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浙教版2022-2023学年九上数学第1章 二次函数 培优测试卷
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知，，是二次函数图象上三点，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．如图，平面直角坐标系xOy中，点A．B，C．D都在边长为1的小正方形网格的格点上，过点M（1，﹣2）的抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）可能还经过（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
（第3题） （第6题）
4．二次函数的图象在这一段位于轴的下方，在这一段位于轴的上方，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
5．在同一直角坐标系中，当时，与的图象大致是( )
A． B． C． D．
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知二次函数下列结论正确是（ ）
①已知点，点在二次函数的图象上，则；②该图象一定过定点和；③直线与抛物线一定存在两个交点；④当时，的最小值是，则；
A．①④ B．②① C．②④ D．①②③④
8．已知函数y＝﹣x2+2ax，当x≤2时，函数值随x增大而增大，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1、x2相应的函数值y1、y2总满足|y1﹣y2|≤16，则实数a的取值范围是（ ）
A．2≤a≤5 B．﹣3≤a≤5 C．a≥2 D．2≤a≤3
9．二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… -1 0 1 2 …
… 2 2 …
且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
10．已知二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y=mx+n（m≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，（ ）
A．若a<0，m<0，则x1+x2>2h B．若a>0，m<0，则x1+x2>2h
C．若x1+x2>2h， 则a>0，m>0 D．若x1+x2<2h，则a>0，m<0
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．抛物线为常数的部分图象如图所示，设，则的取值范围是 ．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形．则点的坐标是 ．
13．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为 ．
14．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距0点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m．
（第15题） （第16题 图1） （第16题 图2）
15．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 ， 为同一抛物线的一部分， ， 都与水平地面平行，当杯子装满水后 ， ，液体高度 ，将杯子绕 倾斜倒出部分液体，当倾斜角 时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ，液面 到点 所在水平地面的距离是 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则面积的最小值为 ．
三、解答题（本题有8小题，每题112分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点点在点的左侧，且点坐标为，直线的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及相应点的坐标；
（3）将抛物线向左平移个单位，已知点为抛物线的对称轴上一动点，点为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形的面积最大时，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．定义：若函数与轴的交点，的横坐标为，，与轴的交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足或，则称该函数为“函数”如图，函数与轴的一个交点的横坐标为-3，与轴交点的纵坐标为-3，满足，则称为“函数”．
（1）判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）请探究“函数”表达式中的与之间的关系；
（3）若是“函数”，且为锐角，求的取值范围．
19．已知：抛物线：．
（1）若顶点坐标为，求和的值用含的代数式表示；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）若不论为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求，，的值；此时，若时，抛物线的最小值为，求的值．
20．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．
（1）在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
21．已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）如图 ，点 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点 在第一象限内，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，作 轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，当四边形 的周长最大时，求点 的坐标；
（3）如图 ，点 是抛物线的顶点，将 沿 翻折得到 ， 与 轴交于点 ，在对称轴上找一点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点 的坐标．
22．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
23．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是 （可省略单位），水池2面积的最大值是 ；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 ，此时的值是 ；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ；
（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
（5）假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．
24．已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.
（1）求点A，点B的坐标；
（2）如图，过点A的直线 与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接 ，设点P的纵坐标为m，当 时，求m的值；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线 与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围.
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浙教版2022-2023学年九上数学第1章 二次函数 培优测试卷（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知，，是二次函数图象上三点，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，
而到直线的距离最近，到直线的距离最远，
．
故答案为：C.
2．已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】【解答】 解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y=kx+3(k为常数，k≠0)上，
∴b=ak+3，c=4k+3，
∴ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+）2-，
∴当k＜0时，ab取最大值为-，
∵ab的最大值为9，
∴-=9，解得k=-，
∴c=4×（-）+3，
∴c=2.
故答案为：C.
3．如图，平面直角坐标系xOy中，点A．B，C．D都在边长为1的小正方形网格的格点上，过点M（1，﹣2）的抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）可能还经过（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【解析】 ∵抛物线过点M(1，－2)，
∴m+2m+n=-2，
即3m+n=-2．
若抛物线过点A (2，-3)，则4m+4m+n=-3．则，解得m=-0.2与m>0矛盾． A不符合题意；
若抛物线过点B (-1， 0)，则m-2m+n=0．则，解得m=-0.5与m>0矛盾，B不符合题意；
若抛物线过点C(-2，-1)，则4m-4m+n=-1．则，解得与m>0矛盾，C不符合题意；
若抛物线过点D(-4， 1)，则16m-8m+n=1．则，解得．D符合题意．
故答案为： D．
4．二次函数的图象在这一段位于轴的下方，在这一段位于轴的上方，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】A
【解析】抛物线的对称轴为直线，
而抛物线在这一段位于轴的上方，
抛物线在这一段位于轴的上方，
抛物线在这一段位于轴的下方，
抛物线过点（2，0），
把（2，0）代入得：，
即，
解得．
故答案为：A.
5．在同一直角坐标系中，当时，与的图象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，或，，
当，时，函数的图象开口向上，顶点在原点，函数的图象经过第一、二、三象限，故选项A、B错误，不符合题意；
当，时，函数的图象开口向下，顶点在原点，函数的图象经过第二、三、四象限，故选项C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意；
故答案为：D．
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵对称轴，
∴b=-3a，
∴3a+b=0，①符合题意；
∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，
∴y1∵经过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∵对称轴，
∴，
∴，
∴3c=4b，
∴4b-3c=0，故③不符合题意；
∵对称轴，
∴点（0，c）的对称点为（3，c），
∵开口向上，
∴y≤c时，0≤x≤3．故④符合题意；
故答案为：C．
7．已知二次函数下列结论正确是（ ）
①已知点，点在二次函数的图象上，则；②该图象一定过定点和；③直线与抛物线一定存在两个交点；④当时，的最小值是，则；
A．①④ B．②① C．②④ D．①②③④
【答案】B
【解析】二次函数开口向上，对称轴为 ，所以点N关于对称轴的对称点为 ，
，在对称轴右边， y随x的增加而增加，
，
，故①错误；
当 时， ，
，
解得， 或 ，
该图像一定经过定点 ， ，故②正确；
由题意可得方程： ，
整理可得： ，
，
直线 与抛物线一定存在两个交点，故③正确；
当 时， y随x的增加而减少，
当 时，y有最小值为a ，
即 ，
解得 ，故④错误；
综上，正确的选项有②③.
故答案为：B.
8．已知函数y＝﹣x2+2ax，当x≤2时，函数值随x增大而增大，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1、x2相应的函数值y1、y2总满足|y1﹣y2|≤16，则实数a的取值范围是（ ）
A．2≤a≤5 B．﹣3≤a≤5 C．a≥2 D．2≤a≤3
【答案】A
【解析】函数的对称轴为x＝a，而x≤2时，函数值随x增大而减小，故a≥2；
∵1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，
∴x＝a时，开口向下，函数的最大值＝a2，
故函数的最大值在x＝1和x＝a+1中产生，
则x＝1，x＝a+1那个距x＝a远，函数就在那一边取得最大值，
∵a≥2，
∴a﹣1≥1，而a+1﹣a＝1，
∴1距离a 更远，
∴x＝1时，函数取得最小值为：﹣1+2a，
∵对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤16，
只需最大值与最小值的差小于等于16即可，
∴，a2﹣（﹣1+2a）≤16，
（a﹣1）2＝16，
解得﹣4≤a﹣1≤4，而a≥2，
∴2≤a≤5，
故答案为：A．
9．二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… -1 0 1 2 …
… 2 2 …
且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②；③关于的方程的负实数根在和0之间；④和在该二次函数的图象上，则当实数时，．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【解析】①将点（0，2）与点（1，2）代入解析式得：，则a、b互为相反数，∴，故①不符合题意；
②∵a、b互为相反数，
∴将x=-1与x=2代入解析式得：，
则：，
∵当时，对应的函数值，
∴得：，即：，
∴.
故②符合题意；
③∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，
∴方程的正实数根在1和 之间，
∵抛物线过点（0，2）与点（1，2），
∴结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线，
∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间.
故③符合题意；
④∵函数过点（1，2）且当时，对应的函数值，
∴可以判断抛物线开口向下，
∵在抛物线的右侧时，恒在抛物线的右侧，此时恒成立，
∴的横坐标大于等于对称轴对应的x，即，解得时；
∵当与在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当的横坐标到对称轴的距离小于到对称轴的距离时满足，即当时，满足，
∴当时，解得，即与在抛物线的异侧时满足，，
∴综上当时，.
故④不符合题意.
故答案为：B.
10．已知二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y=mx+n（m≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，（ ）
A．若a<0，m<0，则x1+x2>2h B．若a>0，m<0，则x1+x2>2h
C．若x1+x2>2h， 则a>0，m>0 D．若x1+x2<2h，则a>0，m<0
【答案】A
【解析】∵y=a（x-h）2+k（a≠0）与y=mx+n（m≠0）交于（x1，y1）和（x2，y2） ，
∴y=ax2-2ahx+ah2+k=mx+n，
整理得：ax2-（2ah+m）x+ah2+k-n=0，
∴x1+x2=，即x1+x2=2h+，
A、若a＜0，m＜0，
∴＞0，
∴x1+x2=2h+＞2h，
∴A选项符合题意；
B、若a＞0，m＜0，
∴＜0，
∴x1+x2=2h+＜2h，
∴B选项不符合题意；
C、若x1+x2>2h，
∴2h+＞2h，
∴＞0，
∴a和m同号，
∴C选项不符合题意；
D、若x1+x2＜2h，
∴2h+＜2h，
∴＜0，
∴a和m异号，
∴D选项不符合题意.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．抛物线为常数的部分图象如图所示，设，则的取值范围是 ．
【答案】-6＜m＜6
【解析】抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
，
抛物线经过，
，
抛物线经过，
，
，，
，
，
当时，，
，
，
.
故答案为：-6＜m＜6.
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形．则点的坐标是 ．
【答案】，
【解析】∵ 抛物线与轴正半轴交于点，
∴，
解之：，
∴此函数解析式为，
∵正方形OABC是正方形，
∴OA=OC=3，点D的纵坐标为3，
当y=3时
解之：（舍去），
∴正方形BDEF的边长为，
点E的横坐标为，
∴，
∴点E的坐标为.
故答案为：.
13．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为 ．
【答案】（0，1）
【解析】∵抛物线交轴于、两点，交轴于点，
∴当时，；
当时，
∴
∴OA=OC=5
∴
∵是抛物线上的点
∴，解得
当时，与A重合；
当时，；
∴CD∥x轴，
∴
设点关于直线的对称点M，则
∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形
∴DC=CM=6
∴M点坐标为（0，1）
故答案为：（0，1）．
14．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距0点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m．
【答案】8
【解析】设水柱落点距O点2.5m的抛物线的解析式为y1=a（x-h）2+k，
∴，
∴5ah-6.25a=2.5，
∵水柱落点距O点3m的抛物线的解析式为y2=a（x-h）2+k+1.5，
∴，
∴6ah-9a=4，
∴a=-，8ah=-，
设水柱落点距O点4m的抛物线的解析式为y3=a（x-h）2+k+k3，
∴a（4-h）2+k+k3=0，
∴16a-8ah+ah2+k+k3=0，
∴16×（-）-（-）+2.5+k3=0，
∴k3=5.5，
∴2.5+5.5=8，
∴喷头高8m时，水柱落点距O点4m．
故答案为：8.
15．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 ， 为同一抛物线的一部分， ， 都与水平地面平行，当杯子装满水后 ， ，液体高度 ，将杯子绕 倾斜倒出部分液体，当倾斜角 时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ，液面 到点 所在水平地面的距离是 ．
图1 图2
【答案】；
【解析】如图建立平面直角坐标系，作∠ABE=45°，交抛物线与点E，交x轴于点F，过B作BM⊥CD于点M，
根据题意知：A（-2，-12），B（2，12），C（4，0），D（-4，0），M（2，0），BM=12，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=-x2+16，
∵∠ABE=45°，∠ABM=90°，
∴∠FBM=45°，
∵∠BMF=90°，
∴∠BFM=∠FBM=45°，
∴FM=BM=12，
∴BF=12，
∵M（2，0），
∴F（-10，0），
设BF的解析式为y=kx+b1，
∴，
∴，
∴BF的解析式为y=x+10，
联立方程组，
解得，，
∴E（-3，7），
∵B（2，12），C（4，0），
∴BE=，CE=，
∴EF=BF-BE=12-5=7，
∵C（4，0），F（-10，0），
∴CF=14，
∵（7）2+（7）2=142，
∴EF2+CE2=CF2，
∴∠FEC=90°，
∴点C到BE的距离为CE=7.
故答案为5；7.
16．如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDE=90°，
设，则，
过点D作 PQ∥EF交CE于Q，GF于P，
∵四边形CEFG是正方形，
∴∠QEF=∠EFP=90°，EF=EC=FG，
∴∠EQP=90°，
∴四边形EQPF是矩形，
∴EC=EF=PQ，
∴
，
，
当时，面积的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点点在点的左侧，且点坐标为，直线的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作，交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及相应点的坐标；
（3）将抛物线向左平移个单位，已知点为抛物线的对称轴上一动点，点为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形的面积最大时，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
直线的解析式为，令，则，令，则，
故点、的坐标分别为、；
则，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：
（2）解：如图，过点 、 分别作 轴的平行线分别交 于点 ，交 于点 ，
，则设直线 的表达式为： ，
联立 并解得： 或 与点 重合 ，故点 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
当 时， ，即点 ，故BH ，
设点 ，则点 ，
则四边形 的面积 ，
，故 有最大值，当 时， 的最大值为 ，此时点 ；
（3）解： 或 或
【解析】（3）存在，理由：
，将抛物线向左平移 个单位，
则新抛物线的表达式为： ，
点 、 的坐标分别为 、 ；设点 ，点 ， ；
①当AE是平行四边形的边时，
点A向右平移 个单位向上平移 个单位得到E ，同样点 向右平移 个单位向上平移 个单位得到 ，
即 ，
则 或 ，
故点N的坐标为 或 ；
②当AE是平行四边形的对角线时，
由中点公式得： ，解得： ，
，
故点 的坐标 ；
18．定义：若函数与轴的交点，的横坐标为，，与轴的交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足或，则称该函数为“函数”如图，函数与轴的一个交点的横坐标为-3，与轴交点的纵坐标为-3，满足，则称为“函数”．
（1）判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）请探究“函数”表达式中的与之间的关系；
（3）若是“函数”，且为锐角，求的取值范围．
【答案】（1）解： 是“ 函数”，理由如下：
当 时， ；当 时， 或 ，
与 轴一个交点的横坐标和与 轴交点的纵坐标都是 ，
是“ 函数”；
（2）解：当 时， ，即与 轴交点的纵坐标为 ，
是“ 函数”，
时， ，即 在 上，
代入得： ，
，
而 ，
；
（3）解：①如图1，当 在 轴负半轴上时，
由（2）可得： ，即 ，
显然当 时， ，
即与 轴的一个交点为 ，
则 ，
只需满足 ，即 ，
；
②如图2，当 在 轴正半轴上，且 与 不重合时，
显然都满足 为锐角，
，且 ；
③当 与原点重合时，不符合题意，
综上所述， 或 ，且 ．
19．已知：抛物线：．
（1）若顶点坐标为，求和的值用含的代数式表示；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）若不论为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求，，的值；此时，若时，抛物线的最小值为，求的值．
【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为，
，
，
（2）解：，，，
，
抛物线与轴有两个交点，
，
，
，
函数的最大值为-1；
（3）解：直线与抛物线有且只有一个公共点，
方程组只有一组解，
有两个相等的实数根，
，
，
整理得：，
不论为任何实数，恒成立，
，
，，．
此时，抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
当时，抛物线的最小值为，
分三种情况：或或，
①当时，，当时，随着的增大而减小，则当时，的最小值为，
，
解得：或，均不符合题意，舍去；
②当时，当时，抛物线的最小值为，
；
③当时，随着的增大而增大，则当时，的最小值为，
，
解得：或，
，
，
综上所述，若时，抛物线的最小值为，的值为0或．
20．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”．
（1）在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【答案】（1）②③
（2）解：∵y＝ax 3a＋1＝a（x 3）＋1，
∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2， 2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax 3a＋1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，
2a-3a+1=-2
解之：a＝3，
∴a=3时此时图象的“2阶方点”有且只有一个；
当直线经过点D时，
2a-3a+1=2
解之：a=-1
∴a＝-1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
∴a的值为3或-1.
（3）解：在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象的“n阶方点”一定存在，
当n＞0时，A（n，n），B（n， n），C（ n， n），D（ n，n），
当抛物线经过点D时，
n=（-n-n）2-2n+1
解之：n1＝ 1（舍），；
当抛物线经过点B时，
-n=（n-n）2-2n+1
解之：n＝1；
∴≤n≤1时，二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象有“n阶方点”；
综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝ （x n）2 2n＋1图象的“n阶方点”一定存在.
【解析】（1）解：①（ 2， ）到两坐标轴的距离分别是2和， ∴2＞1，＜1 ∴（ 2， ）不是反比例函数图象的“1阶方点”； ②（ 1， 1）到两坐标轴的距离分别是1和1， ∴1≤1，1≤1 ∴（ 1， 1）是反比例函数图象的“1阶方点”； ③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1和1， ∴1≤1，1≤1， ∴（1，1）是反比例函数图象的“1阶方点”； 故答案为：②③.
21．已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）如图 ，点 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点 在第一象限内，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，作 轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴，垂足为点 ，当四边形 的周长最大时，求点 的坐标；
（3）如图 ，点 是抛物线的顶点，将 沿 翻折得到 ， 与 轴交于点 ，在对称轴上找一点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点 的坐标．
【答案】（1）解：把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ．
这个抛物线的解析式为： ，
令 ，则 ，解得 ， ，
，
；
（2）解： 抛物线的解析式为： ，
对称轴为 ，
设 ，
轴，
，
过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，作 轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴，
四边形 是矩形，
四边形 的周长 ，
当 时，四边形 的周长最大，
当四边形 的周长最大时，点 的坐标为 ；
（3）解：过点 作 对称轴于 ，过点 作 轴于 ，
，
由翻折得 ， ，
， ．
，
，
对称轴于 ，
轴，
，
，
，
≌ ，
， ，
抛物线的解析式为： ，
对称轴为 ， ，
， ，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
设 ，
，
，
，
分两种情况：
当 时， ，
，解得 ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
，解得 ，
点 的坐标为 ．
综上，所有符合条件的点 的坐标为 ， ．
22．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF ：
（3）是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为，
将A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）代入，
得，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：四边形OBDC是正方形，
，
，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
当点M在线段BD的延长线上时，此时，
，
设，
设直线OM的解析式为，
，
解得，
直线OM的解析式为，
设直线BC的解析式为，
把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，
解得，
直线BC的解析式为，
令，解得，则，
，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
解得或或，
点M为射线BD上一动点，
，
，
，
当时，解得或，
，
.
当点M在线段BD上时，此时，，
，
，
，
由（2）得，
四边形OBDC是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上，ME的长为或.
23．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是 （可省略单位），水池2面积的最大值是 ；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 ，此时的值是 ；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ；
（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
（5）假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．
【答案】（1）3＜x＜6；9
（2）C，E；1，4
（3）0＜x＜1或4＜x＜6
（4）解：在范围内，两个水池面积差，
∵
∴函数有最大值，
∵
∴当时，函数有最大值，为
即，当时，面积最大值为
（5）解：∵水池3与水池2的面积相等，
∴，
整理得，
∵有唯一值，
∴
解得，
【解析】(1)∵
∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，
∵水池2的面积随长度的增加而减小，
∴长度的取值范围是；水池2面积的最大值是9；
故答案为：；9；
(2)由图象得，两函数交于点C，E，
所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组
解得，
∴x的值为1或4，
故答案为：C，E；1或4
(3)由（3）知，C（1，5），E（4，8），
又直线在抛物线上方时，或，
所以，水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或，
故答案为或；
24．已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）.
（1）求点A，点B的坐标；
（2）如图，过点A的直线 与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接 ，设点P的纵坐标为m，当 时，求m的值；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线 与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围.
【答案】（1）解：抛物线解析式 ，令 ，
可得 ，
解得 ， ，
故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）
（2）解：对于抛物线 ，其对称轴为 ，
∵点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m，
∴P（1，m），
将直线l与抛物线解析式联立，可得
，可解得 或 ，
故点C坐标为（4，-5），
∴ ，
，
当 时，可得 ，
解得 ；
（3）解： 或 或
【解析】（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，
结合（1），可知M（0，5）、N（4，5），
令 ，整理可得 ，
其判别式为 ，
①当 时，解得 ，此时抛物线 与线段MN只有一个交点；
②当 即时，解方程 ，
可得 ，
即 ， ，
若 时，如图1，
由 ，可解得 ，
此时有 ，且 ，
解得 ；
②当 时，如图2，
由 ，可解得 ，
此时有 ，且 ，
解得 ；
综上所述，当抛物线 与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为 或 或 .
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