中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质
专题3弧长与扇形面积公式 培优测试卷（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，求的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接AD，如图所示：
∵D是BC边上的中点，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，∠BAC=∠B=60°，BC=AB=4，
∴AD=4×=2，
∴的长为=.
故答案为：A.
2．如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接AC、BD，
∵边长为的正方形ABCD内接于，则CD=，
∴AC=CD=2，
∵AC，BD为的直径，
∴∠ECD= 90° ，
∵PA，PD分别与相切于点A和点D，
∵EP⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBD=45°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴ED=BD=AC=2，
∵AC⊥BD，PA⊥AO，PD⊥OD，
∵四边形OAPD是矩形，
又∵OA=OD，
∴四边形OAPD是正方形，
∴DP=OA=1，
∴EP=ED+PD=2+1=3，
∴S阴影=S梯形ACEP-S⊙O，
=(2+3)×1-π×12
= .
故答案为：C.
3．如图，在扇形AOB中，，点C在上，且的长为，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接OC，BC，BD与OC交于点F，
∵点C，O关于直线BD对称，
∴BO=BC，∠CBD=∠OBD，∠DFO=90°
∵OC=BO，
∴OC=OB=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，∠CBD=∠OBD=30°，∠AOC=30°，
∵的长为，
∴，
∴OB=3，
∴OF=CF=1.5，
∵OD=2FD，
∴，
∴FD=，OD=，
∴图中阴影部分的面积=
=
=，
故答案为：A．
4．如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到.在此旋转过程中所扫过的面积为（ ）
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【答案】A
【解析】∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为.
故答案为：A.
5．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 并延长交AB于点D，当 时， 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
，
是 绕点A逆时针旋转 得到，
， ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
的长= .
故答案为：B.
6．如图，在半径为4的扇形OAB中，，点C是上一动点，点D是OC的中点，连结AD并延长交OB于点E，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵点D是OC的中点，，
∴点D在以O为圆心2为半径的圆弧上，
∴可知当AE与小圆O相切于D时，OE最大，即△AOE的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值，
∵，
∴，则，
∵∠AOB=90°，
∴，
∴，
故答案为：B.
7．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作OE⊥AB于点F，
∵在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．
∴∠AOD=90°，
∴∠BOC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
在Rt中，OA=2，∠OAB=30°，
∴OD=OA tan30°=2×=2，
∴AD=2OD=4，
在Rt中，OA=2，∠OAB=30°，
∴OF= =，
∴AF=
∴AB=2AF=6，
∴BD=AB-AD=6-4=2，
∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC-S△BDO=，
故答案为：A．
8．如图，等腰的顶角为，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则的度数为（ ）
A．25 B．35 C．50 D．65
【答案】C
【解析】连接AD，取AB的中点O，连接OE，OD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥CB，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=25°，
∴∠DOE=2∠DAC=50°，
∴的度数为50°，
故答案为：C．
9．如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OB= ，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧A'B恰好经过点O，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵∠AOB=90°，OB=，
∴S扇形AOB==，
如图，过点O作OD⊥BC于点E，交弧AB于点F，
∵扇形AOB沿着BC折叠，弧A'B恰好经过点O，
∴OE=EF=OF=OB=，
∴∠EBO=30°，
∴OC=OB=1，
∴S△COB=OC·OB=×1×=，
∴S阴影=S扇形AOB-2S△COB=-2×=-.
故答案为：C.
10．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作弧形成的图形，如图2所示．若正三角形的边长为3，则该“莱洛三角形”的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作弧形成的图形，
∴“莱洛三角形”的面积为三个以正三角形的两边和弧组成的扇形的面积减去重合的两次三角形的面积，
，
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．半径是10，圆心角是135°的弧长是 。
【答案】23.55
【解析】3.14×10×2×
=31.4×2×0.375
=62.8×0.375
=23.55。
故答案为：23.55。
12．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，若AD=4，则图中阴影部分的面积为
【答案】
【解析】如图，连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA＝∠BAD=30°，
∴BE∥AD，
∵AD为半圆O的直径，AD＝4，
∴∠DBA=90°，AB＝ADcos30°＝2，
∴BC＝AB＝，
∴AC＝BC=3，
∴S△ABC＝×BC×AC＝××3＝，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为=S△ABC﹣S扇形BOE＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
13．如图，半径为 2 的⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 C，F，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【解析】连接OF，OC，CF，过点O作 于点H，交FC于点P，
在四边形OCDH中， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
同理∠FOH=60°，
∵OC=OF，
∴OP垂直平分FC，
在Rt△OPC中， ， ，OC=2，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
过点D作 ，过点E作 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理可得， ，
在Rt△DMC中， ，
∴ ，
在Rt△EFN中， ，
∴ ，
∴ ，
∵EF=DE=CD=NM，
∴ ，
，
∴ ，
则 ，
∴ ，
，
∴阴影部分的面积= ，
故答案为： .
14．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1….弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A，B，C，D循环，则弧C2022D2022的长是 （结果保留π）.
【答案】2022π
【解析】根据题意有：
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
...
以此类推可知，故弧的半径为：，
即弧的半径为：，
即弧的长度为：.
故答案为：2022π.
15．如图，点 ， ， 是 上三点， ，点 为 上一点， ，垂足为点 ， ， ， ，则 的长为 .
【答案】
【解析】在 上截取 ，连接 ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
连接 ， ，
，
是等边三角形，
，
的长 .
故答案为： .
16．工人师傅在正中间立着一根圆形排水管的正方形地面（如图①）铺瓷砖，先裁出四块全等直角三角形ABC的瓷砖如图②，再在AB边上各切割一个弓形（阴影部分），然后围着排水管拼接而成（不重叠，无缝隙）如图③所示.已知∠BAC＝90°，切割点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，依次连接这8个点恰好组成正八边形，AB﹣AC＝（4+2 ）cm，则AA1＝ cm；如果π取3，那么切去的每块弓形面积为 cm2.
【答案】2；
【解析】如图，设圆心为O，连接OA1，OA2，过点A1作A1H⊥OA2于H.设OA1＝OA2＝xcm，则OH＝A1H＝ xcm.
设正八边形的边长为mcm，
则有4+2 ＝m+ m+ m，
∴m＝2 ，
∴A1A2＝2 （cm），AA1＝2（cm），
在Rt△HA1A2中，A1A22＝A1H2+A2H2，
∴8＝（ x）2+（x﹣ x）2，
∴x2＝8+4 ，
∴S弓形＝ ﹣ ×x× x＝ （cm2）.
故答案为：2， .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF.
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）.
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D.
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴，
∴AC＝AF.
（2）解：连接AO，CO，CF，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，
∴，∴.∴的长.
18．如图，为的直径，弦于点E，连接于点F，且．
（1）求的长；
（2）当时，求的长和阴影部分的面积（结果保留根号和）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴为的中位线
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如下图：
∵，，
∴，
∴，
在中，∵，，，
∴，，
∴的长，
阴影部分的面积．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是 的中点.
（1）求证：AB是圆的直径；
（2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：连接AD，
∵D点是 的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O直径；
（2）连接OE，
∵∠C＝60°，AB＝AB，
∴∠BAC＝60°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∴∠OBE＝30°，
∵AB＝8，
∴OB＝4，
∴S阴影＝S扇形AOE+S△BOE＝ + ×2×4 ＝ π+4 .
20．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C.
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若半径R＝6，弧BC的度数为120°，则扇形BOC的面积为 ；（保留π）
（3）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R.
【答案】（1）解：如图
（2）
（3）解：连接CB，交AO于点D，
∵BC=8，
∴BD=4，
∵AB=5，
∴AD= =3，
∵OB=OA=R，
∴OD=R-3，
在△BOD中， ，
∴ ，
解得 ，
∴该轮的半径为 .
【解析】（2）连接OC、OB，
∵OC=OB=R＝6，∠BOC=120°，
扇形BOC的面积为 ，
故答案为： ；
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=108°，
∴∠B=180°－∠ADC=180°－108°=72°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°－72°=18°；
（2）解：如图，连接OC，OD，
∵∠ADC=108°，∠DCA=27°，
∴∠DAC=180°－108°－27°=45°，
∴∠DOC=2∠DAC=90°，
∵AB=8，
∴OD=OC=OA=4，
∴在中，；
（3）解：∵∠DOC=90°，OD=4，
∴S扇形OCD，
又∵，
∴S阴影=S扇形OCD－S△OCD=．
22．如图，为的直径，是的切线，为切点，连接.垂直平分，垂足为，且交于点，交于点，连接，.
（1）求证：；
（2）当平分时，求证：；
（3）在（2）的条件下，，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：如图，连接为的切线，
（2）解：如图，连接OF，垂直平分
而
为等边三角形，
平分
（3）解：为等边三角形，
为等边三角形，
23．如图，在
中，AC为
的直径， AB为
的弦，点 E 是
的中点，过点 E 作 AB 的垂线，交 AB 于点 M ，交
于点 N ，分别连接 EB ， CN .
（1） 与
的数量关系是 ；
（2）求证：
；
（3）若
，
，求阴影部分图形的面积.
【答案】（1）
（2）证明：连接 ，
∵ 是 的直径， 是 的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ，垂足为点 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ .
（3）解：连接 ， ， ，
∵ ，垂足为点 ，∴ ，
∵ ，由（2）得 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ≌ ，
又∵ ， ，
∴
【解析】（1）连接
，
∵ 是
的直径，
是
的中点，
∴ ，∴ ，
∵ ，垂足为点
，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
故答案为：
.
24．如图，半径为4的 中，弦AB的长度为 ，点C是劣弧 上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．
（1）求 的度数；
（2）当点C沿着劣弧 从点A开始，逆时针运动到点B时，求 的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记 的面积为 ，当 时，求弦AC的长度．
【答案】（1）如图，过O作OH⊥AB于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接OC，取OC的中点G，连接DG、EG，
∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点， ，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，即∠ODC=∠OEC=90°，
∴ ，
∴O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，
∴G在以O为圆心，2为半径的圆上运动，
∵ ，
∴运动路径长为 ；
（3）当点C靠近A点时，如图，作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，
∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴OH=2，
设 ， ，由题可知 ， ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，即 ，
由于 ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
同理当点C靠近B点时，可知 ，
综上所述， 或 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质
专题3弧长与扇形面积公式 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，求的长为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在扇形AOB中，，点C在上，且的长为，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到.在此旋转过程中所扫过的面积为（ ）
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
5．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 并延长交AB于点D，当 时， 的长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在半径为4的扇形OAB中，，点C是上一动点，点D是OC的中点，连结AD并延长交OB于点E，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
7．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，等腰的顶角为，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则的度数为（ ）
A．25 B．35 C．50 D．65
9．如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OB= ，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧A'B恰好经过点O，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形．它是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作弧形成的图形，如图2所示．若正三角形的边长为3，则该“莱洛三角形”的面积为（）
A． B． C． D．
（第10题） （第12题） （第13题） （第14题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．半径是10，圆心角是135°的弧长是 。
12．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，若AD=4，则图中阴影部分的面积为
13．如图，半径为 2 的⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 C，F，则图中阴影部分的面积为 .
14．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1….弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A，B，C，D循环，则弧C2022D2022的长是 （结果保留π）.
15．如图，点 ， ， 是 上三点， ，点 为 上一点， ，垂足为点 ， ， ， ，则 的长为 .
（第15题） （第16题）
16．工人师傅在正中间立着一根圆形排水管的正方形地面（如图①）铺瓷砖，先裁出四块全等直角三角形ABC的瓷砖如图②，再在AB边上各切割一个弓形（阴影部分），然后围着排水管拼接而成（不重叠，无缝隙）如图③所示.已知∠BAC＝90°，切割点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，依次连接这8个点恰好组成正八边形，AB﹣AC＝（4+2 ）cm，则AA1＝ cm；如果π取3，那么切去的每块弓形面积为 cm2.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF.
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）.
18．如图，为的直径，弦于点E，连接于点F，且．
（1）求的长；
（2）当时，求的长和阴影部分的面积（结果保留根号和）．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是 的中点.
（1）求证：AB是圆的直径；
（2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积.
20．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C.
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若半径R＝6，弧BC的度数为120°，则扇形BOC的面积为 ；（保留π）
（3）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R.
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
22．如图，为的直径，是的切线，为切点，连接.垂直平分，垂足为，且交于点，交于点，连接，.
（1）求证：；
（2）当平分时，求证：；
（3）在（2）的条件下，，求阴影部分的面积.
23．如图，在
中，AC为
的直径， AB为
的弦，点 E 是
的中点，过点 E 作 AB 的垂线，交 AB 于点 M ，交
于点 N ，分别连接 EB ， CN .
（1） 与
的数量关系是 ；
（2）求证：
；
（3）若
，
，求阴影部分图形的面积.
24．如图，半径为4的 中，弦AB的长度为 ，点C是劣弧 上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．
（1）求 的度数；
（2）当点C沿着劣弧 从点A开始，逆时针运动到点B时，求 的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记 的面积为 ，当 时，求弦AC的长度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
