第1章 二次函数 单元检测卷（含解析）

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浙教版2022年九年级上册第1章《二次函数》单元检测卷
满分120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若y＝（m﹣1）是二次函数，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
2．（3分）抛物线y＝﹣x2+5x﹣3与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，3） B．（0，﹣3） C．（0，﹣5） D．（0，5）
3．（3分）抛物线y＝﹣5（x﹣1）2+2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）
4．（3分）将二次函数的图象向右平移1个单位，所得图象的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，3），B（4，3），则该抛物线的对称轴为（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4
6．（3分）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2﹣b的图象大致为（　　）
A．B． C．D．
7．（3分）若抛物线y＝ax2﹣x+1与x轴有公共点，则a的取值范围是（　　）
A．a＜且a≠0 B．a≤ C．a≤且a≠0 D．a≥
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣1，当1＜x≤5时，对应的函数值y不可能是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
9．（3分）太原某中学利用学校的体育场地设施和设备，充分调动全体师生的积极性，广泛开展各项体育活动，努力提高学生的身体素质，如图①是小杰在铅球比赛中的一次掷球，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，已知铅球出手时离地面1.6米，铅球离抛掷点水平距离3米时达到最高，此时铅球离地面2.5米，如图②，以水平面为x轴，小杰所站位置的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，则他掷铅球的运动路线的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④若（﹣3，y1），（4，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是（　　）
A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在二次函数y＝（x﹣1）2+5中，当x＞2时，y随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”）．
12．（3分）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，y＝　 　．
13．（3分）把y＝（3x﹣2）（x+3）化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为 　 　．
14．（3分）已知二次函数y＝3（x+1）2的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 　 　．
15．（3分）设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，}＝”．则关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+2．
（1）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x为何值时，函数y＝﹣x2+2x+2取得最大值，请求出这个最大值．
17．（8分）如图所示，某建筑工地准备利用一面旧墙建一个矩形储料场，新建墙的总长为30米．
（1）当矩形ABCD的长和宽分别为多少时，矩形的面积最大？
（2）若要使矩形的面积为72平方米，长和宽应取多少米？
18．（9分）已知二次函数顶点坐标为（﹣1，4），且抛物线过点（2，﹣5）．
（1）求二次函数解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）已知抛物线y＝x2+x﹣6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧），求A、B的坐标．
（3）利用函数图象，写出y＜0时，x的取值范围．
19．（9分）已知，抛物线y＝x2+（m﹣1）x+（m﹣2）（m为常数）．
（1）求证：无论m为何值，抛物线与x轴总有公共点；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求m的值；
（3）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，求m的值．
20．（9分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求：
（1）点A、B、C的坐标；
（2）△ABC的面积．
21．（10分）某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．
（1）当销售单价为52元时，销售量为 　 　件，总利润为 　 　元；
（2）要使得一周的销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
（3）该超市为了获得最大利润，应将销售单价定为多少元？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，连结PB，PC，以PB，PC为邻边作平行四边形CPBD，求四边形CPBD面积的最大值；
23．（12分）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．
（1）求一次函数y＝2x﹣3的零点；
（2）若二次函数y＝x2+bx+b的零点为x1，x2，A，B两点的坐标依次A（x1，0），B（x2，0），如果AB＝2，求b的值；
（3）直线y＝﹣2x+b的零点为1，且与抛物线y＝kx2﹣（3k+3）x+2k+4（k≠0）交于C、D两点，若m+1≤≤m+2时，线段CD有最小值3，求m．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：∵y＝（m﹣1）是二次函数，
∴m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1或m＝1（舍），
∴m＝﹣1，
故选：B．
2．【解答】解：在y＝﹣x2+5x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3，
∴该抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
故选：B．
3．【解答】解：∵y＝﹣5（x﹣1）2+2，
∴此函数的顶点坐标是（1，2）．
故选：C．
4．【解答】解：将二次函数的图象向右平移1个单位，所得图象的解析式为：．
故选：A．
5．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，3），B（4，3），
∴此两点关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝＝3．
故选：C．
6．【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝ax2﹣b的图象应该开口向上，故A错误；
B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝ax2﹣b的图象应该开口向下，故B错误；
C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝ax2﹣b的图象应该开口向下，故C错误；
D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故D正确；
故选：D．
7．【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0且a≠0．
解得a≤且a≠0．
故选：C．
8．【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣5），
将x＝5代入y＝x2﹣4x﹣1得y＝4，
∴当1＜x≤5时，﹣5≤y≤4，
故选：D．
9．【解答】解：根据题意，得B（0，1.6），C（3，2.5）
设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+2.5，
将B点代入解析式得：9a+2.5＝1.6，
解得a＝﹣，
∴小杰掷铅球的运动路线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+2.5＝﹣x2+x+．
故选：A．
10．【解答】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＝1，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论②正确；
③∵当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，结论③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，且1﹣（﹣3）＞4﹣1，
∴y1＜y2，结论④正确；
综上所述：正确的结论有②③④，
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．【解答】解：根据二次函数解析式为y＝（x﹣1）2+5，
可知，顶点坐标（1，5），对称轴是直线x＝1，
又a＝1＞0，抛物线开口向上，
所以，当x＞2时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
12．【解答】解：＝（x2﹣12x+36﹣36）+21＝（x﹣6）2+3，
所以y＝（x﹣6）2+3．
故答案为：（x﹣6）2+3．
13．【解答】解：y＝（3x﹣2）（x+3）
＝3x2+7x﹣6，
其中一次项系数为7，常数项为﹣6，
∴一次项系数与常数项的和为：7+（﹣6）＝1，
故答案为：1．
14．【解答】解：由二次函数y＝3（x+1）2可知，对称轴为x＝﹣1，开口向上，
∵二次函数y＝3（x+1）2的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），
∴C（﹣2，y3）关于对称轴的对称点为（0，y3），
∵﹣1＜0＜1＜2，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
15．【解答】解：将y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2画在同一个坐标系中，如图所示，
易得点A的坐标为（﹣1，﹣1），点B的坐标为（0，0），
由题意可知，
关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}，即y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2的不同范围内的部分图形，
即当x≤﹣1时，y＝﹣x﹣2，当x＝﹣1时，有最小值，为﹣1；
当﹣1≤x≤0时，y＝﹣x2，当x＝﹣1时，有最小值，为﹣1；
当x＞0时，y＝2x，当x＝0时，有最小值，为0．
综上关于x的函数y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值为﹣1．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，3）；
（2）由（1）可知，当x＝1时，函数y＝﹣x2+2x+2取得最大值，最大值是3．
17．【解答】解：（1）设AB＝x米，则BC＝（30﹣2x）米，矩形ABCD的面积为S平方米，
根据题意得：S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，
∴当x＝时，S最大，最大值为，
此时30﹣2x＝15，
∴矩形ABCD的长为15米，宽为米时，矩形的面积最大；
（2）设AB＝x米，则BC＝（30﹣2x）米，
根据题意得：x（30﹣2x）＝72，
解得：x1＝3，x2＝12，
当x＝3时，30﹣2x＝24，
当x＝12时，30﹣2x＝6，
∵BC＞AB，
∴x＝3，
答：矩形的长为24米，宽为3米时矩形的面积为72平方米．
18．【解答】解：（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，4）．
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+4，
把（2，﹣5）代入得，﹣5＝a（2+1）2+4，
解得a＝﹣1，
∴这个函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
函数的图象如图：
．
（2）y＝x2+x﹣6，令y＝0，则x＝2或﹣3，
即A（﹣3，0），B（2，0）；
（3）由图象可以看出：y＜0时，x的取值范围为：x＞1或x＜﹣3．
19．【解答】（1）证明：令x2+（m﹣1）x+（m﹣2）＝0，
则Δ＝（m﹣1）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣2m+1﹣4m+8＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2，
∵Δ＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m为何值，抛物线与x轴总有公共点．
（2）解：当抛物线顶点在x轴上时，抛物线与x轴只有1个公共点，
∴（m﹣3）2＝0，
∴m＝3．
（3）解：∵y＝x2+（m﹣1）x+（m﹣2）＝（x+m﹣2）（x+1），
∴抛物线与x轴交点坐标为（2﹣m，0），（﹣1，0），
若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，则2﹣m﹣（﹣1）＝4或﹣1﹣（2﹣m）＝4，
解得m＝﹣1或m＝7．
20．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴AB＝4，OC＝3，
∴S△ABC＝AB OC＝×4×3＝6．
21．【解答】解：（1）由题意得：当售价为52元时，销售量为500﹣（52﹣50）×10＝480（件），
销售利润为（50﹣40）×480＝4800（元）．
故答案为：480，4800；
（2）设销售单价为x元，一周的销售量为y件，
根据题意题意得：y＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，（50≤x≤100），
则（x﹣40）（﹣10x+1000）＝8000，
解得x1＝60，x2＝80，
答：销售单价应定为60元或80元；
（3）设一周利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝70时，w有最大值，最大值为9000，
答：该超市为了获得最大利润，应将销售单价定为70元．
22．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）过P作PE∥y轴交直线BC于点E，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝x﹣2，
设P（t，t2﹣t﹣2），则E（t，t﹣2），
∴PE＝﹣t2+2t，
∴S△PBC＝3（﹣t2+2t）＝﹣t2+3t，
∵S平行四边形CPBD＝2S△PBC＝﹣2t2+6t＝﹣2（t﹣）2+，
∴当t＝时，四边形CPBD面积最大值为．
23．【解答】解：（1）当y＝0时，2x﹣3＝0，
解得x＝，
∴一次函数y＝2x﹣3的零点是；
（2）当y＝0时，x2+bx+b＝0，
∵Δ＝b2﹣4×b＞0，
∴b＞6或b＜0，
∴x1+x2＝﹣b，x1 x2＝b，
∴AB＝＝2，
∴b＝3±；
（3）∵直线y＝﹣2x+b的零点为1，
∴﹣2+b＝0，
解得b＝2，
∴y＝﹣2x+2，
联立方程组，
整理得kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0，
∴xC+xD＝，xC xD＝，
∴CD＝＝||＝|1﹣|，
∵m+1≤≤m+2，
当m+2≤1时，即m≤﹣1，此时CD有最小值|1﹣m﹣2|＝3，
解得m＝﹣4或m＝2（舍）；
当m+1≥1时，即m≥0，此时CD有最小值|1﹣m﹣1|＝3，
解得m＝3或m＝﹣3（舍）；
当m+1＜1＜m+2，即﹣1＜m＜0，此时CD的最小值为0；
综上所述：m的值为3或4．