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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形
专题2等边三角形培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【解析】连接BE，
∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，
∵EF⊥AB，
∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，
∴BE=DE，
在Rt△BEF中，EF=1，
∴BE=2EF=2，
∴BE=DE=2，
∴DF=EF+DE=3，
故答案为：C.
2．已知等边△ABC的边长为12， D是边AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】C
【解析】如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥BC，FG⊥AB，
∴∠AED=∠CFE=∠FDB=90°，
∴∠BFD=∠CEF=∠ADE=90°-60°=30°，
∴BF=2BD=2x，
∴CF=12-2x，
∴CE=2（12-2x）=24-4x，
∴AE=AC-CE=12-（24-4x）=4x-12，
∴AD=2AE=2（4x-12）=8x-24，
∵AD=12-x
∴8x-24=12-x
解之：x=4.
∴AD=12-4=8.
故答案为：C.
3．如图，在等边ABC中，点E是AC边的中点，点P是ABC的中线AD上的动点，若AD＝6，则EP+CP的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．3
【答案】A
【解析】如图，作点E关于AD的对称点F，连接CF，交AD于点P，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∵点E关于AD的对应点为点F，
∴CF就是EP+CP的最小值.
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴F是AB的中点，
∴CF是△ABC的中线，
∴CF＝AD＝6，
即EP+CP的最小值为6，
故答案为：A.
4．如图，在锐角 中， ， ， 是 内的两点， 平分 ， ，若 ， ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，如图，
， 平分 ， ， ，
，
， 是等边三角形，
， ，
， ， 是等边三角形，
， ， ，
是等边三角形， ， ， ，
， .
故答案为：D.
5．等边△ABC中，AB=7，DE绕点D逆时针转过60°，E点落在BC边的F处，已知AE=2，则BF=( )
A．2 B．3 C．3.5 D．5
【答案】A
【解析】∵DF是由DE旋转得到，
∴DE=DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠EDF=60°，
∵∠ADE+∠CDF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠DAE=120°，
∴∠AED=∠CDF，
在△DAE和△FDC中，
，
∴△DAE≌△FDC（AAS），
∴CD=AE=2，AD=FC，
∴AD=AC-CD=AB-CD=7-2=5，
∴FC=5，
∴BF=BC-FC=AB-FC=7-5=2.
故答案为：A.
6．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】∵△GFH为等边三角形，
∴FH=GH，∠FHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，
∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC，
∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC，
∴∠AHF=∠HGC，
在△AFH和△CHG中
，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF=CH.
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE=FH，
∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，
=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，
=AB+BC=10.
故答案为：B.
7．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】设正△XYZ的边长为u，过顶点X作XV⊥YZ，V为垂足，如图，
在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，
∵XV⊥YZ，
∴ ，∠XVY=90°，
∴在Rt△XYV中，有 ，
∴正△XYZ的面积为： ，
如图，可知△AGC、△AFB、△BCH是正三角形，
设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有： ，
则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为： 、 、 ，
则根据上图有： ， ， ，
即有 ，
∵ ，
∴ ，
即 .
故答案为：C.
8．如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，∠MCN=180°-∠ACD-∠BCE=60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），则①符合题意；
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB，
在ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，；则②符合题意；
∵∠MCN=60°，
∴为等边三角形；则③符合题意；
∵∠DAC=∠ECB=60°，
∴AD∥CE，
∴∠DAO=∠NEO=∠CBN，
∴；则④符合题意；
∴正确的结论由4个；
故答案为：D．
9．如图， 和 均为等边三角形，且点E在 内， ，若 是不等边三角形，那么 的度数可能是（ ）
A．110 B．125 C．140 D．150
【答案】D
【解析】∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴AB=CB，BE= BD，∠ABC=∠DBE=∠BED=∠BDE= 60°，
∴∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴∠AEB=∠CDB，
设∠AEB=∠CDB=x，
∴∠CDE=∠CDB-∠BDE=x-60°，
∴∠CED= 360°-∠AEB-∠BED-∠AEC= 360°-x-60° -110° = 190° -x，
∴∠DCE= 180°-(∠CDE+∠CED) = 50°，
∵△CDE是不等边三角形，
∴∠CDE≠∠CED≠∠DCE，
∴x- 60°≠190° -x≠50°，
解得x≠125°，x≠140°，x≠110° .
故答案为：D.
10．如图，在等边△ABC中，AB=15，BD=6，BE=3，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（ ）
A．8 B．10 C． D．12
【答案】D
【解析】如图，过D作DE'⊥AB，过F作FH⊥BC，
则BE'=BD=2，
∴点E和点E'重合，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BDE=30°，DE=BE=3，
∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°，
∴HDF+DFH=90°，
∴EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
∴△DPE≌△FDH（AAS），
∴FH=DE=3，
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，
当点P从E点开始运动时，作等边三角形DEF1，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，
则△DF2Q≌△ADE，∴DQ=AE=15-3=12.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点， 于点F，连结EF，则EF的长为 .
【答案】
【解析】 D，E分别是边BC，AC的中点，等边三角形ABC的边长为4，
为等边三角形，
则
故答案为：
12．如图，AB=4，点M为线段AB上的一个动点，在AB同侧分别以AM和BM为边作等边△AMC和等边△BMD，则线段CD的最小值为 ．
【答案】4
【解析】设AM=x，BM=4-x，
∵△AMC，△BDM均为等边三角形，∴CM=AM=x，DM=BM=4-x，
∵∠AMC=60°，∠BMD=60°，∴∠DMC=60°，
过点D作DE⊥CM于E，
则∠DEM=90°，
∴∠MDE=30°，
∴，
∴，
∵CE=CM-ME=，
∴，
∵3＞0，
∴当x=2时，CD有最小值，最小值为4，
故答案为：4．
13．已知三个边长分别为1，2，3的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】如下图，设AC交BE、BF、CF与点M、N、H，
∵AB=1，BC=2，CD=3，
∴AC=CG，
∴∠CAG=∠CGA=30°，
∴AG⊥BE，
又∵∠EBA=∠FCA=60°，
∴EB∥CF，AG⊥CF，
∴AH=HG，AM=MN，（三线合一）
∴S△CHG=S△CHA，
同理， S△BMN=S△BMA，
在Rt△ABM中，AB=1，BM= AB= ，AM= ，
∴S△ABM= BM AM= = ，
同理可证S△ACH= CH AH= = ，
∴阴影部分面积= S△ABM+S△ACH= =
14．如图，△ACD是等边三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE＝ °.
【答案】125
【解析】∵△ACD是等边三角形，
，
在与中，
故答案为：125.
15．如图， 为等边三角形，若 ，则 （用含 的式子表示）．
【答案】
【解析】如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，
∵ 为等边三角形，
∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵ ，BE=AD，
∴ ，
∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴ 是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴ ．
故答案为：
16．如图，O是正 内一点， ， ， ，将线段 以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 ，下列结论：①点O与 的距离为6；② 可以由 绕点B逆时针旋转60°得到；③ ；④ ；⑤ .其中正确的结论是 .（填序号）
【答案】②③⑤
【解析】∵ 是正三角形
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 可以由 绕点B逆时针旋转60°得到，
∴②正确；
如图所示，连接 根据旋转的性质，可知 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴点O与 的距离为8，
∴①错误；
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ 面积为 ，
等边 面积为 ，
∴四边形 的面积为 ，
∴⑤正确；
∵ ，
∴③正确；
过点B作 交 的延长线于点E，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴④错误.
故答案为：②③⑤.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．
（1）求证：AEBC；
（2）点D在AB的延长线上，仍以CD为边作等边三角形CDE，使得E、A在直线DC的两侧，那么AE和BC还平行吗？画图证明你的判断．
【答案】（1）证明：∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA，
即∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC=∠ABC=60°=∠ACB，
∴AEBC；
（2）解：还成立，
理由如下：
如图，
∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠DCA=∠ECD+∠DCA，
即∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC=∠ABC=60°=∠ACB，
∴AEBC；
18．如图，等边△ABC的边AC，BC上各有一点E，D，AE＝CD，AD，BE相交于点O.
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若∠OBD＝45°，求∠ADC的度数.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）
（2）解：由（1）得△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠ABE+∠BAO＝∠BAC＝60°，
∴∠ADC＝∠OBD+∠BOD＝45°+60°＝105°，
∴∠ADC的度数为105°.
19．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，△ACD是等边三角形，E为△ABC内一点，AC=CE，∠BAE=15°，AD与CE相交于点F．
（1）求∠DFE的度数；
（2）求证：AE=BE．
【答案】（1）解：∵△ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=90°-60°=30°，
∵∠BAE=15°，
∴∠BAE=∠EAD=15°，
∴∠EAC=90°-15°=75°，
∵AC=CE，
∴∠EAC=∠AEC=75°，
∴∠DFE=∠EAD+∠AEC=15°+75°=90°；
（2）证明：由（1）得∠DFE=90°，即∠AFC=∠AFE=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，△ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，AB=AC，
∴∠FCA=30°，
∴AC=2AF，即AB=2AF，
过点E作EG⊥AB于点G，
∵∠BAE=∠EAD=15°，且∠EFA=90°，EG⊥AB，
∴EG=EF，又AE= AE，
∴Rt△EAG≌Rt△EAF(HL)，
∴AG=AF，
∴AB=2AG，
∴BG=AG，又EG⊥AB，
∴△ABF为等腰三角形，
∴AE=BE．
20．
（1） 是边长为6的等边三角形，E是边AC上的一点，且 ，小明以BE为边作等边三角形BEF，如图①，求CF的长；
（2） 是边长为6的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小明以BE为边作等边三角形BEF，如图②，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3） 是边长为6的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小明以BM为边作等边三角形BMN，如图③，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长.
【答案】（1）解：∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图所示：连结CF，由（1） ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点E在点C处时， ，
当点E在A处时，点F与点C重合.
∴点F运动的路径长即为AC长为6；
（3）解：如图所示：取BC的中点H，连结NH.
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
当点M在C处时， ，
当点M在D处时，点N与点H重合.
∴点N所经过的路径的长为CD长即为 .
21．已知，在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.
（1）（特殊情况，探索结论）
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（选填“＞”，“＜”或“＝”）.
（2）（特例启发，解答题目）
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出，AE DB（选填“＞”，“＜”或“＝”）；理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F.（请你完成以下解答过程）.
（3）（拓展结论，设计新题）
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，则CD＝ .
【答案】（1）=
（2）=
（3）3
【解析】（1）＝.
理由如下：在等边△ABC中，∠ACB=∠ABC=60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠BCE=30°，BE=AE，
∵ED＝EC，
∴∠D=∠BCE=30°，
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴∠BED=30°，
∴DB=BE，
∴DB=AE；
（2）＝
理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=∠A，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，
∴BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°－∠D，∠ECF＝60°－∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中， ，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）如图，点E在AB延长线上时，过点E作EF∥BC交AC延长线于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠DCE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE=∠A，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF=2，
∴BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠D =∠CEF，
∵∠F=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠F，
∴△DBE≌△ECF，
∴DB=EF=2，
∴CD=BC+DB=1+2=3.
22．已知，点C为线段AB上的一点，以AC为边作等边△ACD，连接BD.
（1）如图1，以BC为边在AB的上方作等边△BCE，接AE，交BD于点G，求∠AGB的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下连接CG，求证：CG+DG+EG＝AE；
（3）如图3，点K在线段BD上，∠BKC＝60°，点H为线段AD上，AH＝BC，AK，CH交于点I，BD＝a，AK＝b，则IK＝ .（用含a，b的式子表示）.
【答案】（1）解：如图，
∵△ACD与△BCE都是等边三角形
∴AC=DC，CB=CE，∠ACD=∠ECB=60°
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB +∠DCE
即∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△CDB（SAS）
∴∠EAC=∠BDC
设AE与CD交于O点
∵∠AOC=∠DOG
根据三角形内角和为180°可知∠DGO=∠ACD=60°
∴∠AGB=180°-∠DGO=120°
（2）证明：在线段AG上截取HG=DG，由（1）中∠AGD=60°，故△DHG是等边三角形
∴DH=HG=DG，∠HDG=60°=∠ADC
∴∠ADC-∠HDC=∠HDG-∠HDC
∴∠ADH=∠CDG
又AD=CD
∴△ADH≌△CDG（SAS）
∴DG=AH
∴CG+DG+EG＝AH+HG+EG=AE
即CG+DG+EG＝AE；
（3）
【解析】（3）以BC为边作等边三角形BCE，连接AE交BD于K’，过A点作AM⊥BD，AN⊥CK于N，AK与CH交于I点
∵∠BKC=60°
∴∠DKC=120°
∵∠DAC=60°
∴∠ADK+∠ACK=360°-∠DKC-∠DAC=180°
∵∠ACN +∠ACK=180°
∴∠ADM=∠CAN
∵AC=AD，∠AMD=∠ANC=90°
∴△ADM≌△CAN（AAS）
∴AM=AN
∴AK平分∠DKC
∴∠AKD=60°
同（1）理可得∠AK’D=60°，
∴K与K’重合
又同（1）理可得△ACE≌△DCB
∴AE=BD=a
∵∠DAC=∠ECB=60°
∴AH CE
∴∠IAH=∠IEC，∠IHA=∠ICE
又∵AH=BC=CE
∴△AHI≌△ECI（ASA）
∴AI=IE
设IK=x，EK=y
∴AI=IK+KE=x+y
∴AK=AI+IK=2x+y=b
∵AE=BD，即AK+KE=BD=a
∴y=a-b
把y=a-b代入2x+y=b中：2x+a-b=b
∴x=
故答案为： .
23．如图，是边长为的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线运动，点Q沿折线运动，且它们的速度都为．当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接，，设点P的运动时间为．
（1）当点Q在线段上运动时，的长为 （），的长为 （）（用含t的式子表示）；
（2）当与的一条边垂直时，求t的值；
（3）在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）t；（6-t）
（2）解：根据题意分三种情况讨论：
①如图所示：当时，，
∵三角形ABC为等边三角形，
∴
∴
∴，
由（1）可得：，
解得：；
②如图所示：当时，，
∵
∴
∴，
由（1）可得：，
解得：；
③如图所示：当时，，
∵
∴
∴，
由（1）可得：，
解得：；
综上可得：当或或时，PQ与的一条边垂直；
（3）解：当或
【解析】（1）点Q从点B出发，速度为，点P从点A出发，速度为，
∴，，
∴，
故答案为：；；
解：（3）根据题意，分情况讨论：
①当点Q在BC边上时，时，
如图所示：过点Q作，
∵
∴
∴，
∴，
，，
∴
∵，
∴，
解得：或（舍去）；
②当点Q在BC边上时，时，
如图所示：过点P作，
∵
∴
∴，
∴，
，，
∴
∵，
∴，
解得：（舍去）；
③当点Q在BC边上时，时，如图所示：
由图可得：，，
，
∴这种情况不成立；
④当点Q在AC边上时，只讨论情况，如图所示：
过点Q作，过点C作，
∵，为等边三角形，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
综上可得：当或时，为等腰三角形．
24．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”.
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 .
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝ ，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝ ，求△PDC的面积.
【答案】（1）A
（2）
（3）解：由题意可知：
△ABP≌△DBP，
∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，
根据“方倍三角形”定义可知：
BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴∠PBC＝90°，
∵∠CPB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DPC＝90°，
∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴AP＝DP＝ ，
∴AD＝2，
延长BP交AD于点E，如图，
∵∠ABP＝∠PBD，
∴BE⊥AD，PE＝ AD＝AE＝1，
∴BE＝ ＝ ，
∴PB＝BE﹣PE＝ ﹣1，
∵∠CPB＝∠PCB＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC＝ PB＝ ﹣ ，
∴S△PDC＝ PC PD＝ （ ﹣ ）× ＝ ﹣1.
【解析】（1）对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a，
则a2+a2＝2a2，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
a2+b2＝c2，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：A；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，
则满足a2+b2＝3，
根据“方倍三角形”定义，还满足：
a2+3＝2b2，
联立解得 ，
则Rt△ABC的面积为： ；
故答案为： ；
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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形
专题2等边三角形培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
（第1题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．已知等边△ABC的边长为12， D是边AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
3．如图，在等边ABC中，点E是AC边的中点，点P是ABC的中线AD上的动点，若AD＝6，则EP+CP的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．3
4．如图，在锐角 中， ， ， 是 内的两点， 平分 ， ，若 ， ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
5．等边△ABC中，AB=7，DE绕点D逆时针转过60°，E点落在BC边的F处，已知AE=2，则BF=( )
A．2 B．3 C．3.5 D．5
6．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
7．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图， 和 均为等边三角形，且点E在 内， ，若 是不等边三角形，那么 的度数可能是（ ）
A．110 B．125 C．140 D．150
10．如图，在等边△ABC中，AB=15，BD=6，BE=3，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（ ）
A．8 B．10 C． D．12
（第10题） （第11题） （第12题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点， 于点F，连结EF，则EF的长为 .
12．如图，AB=4，点M为线段AB上的一个动点，在AB同侧分别以AM和BM为边作等边△AMC和等边△BMD，则线段CD的最小值为 ．
13．已知三个边长分别为1，2，3的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为 ．
14．如图，△ACD是等边三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE＝ °.
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图， 为等边三角形，若 ，则 （用含 的式子表示）．
16．如图，O是正 内一点， ， ， ，将线段 以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 ，下列结论：①点O与 的距离为6；② 可以由 绕点B逆时针旋转60°得到；③ ；④ ；⑤ .其中正确的结论是 .（填序号）
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．
（1）求证：AEBC；
（2）点D在AB的延长线上，仍以CD为边作等边三角形CDE，使得E、A在直线DC的两侧，那么AE和BC还平行吗？画图证明你的判断．
18．如图，等边△ABC的边AC，BC上各有一点E，D，AE＝CD，AD，BE相交于点O.
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若∠OBD＝45°，求∠ADC的度数.
19．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，△ACD是等边三角形，E为△ABC内一点，AC=CE，∠BAE=15°，AD与CE相交于点F．
（1）求∠DFE的度数；
（2）求证：AE=BE．
20．（1） 是边长为6的等边三角形，E是边AC上的一点，且 ，小明以BE为边作等边三角形BEF，如图①，求CF的长；
（2） 是边长为6的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小明以BE为边作等边三角形BEF，如图②，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3） 是边长为6的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小明以BM为边作等边三角形BMN，如图③，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长.
21．已知，在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC.
（1）（特殊情况，探索结论）
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（选填“＞”，“＜”或“＝”）.
（2）（特例启发，解答题目）
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出，AE DB（选填“＞”，“＜”或“＝”）；理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F.（请你完成以下解答过程）.
（3）（拓展结论，设计新题）
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，则CD＝ .
22．已知，点C为线段AB上的一点，以AC为边作等边△ACD，连接BD.
（1）如图1，以BC为边在AB的上方作等边△BCE，接AE，交BD于点G，求∠AGB的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下连接CG，求证：CG+DG+EG＝AE；
（3）如图3，点K在线段BD上，∠BKC＝60°，点H为线段AD上，AH＝BC，AK，CH交于点I，BD＝a，AK＝b，则IK＝ .（用含a，b的式子表示）.
23．如图，是边长为的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线运动，点Q沿折线运动，且它们的速度都为．当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接，，设点P的运动时间为．
（1）当点Q在线段上运动时，的长为 （），的长为 （）（用含t的式子表示）；
（2）当与的一条边垂直时，求t的值；
（3）在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出t的值．
24．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”.
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 .
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝ ，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝ ，求△PDC的面积.
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