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第二章：有理数的运算复习学案
一．有理数运算的简单运算：
例1.（1）一个点从数轴的﹣1所表示的点开始，先向左移动5个单位，再向右移动3个单位，这时该点表示的数是（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣5 D．﹣3
（2）两数相乘，积为负，且两数和也为负，则这两数（ ）
A．都是正数 B．都是负数
C．一正一负且正数的绝对值大 D．一正一负且负数的绝对值大
（3）若x的相反数是2，，则的值为（ ）
A. B. 7或3 C. 7或-3 D. 3或-7
（4）．近似数2.70×104精确到（ ）
A．万位 B．千位 C．百位 D．十位
（5）．已知两个有理数a，b，如果ab＜0，且a+b＜0，那么（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a，b异号 D．a，b异号，且负数的绝对值较大
（6）．若有理数a，b，c满足abc＝2003，a+b+c＝0，则a，b，c中负数的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
（7）我们知道：在整数中，能被2整除的数叫做偶数，反之则为奇数，现把2017个连续整数1，2，3，…，2017的每个数的前面任意填上“+”号或“﹣”号，然后将它们相加，则所得的结果必为（ ）
A．正数 B．偶数 C．奇数 D．有时为奇数；有时为偶数
1．在数轴上，点A表示的数为﹣1，则到点A的距离等于3的点所表示的数是
2.如图的号码是由12为数字组成的，每一位数字写在下面的方格中，若任何相邻的三个数字之和都等于12，则x的值为
9 x ﹣2
3．气象资料表明，高度每增加1000m，气温大约下降6℃，我国黄山的天都峰高约1800m，当山脚处的气温约为18℃时，天都峰山顶的气温约为
4．绝对值大于1而不大于4的整数有 ，它们的和是 ．
5．计算：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝
二．有理数的运算：
例2.计算下列各式：
（1）12+（﹣18）﹣（﹣7）﹣15 （2） .
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
计算下列各式：
（1） （2）
（3）10－1÷()÷ （4）
三．有理数的运算的应用：
例3.规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得（a+2）×2﹣b，即a※b＝（a+2）×2﹣b，例如：3※5＝（3+2）×2﹣5＝10﹣5＝5，根据上面规定解答下题：
（1）求7※（﹣3）的值；（2）7※（﹣3）与（﹣3）※7的值相等吗？
1.定义一种新的运算：
（1）计算与，此运算满足交换律吗？
（2）计算与此运算满足结合律吗？
例4.同学们都知道，一个数a的绝对值可记作∣a∣，它可以理解为在数轴上表示数a的点到原点的距离，所以任何一个数的绝对值一定是非负数，即∣a∣≥0。
下面一起来思考并完成几个有关绝对值的问题：
⑴式子3+∣x－2∣，当x=__________时，可取得最小值是____________。
⑵ 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离为d，则d=|a-b|.如数轴上表示1和3两点之间的距离是d=|1-3|=2（或d=|3-1|）；数轴上表示2和-5的两点之间的距离d=|2-（-5）|=7.
利用以上数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示和-1的两点之间的距离表示为 。
②若表示一个有理数，且，则=
请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
问题：计算：①;
②
2.某中学饭堂出售一种成本价为每块元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，为了吸引顾客，于是张贴出了宣传海报：“桃李手斯面包”大酬宾，第一周每块元，第二周每块5元，第三周每块元，从第四周开始每块恢复为6元．月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这四周的销售情况如表：
周次 一 二 三 四
销售量
（1）这四周中，最大销售量比最小销售量多______块，第三周销售额是______元，这四周的总盈利是______元．（盈利=销售额-成本）
（2）为了拓展学生消费群体，第四周后，该饭堂又决定实行两种优惠方案：
方案一：凡来饭堂购买该面包者，每块面包附赠一包成本为元的纸巾；
方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块以上的部分可直接打九折．
若有人一次性购买5块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出？
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第二章：有理数的运算复习学案答案
一．有理数运算的简单运算：
例1.（1）一个点从数轴的﹣1所表示的点开始，先向左移动5个单位，再向右移动3个单位，这时该点表示的数是（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣5 D．﹣3
解析：﹣1﹣5+3=﹣6+3=﹣3．
故选D．
（2）两数相乘，积为负，且两数和也为负，则这两数（ ）
A．都是正数 B．都是负数
C．一正一负且正数的绝对值大 D．一正一负且负数的绝对值大
解析：∵两数相乘，积为负，
∴这两数异号，
∵两数和也为负，
∴负数的绝对值大，
∴这两数一正一负且负数的绝对值大，
故选D．
（3）若x的相反数是2，，则的值为（ ）
A. B. 7或3 C. 7或-3 D. 3或-7
解析：∵x的相反数是2，∴，
∵，∴
∴或，
故选：D
（4）．近似数2.70×104精确到（ ）
A．万位 B．千位 C．百位 D．十位
解析：近似数2.70×104精确到百位．
故选：C．
（5）．已知两个有理数a，b，如果ab＜0，且a+b＜0，那么（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a，b异号 D．a，b异号，且负数的绝对值较大
解析：两个有理数的积是负数，说明两数异号，
和也是负数，说明负数的绝对值大于正数的绝对值．
故选：D．
（6）．若有理数a，b，c满足abc＝2003，a+b+c＝0，则a，b，c中负数的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：因为三个数的积是正数，
∴负因数为偶数个，
又∵a+b+c＝0，
∴a，b，c中负数的个数是2个．
故选：B．
（7）我们知道：在整数中，能被2整除的数叫做偶数，反之则为奇数，现把2017个连续整数1，2，3，…，2017的每个数的前面任意填上“+”号或“﹣”号，然后将它们相加，则所得的结果必为（ ）
A．正数 B．偶数 C．奇数 D．有时为奇数；有时为偶数
解析：前2017个数1，2，3，…，2017的相加为2035153为奇数，则如果把前面任意填上“+”号或“﹣”号．则设前面为“﹣”号的整数和为﹣k，
则将他们相加为s﹣2k=1+2+3+…+2017﹣2k=2017*2018÷2﹣2k=2035153﹣2k
仍为奇数．
故选：C．
1．在数轴上，点A表示的数为﹣1，则到点A的距离等于3的点所表示的数是
解析：设到点A的距离等于3的点为B，B表示的数为x．
当B在A的左侧时，则AB＝﹣1﹣x＝3．
∴x＝﹣4．
当B在A的右侧时，则AB＝x﹣（﹣1）＝3．
∴x＝2．
综上：到点A的距离等于3的点所表示的数为﹣4或2．
故答案为：﹣4或2．
2.如图的号码是由12为数字组成的，每一位数字写在下面的方格中，若任何相邻的三个数字之和都等于12，则x的值为
9 x ﹣2
解析：∵﹣2左边的两个空格中的数字之和为14，
∴根据任何相邻的三个数字之和都等于12，可得x右边的数字为﹣2，
9右边的空格中的两数之和为3，
∴可得x左边的空格中的数为9，
故x=12﹣9+2=5，
故答案为：5．
3．气象资料表明，高度每增加1000m，气温大约下降6℃，我国黄山的天都峰高约1800m，当山脚处的气温约为18℃时，天都峰山顶的气温约为
解析：根据题意得：
18﹣1800÷1000×6
＝18﹣1.8×6＝18﹣10.8＝7.2（℃），
则天都峰山顶的气温约为7.2℃．
故答案为：7.2℃．
4．绝对值大于1而不大于4的整数有 ，它们的和是 ．
解析：绝对值大于1而不大于4的整数有﹣4、﹣3、﹣2、2、3、4，
它们的和是：
（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+2+3+4＝0．
故答案为：﹣4、﹣3、﹣2、2、3、4；0．
5．计算：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝
解析：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020
＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020]
＝1+1+…+1＝1010，
故答案为：1010．
二．有理数的运算：
例2.计算下列各式：
（1）12+（﹣18）﹣（﹣7）﹣15 （2） .
解：原式 解：原式
（3） （4）
解：原式 解：原式
（5） （6）
解：原式 解：原式
（7） （8）
解：原式 解：原式
计算下列各式：
（1） （2）
解：原式 解：原式
（3）10－1÷()÷ （4）
解：原式 解：原式
三．有理数的运算的应用：
例3.规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得（a+2）×2﹣b，即a※b＝（a+2）×2﹣b，例如：3※5＝（3+2）×2﹣5＝10﹣5＝5，根据上面规定解答下题：
（1）求7※（﹣3）的值；（2）7※（﹣3）与（﹣3）※7的值相等吗？
解析：（1）7※（﹣3）＝（7+2）×2﹣（﹣3）＝9×2+3＝21
（2）不相等．理由是：
∵7※（﹣3）＝（7+2）×2﹣（﹣3）＝9×2+3＝21，（﹣3）※7＝（﹣3+2）×2﹣7＝﹣2﹣7＝﹣9，
即：21≠﹣9
∴7※（﹣3）与（﹣3）※7的值不相等．
1.定义一种新的运算：
（1）计算与，此运算满足交换律吗？
（2）计算与此运算满足结合律吗？
解析（1）：
∴此运算满足交换律；
（2）
∴此运算不满足结合律
例4.同学们都知道，一个数a的绝对值可记作∣a∣，它可以理解为在数轴上表示数a的点到原点的距离，所以任何一个数的绝对值一定是非负数，即∣a∣≥0。
下面一起来思考并完成几个有关绝对值的问题：
⑴式子3+∣x－2∣，当x=__________时，可取得最小值是____________。
⑵ 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离为d，则d=|a-b|.如数轴上表示1和3两点之间的距离是d=|1-3|=2（或d=|3-1|）；数轴上表示2和-5的两点之间的距离d=|2-（-5）|=7.
利用以上数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示和-1的两点之间的距离表示为 。
②若表示一个有理数，且，则=
解析：（1）∵，
∴，即当时，的最小值为3；
（2）①数轴上表示和-1的两点之间的距离表示为；
②∵，∴，
∴
1.请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
问题：
计算：①;
②
解析：①;
②
2.某中学饭堂出售一种成本价为每块元的“桃李手撕面包”，售价为每块6元，为了吸引顾客，于是张贴出了宣传海报：“桃李手斯面包”大酬宾，第一周每块元，第二周每块5元，第三周每块元，从第四周开始每块恢复为6元．月末结算时，以每周销售200块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这四周的销售情况如表：
周次 一 二 三 四
销售量
（1）这四周中，最大销售量比最小销售量多______块，第三周销售额是______元，这四周的总盈利是______元．（盈利=销售额-成本）
（2）为了拓展学生消费群体，第四周后，该饭堂又决定实行两种优惠方案：
方案一：凡来饭堂购买该面包者，每块面包附赠一包成本为元的纸巾；
方案二：凡一次性购买3块以上者，其中3块按照原价销售，超过3块以上的部分可直接打九折．
若有人一次性购买5块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出？
解析：（1）最大销售量比最小销售量多：（块）；
第三周的销售额为：（块），（元）；
四周的总盈利为：
（元）
故答案为：40，1078，1414
（2）方案一利润为：（元）
方案二利润为：（元）
则饭堂更希望方案一卖出．
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复习作业
一．选择题：
1．m、n两数在数轴上的位置如图所示，设A＝m+n，B＝﹣m+n，C＝m﹣n，D＝﹣m﹣n，则下列各式正确的是（ ）
A．B＞D＞A＞C B．A＞B＞C＞D C．C＞B＞A＞D D．D＞C＞B＞A
2．已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的个数有（ ）
（1）a＜c＜b，（2）﹣a＜b，（3）a+b＞0，（4）c﹣a＜0，（5）a＜﹣b＜c＜﹣c＜b＜﹣a，
（6）|a﹣b+c|＝b﹣a﹣c．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．近似数38.57的取值范围是（ ）
A．38.565≤a＜38.575 B．38.565＜a＜38.575
C．38.565＜a≤38.575 D．38.55≤a＜38.65
4.如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，那么的最大值是( )
A. 9 B. 10 C. 12 D. 13
5．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a＋b＞0，那么（ ）
A．ab异号且正数的绝对值较大 B．a＜0，b＞0 C．ab同号 D．a＞0，b＞0
6．下列变形正确的是_______________(填序号）
①． ②．
③． ④．
7.四个不相等的整数它们的积，那么
8．已知a，b，c，d是互不相等的整数，且abcd＝6，则a＋b＋c＋d的值等于_____________
9．若，，且，则______
10．已知都是不等于0的有理数，若，则等于1或；若，则等于2或或0；若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于_____
11.计算下列各式：
（1）（）×（-60） （2） －1.53×0.75－0.53×()
（3） （4）
12.已知A、B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且|b+4|+|a﹣8|＝0，P是数轴上的一个点．
（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B两点之间的距离．
（2）数轴上一点C距A点9个单位长度，其对应的数c满足|ac|＝﹣ac．
①写出B，C两点之间的距离．
②若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当P点满足PB＝2PC时，直接写出点P对应的数．
（3）动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，点P和与A能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由．
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复习作业答案
一．选择题：
1.答案：A
解析：由数轴可知﹣2＜m＜﹣1＜0＜n＜1，
∴1＜﹣m＜2，﹣1＜﹣n＜0，
∴1＜﹣m+n＜3，0＜﹣m﹣n＜1，﹣1＜m+n＜0，﹣3＜m﹣n＜﹣1，
∴﹣m+n＞﹣m﹣n＞m+n＞m﹣n，即B＞D＞A＞C，
故选：A．
2.答案：B
解析：由图可知：a＜﹣2＜c＜0＜b＜1．
（1）由图可知：a＜c＜b，故（1）正确．
（2）由图可知：a＜﹣2＜0＜b＜1，那么﹣a＞b，故（2）不正确．
（3）由图可知：a＜﹣2＜0＜b＜1，那么a+b＜0，故（3）不正确．
（4）由图可知：a＜﹣2＜﹣1＜c＜0，那么c﹣a＞0，故（4）不正确．
（5）由图可知：a＜﹣2＜﹣1＜c＜0＜b＜1，那么a＜﹣b＜c＜﹣c＜b＜﹣a，故（5）正确．
（6）由图可知：a＜﹣2＜﹣1＜c＜0＜b，那么a﹣b+c＜0，故|a﹣b+c|＝﹣（a﹣b+c）＝b﹣a﹣c，即（6）正确．
综上：正确的是（1）/（5）（6）．
故选：B．
3.答案：A
解析：近似数38.57的取值范围为38.565≤a＜38.575．
故选：A．
4.答案：C
三个顶角分别是，，时，的值最大由题易知和之间是，和之间是，和之间是，此时．
故选择：C
5.答案：A
解析：∵ab＜0，
∴a与b异号，
∵a＋b＞0，
∴正数的绝对值较大，
故选：A．
6.答案：①②③
解析：①，运用乘法的交换律，正确；
②、，运用乘法的交换律，正确；
③、，运用乘法的分配律，正确；
④、．∴原变形错误，不正确．
∴正确答案为：①②③
7.答案：0
解析：∵
∴
8.答案：1
解析：6=（-1）×（-6）=1×6=2×3=（-2）×（-3），
∵a、b、c、d是互不相等的整数，且abcd=6，
∴a、b、c、d四个数为1，-1，2，-3，或1，-1，-2，3
∴a+b+c+d=-1+1-3+2=-1或者a+b+c+d=-1+1-2+3=1．
9.答案：3或．
解析：，，
，，
，
，；，，
当，时；
当，时，．
故答案为：3或．
10.答案：220
解析：若，则等于1或；
若，则等于2或或0；
若，则等于3或-3或1或-1；
…..
若，则有：
当中有20项为1，0项为-1，则=20，当中有19项为1，1项为-1，则=18，中有18项为1，2项为-1，则=16，…..；以此类推可知中有0项为1，20项为-1，则=-20，
∴所有有可能的值为-20，-18，-16，……，16，18，20，
∴所有可能等于的值的绝对值之和为；
故答案为220．
11.解析：（1）（）×（-60）
原式
（2） －1.53×0.75－0.53×()
原式
（3）
原式
（4）
原式
12.解析：（1）∵|b+4|≥0，|a﹣8|≥0，
∴当|b+4|+|a﹣8|＝0时，则|b+4|＝0，|a﹣8|＝0．
∴b＝﹣4，a＝8．
∴AB＝8﹣（﹣4）＝12且A、B的位置在数轴上的位置如下图所示：
（2）①由（1）可知：b＝﹣4，a＝8＞0．
∵|ac|＝﹣ac，
∴ac＜0．
∴c＜0．
又∵数轴上一点C距A点9个单位长度，
∴C表示数为﹣1．
∴BC＝﹣1﹣（﹣4）＝3．
②A、B、C在数轴上的位置表示如下：
∵P点满足PB＝2PC，
∴P可能在B、C之间，也可能在C的右侧．
当P可能在B、C之间，BC＝PB+PC＝2PC+PC＝3PC＝3．
∴PC＝1．
∴P对应的数为﹣2．
当P在C的右侧时，BC＝PB﹣PC＝2PC﹣PC＝PC＝3．
∴P对应的数为2．
综上：P对应的数为﹣2或2．
（3）能，理由如下：
假设在这个移动过程中，点P和与A能重合．
∴移动N次后，P对应的数为﹣4+（﹣1）+3+（﹣5）+…+（﹣1）N（2N﹣1）．
当N为偶数，P对应的数为﹣4+2×＝﹣4+N＝8．
∴N＝12．
当N为奇数，P对应的数为﹣4+2×﹣（2N﹣1）＝﹣4+N﹣1﹣2N+1＝8．
∴N＝﹣12＜0（不合题意，故舍去）．
综上：P第12次移动，点P与A重合．
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