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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质
专题2圆周角定理 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．32.5° D．35°
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示.若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．如图，点A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB＝∠BOC，∠ACB＝10°，则∠AOC的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
4．如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的点，在BA延长线上取点C，使得DC＝DO，连结CD并延长交圆O于点E，连结AE，若∠C＝18°，则∠EAB的度数为（ ）
A．18° B．21° C．27° D．36°
5．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C为 的中点，D为圆上一点，∠ADC＝30°，⊙O的半径为4，则圆心O到弦AB的距离是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图所示，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC，BD交于点E，F为 上一点，连结AF，BF，AB，AD，有下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝ R；③若AC⊥BD， ＝ ，AB＝ ，则BF+CE＝1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上， ， ，D是 上的一个动点，连接AD.过点C作 于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为A（4，0），B（﹣6，0）.点C是y轴正半轴上的一点，且满足∠ACB＝45°，圆圆得到了以下4个结论：①△ABC的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC＝60°；③△ABC的外接圆的半径等于5 ；④OC＝12.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．如图， 的直径 的长为 ，弦 长为 ， 的平分线交 于D，则 长为（ ）
A．7 B．7 C．8 D．9
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
10．如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D. 若⊙O的半径为 ，AB=8，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 .
12．如图，在扇形AOB中，，点E在弧AB上，点F在OB上，，若，，则扇形AOB半径为 .
13．如图，△ABC中，AB＝4，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则EF的最小值为 .
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 .
15．如图，在 中，点 为弧 的中点，弦 ， 互相垂直，垂足为 ， 分别与 ， 相于点 ， ，连结 ， .若 的半径为2， 的度数为 ，则线段 的长是 .
16．如图，△ABC内接于半径为 的半圆O中，AB为直径，点M是 的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB=135°且D为BM的中点，则DM的长为 ；BC的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，.连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E.
（1）求证：；（2）若，半径，求BD的长.
18．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝4， AD＝2，求⊙O的半径．
19．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙O的直径.连结BD，若.
（1）求证：∠1＝∠2.
（2）当AD＝4，BC＝4时，求ABD的面积.
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，连接CO，CB.
（1）若AM＝2，BM＝8，求CD的长度；
（2）若CO平分∠DCB，求证：CD＝CB.
21．如图， 是 的直径，弦 于点E，G是 上一点， ， 的延长线交于点F.
（1）求证： .
（2）当 平分 ， ， ，求弦 的长.
22．如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E.
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由.
23．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，∠EAC＝120°.
（1）连OB，OC，求∠OCB；
（2）连DB，DC，求证：DB＝DC；
（3）探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论.
24．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”.如图1，在△ 和 中，若 ，且 ，则△ 和 是“青竹三角形”.
（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.
（2）如图2，△ ， ， ，点D是 上任意一点（不与点A、B重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示 ；
（3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”.
①求 的值；
②若 ， ，求△ABC和△ADC的周长之差.
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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质
专题2圆周角定理 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．32.5° D．35°
【答案】B
【解析】连接BE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BAD＝60°，
由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：B．
2．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示.若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】连接BD，BF，
直径，，，
，
，
，
∴，
∴，
直径，，，
，
，
∴，
∴，
∴B符合题意，
故答案为：B.
3．如图，点A，B，C为⊙O上的三点，∠AOB＝∠BOC，∠ACB＝10°，则∠AOC的度数为（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【解析】∵∠AOB和∠ACB都对，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×10°＝20°，
∵∠AOB＝∠BOC，
∴∠BOC＝3∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝60°+20°＝80°．
故答案为：B．
4．如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的点，在BA延长线上取点C，使得DC＝DO，连结CD并延长交圆O于点E，连结AE，若∠C＝18°，则∠EAB的度数为（ ）
A．18° B．21° C．27° D．36°
【答案】C
【解析】如图，连接OE，
∵DC＝DO，
∴∠DOC＝∠C＝18°，
∴∠ODE＝∠DOC+∠C＝36°，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝36°，
∴∠EOB＝∠C+∠OED＝18°+36°＝54°，
∴∠EAB＝∠EOB＝27°，
故答案为：C.
5．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C为 的中点，D为圆上一点，∠ADC＝30°，⊙O的半径为4，则圆心O到弦AB的距离是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
【答案】B
【解析】如图，连接OA、OC，OC交AB于点E，
∵点C是 中点，
∴OC⊥AB，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
∴∠OAE=30°，
∴在Rt△AOE中， ，
故圆心O到弦AB的距离为2.
故答案为：B.
6．如图所示，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC，BD交于点E，F为 上一点，连结AF，BF，AB，AD，有下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝ R；③若AC⊥BD， ＝ ，AB＝ ，则BF+CE＝1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】∵AC＝BD，
∴ ＝ ，
即 + ＝ + ，
∴ ＝ ，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，所以①正确；
连接OA、OD，如图，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴AD＝ OA＝ R，所以②正确；
AF与BD相交于G点，如图，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝ AB＝ × ＝1，
∵ ＝ ，
∴∠FAC＝∠DAC，
∵AC⊥DG，
∴GE＝DE，即AE垂直平分DG，
∴AG＝AD，
∴∠AGD＝∠ADG，
∵∠BGF＝∠AGD，∠AFB＝∠ADB，
∴∠BGF＝∠BFG，
∴BF＝BG，
在△BCF和△AGE中，
，
∴△BCF≌△AGE（AAS），
∴CE＝GE，
∴BF+CE＝BG+GE＝BE＝1，所以③正确.
故答案为：D.
7．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上， ， ，D是 上的一个动点，连接AD.过点C作 于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，则 ，
，
，
则在点 的移动过程中，点 在以 为半径的圆 上运动，
是圆 的直径，
，
在 中， ，
在 中， ，
由圆的性质得：当点 共线时， 取得最小值，最小值为 ，
故答案为：C.
8．如图，已知平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为A（4，0），B（﹣6，0）.点C是y轴正半轴上的一点，且满足∠ACB＝45°，圆圆得到了以下4个结论：①△ABC的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC＝60°；③△ABC的外接圆的半径等于5 ；④OC＝12.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】如图，作出△ABC的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰Rt△ABE ，
过点E作 ED⊥x轴于D，连接EC，过点E作EF⊥y轴于F，
∵ △ABC的外接圆的圆心必在弦AB的垂直平分线上，
∴圆心肯定不在OC上，故①错误；
∵∠ACB＝45°，
∴由圆周角定理得： 所对的圆心角必为90°，
∵EB＝EA，
∴在弦AB的垂直平分线上，
∵∠AEB＝90°，
∴E必为圆心，即AE、BE为半径，
∴ ，故③正确；
∵BD＝5，OB＝6，
∴OD＝1，
∵∠EDO＝∠DOF＝∠OFE＝90°，
∴OD＝EF＝1，ED＝FO＝5，
∴ ，
∴OC＝OF+FC＝12，故④正确；
∠ABC≠60°，故②错误；
故答案为：C.
9．如图， 的直径 的长为 ，弦 长为 ， 的平分线交 于D，则 长为（ ）
A．7 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG， ，
∴DA=DB，
∵∠AFD=∠BGD=90°，
∴△AFD≌△BGD，
∴AF=BG．
易证△CDF≌△CDG，
∴CF=CG，
∵AC=6，BC=8，
∴AF=1，
∴CF=7，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=7 ，
故答案为：B．
10．如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D. 若⊙O的半径为 ，AB=8，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图.
∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD=BD= AB=4.
在Rt△OBD中，OD= =2.
∵将弧 沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴ ，∴AC=DC，∴AE=DE=2.
易证四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=2.
在Rt△OCF中，CF= =4，∴CE=CF+EF=4+2=6.
而BE=BD+DE=4+2=6，∴BC= .
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 .
【答案】
【解析】∠DCE＝72°，
四边形ABCD是⊙O内接四边形，
故答案为：
12．如图，在扇形AOB中，，点E在弧AB上，点F在OB上，，若，，则扇形AOB半径为 .
【答案】
【解析】如图，延长EF交圆O于点C，连接OC，
∵∠AEF = 90°
∴AC为OO的直径，
∴A、O、C三点共线，
∵OA= OC， ∠AOB = 90°，
∴BO⊥AC，
∴BO是AC的垂直平分线，
∴AF=CF
在Rt△AEF中，EF =6，AE=8，
∴AF = = = 10
∴CF= AF=10
∴CE=CF + EF =16
∴AC = = =
∴OA= AC=
即扇形AOB半径为 .
故答案为： .
13．如图，△ABC中，AB＝4，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则EF的最小值为 .
【答案】
【解析】连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，则EM＝FM，
∵∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EOF＝2∠EAF＝120°，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，
∴OM＝ OE，
∴EM＝ OM＝ OE，
∴EF＝ OE，
当OE的值最小时，EF的值最小，
∵D是线段BC上的一个动点，AD为直径，
∴当AD垂直BC时，AD的值最小，
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠ABH＝45°，
∴AH＝ AB＝ ×4＝2 ，
即AD的最小值为2 ，
∴OE的最小值为 ，
∴EF的最小值为 × ＝ .
故答案为： .
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 .
【答案】
【解析】∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵AD=2，
∴BD=2AD=4，
分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，
∵E是AC的中点，
∴EF∥BC，EG∥CD，
∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，
∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：
当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，
连接PA，
∵F、G分别是AB、AD的中点，
∴FG∥BD，FG= BD=2，
∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，
∴△APG是等边三角形，
∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，
∴∠GPD=∠GDP=30°，
∴∠APD=90°，
∴PD= ，
∴DE长度的最小值为 .
故答案为： .
15．如图，在 中，点 为弧 的中点，弦 ， 互相垂直，垂足为 ， 分别与 ， 相于点 ， ，连结 ， .若 的半径为2， 的度数为 ，则线段 的长是 .
【答案】
【解析】【解答】连接OA，OB，AB，AC，
∵ 的度数为90°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2 ，
∵AD⊥PC，
∴∠EMC＝90°，
∵点P为 的中点，
∴ ，
∴∠ADP＝∠BCP，
∵∠CEM＝∠DEN，
∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，
∵ ，
∴∠BDP＝∠ADP，
∴∠DEN＝∠DBN，
∴DE＝DB，
∴EN＝BN，
∴N为BE的中点；
同理得：AM＝EM，
∵EN＝BN，
∴MN是△AEB的中位线，
∴MN AB＝ .
故答案为： .
16．如图，△ABC内接于半径为 的半圆O中，AB为直径，点M是 的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB=135°且D为BM的中点，则DM的长为 ；BC的长为 .
【答案】2；
【解析】连接AM，
∵AB是圆O的直径，∴∠M＝∠C＝90°，
∵∠ADB＝135°，∴∠ADM＝180° ∠ADB＝45°，∴∠MAD＝90° ∠ADM＝45°=∠ADM，
∴AM＝MD，
∵点D是BM的中点，∴MD＝BD，
设AM＝x，则BM＝2x，
∵AM2＋BM2＝AB2，
∴x2＋（2x）2＝（2）2，
∴x＝2，
∴AM＝DM＝2，
∵点M是弧AC 的中点，
∴弧AM=弧MC，
∴∠CBM＝∠ABM，
延长AM、BC交于点F
∴AM=MF=2，AB=BF=2
AF*BM=AC*BF
4*4=AC*2
∴AC=∴BC=
故答案为：2，.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，.连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E.
（1）求证：；
（2）若，半径，求BD的长.
【答案】（1）证明：连接BC，
∵O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，
∴，
∴，
在中，.
∵，
∴，
∴，
∴三角形ECD为等腰三角形，
∴.
（2）解：在中，，
∵CD=DE，CD=BD，
∴BD=ED
在和中
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴.
18．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝4， AD＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC，即点D是BC的中点；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠C＝∠E，
∴DE＝DC，
而DC＝BD，
∴DE＝BD＝4，
∵AD＝2，
在Rt△ADB中，AB＝＝，
∴⊙O 的半径为．
19．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙O的直径.连结BD，若.
（1）求证：∠1＝∠2.
（2）当AD＝4，BC＝4时，求ABD的面积.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴∠1=∠2；
（2）解：过O点作OE⊥BC于点E，连接OB，
∴BE=CE=，
∵AD为⊙O的直径，
∴OB=，
∴，
∵∠1=∠2，
∴AD∥BC，
∴OE的长等于△ADB中AD边上的高，
∴.
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，连接CO，CB.
（1）若AM＝2，BM＝8，求CD的长度；
（2）若CO平分∠DCB，求证：CD＝CB.
【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，
∵AM＝2，BM＝8，
∴AB＝10，
∴OA＝OC＝5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，
∴CM＝ ＝4，
∴CD＝8；
（2）解：过点O作ON⊥BC，垂足为N，
∵CO平分∠DCB，
∴OM＝ON，
∴CB＝CD.
21．如图， 是 的直径，弦 于点E，G是 上一点， ， 的延长线交于点F.
（1）求证： .
（2）当 平分 ， ， ，求弦 的长.
【答案】（1）证明：如图，连接AC，
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠AGD和∠ACD所对的都是AD弧，
∴∠AGD=∠ACD，
∵四边形AGCD为圆内接四边形，
∵∠FGC=∠ADC，
∴∠FGC=∠AGD；
（2）解：∵∠ACG=∠ADG=45°，
∵DG平分∠AGC，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = =，
∴AD=CD=AC，
△ADC为等边三角形，
∵∠FGC=∠ADC=60°，
∴∠CAG=∠FGC-∠CAG=60°-45°=15°，
∴∠EAF=∠EAC+∠CAF=30°+15°=45°，
∴AE=，
∴AC=2，
∴DC=AC=2.
22．如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E.
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCD；
（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AE＝17，
∴ME＝AM＝17× ＝ ，
∵DE＝13，
∴DM＝ ＝ ＝ ，
∴AD＝AM+DM＝12 ，
∴AB＝ AD＝12 ＝24，
∴AO＝ ＝12；
（3）解：AF+BC＝DF.理由如下：
如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，
∵四边形DACB内接于圆，
∴∠DBN＝∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN，
∴△DAF≌△DBN（AAS），
∴AF＝BN，CF＝CN，
∵∠FCD＝45°，
∴DF＝CF，
∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF.
即AF+BC＝DF.
23．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，∠EAC＝120°.
（1）连OB，OC，求∠OCB；
（2）连DB，DC，求证：DB＝DC；
（3）探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）解：连接OB，OC，
∵∠EAC＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝2×60°＝120°
∴∠OCB=；
（2）证明：∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠DAC＝ ∠EAC＝ 120°＝60°，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，
由（1）知∠BDC＝60°，
∴∠BDC＝∠DBC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD＝CD；
（3）解：AC＝AD+AB，理由如下：
如图，延长AD至F，使DF＝AB，连接CF，
∵四边形ABCD是⊙O的内角四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠ABC＝∠CDF，
由（2）知△BDC是等边三角形，
∴BC＝CD，
∴△FDC≌△ABC（SAS），
∴∠ACB＝∠DCF，AC＝CF，
∴∠ACF＝∠BCD＝60°，
∴△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF＝AD+AB.
＝CD，证明△FDC≌△ABC，得到∠ACB＝∠DCF，AC＝CF，推出△ACF是等边三角形，据此解答.
24．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”.如图1，在△ 和 中，若 ，且 ，则△ 和 是“青竹三角形”.
（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.
（2）如图2，△ ， ， ，点D是 上任意一点（不与点A、B重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示 ；
（3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”.
①求 的值；
②若 ， ，求△ABC和△ADC的周长之差.
【答案】（1）②④
（2）解： 中， ，
，
△ACD和△BCD是“青竹三角形”
过点D作
四边形 是矩形，
与 都是等腰直角三角形，
中，
；
（3）解：①连接DO并延长交⊙O于E，连接AE、CE，如图：
∵△ABC和△ADC是“青竹三角形”
∴∠ACD+∠BAC=90°，
∵DE是⊙O直径
∴∠ECD=90°
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠BAC=∠ACE，
又∵
∴∠AEC=∠ABC
在△AEC与△CBA中
∴△AEC≌△CBA（AAS）
∴AE=BC
∴在Rt△EAD中，AD2+AE2=AD2+BC2=DE2=82=64，
∴AD2+BC2的值为64；
②∵△ABC和△ADC是“青竹三角形”
∴∠ACD+∠BAC=90°，
，
，四边形ABCD是圆的内接四边形，
中，
∵△ABC和△ADC的周长之差=AB+BC-AD-CD
AE=BC，EC=BA
∴AB+BC-AD-CD=EC+AE-AD-CD=EC-DC=
∴△ABC和△ADC的周长之差为 .
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