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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形
专题3直角三角形培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的长为( )
A．10 B．5+5 C． 5+5 D．5
【答案】B
【解析】设AD与其垂直平分线交于G点，
∴AF=FD，
∵∠BAC=60°，AD是角平分线 ，
∴∠DAE=30°，
∴DE=AD=5，
∴AE==5，
∴△DEF的长=DE+EF+DF=AF+EF+DE= 5+5 .
故答案为：B.
2．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故答案为：A．
3．如图，点E是Rt△ABC、Rt△ABD的斜边AB的中点，AC＝BC，∠DBA＝20°，则∠DCE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【解析】∵点E是Rt△ABC、Rt△ABD的斜边AB的中点，
∴DE和CE是两三角形斜边上的中线，
∴DE=EB=EC=AB，
∴∠EDB=∠ABD=20°，∠EDC=∠ECD，
∠DEA=∠EDB+∠ABD=20°+20°=40°，
∵AC=BC，点E为AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴∠CEA=90°，
∴∠DEC=∠DEA+∠CEA=40°+90°=130°，
∴∠DCE=（180°-130°）=25°.
故答案为：A.
4．如图，△ABC中，D是AB的中点，BE⊥AC，垂足为E.若DE＝5，AE＝8，则BE的长度是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】∵BE⊥AC，D为AB的中点，
∴AB＝2DE＝10，
由勾股定理得，BE＝ ＝ ＝6.
故答案为：B.
5．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；
故答案为：A．
6．如图，在 ABC中，∠ABC的平分线BP与AC的垂直平分线DP相交于点P，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥AB交BA的延长线于点E．AB=7cm，BC=15cm，则AE的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】B
【解析】连结AP，CP，
∵AC的垂直平分线DP，
∴PA=PC，
∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PF，
在Rt△PEA和Rt△PFC中，
，
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），
∴AE=CF，
在Rt△PEB和Rt△PFB中，
，
∴Rt△PEB≌Rt△PFB（HL），
∴EB=FB，
∴2BE=BE+BF=AB+EA+BC-FC=AB+BC=7+15=22，
∴BE=11，
∴AE=BE-AB=11-7=4cm．
故答案为：B．
7．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，故③错误，
故答案为：B.
8．如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和38,则△EDF的面积为（ ）
A．6 B．12 C．4 D．8
【答案】A
【解析】【解答】
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中， ，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF=S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF=S△ADH，
即38+S=50-S，
解得S=6．
故答案为：A．
9．如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD＝AE，已知BC＝6，AB＝8，则BD+CE的最小值是（ ）
A． B．10 C．9.6 D．5+
【答案】A
【解析】过点A作AF⊥AC，并使得AF＝BC，连接EF，则∠FAC＝90°，
∴∠FAE+∠EAC＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCD＝90°，
∴∠FAE＝∠BCD，
∵AF＝CB，AE＝CD，
∴△BCD≌△FAE（SAS），
∴EF＝BD，
∴BD+CE＝EF+CE，
连接CF，即可得知CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，
∵AB＝8，BC＝6，∠ABC＝90°，
∴AF＝BC＝6，AC＝10，
∴CF＝ ＝ ，
∴BD+CE的最小值是 .
故答案为：A.
10．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7.则S△CFP﹣S△AEP的值是（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】A
【解析】∵正方形ABCD的面积为28，
∴AB2＝28，
设AE＝x，
∵AE+BE＝7，
∴BE＝7﹣x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
∴x2+（7﹣x）2＝28，
∴2x2﹣14x＝﹣21，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP＝∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE＝CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，
∴S△CFP﹣S△AEP＝S△CFP﹣S△CGM＝S梯形FPMG＝ （NG+PF） FG＝ EF FG＝ S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD﹣4S△AEB＝28﹣4× x （7﹣x）＝28﹣2x（7﹣x）＝28﹣21＝7，
则S△CFP﹣S△AEP的值是3.5；
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在中，，，作边上的垂线交于点，交的延长线于点，连接，若刚好， ．
【答案】
【解析】，
，
，
，
，，
∴△ABC≌△EFC（AAS），
，
在中
，
故答案为：．
12．如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】如图，过点作于点，
∵，，，
∴
是直角三角形
是的角平分线，
在与中
设，则
在中，
即
解得
在中
故答案为：
13．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E，F分别在边AB，AC上，将△AEF沿直线EF翻折，点A落在点P处，且点P在直线BC上.则线段CP长的取值范围是 .
【答案】
【解析】如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，
此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，
如图，当点F与点C重合时，CP的值最大，
此时CP=AC，
Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，
所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5.
故答案为：1≤CP≤5.
14．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点， 于点F，连结EF，则EF的长为 .
【答案】
【解析】 D，E分别是边BC，AC的中点，等边三角形ABC的边长为4，
为等边三角形，
则
故答案为：
15．已知：Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一个动点（其中0°＜∠BAD＜45°），以AD为直角边作Rt ADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，DE交AC于点F，过点A作AH⊥DE于点G，交BC于H，在D点的运动过程中，有下列结论：① ABD≌ ACE：②BD2+DC2＝2AD2；③BD2+HC2＝DH2；④当BD 1时，AC平分∠HAE；⑤当∠BAD＝22.5°时， ，其中正确的有 .（将所有正确结论的番号填在答题卡对应题号的横线上）
【答案】①②③④
【解析】在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，
∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE.
∴∠BAD=∠CAE.
∴△ABD≌△ACE. 故①符合题意；
在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，
△ABD≌△ACE，
故②符合题意，
如图，连接
则
等腰直角三角形ADE，
故③符合题意；
而
解得：
即
平分
故④符合题意，
如图，过
作
于
而
而
而
故⑤不符合题意；
综上：符合题意的有：①②③④.
故答案为：①②③④.
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝3 ，PQ＝ ，若点M、N分别在边AB、BC上，
（1） ．
（2）当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2= ．
【答案】（1）45°
（2）
【解析】如图，作PH⊥BQ，
∴PB2-BH2=PH2=PQ2-HQ2，
∴2-BH2=()2-(3-BH)2，
解得BH=，
∴PH2=4-2=2，
∴PH=，
∴PH=BH，
∴∠PBQ=45°，
(2)作点P关于AB的对称点P'，点Q关于BC的对称点Q'，连接P'Q'交AB于点M，交BC于N，此时四边形PQNM的周长最小，
∵∠ABP=∠ABP'，∠CBQ=∠CBQ'，
∴∠P'BQ'=2(∠ABC-∠PBQ)+∠PBQ=2∠ABC-∠PBQ=150°，
过点Q'作Q'K⊥P'B于K，
在Rt△BKQ'中，∠KBQ'=180°-150°=30°，BQ'=BQ=3，
∴KQ'=BQ'=，BK===，
在Rt△P'Q'K中，KP'=BP'+BK=2+，KQ'=，
∴P'Q'2=KP'2+KQ'2=(2+)2+()2=22+6，
∴(MP+MN+NQ)2=P'Q'2=22+6.
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）证明：如图，∵∠ABC=∠CBF=90°，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠CFA=90°-20°=70°．
18．如图，BD＝BE，∠D＝∠E，∠ABC＝∠DBE＝90°，且点A，C，E在同一条直线上．
求证：
（1）△DAB≌△ECB；
（2）作BF⊥AE于F，若AD＝3，AF＝1，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE
∴∠ABD＝∠CBE
在△DAB和△ECB中，
∵
∴△DAB≌△ECB（ASA）
（2）证明：∵△DAB≌△ECB，AD＝3
∴CE＝AD＝3，AB=BC
∵∠ABC=90°
∴△ABC为等腰直角三角形
又∵BF⊥AC，AF=1
∴CF=BF=1
∴EF＝1+3=4
∴在Rt△EFB中，BE=
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，BD平分∠ABC．动点P从点B出发，沿折线BA-AC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点D重合时，连结P、B、D三点．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AB的长为 ；
（2）当DP⊥AB时，t= ；
（3）求线段BD的长；
（4）当∠DBP与∠DPB相等时，直接写出t的值．
【答案】（1）13
（2）5
（3）解：由（2）知DC=DP，AB=13，BP=5，
设DC=DP=x，则AP=8，AD=12-x，
在Rt△APD中，AP2+PD2=AD2，即82+x2=(12-x)2，
解得：x=，即CD=，
在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，即52+()2=BD2，
∴BD=；
（4）t的值为：10或．
【解析】(1)∵∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴AB= ，
故答案为：13；
（2）∵BD平分∠ABC，DP⊥AB，DC⊥CB，
∴DC=DP．
在Rt△DCB和Rt△DPB中，
，
∴Rt△DCB≌Rt△DPB（HL）．
∴BC=BP=5．
∴t=BP÷1=5．
故答案为：5；
(4)①当点P在AB上时，
∵∠DBP=∠DPB，
∴DB=DP．
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
由（2）知：Rt△DCB≌Rt△DEB，
∴BE=BC=5．
∵DB=DP，DE⊥AB，
∴PE=BE=5．
∴PB=2BE=10．
∴t=BP÷1=10(s)；
②当点P在AC上时，
∵∠DBP=∠DPB，
∴DB=DP．
由（3）知：BD=，CD=，
∴PD=．
∴PA=AC-CD-PD=．
∴点P运动的距离为：AB+PA=．
∴t=（）÷1=(s)．
综上，t的值为：10或．
20．解答
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE.求证：△ACD≌△EBD.
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为BC的中点，DC⊥AC.求△ABC面积.
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长.
【答案】（1）证明：如图1中，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：如图2中，延长CD到T，使得DT=CD，连接BT.
由（1）可知△ADC≌△BDT，
∴AC=BT=5，∠ACD=∠T=90°，
∴CT=，
∴CD=DT=6，
∴S△ACB=S△ADC+S△CDB= AC DC+ BT CD=×5×6+×5×6=30；
（3）解：如图3中，延长AC到R，使得CR=CA，连接DR.
由（1）可知，△ACB≌△RCD，
∴AB=DR，∠A=∠R，
∵FE=FA，
∴∠A=∠AEF，
∵∠AEF=∠DER，∴∠DER=∠R，
∴DE=DR=AB，
设DE=DR=AB=x，则BF=x-2，DF=x+2，
在Rt△DBF中，BF2+BD2=DF2，
∴（x-2）2+62=（x+2）2，∴x=，∴DE=.
21．如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”。
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝ ；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．
【答案】（1）3
（2）证明：在Rt△DOA中，∠DOA=90°，
∴OD2+OA2=AD2，
同理：OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2，
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）解：连接CG、AE，设AG交CE于I，AB交CE于J，如图3所示：
∵四边形BCFG和四边形ABED都是正方形，
∴∠GBC=∠EBA=90°，AB=BE=5，BG=BC=4，
∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA，
∴∠ABG=∠EBC，
在△ABG和△EBC中，
，
∴△ABG≌△EBC（SAS），
∴∠BAG=∠BEC，
∵∠AJI=∠EJB，
∴∠EBJ=∠AIJ=90°，
∴AG⊥CE，
由（2）可得：AC2+GE2=CG2+AE2，
在Rt△CBG中，CG2=BC2+BG2，
即CG2=42+42=32，
在Rt△ABE中，AE2=BE2+AB2，
即AE2=52+52=50，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
即52=AC2+42，
∴AC2=9，
∵AC2+GE2=CG2+AE2 ，
即9+GE2=32+50，
∴GE2=73．
【解析】（1）：∵在△ABC中，∠C=90°中，BC=4，AB=5，
∴AC==3，
故答案为：3；
22．（背景介绍）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
（小试牛刀）把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S梯形ABCD＝ ，
S△EBC＝ ，
S四边形AECD＝ ，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
（知识运用）
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 米．
（知识迁移）
借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式 的最小值＝ ．
【答案】；；；；250米；17
【解析】（小试牛刀）
由图形可得
化简可得
故答案为： ， ， ， ；
（知识运用）作点 关于 的对称点 ，连接 ，如下图：
由题意可得：
，则 的最小值，即为 的最小值
由三角形三边关系可得： ，当 三点共线时
∴ 的最小值为 ， 米
故答案为 米；
（知识迁移）如下图， ， ， 、 ，点 为线段 上一点，则 ，
由上可得当 三点共线时， 距离最小，最小为 ，
故答案为
23．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．
求证：△ABD是“准直角三角形”．
（2）关于“准直角三角形”，下列说法正确的是 （填写所有正确结论的序号）
①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则△ABC是准直角三角形；
②若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；
③“准直角三角形”一定是钝角三角形．
（3）如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．
【答案】（1）证明：∵∠BDC=∠ABD+∠A，
∴∠BDC+∠CBD=∠ABD+∠A+∠CBD=90°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠A+2∠ABD=90°，
∴△ABD是“准直角三角形”.
（2）①③
（3）解：10°、20°、40°、110°
【解析】(2) ①∵2∠C+∠B=90°，∴△ABC是“准直角三角形” ，正确；
② 若∠B=20°，∠C=2∠B=40°<90°，不符合题意；
若∠B=20°，∠C=2∠A=120°，∴∠A+∠B+∠C=200°，错误；
③ 设2∠A+∠B=90°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）>90°，∴是钝角三角形，正确；
综上，正确的是 ①③ .
故答案为：①③ .
(3)如图，①当2∠A+∠APB=90°，
∵∠ABC=∠A+∠APB=50°，
∴∠A=40°，
∴∠APB=10°；
②当2∠ABP+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠APB==20°；
③当∠A+2∠APB=90°时，
∵∠ABC=∠A+∠APB=50°，
∴∠APB=40°；
④当2∠A+∠ABC=90°，
∵∠ABC=50°，
∴∠APB=180°-∠A-∠ABC=110°；
综上， 10°、20°、40°、110° .
24．如图，在 中， 是角平分线， 于点 ， 在边AC上， .
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，求证： ；
（3）若 ， ， ，直接写出 的长.
【答案】（1）证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，且 ， ，
在 和 中，
∴ ，
即 ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 于点E，
∴ ，
∴ ；
（3）
【解析】（3）
已知 ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
由（1）易证明得到 ，
∴ ，
根据（2）易证明得到 ，
设 ，
则 ， ，
∴ ， ，
由 可得，
，
∴解得 ，
∴ .
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浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形
专题3直角三角形培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的长为( )
A．10 B．5+5 C． 5+5 D．5
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第6题）
2．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图，点E是Rt△ABC、Rt△ABD的斜边AB的中点，AC＝BC，∠DBA＝20°，则∠DCE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．如图，△ABC中，D是AB的中点，BE⊥AC，垂足为E.若DE＝5，AE＝8，则BE的长度是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．下面图形能够验证勾股定理的有（ ）个
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，在 ABC中，∠ABC的平分线BP与AC的垂直平分线DP相交于点P，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥AB交BA的延长线于点E．AB=7cm，BC=15cm，则AE的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和38,则△EDF的面积为（ ）
A．6 B．12 C．4 D．8
9．如图，在Rt△ABC中，点D，E分别是边AC、AB上的两点，连接BD，CE，CD＝AE，已知BC＝6，AB＝8，则BD+CE的最小值是（ ）
A． B．10 C．9.6 D．5+
10．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7.则S△CFP﹣S△AEP的值是（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在中，，，作边上的垂线交于点，交的延长线于点，连接，若刚好， ．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
13．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E，F分别在边AB，AC上，将△AEF沿直线EF翻折，点A落在点P处，且点P在直线BC上.则线段CP长的取值范围是 .
14．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点， 于点F，连结EF，则EF的长为 .
（第14题） （第15题） （第16题）
15．已知：Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一个动点（其中0°＜∠BAD＜45°），以AD为直角边作Rt ADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，DE交AC于点F，过点A作AH⊥DE于点G，交BC于H，在D点的运动过程中，有下列结论：① ABD≌ ACE：②BD2+DC2＝2AD2；③BD2+HC2＝DH2；④当BD 1时，AC平分∠HAE；⑤当∠BAD＝22.5°时， ，其中正确的有 .（将所有正确结论的番号填在答题卡对应题号的横线上）
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝3 ，PQ＝ ，若点M、N分别在边AB、BC上，
（1） ．
（2）当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2= ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
18．如图，BD＝BE，∠D＝∠E，∠ABC＝∠DBE＝90°，且点A，C，E在同一条直线上．
求证：（1）△DAB≌△ECB；
（2）作BF⊥AE于F，若AD＝3，AF＝1，求BE的长．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，BD平分∠ABC．动点P从点B出发，沿折线BA-AC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点D重合时，连结P、B、D三点．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AB的长为 ；
（2）当DP⊥AB时，t= ；
（3）求线段BD的长；
（4）当∠DBP与∠DPB相等时，直接写出t的值．
20．解答
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE.求证：△ACD≌△EBD.
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为BC的中点，DC⊥AC.求△ABC面积.
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长.
21．如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”。
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝ ；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．
22．（背景介绍）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
（小试牛刀）把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积：
S梯形ABCD＝ ，
S△EBC＝ ，
S四边形AECD＝ ，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
（知识运用）
如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 米．
（知识迁移）
借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式 的最小值＝ ．
23．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．
求证：△ABD是“准直角三角形”．
（2）关于“准直角三角形”，下列说法正确的是 （填写所有正确结论的序号）
①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则△ABC是准直角三角形；
②若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；
③“准直角三角形”一定是钝角三角形．
（3）如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．
24．如图，在 中， 是角平分线， 于点 ， 在边AC上， .
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，求证： ；
（3）若 ， ， ，直接写出 的长.
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