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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质
专题3弧长与扇形面积公式 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
（第1题） （第2题） （第4题） （第5题）
2．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
4．如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．4π﹣3 C．4π﹣4 D．
5．如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点（E不与A，B重合），交于点F.以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N.若，则图中阴影部分的面积为（ ）
E
A． B． C． D．
7．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题） （第19题）
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，CB＝8，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，被折叠后的一段弧正好经过圆心 O ，若 AB＝4 ，则图中阴影 部分的面积为（ ）
A． π－4 B． π＋8
C． π＋4 D．8π－8
10．如图，半圆O的直径，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．台钟的时针长为9厘米，经过4小时，时针的针尖走过的路径长是 。
12．若一条弧长是它所在圆周长的 ，半径是4厘米，则弧长是 ，这条弧所对的圆心角为 度。
13．如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是 ．
（第12题） （第13题） （第14题） （第15题）
14．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2，则图中阴影部分的面积是 ．
15．如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，是半圆上一点，是直径，将弧沿翻折交于点，再将弧沿翻折交于点，若是弧的中点，，则阴影部分面积为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，，连结BC，CD．
（1）求证：．（2）若，，求阴影部分的面积．
18．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°.
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积.
19．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若图中阴影部分的面积是πcm2，OA＝2cm，求OC的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC.
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2） ，∠B＝60°，求阴影部分的面积.
21．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D=60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当BC=4时，求劣弧AC的长．
22．如图，半圆O的直径AB=20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
23．如图，点A、B分别在∠DPE两边上，且PA=PB，以AB为直径作半圆O，点C是半圆O的中点．
（1）连接AC、BC，求证：△PAC≌△PBC；
（2）若∠APB=60°，PA=4，通过计算比较PO与劣弧哪个更长；
（3）若点O是△PAB的外心，请直接写出四边形APBC的形状．
24．矩形 的一边长 ，且 ，以边 为直径的 交对角线 于 ， ，如图，点 为下半圆上一点.
（1）求 的度数；
（2）求 的长；
（3）求图中阴影部分的面积；
（4）若圆上到直线 距离等于3的点有且只有一个，请直接写出线段 的长.
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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质
专题3弧长与扇形面积公式 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
【答案】D
【解析】连接OC、OB，
六边形ABCDEF为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的长为.
故答案为：D.
2．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接CD，如图所示：
，，，
，，
由题意得：，
为等边三角形，
，
∴的长为：.
故答案为：B.
3．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．方案1或方案2
【答案】C
【解析】方案1：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（8-2x）m，菜园的面积为S，
∴s=x（8-2x）=-2（x-2）2+8，
∵a＜0，抛物线的开口向下，
∴当x=2时S的最大值为8米；
方案2：如图，
当∠ACB=90°时，△ABC的面积最大，
；
方案3：弧长为8，
∴圆的半径为，
∴半圆的面积为
10.2＞8
∴为了让菜园面积尽可能大最佳方案是方案3.
故答案为：C.
4．如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．4π﹣3 C．4π﹣4 D．
【答案】A
【解析】连接CD、OE，
由题意可知OC＝OD＝CE＝ED，弧＝弧，
∴S扇形ECD＝S扇形OCD，四边形OCED是菱形，
∴OE垂直平分CD，
由圆周角定理可知∠COD＝∠CED＝120°，
∴CD＝2×2×＝2，
∵AB＝OA＝OB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴S△AOB＝×2××2＝，
∴S阴影＝2S扇形OCD﹣2S菱形OCED+S△AOB＝2（2×2）+＝2（π﹣2）+＝π﹣3，
故答案为：A．
5．如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴
故答案为：B.
6．如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点（E不与A，B重合），交于点F.以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N.若，则图中阴影部分的面积为（ ）
E
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正方形ABCD中，，
的半径为：
EF过点O，根据中心对称可得四边形EBCF的面积等于正方形面积的一半，
又
阴影部分面积为：
故答案为：B.
7．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接OD，
∵扇形纸片折叠， 使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC=OC=OD=3，
∴，
∴∠CDO=30°，∠COD=60°，
∴弧AD、线段AC和CD所围成的图形面积，
∴阴影部分的面积=.
故答案为：A.
AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD- S△COD列式计算，进而可求阴影部分的面积.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，CB＝8，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，设以AB、AC为直径作半圆交 BC于D点，连AD，
∴ AD⊥BC，∴BD=DC=BC=4，
∵AB=AC = 5，
∴AD=3，
∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积 -△ABC的面积，
即S阴影==.
故答案为：D.
9．如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，被折叠后的一段弧正好经过圆心 O ，若 AB＝4 ，则图中阴影 部分的面积为（ ）
A． π－4 B． π＋8
C． π＋4 D．8π－8
【答案】B
【解析】过O作OC⊥AB于C，连结AO，BO，
∵被折叠后的一段弧正好经过圆心 O，
∴OC= ，
∵CO⊥AB，AB为弦，
∴AC=BC= ，sin∠CAO= ，
∴∠CAO=30°，
∴∠AOC=90°-∠OAC=60°，OC=tan30°×AC= ，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，AO=2OC=4，
∴S△AOB= ，
∴弓形AOB= ，
∴S阴影=S圆-2S弓形AOB= .
故答案为：B.
10．如图，半圆O的直径，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆，与AB交于点P，图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接A′P，
∵A′B是直径，
∴∠A′PB=90°，
∵∠OBA′=45°，
∴△A′PB是等腰直角三角形，
∴PA′=PB=AB=，
∴，
∴S阴影=S扇形ABA′-S△A′BP=，
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．台钟的时针长为9厘米，经过4小时，时针的针尖走过的路径长是 。
【答案】18.84厘米
【解析】3.14×9×2×
=28.26×2×
=56.52×
=18.84（厘米）。
故答案为：18.84厘米。
12．若一条弧长是它所在圆周长的 ，半径是4厘米，则弧长是 ，这条弧所对的圆心角为 度。
【答案】15.7厘米；225
【解析】3.14×4×2×
=12.56×2×
=25.12×
=15.7（厘米）
360°÷8×5
=45°×5
=225°。
故答案为：15.7厘米；225。
13．如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是 ．
【答案】2π-4
【解析】∵正方形ABCD，
∴OC=OB=OD，∠BOC=∠BCD=∠DOC=90°，BC=DC，
∴∠OCG=∠OBE=45°，
∵∠FOH=90°，
∴∠COG+∠COE=∠BOE+∠COE=90°，
∴∠COG=∠BOE，
在△COG和△BOE中
∴△COG≌△BOE（ASA），
∴S△COG=S△BOE，
∴S△BOC=S四边形OECG，
∴S阴影部分=S扇形HOF-S△COG，
在Rt△ODC中
2OD2=DC2=42
解之：OD=OC=
∴.
故答案为：2π-4.
14．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【解析】过点O作OD⊥AC于点D，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，AD=CD=，
∴∠OAC=30°，
∴OA=AD÷cos30°=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，
∴S阴影=S扇形AOC==，
故答案为：．
15．如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π
【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2，
=120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC=（180°-∠ABC）=×（180°-120°）=30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH=CH，BH=AB=×2=1，
在Rt△ABH中，
AH= =，
∴AC=2 ，
同理可证，∠EAF=30°，
∴∠CAE=∠BAF-∠BAC-∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴
∴图中阴影部分的面积为2π，
故答案为：2π．
16．如图，是半圆上一点，是直径，将弧沿翻折交于点，再将弧沿翻折交于点，若是弧的中点，，则阴影部分面积为 ．
【答案】
【解析】如图，连接
，
，
，过点
作
于
，过点
作
于
．
，
，，
，
，，
，
是
的中点，，，，
设
，则
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
上取一点
，使得
，连接
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
弓形
的面积
弓形
的面积，
，
故答案为：
．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，，连结BC，CD．
（1）求证：．
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵ = ，
∴∠ACD＝∠DBA，
又 ∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴ ；
（2）解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°，
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵ ，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD= ，
∴S阴影= ．
18．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°.
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：连接AD，
因为AB是⊙O的直径，
所以∠C＝90°，∠BDA＝90°.
因为BC＝6cm，AC＝8cm，
所以AB＝10cm.
因为∠ABD＝45°，
所以是等腰直角三角形，即BD＝AD＝（cm）
（2）解：连接DO，
因为BD＝AD，∠BDA＝90°，
所以∠BAD＝45°，
所以∠BOD＝90°.
因为直径AB＝10cm，
所以OB＝OD＝5cm.
所以＝＝
19．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若图中阴影部分的面积是πcm2，OA＝2cm，求OC的长．
【答案】（1）证明：如图，记与小扇形交于
圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，
（2）解：
阴影部分的面积是πcm2，OA＝2cm，
，
整理得：
解得： （负根舍去）
所以OC的长为1cm.
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC.
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2） ，∠B＝60°，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：∵直径 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
21．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D=60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当BC=4时，求劣弧AC的长．
【答案】（1）解：∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC= 60°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∠BAC= 180°- 90°-60° = 30°；
（2）解：连接OC，
∵OB=OC，∠ABC= 60°，
∴△OBC是等边三角形．
∴OC= BC=4，∠BOC= 60°．
∴∠AOC= 120°．
∴劣弧AC的长为
22．如图，半圆O的直径AB=20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）解：∵∠OBA′=45°，O′P=O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB= BO，
∴AP=AB﹣BP=20﹣10；
（2）解：阴影部分面积为：S阴影=S扇形O′A′P+S△O′PB=×π×100+10×10×=25π+50．
23．如图，点A、B分别在∠DPE两边上，且PA=PB，以AB为直径作半圆O，点C是半圆O的中点．
（1）连接AC、BC，求证：△PAC≌△PBC；
（2）若∠APB=60°，PA=4，通过计算比较PO与劣弧哪个更长；
（3）若点O是△PAB的外心，请直接写出四边形APBC的形状．
【答案】（1）证明：∵点C是半圆O的中点，
∴=，
∴AC=BC，∠AOC=∠BOC=90°，
又∵PA=PB，OA=OB，
∴∠POA=90°，
∴∠AOC+∠POA=180°，
∴P、O、C在一条直线上，
又∵PC=PC，
∴△PAC≌△PBC（SSS）
（2）解：∵PA=PB，OA=OB，∠APB=60°，
∴△APB是等边三角形，∠APC=∠BPC=30°，OP⊥AB于O，
∵PA=4，
∴PA=PB=AB=4，AO=BO=CO=2，∠AOC=90°，
∴PO=2，
劣弧的长为，
∵2>，
∴PO比劣弧更长；
（3）解：四边形APBC是正方形．
【解析】(3)解：如图2，
∵点O是△PAB的外心，
∴OA=OB=OP，
∴∠APO=∠OAP=∠OPB=∠OBP=180°，
∴∠APO+∠OPB=90°，
∴∠APB=90°，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=45°，
∵AB是半圆O的直径，点C是半圆O的中点，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAP=∠CBP=90°，
∴四边形APBC是矩形，
∵PA=PB，
∴四边形APBC是正方形．
24．矩形 的一边长 ，且 ，以边 为直径的 交对角线 于 ， ，如图，点 为下半圆上一点.
（1）求 的度数；
（2）求 的长；
（3）求图中阴影部分的面积；
（4）若圆上到直线 距离等于3的点有且只有一个，请直接写出线段 的长.
【答案】（1）解：连接 ，
∵ 为 的直径
∴
∵ ，
∴
∴ .
（2）解：∵四边形 是矩形
∴
又
∴
∴ .
（3）解：过 作 于 ，则
∵ ，
∴
∴图中阴影部分的面积
（4）解：过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，
∵⊙O的半径=2，则PQ=OQ=1，
∵OA=2，
∴AQ= ，
∴AK=2AQ=2 .
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