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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质
专题1垂径定理
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，OB＝4，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．4
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．3 D．5
3．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
4．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
5．如图，的直径，CD是的弦，，垂足为P，且，则CD的长为（ ）．
A．3 B．4 C． D．
6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C．2 D．2
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
7．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是( )
A．1 B． C． D．
8．如图，以点P为圆心，以为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为
A． B．（4，2） C．（4，4） D．
9．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝ ，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
（第10题） （第11题） （第12题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深1寸，锯道尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.
12．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值为 ．
13．如图，M是CD的中点，EM⊥CD，CD=4，EM=6，则所在圆的半径是 ．
14．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM最大值是 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕 的长为 cm．
16．如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．
18．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．
19．如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CFBD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．
20．如图，在△ABC中AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长BC交⊙A于点D，试求CD的长．
21．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.
22．如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
23．如图， 内接于 ， 是 上的一点，连接 ， ， ．
（1）求证：
（2）若 ， ，求 的半径．
24．如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°.
（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；
（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；
（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变）， 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围.
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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质
专题1垂径定理
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，OB＝4，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．4
【答案】D
【解析】∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，∴AB=2BE．∵CE=2，OB=4，∴OE=4﹣2=2，∴BE= ==，∴AB=．
故答案为：D．
2．如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【解析】设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，
∴AE=AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，
即42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5，
故答案为：D．
3．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【解析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为 M、N
由题意知
，
，
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB
由题意知
，
，
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故答案为：D.
4．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【解析】连接OC，如图
∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
5．如图，的直径，CD是的弦，，垂足为P，且，则CD的长为（ ）．
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】∵⊙O的直径AB=6，
∴OB=AB=3，
∵BP：AP=1：5，
∴BP=AB=×6=1，
∴OP=OB-BP=3-1=2，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CD=2PC，∠OPC=90°，
∴PC=，
∴CD=2PC=2．
故答案为：C．
6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C．2 D．2
【答案】D
【解析】连接BE，
∵AE为⊙O直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AC＝BC＝AB＝＝4，
∵AO＝OE，
∴BE＝2OC，
∵OC＝3，
∴BE＝6，
在Rt△CBE中，EC＝==.
故答案为：D．
7．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是( )
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，
分别连接AO，OB，OC，
∴OA=OB=OC=2，
∵将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形 ，
∴∠1=∠2=30°，
又∵OC⊥AD与点D，
∴∠3=30°，
∴OD=DC=1，AD=，
∴一个小的等腰直角三角形的直角边为AE=-1，
∴阴影部分的面积为：8××（-1） =4×（3-2+1）=16-8.
故答案为：C.
8．如图，以点P为圆心，以为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为
A． B．（4，2） C．（4，4） D．
【答案】C
【解析】过点P作PC⊥AB于点C；
即点C为AB的中点，
又点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），
故点C（4，0）
在Rt△PAC中，PA=，AC=2，
由勾股定理得，PC=
即P（4，4）．
故选C．
9．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝ ，BC＝1，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F，连接BE、EC.
∵∠AOD＝∠BOE，
∴ ，
∴AD＝BE＝ ，
∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，
∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，
∴∠CBE＝ （360°﹣90°）＝135°，
∴∠EBF＝45°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF＝1，
在Rt△ECF中，EC＝ ＝ ，
∵△OCE是等腰直角三角形，
∴OC＝ .
故答案为：C.
10．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝ ，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴OG＝ ，
∵OG⊥AD，
∴AG＝ ，
∴AD＝2AG＝ ，
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深1寸，锯道尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为 寸.
【答案】26
【解析】如图，设的半径为，过O作OD⊥AB于D，延长OD与交于E，连接AO，
在Rt△AOD中，寸， ，，
由勾股定理可得，即，
解得，
∴该圆材的直径为26寸，
故答案为26.
12．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的动点，则线段OP长的最小值为 ．
【答案】6
【解析】过O点作OH⊥AB于点H，连接OB，如图，
∴AH=BH=AB=16=8，
在Rt△BOH中，OH=，
∴线段OP长的最小值为6，
故答案为：6.
13．如图，M是CD的中点，EM⊥CD，CD=4，EM=6，则所在圆的半径是 ．
【答案】
【解析】如图，连接OC，
∵M是CD的中点，CD=4，
∴ ，
∵EM⊥CD，
∴EM过 的圆心O，
设 的半径为r，则OC=r，OM=EM-OE=6-r，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
即所在圆的半径是．
故答案为：
14．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM最大值是 ．
【答案】2.5
【解析】当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，
∵CD∥AB，CP⊥CD，
∴CP⊥AB
∵点M是CD的中点，OM过点O
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM=OC，
OC=AB=2.5
∴PM=2.5.
故答案为：2.5
15．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕 的长为 cm．
【答案】
【解析】作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得：OD= OA=1cm，
再根据勾股定理得：AD= cm，
根据垂径定理得：AB=2 cm．
故答案为： ．
16．如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是 ．
【答案】
【解析】如图，连接AC，OC．
∵C是半圆的三等分点，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
作△AOC的外接圆⊙T，连接TA＝TC，TN，TB．
∵OM⊥PC，
∴CM＝PM，
∴NC＝NP，
∴∠NPC＝∠NCP＝∠AOC＝30°，
∴∠CNM＝60°，
∴∠CNO＝120°，
∵∠CNO＋∠OAC＝180°，
∴点N在⊙T上，运动轨迹是，
过点T作TH⊥AB于H．
在Rt△ATH中，AH＝OH＝3，∠TAH＝30°，
∴TH＝AH tan30°＝，
∴AT＝TN＝2HN＝2，
在Rt△BHT中，BT＝，
∵BN≥BT TN，
∴BN≥，
∴BN的最小值为．
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．
【答案】解：连接，如图所示：
为的直径，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
．
18．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．
【答案】解：分别连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF ，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
19．如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CFBD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．
【答案】证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴，
∴，
∵CF∥BD，
∴，
∴，
∴．
20．如图，在△ABC中AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长BC交⊙A于点D，试求CD的长．
【答案】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD.
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2.
根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2
解得DE=
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2=
21．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.
【答案】解：设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示
设半径为则
由垂径定理可知，
∵，∴，且
在中，由勾股定理可得
即，解得
∴
在中，由勾股定理可得
∴
∴不需要采取紧急措施.
22．如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝ ＝8（cm），
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ，
∴AD＝BD ，
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD2＋BD2＝102，
∴AD＝BD＝ ＝5 （cm）.
23．如图， 内接于 ， 是 上的一点，连接 ， ， ．
（1）求证：
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明： ，
即： ，
（2）解：如图：连接 ， ，过点 作 于点 ，
则
，
， ，
，
．
设 为 ，则 为
，
，
，
的半径为
24．如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°.
（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；
（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；
（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变）， 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围.
【答案】（1）作OH⊥MN于H，连接ON，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，OP=2，
在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，
∴OH= OP= ，
在Rt△OHN中，∵ON=4，OH= ，
∴NH= = = ，
∵OH⊥MN，
∴HM=HN，
∴MN=2NH=2 ；
（2）作OH⊥MN于H，连接ON，
则HM=HN，
∵MP=3，NP=5，
∴MN=8，
∴HM=HN=4，
∴PH=1，
在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，
∴OH=1，
在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，
∴ON= = ，
∴AB=2ON=2 ；
（3） 的值不发生变化，为定值 ，
作OH⊥MN于H，连接ON，
则HM=HN，
设圆的半径为R，
在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2，
在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，
∴OH=PH，
∴PH2+NH2=R2，
∵PM2+PN2=（HM-PH）2+（NH+PH）2
=（NH-PH）2+（NH+PH）2
=2（PH2+NH2）
=2R2.
又AB2=4R2，
∴ = =
∴ 的值不发生变化，为定值 .
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