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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形
专题3直角三角形尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、．
结论Ⅰ：、、满足只有（4）；
结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（ ）．
A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对
C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，点D是AB边上的中点，下列成立的有（ ）
①∠A+∠B=90° ②AC2+BC2=AB2③2CD=AB ④∠B= 30°
A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③
（第2题） （第3题） （第4题）
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，△ABC 中，AC＝8，点 D，E 分别在 BC，AC 上，F是 BD的中点.若 AB＝AD， EF＝EC，则 EF 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC上的点，把△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC上的点F处，若点F为BC的中点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，在 和 中， ， ， ，过A作 ，垂足为F， 交 的延长线于点G，连接 .若四边形 的面积为12， ，则 的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．
7．如图：在△ABC中，∠B=45°，D是AB边上一点，连接CD，过A作AF⊥CD交CD于G，交BC于点F.已知AC=CD，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）
①∠ACD=2∠FAB ②③④ AC=AF
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，F是BC边上的中点.若动点E从A点出发以2cm/s的速度沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF.当△BEF是直角三角形时，t的值为( ).
A． B．1
C． 或1或 D． 或1或
9．如图，在直角三角形 中， ，点 为 上一动点，连接 .若 的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
（第9题） （第10题） （第11题）
10．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如 )向外延长1倍得到点 ， ， ， ，并连结得到图2.已知正方形 与正方形 的面积分别为 和 ，则图2中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝ .
12．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB、AC于点D，E，若，，则的面积是 .
（第12题） （第13题）
13．如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 ．
14．如图，等腰直角三角形ABC中， ，AC＝BC，点M为△ABC外一点，BM＝13，MA＝5， ，则MC的长为 .
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、点E在直线BC上，点F为AE上一点，连接BF，分别交AD、AC于点G、点H，若∠BAD＝∠CAE，∠AGH＝∠E，AF+AD＝BF，AC＝3，则AE的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 中， ， ， ，CD与BE相交于点F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
18．（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，所以．
（1）（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，其中，，根据拼图证明勾股定理．
（2）（定理应用）在中，，、、所对的边长分别为、、．求证：．
19．如图①，在ΔABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，E为BC上一点，F为CA上一点，且FD⊥ED，垂足为D.
（1）若AF＝3.BE＝2，求FE的长；
（2）小明看到这个题目，提出这样的思路：如图②，延长ED到M，使得DM＝DE，连接AM，FM.首先证明∠FAM＝90°，再求出FM的长，最后得出FE的长，请你按照这个思路完成解答.
若点E在边CB的延长线上，点F在边AC的延长线上，请直接写出AF、BE、FE的等量关系.
20．如图，已知长方形的边AD＝8，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→D→A的路径匀速运动，同时，动点N从点C出发，沿C→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒.
（1）如（图一），当运动时间为1秒时，求MN的长度；
（2）当0≤t≤4时，直接写出 AMN为直角三角形时的运动时间t的值；
（3）如（图二），当4＜t＜8时，判断 AMN的形状，并说明理由.
21．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为”相似等腰组”.如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”.
（1）如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕着点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由.
（2）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和AE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由.
（3）如图4，在等边△ABC中，D是三角形内部一点，且AD＝，BD＝2，DC＝，求△ABC的面积.
22．在△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝12，点D，E分别为BC，AC的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点F
（1）当x＝10时，求线段AD的长．
（2）x取何值时，点F与点D重合。
（3）当DF＝1时，求x2的值．
23．
（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是 ，位置关系是
；
（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD、CD、DE之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，则线段AD的长为
24．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N.
（1）证明：BM＝CN.
（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；
（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为 .
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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形
专题3直角三角形尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、．
结论Ⅰ：、、满足只有（4）；
结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（ ）．
A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对
C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对
【答案】D
【解析】直角三角形的三边长分别为、、，
，
图1中，，，，
则，，
，
同理，图2、图3、图4，都符合结论Ⅰ：，
对于Ⅱ：，但是都符合，
故结论Ⅱ不符合题意．
故答案为：D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，点D是AB边上的中点，下列成立的有（ ）
①∠A+∠B=90° ②AC2+BC2=AB2③2CD=AB ④∠B= 30°
A．①②④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】D
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB是直角，
∴∠A+∠B=90°，故①正确；
∴AC2+BC2=AB2，故②正确；
∵点D是AB边上的中点，
∴AB=2CD，故③正确；
只有当∠A=60°时，∠B=30°，故④错误；
正确结论的序号有：①②③.
故答案为：D.
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴BE＝CE，
又∵∠B＝20°
∴∠ECB＝∠B＝20°，
∵AD＝BD，∠B＝20°，
∴∠DAB＝∠B＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝20°+20°＝40°，
∴∠DFE＝∠ADC+∠ECB＝40°+20°＝60°.
故答案为：D.
4．如图，△ABC 中，AC＝8，点 D，E 分别在 BC，AC 上，F是 BD的中点.若 AB＝AD， EF＝EC，则 EF 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】如图，连接AF，
∵AB=AD，F为BD的中点，
∴AF⊥BD，
∵EF=EC，
∴EF=EC=AE=AC=4.
故答案为：B.
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC上的点，把△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC上的点F处，若点F为BC的中点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过点F作FG⊥BD于点G，
Rt△ABC中，∠C=90°，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∵FG⊥BD，
∴∠FGB=90°，
∴∠BFG=45°，
∴FG=BG，
设FG=BG=1，
∴BF=，
∵点F为BC的中点，
∴CF=BF=，
∴AC=BC=2，
设CE=a，则AE=EF=AC-CE=2-a，
在Rt△CEF中，根据勾股定理，得
EF2=CE2+CF2，
∴（2-a）2=a2+（）2，
解得a=，
∴CE=a=，
则．
故答案为：D．
6．如图，在 和 中， ， ， ，过A作 ，垂足为F， 交 的延长线于点G，连接 .若四边形 的面积为12， ，则 的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．
【答案】C
【解析】过点A作 于H，如图所示：
在 与 中，
，
， ，
又 ，即 ， ，
又 ， ，
在 和 中，
，
同理： ，
，
，
，
，
，
解得： .
故答案为：C.
7．如图：在△ABC中，∠B=45°，D是AB边上一点，连接CD，过A作AF⊥CD交CD于G，交BC于点F.已知AC=CD，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）
①∠ACD=2∠FAB ②③④ AC=AF
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【解析】如图，过点C作 于点H，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，故④正确；
∴ ，
在 中， ，故③正确.
故答案为：B.
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，F是BC边上的中点.若动点E从A点出发以2cm/s的速度沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF.当△BEF是直角三角形时，t的值为( ).
A． B．1
C． 或1或 D． 或1或
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，∵∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4cm.
∵F是AB的中点，
∴BF=AF= cm.
①当EF⊥BC时，∵∠ABC=60°，
∴∠BEF=30°，
∴BE=2BF=2，
∴AE=AB-BE=4-2=2，
∴t=2÷2=1或t=(4+2)÷2=3(舍)；
②当EF⊥AB时，∵∠ABC=60°，
∴∠BFE=30°，
∴BE= BF= ，
∴AE=AB-BE=4- = ，
∴t= ÷2= 或t=(4+ )÷2= (舍)；
故答案为：C.
9．如图，在直角三角形 中， ，点 为 上一动点，连接 .若 的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】以 为对称轴作点 的对称点 ，过点 作 ，垂足为点E，过 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，如图所示，
在 中，
∴
在 ，
∴
∴
当 时， 最短，
故 的最小值为
连接 ，得 ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴ 的最小值为
故答案为：B.
10．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如 )向外延长1倍得到点 ， ， ， ，并连结得到图2.已知正方形 与正方形 的面积分别为 和 ，则图2中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵正方形 与正方形 的面积分别为 和 ，
∴ ， ，
设四个直角三角形的较短边为 ，
则在 中， ， ，
由题意根据勾股定理得， ，即 ，
∴ ， （舍去），即 ，
∴ ，
，
，
∴图2中阴影部分的面积是：
，
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD＝ .
【答案】
【解析】设CD＝x，则AD＝A′D＝4﹣x.
在直角三角形ABC中，BC＝ ＝5.则A′C＝BC﹣AB＝BC﹣A′B＝5﹣3＝2.
在直角三角形A′DC中：AD2+AC2＝CD2.
即：（4﹣x）2+22＝x2.
解得：x＝.
故答案为：.
12．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB、AC于点D，E，若，，则的面积是 .
【答案】
【解析】连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=DB=5，
∵∠C=90°，AC=8，BD=5，
∴AB=2BD=10，
由勾股定理得，BC==6，
则CE=8-AE=8-EB，
在Rt△CBE中，BE2=CE2+BC2，即BE2=（8-BE）2+36，
解得，BE=，则AE=，
∴S△ABE=AE×BC=××6=，
∴△ADE的面积是S△ABE=.
故答案为：.
13．如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 ．
【答案】
【解析】四边形是长方形，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，
依题意.
设点E在数轴上所表示的数为x，则
解得
故答案为：
14．如图，等腰直角三角形ABC中， ，AC＝BC，点M为△ABC外一点，BM＝13，MA＝5， ，则MC的长为 .
【答案】
【解析】过点 作 ，且 ，
连接 ，如下图：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得： .
故答案为： .
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【解析】如图，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
∵，即，
，
在中，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积和= 三个正方形面积+三角形面积-2倍空白部分面积
=
．
故答案为：.
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、点E在直线BC上，点F为AE上一点，连接BF，分别交AD、AC于点G、点H，若∠BAD＝∠CAE，∠AGH＝∠E，AF+AD＝BF，AC＝3，则AE的长为 ．
【答案】
【解析】如图所示，过点C作CI⊥BE交AE于I，
∴∠ICD=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACI=45°，∴∠ABD=∠ACI，
在△ABD和△ACI中，
，
∴△ABD≌△ACI（ASA），∴AI=AD，∠ADB=∠AIC，BD=CI，
延长FA到K使得AK=AD=AI，连接KB，KD，DI，
∴∠AKD=∠ADK，∠ADI=∠AID，
∵∠AKD+∠KDI+∠AID=180°，
∴∠ADK+∠ADI=90°，即∠KDI=90°，
∵∠BAD=∠CAE，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=90°，即∠DAI=90°，
∴△ADK和△ADI都是等腰直角三角形，
∴∠DKI=∠DIK=∠ADK=45°，
∴KD=ID，∠BDK+∠ADK=∠DIK+∠DIC，
∴∠DIC=∠KDB，
在△KDB和△DIC中，
，
∴△KDB≌△DIC（SAS），
∴∠KBD=∠DCI=90°，
∴∠BKE+∠E=90°，∠KBF+∠EBF=90°，
∵BF=AF+AD，
∴BF=AF+AK=KF，
∴∠BKF=∠KBF，
∴∠E=∠EBF，
∴∠BFA=∠E+∠EBF=2∠E，
∵∠AGH=∠E，∠GAF=90°，
∴3∠E=90°，
∴∠E=30°，
过点A作AM⊥BE于M，
∵∠ACM=45°，
∴∠MAC=45°，
∴∠ACM=∠MAC，
∴AM=CM，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 中， ， ， ，CD与BE相交于点F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
18．（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，所以．
（1）（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，其中，，根据拼图证明勾股定理．
（2）（定理应用）在中，，、、所对的边长分别为、、．求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵
∴．
∴．
∵．
∴．
∵直角梯形的面积可以表示为，也可以表示为，
∴，
整理，得．
（2）解：在中，，
∴；
∵．
∴．
19．如图①，在ΔABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，E为BC上一点，F为CA上一点，且FD⊥ED，垂足为D.
（1）若AF＝3.BE＝2，求FE的长；
（2）小明看到这个题目，提出这样的思路：如图②，延长ED到M，使得DM＝DE，连接AM，FM.首先证明∠FAM＝90°，再求出FM的长，最后得出FE的长，请你按照这个思路完成解答.
若点E在边CB的延长线上，点F在边AC的延长线上，请直接写出AF、BE、FE的等量关系.
【答案】（1）解：根据小明的作图，如下：
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
.
（2）
【解析】（2）延长ED，使DM=DE，连接AM，MF，
∵点D为AB的中点，
AD=BD，
在△ADM和△BDE中
∴△ADM≌△BDE（SAS）
∴AM=BE，∠DBE=∠MAD，
∵∠ABC+∠DBE=180°，
∴∠ABC+∠MAD=180°，
∴MA∥BC，
∴∠C=∠MAF=90°，
∵DF⊥DE，点D是EM的中点，
∴DF垂直平分ME，
∴FE=FM，
在Rt△MAF中
MA2+AF2=MF2
∴BE2+AF2=EF2.
20．如图，已知长方形的边AD＝8，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→D→A的路径匀速运动，同时，动点N从点C出发，沿C→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒.
（1）如（图一），当运动时间为1秒时，求MN的长度；
（2）当0≤t≤4时，直接写出 AMN为直角三角形时的运动时间t的值；
（3）如（图二），当4＜t＜8时，判断 AMN的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：过点N作NR⊥AD于R.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=∠DRN=90°，
∴四边形CDRN是矩形，
∴RN=CD=4，CN=DR=1，
∵AM=2，AD=8，
∴RM=AD-AM-DR=8-2-1=5，
∵∠MRN=90°，
∴MN= .
（2）解：当0≤t≤4时，如果AM=BN，则△AMN是直角三角形，
∴2t=8-t，
∴t= ，
当t=4时，点M与D重合，点N位于BC的中点，此时△AMN是等腰直角三角形，
综上所述，当△AMN是直角三角形时，t的值为 或4.
（3）解：∵当t=4时，△AMN是等腰直角三角形，
∵点M的运动速度大于点N的运动速度，且M，N同时到达终点，即点M在点N的右侧，
∴当4＜t＜8时，△AMN是锐角三角形.
21．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为”相似等腰组”.如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”.
（1）如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕着点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等，并说明理由.
（2）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC和AE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系，并说明理由.
（3）如图4，在等边△ABC中，D是三角形内部一点，且AD＝，BD＝2，DC＝，求△ABC的面积.
【答案】（1）解：全等，理由如下：
∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠EAD﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
（2）解：DC⊥BE，DC＝BE，理由如下：
∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∵∠BAE＝∠BAC+∠EAC，∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠EBC+∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠DCB＝90°，
∴DC⊥BE
（3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，CE＝BD＝2，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝，∠AED＝60°，
∵DE2+CE2＝3+4＝7，CD2＝7，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝150°，
过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于F，故∠CEF=30°
∴CF＝CE＝1，EF＝=，
在Rt△ACF中，AC＝，
∴S△ABC＝AC2＝.
22．在△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝12，点D，E分别为BC，AC的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点F
（1）当x＝10时，求线段AD的长．
（2）x取何值时，点F与点D重合。
（3）当DF＝1时，求x2的值．
【答案】（1）解：如图1中，
∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，∵AB＝10，BD＝CD＝6，
∴AD＝ ＝ ＝8．
（2）解：如图2中，当点F与D重合时，连接DE．
∵OF垂直平分线段BE，
∴BD＝DE＝6，
∵∠ADC＝90°，AE＝EC，
∴AC＝2DE＝12，x=12时，点F与点D重合。
（3）解：①当点F在点D左侧时，作EG⊥BC于G，连接EF，DE．
∵DE=EC，EG⊥BC∴DG＝GC＝3，∵BD＝6，DF＝1，
∴BF＝5，∵OF垂直平分线段EB，∴EF＝FB＝5，
在Rt△EFG中，∵EF＝5，FG＝4，∴EG＝ ＝3，
在Rt△DEG中，DE＝ ＝3 ，
∵AC＝2DE，∴AC＝6 ，∴x2＝AC2＝72．
②当点F在点D右侧时，作EG⊥BC于G，连接EF，DE．
易知BF＝EF＝7，FG＝2，EG＝ ＝ ＝3 ，
∴DE＝ ＝3 ，∴AC＝2DE＝6 ，
∴x2＝AC2＝216．
23．
（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是 ，位置关系是
；
（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD、CD、DE之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，则线段AD的长为
【答案】（1）BD＝EC；BD⊥CE
（2）解：结论：BD2+CD2＝DE2．
理由：如图2中，连接CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2．
BD2+CD2＝DE2
（3）2
【解析】（1）结论：BD＝EC，BD⊥CE．
理由如下：如图1中，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴BD⊥CE．
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE．
（3）如图3中，作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE．
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE＝3，
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，
∴∠EDC＝90°，
∴DE＝ ＝ ＝ ，
∵∠DAE＝90°，
∴AD2+AE2＝DE2
∴AD2＝4，
∵AD＞0，
∴AD＝2．
故答案为2．
24．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N.
（1）证明：BM＝CN.
（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；
（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为 .
【答案】（1）证明：连接BD，DC，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN；
（2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），
∴∠ADM=∠ADN，
∵∠BAC=70°，
∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°，
∵∠BDM=∠CDN，
∴∠BDC=∠MDN=110°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠EDC= ∠BDC=55°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=35°，
∴∠DCB=35°.
（3）20
【解析】（3） Rt△DMA≌Rt△DNA
设 ，AB＝8，AC＝4，DE＝3，
解得
即
在 中
4DN2﹣BC2
故答案为：20.
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