的两组交点个数逆时针排列为21，右下方的两组交点个数逆时针排列为12，它们为两个因数，即21×12=252；
图4中标的数字从个位开始，从右向左排列正是结果，为372，左下方的两组交点个数逆时针排列为31，右下方的两组交点个数逆时针排列为12，它们为两个因数，即31×12=372；
由此得出图5中标的数字从个位开始，从右向左排列正是结果（超过10个点向上一位进1），为39483，左下方的三组交点个数逆时针排列为321，右下方的三组交点个数逆时针排列为123，它们为两个因数，即321×123＝39483；
故答案为：321×123＝39483.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：
=
=6
（2）解：
=
=
=
=-4
（3）解：
=
=
=
=
18．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
问题：
计算：① ；
②
【答案】解：①原式=；
②原式=.
19．请你仔细阅读下列材料，计算：
阅读下列材料：计算 .
解法一：原式=
解法二：原式=
解法三：原式的倒数为
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_▲__是错误的.
请你选择合适的解法解答下列问题：计算：
【答案】解：解法一：原式 ，
解法二：原式 ，
解法三：原式的倒数为
，
∴ ；
上述得到的结果不同，所以我认为解法一是错误的；
故答案为一；
的倒数为
；
∴ .
20．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53=( )2= ；
（2） = ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）1+2+3+4+5（或15）；225
（2）
（3）解：由（2）得，
113+123+133+…+193+203
=13+23+33+…+193+203－(13+23+33+…+93+103)
=
=44 100－3 025
=41 075
21．定义运算
观察下列运算：
，，， ，，， ，.
（1）请你认真思考上述运算，归纳运算的法则：
两数进行运算时，同号两数运算 ，异号两数运算 .
特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数.
（2）计算： ， .
（3）若，则 ，若，则 .
【答案】（1）结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值
（2）45；-17
（3）-2020；-2022
【解析】（1）由题意知，两数进行 运算时，同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值.
特别地，0和任何数进行 运算，或任何数和0进行 运算，仍得这个数.
故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；
（2）（-16） （-29）=+（16+29）=45，
（+18） [0 （-35）]
=（+18） （-35）
=-（35-18）
=-17；
故答案为：45，-17；
（3）∵-1 a=2021，
∴a=-（2021-1）=-2020；
∵1 b=-2021，
∴b=-（2021+1）=-2022，
故答案为：-2020，-2022.
22．“ ”点游戏的规则是这样的：在整数范围内任意取四个数，然后进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可使用小括号、中括号），使其结果等于 ．例如，取 ， ， ， 这四个数进行运算，得： ，或 ，或 等．
（1）用-3，-1，5，3这四个整数，写出 种算式，使其运算结果为24；
（2）用 ， ， ， 这四个整数，写出 种不同的算式，使其运算结果为24；
（3）用 ， ， ， 这四个整数，写出 种算式，使其运算结果为 ．
【答案】（1）解： （答案不唯一）
（2）解： 或 （答案不唯一）
（3）解： （答案不唯一）
23．本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算.
定义： 与 （ ， ， 都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作 .
运算法则如下：
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）如果 ，且 ，求出 的值；
（3）如果 ，则 .
【答案】（1）；
（2）解：因为 ，
所以 ，
，
，
所以 ，
（3）5、3、1
【解析】（1） ， ，
故答案为： ， ；
（3）由题意知，① ，
解得： ；
② ，
解得： ；
③ 且 为整数，
解得： ；
综上，x=5，x=3，x=1.
故答案为：5或3或1.
24．已知 ， ， ，…,按照这个规完成下列问题：
（1） = .
（2）猜想：
（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）
【答案】（1）225；5；6
（2）
（3）解：利用（2）中的结论计算：
113+123+133+143+153+163+…+393+403.
解：原式=13+23+33+…+393+403-（13+23+33+…+103）
= 402×412 ×102×112
=672400 3025
=669375.
【解析】（1）13+23+33+43+53=225= 52×62；
故答案为：225，5，6；
（2）猜想：13+23+33+…+n3= n2×（n+1）2；
故答案为： .
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