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浙教版2022-2023学年九上数学第1章 二次函数 培优测试卷
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
2．已知二次函数当自变量取值在范围内时，最大值和最小值分别是（ ）
A．14，-2 B．14，7 C．7，-2 D．14，2
3．用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．米
（第3题） （第5题） （第7题） （第8题）
4．二次函数的图象过点，方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
① ；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
6．抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
7．二次函数的图象如图所示，下列结论：；②若为任意实数，则；；；若，且，则其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1.下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1.其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：①c＞0；②9a+3b+c＞0；
③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；
④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ，则a＝﹣1；
其中，正确结论的个数是（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知二次函数 的图象经过点 若自变量 取-4， ，1，3时，对应的函数值分别为 ， ， ， ，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点，，分别是，，的中点，连接，，则的最小值为 ．
（第11题） （第12题） （第15题） （第16题）
12．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．
13．已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 .
14．关于抛物线，与x轴交于A、B两点（A在B左侧），给出下列4个结论：①当抛物线的顶点在y轴的正半轴上时，；②点P在抛物线上，当符合条件（a为常数）的点有3个时，则；③当 时，y＜0，；④已知C（0，2），D（0，4），当取最小值时，.其中正确结论的序号是 .
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是 ，PD＋PC 的最小值是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，抛物线 的顶点 在线段 上，与 轴相交于 ， 两点，设点 ， 的横坐标分别为 ， ，且 .若 是-1，则 的最大值是 .
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，过抛物线的顶点作轴，交轴正半轴于点，交于点，为射线上一点，作点关于直线的对称点，交于点，连结，已知．
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）当点的纵坐标是1时，判断点是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）连结若四边形的面积是的面积的4倍，求点的坐标．
18．如图
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点点在点的左侧．
①求点和点的坐标；
②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点点，与点，不重合，试求四边形面积的最大值．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点经过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点．
（1）求抛物线的表达式及，两点的坐标；
（2）若点为抛物线的对称轴上的动点，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）若点是直线上的动点，过作轴交抛物线于点，判断是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．在平面直角坐标系中，抛物线（，，为常数）经过点，．平行四边形的顶点，的坐标分别是，，其中．
（1）当，，时，求：
①求抛物线的顶点坐标；
②求点的坐标（用含的式子表示）；
（2）对于任意的，当，的值变化时，抛物线会不同，记其中任意两条抛物线的顶点为，（与不重合），则命题“对所有的，，当时，一定不存在的情形．”是否正确？请说明理由．
21．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）.
（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值.
23．如图，抛物线 过点 ，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当 是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得 ？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由.
24．若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”.
（1）①若函数，当时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数（，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数，求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
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浙教版2022-2023学年九上数学第1章 二次函数 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
【答案】D
【解析】抛物线上有两点，，且，
，
，或或，
故答案为：D．
2．已知二次函数当自变量取值在范围内时，最大值和最小值分别是（ ）
A．14，-2 B．14，7 C．7，-2 D．14，2
【答案】A
【解析】，
抛物线开口向上，顶点坐标为（2，-2），对称轴为直线，
时，取最小值为-2，
，
时，为时的函数最大值.
故答案为：A.
3．用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF，GH也用木料）．其中AB∥EF∥GH∥CD，要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（ ）
A．6米 B．8米 C．12米 D．米
【答案】A
【解析】设AB的长为x米，则AD的长为米，
由矩形面积公式得：S矩形ABCD＝AD AB＝x×＝﹣2x2+24x＝﹣2（x﹣6）2+72，
∵48﹣4x＞0，
∴x＜12，
∴0＜x＜12，
∵﹣2＜0，
∴当x＝6时，矩形的面积有最大值.
故答案为：A.
4．二次函数的图象过点，方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】抛物线的对称轴为直线，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
所以方程的解为：，．
故答案为：B.
5．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
① ；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解析】由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故答案为：D.
6．抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线解析式变形为：，
即抛物线对称轴为，
当x=m-1时，有，
当x=m+1时，有，
设（m-1，1）为A点，（m+1，1）为B点，
即点A（m-1，1）与B（m+1，1）关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有，
∴C点坐标为，
当x=m时，有，
∴抛物线顶点坐标为，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，
由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时符合题意；
此时由图可知：，
解得，
综上所述：m的取值范围为：，
故答案为：D．
7．二次函数的图象如图所示，下列结论：；②若为任意实数，则；；；若，且，则其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】 抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，即 ，所以①正确；
抛物线对称轴为直线 ，
函数的最大值为y= ，
，即 ，所以②正确；
抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线 ，
抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧，
当 时， ，
即 ，所以③错误；
， ，
，即 ，所以④正确；
，
，
，
，
而 ，
，即 ，
，
，所以⑤正确．
综上所述，正确的有 共4个.
故答案为：C.
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1.下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1.其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确.
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误.
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
，
，
∴2a﹣c＞0，
∴③正确；
如图：
设y1＝ax2+bx+c，，
由图知，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④错误.
故答案为：C.
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：①c＞0；②9a+3b+c＞0；
③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；
④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ，则a＝﹣1；
其中，正确结论的个数是（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵a<0
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向下
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1由对称性可知，抛物线经过点（4，0）
则抛物线的大致图象如下：
由图象可知c>0，①符合题意；
当x=3时，y＝ax2+bx+c=9a+3b+c，由图象可知，9a+3b+c＞0，②符合题意；
作直线y=-1，
当y＝ax2+bx+c=-1时，x＜﹣2或x＞4
∴方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，③符合题意；
如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们的交点为A
则△APQ为等腰直角三角形
∴AP=AQ，PQ=AP
∵抛物线与直线y＝x交于P、Q两点
∴
∴=0
设P点横坐标为m，Q点横坐标为n
∴m，n是方程=0的两个根
∴m+n=，mn=
∴AP=|m-n|===
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1
∴
解得
∴AP=
∵PQ
∴×=
解得a=-1或-
∴④不符合题意
综上可知，符合题意结论有：①②③
故答案为：B．
10．已知二次函数 的图象经过点 若自变量 取-4， ，1，3时，对应的函数值分别为 ， ， ， ，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【解析】 二次函数 的图象经过点 ，
，
，
二次函数的解析式为 ，
函数的对称轴为直线 ，
不妨设 ，
，
，
A、当 ，即 时，
不一定大于 ，故此选项错误，不符合题意；
B、若 ，即 时，
则 不一定大于 ，故此选项错误，不符合题意；
C、若 ，即 时，
则 不一定小于0，故此选项错误，不符合题意；
D、若 ，即 时，
则 一定小于0，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点，，分别是，，的中点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】 点D ， E ， F 分别是BC ， BP ， PC的中点，
∴DE 和DF为△PBC的中位线，
， ，
，
当PB+PC的值最小时， DE+DF的值最小，
当 时， ，解得 ， ，则 ， ，
当 时， ，则 ，
连接AC交抛物线的对称轴于P'点，如图，
，
，
此时 的值最小，最小值为 ，
的最小值为 ．
故答案为：.
12．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．
【答案】121
【解析】当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，
∴当时，w有最大值为121，
故答案为：121．
13．已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 .
【答案】8
【解析】 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，，解得：，
∵，
∴符合题意；
综上分析可知，n的值为8.
故答案为：8.
14．关于抛物线，与x轴交于A、B两点（A在B左侧），给出下列4个结论：①当抛物线的顶点在y轴的正半轴上时，；②点P在抛物线上，当符合条件（a为常数）的点有3个时，则；③当 时，y＜0，；④已知C（0，2），D（0，4），当取最小值时，.其中正确结论的序号是 .
【答案】②④
【解析】① 抛物线的顶点在y轴的正半轴上，要，且，
∵m无解，故①错误；
②∵
，
∴顶点的纵坐标为，
当时，，
解得，，
∴，，
则，
∵抛物线上有一个动点P，满足的点有3个时，
∴点P是抛物线的顶点时满足条件，
此时，故②正确；
③∵，，，，
∴由数形结合可知： ，
解得：，故③错误；
④如图，作点C关于点O的对称点E，由②，将AB平移到EF，连接DF交x轴于G，
∵，
显然当D，B，F共线时，
即点B运动到点G时，取得最小值，
有DF解析式：y=-6x+4可知G点坐标（2/3,0）
∵，这时点B和点G重合，
∴，故④正确；
综上所述，正确结论的序号是②④，
故答案为：②④.
15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是 ，PD＋PC 的最小值是 ．
【答案】（3，0）；4
【解析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），C（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝1-（-3）=4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∵∠PCJ=45°，
∴∠CPJ=90°-∠PCJ=45°，
∴PJ=JC，
根据勾股定理
∴，
∴，
∵，
∴，
∴PD+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故答案为： （3，0），4．
16．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，抛物线 的顶点 在线段 上，与 轴相交于 ， 两点，设点 ， 的横坐标分别为 ， ，且 .若 是-1，则 的最大值是 .
【答案】13
【解析】解： ∵点A、B的坐标分别为（ 2， 2）、（6， 2），抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点P在线段AB上，
∴当点P的坐标为（ 2， 2）时，x2最小，
当点P的坐标为（6， 2）时，x2最大，此时对称轴为直线x＝6，
∵x1是 1，
∴，
∴x2＝13，
故答案为：13．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，过抛物线的顶点作轴，交轴正半轴于点，交于点，为射线上一点，作点关于直线的对称点，交于点，连结，已知．
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）当点的纵坐标是1时，判断点是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）连结若四边形的面积是的面积的4倍，求点的坐标．
【答案】（1）证明：是对称轴，；
，
，
，
抛物线与轴交点为、；与轴交点为，
，
，
是等腰直角三角形．
（2）解：点不在抛物线上，理由如下：
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点为，
由题可知点为，
，
由（1）得是等腰直角三角形．
，
点与点关于直线对称，
直线是线段的垂直平分线，
，，
，
坐标为，
当时，抛物线，
故点不在抛物线上
（3）解：由可知是等腰直角三角形，，设点坐标为，
点坐标为，
抛物线的顶点为，
，
，
，
，
若四边形的面积是的面积的倍，则，
，
整理得：，
解得：点与重合，舍去，，
故点坐标为．
18．如图
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点点在点的左侧．
①求点和点的坐标；
②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点点，与点，不重合，试求四边形面积的最大值．
【答案】（1）解：将点 和点 代入 ，
，
解得 ，
；
（2）解： ，
（3）解：由题意可得，抛物线 的解析式为 ，
①联立方程组 ，
解得 或 ，
或 ；
②设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
过点 作 轴交 于点 ，过点 作 轴交于点 ，
设 ， ，
则 ， ，
，
，
， ，
当 时， 有最大值4，
当 时， 有最大值2，
，
当 最大时，四边形 面积的最大值为12．
【解析】（2） ，
抛物线的顶点 ，
顶点 关于原点的对称点为 ，
抛物线 的解析式为 ，
；
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点经过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点．
（1）求抛物线的表达式及，两点的坐标；
（2）若点为抛物线的对称轴上的动点，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）若点是直线上的动点，过作轴交抛物线于点，判断是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：点在抛物线上，
，
，
．
令，得
解得：，，
点的坐标为，
令，则，
点的坐标为
（2）解：如图，
由，
可得对称轴为：，
的边是定长，
当的值最小时，的周长最小．
点关于的对称点为点，
当点是与直线的交点时，的值最小．
直线经过点，，
，解得，
直线：，
令，得，
当的周长最小时，点的坐标为；
（3）解：存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
，
要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则即可，
，
，
点在直线上，
可设点的坐标为，则点的坐标为，
，
即，
当时，
解得，
此时点的坐标为：或，
当时，
解得舍去，
综上所述，存在点使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为：或
20．在平面直角坐标系中，抛物线（，，为常数）经过点，．平行四边形的顶点，的坐标分别是，，其中．
（1）当，，时，求：
①求抛物线的顶点坐标；
②求点的坐标（用含的式子表示）；
（2）对于任意的，当，的值变化时，抛物线会不同，记其中任意两条抛物线的顶点为，（与不重合），则命题“对所有的，，当时，一定不存在的情形．”是否正确？请说明理由．
【答案】（1）解：①∵，，，
∴抛物线=x2-2x+3=(x-1)2+2，
∴抛物线的顶点坐标为(1，2)；
②∵，
∴D(1，0)
∵A(b，0)，
∴AD=1-b，
∵平行四边形，
∴BC=AD=1-b，BCAD，
∵A(b，0)，D(m，0)，
∴BCx轴，
∵点，在抛物线上，
∴点，关于抛物线对称轴x=1对称，
∴设点B横坐标为p，则点C横坐标为(2-p)，
∴BC=2-P-P=2-2P=1-b，
∴p=，
当x=时，y=(x-1)2+2=，
∴B(，)．
（2）解：命题“对所有的a，b，当ab≥1时，一定不存在ABP1P2的情形”，正确，理由如下：
因为对于任意的k（0所以直线P1P2的解析式为kx，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BCAD，AD=BC，
因为A、D的坐标为(b，0)，(m，0)，且m>b，
所以BCx轴，BC=m-b，
因为抛物线y=a(x-m)2+km的对称轴是直线x=m，且抛物线经过B、C两点，
所以点，关于抛物线对称轴x=m对称，
∴B(，)，
设直线AB解析式为y=k0x+b0，把A(b，0)，B(，)代入，得
，
解得：，
当k0=k时，可得方程=k，
化简得：am2-2amb+ab2+2km+2kb=0，
因为a≠0，整理为关于m的一元二次方程为am2-(2ab-2k)m+ab2+2kb=0，
此时Δ=4k2-16abk=4k(k-4ab)，
因为ab≥1，
所以4ab≥4，
因为0所以4k>0，4ab>k，
所以k-4ab<0，
所以4k(k-4ab)<0，即Δ<0，
所以关于m的一元二次方程am2-(2ab-2k)m+ab2+2kb=0无实数解，
即对所有的a，b，当ab≥1时，k0=k始终不成立，
所以对所有的a，b，当ab≥1时，一定不存在ABP1P2的情形．
21．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标．
【答案】（1）解：将A（ 1，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴
（2）解：令y＝0，则，
解得x＝ 1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴，
∴OD＝4，
∴D（0， 4），
设直线BD的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x 4，
联立方程组，
解得或，
∴P（ 3， 7）；
（3）解：如图1，当在第一象限时，
设直线BC的解析式为，
，
解得，
∴，
设E（t，），
∴OE＝t，EH＝，
∵D（0， 4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线与直线BP相交所成锐角为45°，
∴，
由折叠可知，，，
在中，，
∴，
∴
在Rt△BHE中，，
解得，
∵0≤t≤4，
∴t＝，
∴；
如图2，当在第二象限，时，
∵∠ABP＝45°，
∴轴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠可知，
∴平行四边形是菱形，
∴BE＝OB，
∴，
解得或，
∵0≤t≤4，
∴，
∴；
综上所述：的坐标为或．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）.
（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值.
【答案】（1）解： 二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设二次函数为：
把C（0，﹣3）代入抛物线可得：
解得：
∴抛物线为：
（2）解：如图，由
可得抛物线的对称轴为：
设 而A（﹣1，0），C（0，-3），
当时，，
解得 即
当时，
解得： 即
当时，
整理得：
解得：
综上：E的坐标为：或或或
（3）解：如图，连结AD，记AD的中点为H，由
则P在以H为圆心，HA为半径的圆H上，不与A，D重合，
连结BH，交圆H于P，则PB最短，
即BP的最小值为：
23．如图，抛物线 过点 ，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当 是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得 ？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：根据题意，得
，
解得 ，
抛物线解析式为：
（2）解：由（1）得 ，
点 ，且点 ，
.
∵当 是以BC为底边的等腰三角形
∴PC=PB，
∵OP=OP，
∴ ，
∴ ，
设抛物线的对称轴与 轴交于H点，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线对称轴 ，
∴ ，
∴ ，
.
点P坐标为 .
（3）解：存在.
理由如下：过点M作 轴，交BC于点E，交x轴于点F.
设 ，则 ，
设直线BC的解析式为： ，依题意，得：
，
解得 ，
直线BC的解析式为： ，
当 时， ，
点E的坐标为 ，
∵点M在第一象限内，且在BC的上方，
，
，
.
∵ ，
，
解得
24．若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”.
（1）①若函数，当时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数（，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数，求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：①当时，则，即，
，，随的增大而增大，
，
②若函数，当时，，
，
，
当时，则，
，
综上所述，时，，时，
（2）解：对于函数，
，，函数在第一象限内，随的增大而减小，
，
解得，
当时，
，
，
∵当时，随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时取得最大值，
最大值为
（3）解：对于函数，
，抛物线开口向下，
时，随的增大而增大，
时，随的增大而减小，
当时，函数y的最大值等于，
在时，
①当时，即时，，，
，
的最小值为（当时），
若，
解得，
但，故不合题意，故舍去；
②当时，即时，，，
，
的最小值为（当时），
若，
解得，
但，故不合题意，故舍去
③当时，即时，，
i)当时，即时
对称轴为，，抛物线开口向上，在上，
当2时，有最小值，
解得
i i)当 时，即时，，
，
，
对称轴为，，抛物线开口向上，在上，
当2时，有最小值，
解得
综上所述，时，存在
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