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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形
专题2等边三角形尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，过边长为4的等边的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD，BE交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，PQ＝2，则BP的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图， 是等边三角形，D是线段 上一点（不与点A，C重合），连接 ，点E，F分别在线段 ， 的延长线上，且 ，则 的周长等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，等边 ，边长为8，点D为边 上一点，以 为边在 右侧作等边 ，连接 ，当 周长最小时， 的长度为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF=1，则AF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．△DEF和△GHK均为等边三角形，将它们按如图1、图2的方式放置在等边三角形ABC内，若求图1、图2中的阴影部分面积的和，则只需知道（ ）
A．△BDE的面积 B．四边形BEFD的面积
C．△ABC面积 D．△DGH的面积
7．如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE交DC于点F，下列结论：①CD=BE；②FA平分∠DFE；③∠BFC=120°；④ ．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，P是等边△ABC内部一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5：6：7，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个内角的大小之比是（从小到大）（ ）
A．2：3：4 B．4：5：6 C．3：4：5 D．不确定
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题）
9．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置.连接PQ，则以下结论错误的是（ ）
A．∠QPB=60° B．∠PQC=90° C．∠APB=150° D．∠APC=135°
10．如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作于点N，，，若，则AN的长为 ．
12．如图，P为等边△ABC的边BC上任一点，点D在BA的延长线上，将线段PD绕点P逆时针旋转60°得线段PE，连BE，则∠CBE＝ .
（第12题） （第13题） （第14题）
13．如图，已知 ，点 ， ， ， 在射线ON上，点 ， ， ， 在射线OM上， ， ， ， 均为等边三角形，若 ，则 的边长为 ．
14．如图，在等边 中，点D在 边延长线上，连接 ，点E在线段 上，连接 ，交线段 于点F， ， ， ，则线段 的长度为 ．
15．如图，四边形 中， 是对角线， 是等边三角形， 若 ，则 ．
（第15题） （第16题）
16．课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的 ， ， 满足的数量关系是 . 现将△ABF向上翻折，如图②，已知 ， ， ，则△ABC的面积是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图所示，已知△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF=6，求BF的长．
18．如图，在
中，
，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且
，G是AC的中点，连接DG.
（1）求证：
；
（2）判断
是否是等边三角形，并说明理由.
19．如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE交于点F．
求证：
（1）∠BFC＝120°；
（2）FA平分∠DFE．
20．△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．
（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝ ．
（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．
①试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若BP＝10，CP＝m，求CA′的长．（用含m的式子表示）
21．如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝∠AOB，AO＝8cm时，求OC的长度．
22．已知△ABC是等边三角形，E、F分别是边BC、AC上的点，AE与BF相交于点G，且BE=CF.
（1）如图（1），求证：△BCF≌△ABE，并直接写出∠AGF的度数；
（2）如图（2），若DF⊥AE，垂足为D，且DG=1，BF=4，求BG的长度；
（3）如图（3），以AB为边在左侧作等边△ABD，连接DG，求证：DG=AG+BG.
23．问题发现
（1）如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试猜想CD与BE的数量关系是 ；
（2）问题探究：如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝6．求BD的长．
（3）问题解决：如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，求CD的长度最大值．
24．问题探究
（1）如图①，已知 ， ， ，则 的大小为 ；
（2）如图②，在四边形 中， ， ，对角线 ，求四边形 的面积；小明这样来计算，延长 ，使得 ，连接 ，通过证明 ，从而可以计算四边形 的面积，请你将小明的方法完善，并计算四边形 的面积；
（3）如图③，四边形 是正在建设的城市花园，其中 ， ， ， 米， 米，请计算出对角线 的长度.
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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形
专题2等边三角形尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，过边长为4的等边的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】过P作，交AC于M，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
又∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
2．如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD，BE交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，PQ＝2，则BP的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
在△BAE和△ACD中，
AB＝CA，∠BAE＝∠ACD， AE＝CD，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝4．
故答案为：B．
3．如图， 是等边三角形，D是线段 上一点（不与点A，C重合），连接 ，点E，F分别在线段 ， 的延长线上，且 ，则 的周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵BD=DE=DF，
∴∠DBE=∠DEB，∠DBF=∠DFB，
∵∠DBE+∠DBF=∠ABC=60°，
∴∠DEB+∠DFB=60°，
∵∠BAC=∠DEB+∠EDA=60°，
∴∠EDA=∠DFB，
∵∠ACB=∠CFD+∠CDF=60°，
∴∠CDF=∠AED，且∠EDA=∠DFC，DE=DF，
∴△ADE≌△CFD（ASA），
∴AD=CF，AE=CD，
∴△AED周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD，
故答案为：D．
4．如图，等边 ，边长为8，点D为边 上一点，以 为边在 右侧作等边 ，连接 ，当 周长最小时， 的长度为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，
∴C△ADE=3AD，
当△ADE周长最小时，
即AD最小，
当AD⊥BC时，AD最小，
此时，BD=AB sin30°=4，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠1+∠2=60°，
又∵∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE=4，
故答案为：C．
5．如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF=1，则AF的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中， ，
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠BOD=∠ABE+∠BAD，∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠BOD=∠ABE+∠BAC+∠CAD=∠ABE+∠BAC+∠CBE=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°.
∴∠AOF=180°-∠BOD=180°-120°=60°，
在Rt△AOF中，∠AOF=60°，OF=1，
∴AF= .
故答案为： .
6．△DEF和△GHK均为等边三角形，将它们按如图1、图2的方式放置在等边三角形ABC内，若求图1、图2中的阴影部分面积的和，则只需知道（ ）
A．△BDE的面积 B．四边形BEFD的面积
C．△ABC面积 D．△DGH的面积
【答案】A
【解析】∵△ABC，△DEF是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠EDF=60°，DE=DF，
∴∠ADF+∠BDE=120°，∠BDE+∠BED=120°，
∴∠ADF=∠BED，
在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（AAS），
∴S△ADF=S△BED，
同理可得：S△ADF=S△CEF，
∵图1和图2中阴影部分面积之和=S△ABC-S△DEF=3S△BDE，
∴只需要知道△BDE的面积即可，
故答案为：A.
7．如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE交DC于点F，下列结论：①CD=BE；②FA平分∠DFE；③∠BFC=120°；④ ．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】过点A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，过点C作CH⊥BE于H，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE，∠AEB=∠ACD，故①符合题意
∵△ADC≌△ABE，
∴AM=AN．
∵AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∴AF平分∠DFE，故②符合题意．
∵∠AEB=∠ACD，
∴∠AEC+∠ACE=120°=∠AEB+∠BEC+∠ACE，
∴∠ACF+∠BEC+∠ACE=120°，
∴∠BFC=∠ACF+∠BEC+∠ACE=120°，故③符合题意，
∴∠DFE=120°，
∴∠DFA=∠EFA=60°=∠CFE．
∵AN⊥BE，CH⊥EF，
∴∠FAN=∠FCH=30°，
∴
∴
∴ 故④符合题意．
故答案为：A．
8．如图，P是等边△ABC内部一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是5：6：7，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个内角的大小之比是（从小到大）（ ）
A．2：3：4 B．4：5：6 C．3：4：5 D．不确定
【答案】A
【解析】如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，
∵AP′=AP，∠P′AP=60°，
∴△AP′P是等边三角形，
∴PP′=AP，
∵P′C=PB，
∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，
∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，
∴∠PP′C=∠AP′C ∠AP′P=∠APB ∠AP′P=100°-60°=40°，
∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°
∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，
∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4.
故答案为：A.
9．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置.连接PQ，则以下结论错误的是（ ）
A．∠QPB=60° B．∠PQC=90° C．∠APB=150° D．∠APC=135°
【答案】D
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置，
∴△BQC≌△BPA，
∴BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，
由旋转的性质得∠PBQ＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ＝BP＝4，
∵PQ2＋QC2＝42＋32＝25，PC2＝52＝25，
∴PQ2＋QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，故B选项正确，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝∠BQP＝60°，故A选项正确，
∴∠BPA＝∠BQC＝60°＋90°＝150°，故C选项正确，
∴∠APC＝360° 150° 60° ∠QPC＝150° ∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PQ≠QC，
∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°，故D选项错误.
故答案为：D.
10．如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】如图，
是等边三角形， ，
∵D为AC中点，∴ ，
∵ ， ， ，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ， ， ， ，
， 是等边三角形， ，∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作于点N，，，若，则AN的长为 ．
【答案】22
【解析】作DG∥AC交BC于G，
∵是等边三角形，
∴，
∴∠DGB=∠ACB=60°，∠DGF=∠ECF，
∵∠DFG=∠EFC，，
∴△DFG≌△EFC，
∴，
∵∠DGB=∠ACB=60°，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
，
，
则，，
AN的长为27-5=22，
故答案为：22．
12．如图，P为等边△ABC的边BC上任一点，点D在BA的延长线上，将线段PD绕点P逆时针旋转60°得线段PE，连BE，则∠CBE＝ .
【答案】120°
【解析】过点D作DF∥AC交BC延长线于点F，如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠BAC=∠BDF=∠BCA=∠F=60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴DB=DF，
∵将线段PD绕点P逆时针旋转60°得线段PE，
∴△PDE是等边三角形，
∴DE=DP，∠EDP=60°，
∴∠EDB+∠BDP=∠PDF+∠BDP=60°，
∴∠EDB=∠PDF，
∴△EDB≌△PDF（SAS），
∴∠EBD=∠F=60°，
∴∠CBE=∠ABC+∠EBD=120°，
故答案为：120°.
13．如图，已知 ，点 ， ， ， 在射线ON上，点 ， ， ， 在射线OM上， ， ， ， 均为等边三角形，若 ，则 的边长为 ．
【答案】
【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1．
∵∠MON=30°，OA2=4，
∴OA1=A1B1=2，
∴A2B1=2．
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=8，A4B4=8B1A2=16，A5B5=16B1A2=32，
以此类推△AnBnAn+1的边长为2n．
故答案为2n．
14．如图，在等边 中，点D在 边延长线上，连接 ，点E在线段 上，连接 ，交线段 于点F， ， ， ，则线段 的长度为 ．
【答案】
【解析】连接 ，过点F作 ，交 于G，连接 ，如图所示：
是等边三角形， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
即 ，
，
可以假设 ， ，设 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
15．如图，四边形 中， 是对角线， 是等边三角形， 若 ，则 ．
【答案】10
【解析】如下图所示：以CD为边向外作出等边△DCE，连接AE，
∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=60°+∠ACD，∠ACD=∠DCE+∠ACD=60°+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACD，
在△ACE和△BCD中： ，
∴△ACE≌△BCD（SAS）,
∴BD=AE=26，
又△CDE为等边三角形，∴CD=DE=24,∠CDE=60°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°，
再Rt△ADE中， ，
故答案为：10．
16．课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的 ， ， 满足的数量关系是 . 现将△ABF向上翻折，如图②，已知 ， ， ，则△ABC的面积是 .
【答案】；7
【解析】如图，作FH⊥AB，
∵△AFB是等边三角形，FH⊥AB，
∴AH=AB，
∴FH==AB,
∴S3=AB×AH=AB2，
同理S1=AC2，S2=BC2，
∵AC2+BC2=AB2,
∴S1+S2=AC2+BC2=（AC2+BC2）=AB2=S3.
如图，设三个空白部分的面积分别为：x、y、z，
由上题的结论可得：S甲+x+S乙+y=S丙+x+y+z,
∴z=S甲+S乙-S丙=6+5-4=7.
故答案为：7.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图所示，已知△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF=6，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，
又∵∠BFP=∠BAD+∠ABE，
∴∠BFP=∠BAD+∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BFP=60°，
又∵BP⊥AD，
∴∠BPF=90°，
∴∠FBP=30°，
∴BF=2PF=2×6=12
18．如图，在
中，
，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且
，G是AC的中点，连接DG.
（1）求证：
；
（2）判断
是否是等边三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD，
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
∵G是AC的中点，
∴ .
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
19．如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE交于点F．
求证：
（1）∠BFC＝120°；
（2）FA平分∠DFE．
【答案】（1）解：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
令AB与DC的交点为G，
∵∠BGD=∠ABE+∠BFG，∠BGD=∠ADC+∠DAG，
∴∠ABE+∠BFG=∠ADC+∠DAG，
∴∠BFG=∠DAG=60°，
∴∠BFC=180°-∠BFG=120°；
（2）解：过点A作AH⊥DC，AG⊥BE，垂足分别为H、G．
∵AH⊥DC，AG⊥BE，
∴∠DHA=∠BGA=90°．
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE．
在△DAH和△BAG中 ，
∴△DAH≌△BAG．
∴AH=AG．
又∵AH⊥DC，AG⊥BE，
∴FA为∠DFE的角平分线．
20．△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．
（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝ ．
（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．
①试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若BP＝10，CP＝m，求CA′的长．（用含m的式子表示）
【答案】（1）30°
（2）解：(2)①，理由如下：
连接，在上取一点，使，如图，
是等边三角形
，
是等边三角形
，
即
②如图，
由①可得
由（1）可知
把△ABD沿BD对折，得到△，
三点共线
折叠
，
由①可得
【解析】(1)是等边三角形
把△ABD沿BD对折，得到△，
故答案为：
21．如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝∠AOB，AO＝8cm时，求OC的长度．
【答案】（1）解：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=OD，∠OCB=∠ACD，
∴∠OCD=∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：△AOD是直角三角形，理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=∠COD=60°，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=∠COD=60°，OC=OD，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=110°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=50°，
∵∠BOC=∠AOB=110°，
∴∠AOD =360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=80°，
∴∠OAD=180°-∠ADO- ∠AOD=50°，
∴∠OAD=∠ADO，
∴AO=OD，
∵AO＝8cm，
∴OC=OD＝8cm．
22．已知△ABC是等边三角形，E、F分别是边BC、AC上的点，AE与BF相交于点G，且BE=CF.
（1）如图（1），求证：△BCF≌△ABE，并直接写出∠AGF的度数；
（2）如图（2），若DF⊥AE，垂足为D，且DG=1，BF=4，求BG的长度；
（3）如图（3），以AB为边在左侧作等边△ABD，连接DG，求证：DG=AG+BG.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠FBC，
∵∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，
∴∠AGF=∠BGE=60°；
（2）解：由（1）得，∠AGF=60°，
∵DF⊥AE，∴∠DFG=30°，
∵DG=1，∴GF=2DG=2，
∵BF=4，∴BG= BF- GF=4-2=2；
（3）解：证明：延长GE至点H，使GH=GB，连接BH，如图，
∵∠BGE=60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴BG=BH=GH，∠GBH=60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵∠ABH=∠GBH+∠ABG，∠DBG=∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH=∠DBG，
在△DBG和△ABH中，
，
∴△DBG≌△ABH（SAS），
∴DG=AH，
而AH=AG+GH，
∴DG=AG+BG.
23．问题发现
（1）如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试猜想CD与BE的数量关系是 ；
（2）问题探究：如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝6．求BD的长．
（3）问题解决：如图③，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，求CD的长度最大值．
【答案】（1）CD=BE
（2）解：如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，连接CT．
∵∠BAT=∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠TAC，
在△TAC和△BAD中，
∴△TAC≌△BAD（SAS），
∴CT=BD，
∵∠ABT=∠ABC=45°，
∴∠TBC=90°，
∵AB=2BC=6，
∴，
∴，
∴BD=TC=9；
（3）解：存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．
∵△ABD，△BCF都是等边三角形，
∴BA=BA，BC=BF，∠DBA=∠CBF=60°，
∴∠DBC=∠ABF，
在△DBC和△ABF中，
∴△DBC≌△ABF（SAS），
∴DC=AF，
∵AC=2，CF=BC=3，
∴AF≤AC+CF，
∴AF≤5，
∴当A，C，F共线时，AF的值最大，最大值为5，
∴CD的最大值为5．
【解析】(1)CD=BE．
理由：如图①中，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE．
故答案为：CD=BE．
24．问题探究
（1）如图①，已知 ， ， ，则 的大小为 ；
（2）如图②，在四边形 中， ， ，对角线 ，求四边形 的面积；小明这样来计算，延长 ，使得 ，连接 ，通过证明 ，从而可以计算四边形 的面积，请你将小明的方法完善，并计算四边形 的面积；
（3）如图③，四边形 是正在建设的城市花园，其中 ， ， ， 米， 米，请计算出对角线 的长度.
【答案】（1）115°
（2）解：如图2，延长 ，使得 ，连接 ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
问题解决
（3）解：如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，
，
， 米， ，
是等边三角形
，
，
，
，
，
，
，
（米 ，
（米 .
【解析】（1）如图1，延长 交 于 ，
， ，
.
故答案为： ；
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