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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质
专题2圆周角定理 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接BD，如图，
是半圆的直径，
，
，
．
故答案为：B.
2．如图，在中，弦相交于点P，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
故答案为：A．
3．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30°
D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
【答案】C
【解析】A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP＝90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝BC＝CA，
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP＝∠CBP＝ ∠ABC＝30°，
∴AP＝CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本选项正确，不符合题意；
B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
①如果PA＝PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；
②如果AP＝AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
③如果CP＝CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
故本选项正确，不符合题意；
C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合.
如果点P在图1中的位置，∠ACP＝30°；
如果点P在B点的位置，∠ACP＝60°；
故本选项错误，符合题意；
D、当∠ACP＝30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3.
如果点P在P1的位置，∠BCP1＝∠BCA+∠ACP1＝60°+30°＝90°，△BP1C是直角三角形；
如果点P在P2的位置，∵∠ACP2＝30°，
∴∠ABP2＝∠ACP2＝30°，
∴∠CBP2＝∠ABC+∠ABP2＝60°+30°＝90°，△BP2C是直角三角形；
故本选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
4．如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝4 ，∠CAB＝75°，则AB的长是（）
A．8 B．4 C．8 D．4
【答案】C
【解析】过点O作 交于点E，连接OC，
则 ，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB＝75°，
∴∠CBA=90°-∠CAB=15°，
∵ ，
∴ ，
∵CD平分 ，
∴ ，
∴ ，
设OE=x，则OC=2x，
在 中，由勾股定理得，
，
解得 ， （舍），
∴OC=4，
∴ ，
故答案为：C．
5．如图， 是 的直径， 为 的弦，且 于点 ，点 为圆上一点，若 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【解析】如图，连接 交 于 ，设 交 于 ，过点 作 于 .
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
是直径， ， ， ，
， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ，
，
，
故答案为：A.
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】连接OC、OB，如图，
∵∠CAB=30°，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴BC=OC=2，
∵∠CBA=45°，CD⊥AB，
∴在Rt△CDB中，BC=CD，
∴CD=，
故答案为：C．
7．如图， 是等边 的外接圆，点 是弧 上一动点（不与 ， 重合），下列结论：① ；② ；③当 最长时， ；④ ，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴ ，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点D是 上一动点，
∴ 不一定等于 ，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当DB最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵ 是等边△ABC 的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴ ，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴ ，故④正确；
∴正确的有3个.
故答案为：C.
8．如图，已知点C在以 为直径，O为圆心的半圆上， ，以 为边作等边 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】法一：如图，延长AC至点E，使
在半圆O中， 为直径
∴
又∵等边
∴
∴
∵设 ，则
∴
又在 中，
∴
当 时， 有最大值，最大值
则
法二：以OB为边向上作正三角形OBE，E恰好在狐BC上，连接OC、DE，证△BED与△BOC全等，得出DE=OC，所以AD最大值就是AE+DE=
故答案为：C.
【分析】延长AC至点E，作，设AC=x，利用等边△BCD和AB为直径，用含x的式子分别求出BC、CD、CE、AE的长，由勾股定理得，利用偶次幂及二次根式的非负性求出AD2的最大值即可.
9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（ ）
A．0.5 B． ﹣1 C．2﹣ D．
【答案】C
【解析】如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，
∵∠PBC＝∠PCA，
∴∠PBC+∠PCB＝45°，
∴∠BPC＝135°，
∴点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交 于P′，
作 所对的圆周角∠BQC，则∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴四边形ABOC为正方形，
∴OA＝BC＝2，
∴OB＝ BC＝ ，
∵AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），
∴AP的最小值为2﹣ .
故答案为：C.
10．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，则∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°+∠ABC，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠BDC＝∠ABC，
∴ ，
∴BD＝AC＝5.
∴OM＝BN，
在Rt△ABD中，CD＝ ＝13，
∵ ×BN×CD＝ ×BC×BD，
∴BN═ ＝ ＝ ，
∴OM＝ ，
即点O到AB的距离为 .
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 .
【答案】
【解析】∠DCE＝72°，
四边形ABCD是⊙O内接四边形，
故答案为：
12．如图，点A，B，C都在⊙O上，，，则∠ABC＝ °.
【答案】20
【解析】设∠ABC=x，则∠AOC=2∠ABC=2x，
∵，
∴∠BOC=5x，
∴∠AOB=7x，
∵，
∴∠OAB=∠ABC=x，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠OAB=x，
∵∠AOB+∠OAB+∠ABO=180°，
∴7x+x+x=180°，解得：x=20°，
即∠ABC=20°.
故答案为：20.
13．如图，AB为⊙O直径，BC＝4，AC＝3，CD平分∠ACB，则AD＝ ．
【答案】
【解析】如图所示，连接BD，
∵AB是直径，AC=3，BC=4，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AD=BD，
又∵，
∴，
故答案为：．
14．如图，在扇形AOB中，，点E在弧AB上，点F在OB上，，若，，则扇形AOB半径为 .
【答案】
【解析】如图，延长EF交圆O于点C，连接OC，
∵∠AEF = 90°
∴AC为OO的直径，
∴A、O、C三点共线，
∵OA= OC， ∠AOB = 90°，
∴BO⊥AC，
∴BO是AC的垂直平分线，
∴AF=CF
在Rt△AEF中，EF =6，AE=8，
∴AF = = = 10
∴CF= AF=10
∴CE=CF + EF =16
∴AC = = =
∴OA= AC=
即扇形AOB半径为 .
故答案为： .
15．如图，已知A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，⊙O的半径为1，则四边形APBC的面积最大值为 ．
【答案】
【解析】∠APC＝∠CPB＝60°， ∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接AO，
∵，，
∴，
∴当点P为的中点时，PE+CF=PC最大，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴，
，
∴，
故答案为：．
16．如图，AB是半径为4的的弦，且AB=6，将AB沿着弦AB折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长BC交于点D，点E是CD的中点，连接EO.则EO的最小值为 .
【答案】
【解析】连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C'，连结EF、AC'，
则AC'=AD=AC，EOEF - OF，
∴EO的最小值为EF - OF，
当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，
∵AD=AC，且E为DC的中点，
∴AEDC，
∴EF=AB=，OF=，
∴OE的最小值为.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点.
（1）求证： .
（2）若 ， ，求BD.
【答案】（1）证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，
∴AC垂直平分BD，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴△ABD是等边三角形，
∵ ，
∴ .
18．如图，△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E，点D，点F关于AC对称，连接AF并延长交⊙O于点G.
（1）连接OB，求证：∠ABD＝∠OBC；
（2）求证：点F，点G关于BC对称.
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠ABE＝90°，
∵，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OBC＋∠OCB＋∠BOC＝180°，
∴2∠OBC＋2∠BAC＝180°，
∴∠OBC＋∠BAC＝90°，
∴∠OBC＝∠ABE，
即∠OBC＝∠ABD，
（2）证明：连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，如图，
∵点D，F关于AC对称，
∴EF＝ED，
∵BD⊥AC，
∴∠AEF＝∠AED＝90°，
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴∠EAF＝∠EAD，∠AFE＝∠ADE，
即∠GAC＝∠DAC，
∵
∴∠DAC＝∠DBC，
∵，
∴∠GAC＝∠GBC，
∴∠DBC＝∠GBC，
∵
∴∠ADB＝∠BGA，
∵∠AFD＝∠BFG，
∴∠BFG＝∠AGB，
∴△BHF≌△BHG（AAS），
∴FH＝GH，∠BHF＝∠BHG＝90°，
∴点F，点G关于BC对称；
19．如图， 、 均为同圆中的两条弦，且 ．
（1）判断 与 的关系（ ）
A． B．
C． D．以上三种情况均有可能
（2）若点 为 的中点，连接 并延长交 于点 ，求证：
【答案】（1）B
（2）解： 为 的中点，
【解析】（1）
的度数为：
即 组成一个半圆，
也组成一个半圆，
，
故答案为：B
20．如图，AB=AC，AB为⊙O直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连结ED、BE.
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由
（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长.
【答案】（1）解：DE=BD，理由如下，
如图，连接AD，则AD⊥BC，
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD（等腰三角形三线合一），
∴弧ED=弧BD，
∴DE=BD；
（2）解：∵AB=5，BD=BC=3，
∴AD=4，
∵AB=AC=5，
∴AC BE=CB AD，
∴BE=4.8.
21．如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是 的中点，DE⊥AB，垂足为E.连结AD，AC，BD.
（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段） .
（2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明.
（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值.
【答案】（1）∠DAC
（2）解：
理由如下：如图，在线段 上截取 ，
∵
∴ 是 的中垂线
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ， ，
∴
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
即
（3）解：∵
∴
∴
【解析】（1） 是 的中点，
故答案为： ；
22．如图，⊙O 的半径为 1，弦AB= ，弦AC，BD 交于点E，且EA=EB，F是 的中点.
（1）求证：△CDE 是等腰三角形．
（2）若∠B=50°，求∠F 的度数．
（3）若CF∥BD，求证：CD=CF，
【答案】（1）证明：∵EA=EB，
∴∠EAB=∠B
∵∠B=∠ECD，∠D=∠EAB
∴∠D=∠ECD
∴ED=EC
即△CDE 是等腰三角形．
（2）解：如图，连结 OA，OB．
∵OA=OB=1，AB=
∴∠AOB=90°，即 =90°．
∵∠EBA=∠EAB=50°，
∴ = =100°
∴ =70°
（3）证明：设 =x，则∠D=∠ECD=x，∠ACF=45°+
∵CF∥BD
∴∠D+∠DCF=180°
即
解得 x=54°，即 =54°
解得 x=54°，即 =54°，
∴ =360°－4 － =54°
∴ = ，即 CD=CF
23．如图， 是 的直径，弦 是 延长线上的一点，连结 交 于点 ，连结 .
（1）若 的度数是40°，求 的度数；
（2）求证： 平分 ；
（3）若 经过圆心，求 的长.
【答案】（1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H.
∵ 的度数是40°，
∴∠BOD=40°，
∴∠DAB= ∠DOB=20°，
∵AB⊥CD，
∴∠AHD=90°，
∴∠ADH=90°-∠DAB=70°，
∴∠AFC=∠ADH=70°.
（2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ACD+∠AFD=180°，∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFE=∠ACD，
∵∠AFC=∠ADC=∠ACD，
∴∠AFC=∠AFE，
即AF平分∠CFE.
（3）如图2中，设AB交CD于H.
∵AB是直径，AB⊥CD，CD=4
∴CH=DH=2，
∵OC= = ，∠OHC=90°，
∴ ，
∴HA=OH+OA=4，
∴ ，
∵CF是直径，
∴∠CDF=∠AHC=90°，
∴AH∥DE，
∵CH=HD，
∴AC=AE，
∴CE=2AC= .
24．新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形.如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形.
（1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长；
（2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°；
①求证：四边形ABCD是双直角四边形；
②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积.
【答案】（1）解：连接BD，如图，
在中，BC＝4，CD＝2，
∵
∴
在中，AB＝3，BD＝2 ，
∵
∴
（2）①证明：连接BD
∵BC=DC，
∴弧BC=弧CD，
∴∠DAC=∠BAC=∠DBC=∠BDC=45°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°，∠BCD=180°-∠DBC-∠BDC=90°，
∴ 四边形ABCD是双直角四边形；
② 过点D作DE⊥AC于点E，
∵∠DAC=45°，
∴△AED是等腰直角三角形，
在Rt△AED中，AE=ED，AD=1，
∴
设圆的半径为R，
在Rt△BCD中，BC=CD=R，
在Rt△DEC中，
在中， ，
∵AB=AC，AC=AE+EC，
∴
解得，
∴
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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质
专题2圆周角定理 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．若，则的度数（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，在中，弦相交于点P，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
4．如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝4 ，∠CAB＝75°，则AB的长是（）
A．8 B．4 C．8 D．4
5．如图， 是 的直径， 为 的弦，且 于点 ，点 为圆上一点，若 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
7．如图， 是等边 的外接圆，点 是弧 上一动点（不与 ， 重合），下列结论：① ；② ；③当 最长时， ；④ ，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知点C在以 为直径，O为圆心的半圆上， ，以 为边作等边 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（ ）
A．0.5 B． ﹣1 C．2﹣ D．
10．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 .
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，点A，B，C都在⊙O上，，，则∠ABC＝ °.
13．如图，AB为⊙O直径，BC＝4，AC＝3，CD平分∠ACB，则AD＝ ．
14．如图，在扇形AOB中，，点E在弧AB上，点F在OB上，，若，，则扇形AOB半径为 .
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，已知A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，⊙O的半径为1，则四边形APBC的面积最大值为 ．
16．如图，AB是半径为4的的弦，且AB=6，将AB沿着弦AB折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长BC交于点D，点E是CD的中点，连接EO.则EO的最小值为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点.
（1）求证： .
（2）若 ， ，求BD.
18．如图，△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E，点D，点F关于AC对称，连接AF并延长交⊙O于点G.
（1）连接OB，求证：∠ABD＝∠OBC；
（2）求证：点F，点G关于BC对称.
19．如图， 、 均为同圆中的两条弦，且 ．
（1）判断 与 的关系（ ）
A． B．
C． D．以上三种情况均有可能
（2）若点 为 的中点，连接 并延长交 于点 ，求证：
20．如图，AB=AC，AB为⊙O直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连结ED、BE.
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由
（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长.
21．如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是 的中点，DE⊥AB，垂足为E.连结AD，AC，BD.
（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段） .
（2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明.
（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值.
22．如图，⊙O 的半径为 1，弦AB= ，弦AC，BD 交于点E，且EA=EB，F是 的中点.
（1）求证：△CDE 是等腰三角形．
（2）若∠B=50°，求∠F 的度数．
（3）若CF∥BD，求证：CD=CF，
23．如图， 是 的直径，弦 是 延长线上的一点，连结 交 于点 ，连结 .
（1）若 的度数是40°，求 的度数；
（2）求证： 平分 ；
（3）若 经过圆心，求 的长.
24．新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形.如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形.
（1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长；
（2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°；
①求证：四边形ABCD是双直角四边形；
②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积.
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