第2章 有理数的运算 精选培优练习题（含解析）

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第2章 有理数的运算 精选培优练习题
一．选择题（共8小题）
1．截至2022年2月，中国已建设开通了150.6万个5G基站，建成全球技术领先、规模最大、用户最多的5G网络．数据150.6万用科学记数法表示为（　　）
A．150.6×104 B．15.06×105 C．1.506×106 D．1.506×107
2．下列各组数中，数值相等的是（　　）
A．32与23 B．﹣23与（﹣2）3 C．﹣32与（﹣3）2 D．3×22与（3×2）2
3．如果两个数的和为正数，那么这两个数（　　）
A．都是正数 B．都是负数
C．是一正一负 D．至少有一个为正数
4．下列运算错误的是（　　）
A．﹣3﹣（﹣3+）＝﹣3+3﹣
B．5×[（﹣7）+（﹣）]＝5×（﹣7）+5×（﹣）
C．[×（﹣）]×（﹣4）＝（﹣）×[×（﹣4）]
D．﹣7÷2×（﹣）＝﹣7÷[2×（﹣）]
5．把a精确到百分位得到的近似数是5.28，则a的取值范围是（　　）
A．5.275＜a＜5.285 B．5.275≤a＜5.285
C．5.275＜a≤5.285 D．5.275≤a≤5.285
6．对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，则2※（﹣3）等于（　　）
A．﹣2 B．﹣6 C．0 D．2
7．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，那么m+n+p+q＝（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc（乘积）是正数，则的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
二．填空题（共6小题）
9．计算：＝　 　．
10．计算：＝　 　．
11．若（a+3）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2022＝　 　．
12．已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8，且abc＜0，则a+b﹣c＝　 　．
13．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab+a﹣b，例如：1※2＝1×2+1﹣2＝1，则计算3※（﹣5）＝　 　．
14．若|x|＝5，|y|＝4，且xy＜0，则x﹣y的值为 　 　．
三．解答题（共8小题）
15．计算：
（1）（﹣16）×（﹣+﹣）；
（2）（﹣1）4﹣8÷（﹣4）×|﹣6+4|．
16．计算：
（1）﹣22+18÷3×（﹣）+1÷（﹣）2；
（2）35×+（﹣35）×．
17．计算题．
（1）（﹣3）2÷；
（2）﹣22+8÷（﹣2）3﹣2×（）．
18．计算：
（1）（）÷； （2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）．
19．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，试求：的值．
20．对于有理数a，b，定义一种新运算“@”，规定a@b＝|a+b|﹣|a﹣b|．如3@5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．
（1）计算3@（﹣4）的值．
（2）计算[2@1]@（﹣3）的值．
21．已知|a|＝5，|b|＝2，回答下列问题：
（1）由|a|＝5，|b|＝2，可得a＝　 　，b＝　 　；
（2）若a+b＞0，求a﹣b的值；
（3）若ab＜0，求|a+b|的值．
22．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；＝；＝．
观察上述式子的特征，解答下列问题：
（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：
①|23﹣47|＝　 　；
②＝　 　；
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝　 　；当a＜b时，|a﹣b|＝　 　；
（3）计算：．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．截至2022年2月，中国已建设开通了150.6万个5G基站，建成全球技术领先、规模最大、用户最多的5G网络．数据150.6万用科学记数法表示为（　　）
A．150.6×104 B．15.06×105 C．1.506×106 D．1.506×107
【解答】解：150.6万＝1506000＝1.506×106．
故选：C．
2．下列各组数中，数值相等的是（　　）
A．32与23 B．﹣23与（﹣2）3
C．﹣32与（﹣3）2 D．3×22与（3×2）2
【解答】解：A．∵32＝9，23＝8，
∴32≠23，故本选项不符合题意；
B．∵﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣23＝（﹣2）3，故本选项符合题意；
C．∵﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，
∴﹣32≠（﹣3）2，故本选项不符合题意；
D．∵3×22＝3×4＝12，（3×2）2＝62＝36，
∴3×22≠（3×2）2，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．如果两个数的和为正数，那么这两个数（　　）
A．都是正数 B．都是负数
C．是一正一负 D．至少有一个为正数
【解答】解：当两个数都是正数时，其和是正数；
当两个数一个正数，一个负数，且正数的绝对值较大时，其和是正数；
当两个数一个是正数，一个是0时，其和是正数；
故选：D．
4．下列运算错误的是（　　）
A．﹣3﹣（﹣3+）＝﹣3+3﹣
B．5×[（﹣7）+（﹣）]＝5×（﹣7）+5×（﹣）
C．[×（﹣）]×（﹣4）＝（﹣）×[×（﹣4）]
D．﹣7÷2×（﹣）＝﹣7÷[2×（﹣）]
【解答】解：∵﹣3﹣（﹣3+）＝﹣3+3﹣，故选项A正确；
∵5×[（﹣7）+（﹣）]＝5×（﹣7）+5×（﹣），故选项B正确；
∵[（﹣）]×（﹣4）＝（﹣）×[×（﹣4）]，故选项C正确；
∵﹣7÷2×（﹣）＝﹣7÷[2÷（﹣）]，故选项D错误；
故选：D．
5．把a精确到百分位得到的近似数是5.28，则a的取值范围是（　　）
A．5.275＜a＜5.285 B．5.275≤a＜5.285
C．5.275＜a≤5.285 D．5.275≤a≤5.285
【解答】解：∵a精确到百分位得到的近似数是5.28，
∴5.275≤a＜5.285．
故选：B．
6．对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，则2※（﹣3）等于（　　）
A．﹣2 B．﹣6 C．0 D．2
【解答】解：∵a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，
∴2※（﹣3）
＝|2|﹣|﹣3|﹣|2﹣（﹣3）|
＝2﹣3﹣|2+3|
＝2﹣3﹣5
＝﹣6，
故选：B．
7．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，那么m+n+p+q＝（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解答】解：∵四个互不相同的正整数m，n，p，q，满足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，
∴满足题意可能为：4﹣m＝1，4﹣n＝﹣1，4﹣p＝3，4﹣q＝﹣3，
解得：m＝3，n＝5，p＝1，q＝7，
则m+n+p+q＝16．
故选：C．
8．已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc（乘积）是正数，则的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，
∵a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc（乘积）是正数，
∴a，b，c中有两个负数，一个正数，
设a＜0，b＜0，c＞0，
∴原式＝
＝﹣（）
＝﹣（）
＝﹣（1﹣1﹣1）
＝1．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．计算：＝　　．
【解答】解：
＝÷（﹣+）
＝÷
＝×6
＝．
故答案为：．
10．计算：＝　﹣10　．
【解答】解：原式＝﹣××
＝﹣10；
故答案为：﹣10．
11．若（a+3）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2022＝　1　．
【解答】解：∵（a+3）2+|b﹣2|＝0，而（a+3）2≥0，|b﹣2|≥0，
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣3，b＝2，
∴（a+b）2022＝（﹣1）2022＝1．
故答案为：1．
12．已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8，且abc＜0，则a+b﹣c＝　9或﹣5　．
【解答】解：∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8，
∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2．
∵abc＜0，
∴a与b同号．
∴当a＝5，则b＝2，此时a+b﹣c＝5+2﹣（﹣2）＝9；
当a＝﹣5，则b＝﹣2，此时a+b﹣c＝﹣5+（﹣2）﹣（﹣2）＝﹣5．
综上：a+b﹣c＝9或﹣5．
故答案为：9或﹣5．
13．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab+a﹣b，例如：1※2＝1×2+1﹣2＝1，则计算3※（﹣5）＝　﹣7　．
【解答】解：3※（﹣5）
＝3×（﹣5）+3﹣（﹣5）
＝﹣15+3+5
＝﹣7
故答案为：﹣7．
14．若|x|＝5，|y|＝4，且xy＜0，则x﹣y的值为 　﹣9或9　．
【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝4，
∴x＝±5，y＝±4，
∵xy＜0，
∴x＝5，y＝﹣4或x＝﹣5，y＝4，
当x＝5，y＝﹣4时，x﹣y＝5﹣（﹣4）＝5+4＝9；
当x＝﹣5，y＝4时，x﹣y＝﹣5﹣4＝﹣9；
综上，x﹣y的值为﹣9或9，
故答案为：﹣9或9．
三．解答题（共8小题）
15．计算：
（1）（﹣16）×（﹣+﹣）；
（2）（﹣1）4﹣8÷（﹣4）×|﹣6+4|．
【解答】解：（1）原式＝16×﹣16×+16×
＝12﹣14+8
＝6；
（2）原式＝1﹣8÷（﹣4）×2
＝1+4
＝5．
16．计算：
（1）﹣22+18÷3×（﹣）+1÷（﹣）2；
（2）35×+（﹣35）×．
【解答】解：（1）﹣22+18÷3×（﹣）+1÷（﹣）2
＝﹣4+6×（﹣）+1÷
＝﹣4﹣2+1×16
＝﹣4﹣2+16
＝10；
（2）35×+（﹣35）×
＝35×（﹣﹣）
＝35×0
＝0．
17．计算题．
（1）（﹣3）2÷；
（2）﹣22+8÷（﹣2）3﹣2×（）．
【解答】解：（1）（﹣3）2÷
＝9××（﹣）+
＝﹣+
＝0；
（2）﹣22+8÷（﹣2）3﹣2×（）
＝﹣4+8÷（﹣8）﹣2×（﹣）
＝﹣4﹣1+
＝﹣4．
18．计算：
（1）（）÷；
（2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）．
【解答】解：（1）（）÷
＝（+﹣）×24
＝×24+×24﹣×24
＝6+9﹣14
＝1；
（2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）
＝（﹣1）×+×（﹣3）
＝﹣+（﹣）
＝﹣3．
19．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，试求：的值．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，
当m＝2时，原式＝0﹣1×2+22＝2，
当m＝﹣2时，原式＝0﹣1×（﹣2）+（﹣2）2＝6，
综上可知，的值为2或6．
20．对于有理数a，b，定义一种新运算“@”，规定a@b＝|a+b|﹣|a﹣b|．如3@5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．
（1）计算3@（﹣4）的值．
（2）计算[2@1]@（﹣3）的值．
【解答】解：（1）3@（﹣4）
＝|3﹣4|﹣|3+4|
＝1﹣7
＝﹣6；
（2）[2@1]@（﹣3）
＝[|2+1|﹣|2﹣1|]@（﹣3）
＝[3﹣1]@（﹣3）
＝2@（﹣3）
＝|2+3|﹣|2﹣3|
＝5﹣1
＝4．
21．已知|a|＝5，|b|＝2，回答下列问题：
（1）由|a|＝5，|b|＝2，可得a＝　±5　，b＝　±2　；
（2）若a+b＞0，求a﹣b的值；
（3）若ab＜0，求|a+b|的值．
【解答】解：（1）∵|a|＝5，|b|＝2，
∴a＝±5，b＝±2．
故答案为：±5，±2；
（2）∵a+b＞0，
∴a＝5，b＝±2，
当a＝5，b＝2时，
a﹣b＝5﹣2＝3；
当a＝5，b＝﹣2时，
a﹣b＝5﹣（﹣2）＝5+2＝7；
综上，a﹣b＝3或7．
（3）∵ab＜0，
∴a＝5，b＝﹣2或a＝﹣5，b＝2．
当a＝5，b＝﹣3时，
|a+b|＝|5﹣2|＝3；
当a＝﹣5，b＝3时，
|a+b|＝|﹣5+2|＝3；
∴|a+b|＝3．
22．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；＝；＝．
观察上述式子的特征，解答下列问题：
（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：
①|23﹣47|＝　47﹣23　；
②＝　﹣　；
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝　a﹣b　；当a＜b时，|a﹣b|＝　b﹣a　；
（3）计算：．
【解答】解：（1）①|23﹣47|＝47﹣23；②＝﹣；
故答案为：47﹣23，﹣；
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a；
故答案为：a﹣b，b﹣a；
（3）原式＝1﹣+﹣+﹣+ +﹣
＝1﹣
＝．