2022年秋季浙教版数学九年级上册第三章《 圆的基本性质》单元测试A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．（2022·兰州）如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 （ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
3．（2022·兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（ ）
A．6π B．2π C．π D．π
5．（2022·枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
6．（2022·河池）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到.在此旋转过程中所扫过的面积为（ ）
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
7．（2022·河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A．25° B．35° C．40° D．50°
8．（2022·深圳）下列说法错误的是（ ）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
9．（2022·聊城）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
10．（2022·长春）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ）
A．138° B．121° C．118° D．112°
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·郴州）如图，点A，B，C在 上， ，则 度.
12．（2022·锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为 ．
13．（2022·青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为 m．
14．（2022·长沙）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为 .
15．（2022·西宁）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2，则图中阴影部分的面积是 ．
16．（2022·广州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 （结果保留）
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·盐城）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
18．（2022·福建）如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF.
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）.
19．（2022·衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，，连结BC，CD．
（1）求证：．
（2）若，，求阴影部分的面积．
20．（2021·临沂）如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
21．（2021·湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是 所对的圆周角，∠ACD=30°。
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F。若AB=4，求DF的长。
22．（2020·衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6。连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点。
（1）求证：∠CAD=∠CBA。
（2）求OE的长。
23．（2021·贵阳）如图，在 中， 为 的直径， 为 的弦，点 是 的中点，过点 作 的垂线，交 于点 ，交 于点 ，分别连接 .
（1） 与 的数量关系是 ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求阴影部分图形的面积.
24．（2022·哈尔滨）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长交于点F，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°，
∴∠B′AC＝∠BAB′ ∠CAB＝50°-20°=30°，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC，
∴AC∥C′B′．故②正确；
在△BAB′中，
∵AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180° 50°）＝65°，
∴∠BB′C′＝∠AB′B＋∠AB′C′＝65°＋30°＝95°，
∴C′B′与BB′不垂直．故③错误；
在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180° 50°）＝65°，
∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确.
∴正确结论的序号为：①②④.
故答案为：B.
【分析】利用性质的性质可证得BC＝B′C′可对①作出判断；利用旋转的性质可得到∠BAB′＝50°，由此可求出∠B′AC的度数，同时可推出∠AB′C′＝∠B′AC，利用内错角相等，两直线平行，可对②作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠AB′B的度数，由此可求出∠可得到∠BB′C′的度数，可对③作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠ACC′的度数，可证得∠ABB′＝∠ACC′，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理得∠ADC＝∠B，∠CAD＝90°，由三角形的内角和定理得∠ACD+∠D＝90°，结合∠ACD的度数可得∠ADC的度数，据此解答.
3．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故答案为：D.
【分析】由图形可得：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，然后结合扇形的面积公式进行计算.
4．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的长是=π，
故答案为：D．
【分析】先求出半径OB=3，再求出圆心角∠BOC=2∠A=60°，最后利用弧长公式计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠AOB＝86° 30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠AOB＝86° 30°＝56°，再求解即可。
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为.
故答案为：A.
【分析】首先利用勾股定理求出AB的值，然后根据Rt△ABC扫过的面积=圆心角为90°、半径为AB的扇形的面积+Rt△ABC的面积结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】，∠ABC＝25°，
，
AB是⊙O的直径，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=50°，∠PAO=90°，然后根据∠P=90°-∠AOC进行计算.
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用菱形，矩形，正方形的判定，圆周角对每个选项一一判断即可。
9．【答案】C
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故答案为：C．
【分析】连接OB，OD，AC，根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系定理解答即可。
10．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故答案为：C
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角的的性质可得。
11．【答案】31
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由圆周角定理可知：
故答案为：31.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案.
12．【答案】40°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠B的度数，再利用圆周角和三角形的内角和求出∠CAB的度数即可。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：如图，连接，
是中的弦的中点，且，
，，
设的半径长为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
即的半径长为，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理先求出，再求出，最后求解即可。
14．【答案】7
【知识点】菱形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB、AC，
A、B、C是上的点，，
，
D为OC的中点，
，
四边形AOBC是菱形，
.
故答案为：7.
【分析】连接OB、CA，根据垂径定理可得AD=DB，由中点的概念可得OD=DC，推出四边形AOBC为菱形，然后结合OA的值可得BC的值.
15．【答案】或
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AC于点D，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，AD=CD=，
∴∠OAC=30°，
∴OA=AD÷cos30°=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，
∴S阴影=S扇形AOC==，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出∠OAC=30°，再求出S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，
∵
∴
∵与边AB相切于点D，
∴
∴
的长
故答案为：．
【分析】先求出再利用弧长公式计算求解即可。
17．【答案】解：已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为．
求证：，，．
证明：如图，连接、．
因为 ，，
所以，．
所以，．
所以．
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OA、OB，根据等腰三角形的性质可得PA=PB，∠AOD=∠BOD，根据圆心角、弧的关系可得，由邻补角的性质可得∠AOC=∠BOC，则.
18．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D.
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴，
∴AC＝AF.
（2）解：连接AO，CO，CF，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，
∴，
∴.
∴的长.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）由题意可得：四边形ABED是平行四边形，得到∠B＝∠D，根据圆周角定理可得∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，则∠AFC=∠ACF，据此证明；
（2）连接AO，CO，由（1）得∠AFC＝∠ACF，结合内角和定理可得∠AFC的度数，由圆周角定理可得∠AOC=2∠AFC=150°，然后结合弧长公式进行计算.
19．【答案】（1）证明：∵ = ，
∴∠ACD＝∠DBA，
又 ∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴ ；
（2）解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°，
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵ ，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD= ，
∴S阴影= ．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACD=∠DBA，结合已知可证得∠CAB=∠ACD；再利用平行线的判定定理可证得结论.
（2）连接OC，OD，可求出∠CAB的度数，利用圆周角定理可求出∠AOD和∠COB的度数，由此可求出∠COD的度数，利用平行线的判定定理可证得CD∥AB，可推出△DOC和△DBC的面积相等，可证得阴影部分的面积=扇形COD的面积；然后利用扇形的面积公式求出扇形的面积.
20．【答案】（1）解：连接BD，
∵ ，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠CBF，
∵ ，
∴BC=CD，
∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【知识点】菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1） 连接BD， 根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=∠CBD，利用内错角相等，两直线平行可证AD∥BC；
（2）连接CD，证明△DEF≌△BCF（ASA），可得DE=BC，由DE∥BC可证四边形BCDE是平行四边形， 由BC=CD，即证四边形BCDE是菱形．
21．【答案】（1）解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵弧AD=弧AD，
∴∠ABD=∠ACD=30°
∴∠DAB=90°-∠ABD=90°-30°=60°.
（2）解： ∵∠ABD=30°，AB=4
∴AD=AB=2
∵DE⊥AB，
∴DF=2DE，∠AED=90°
∵∠ADE=90°-∠DAB=90°-60°=30°，
∴AE=AD=1
在Rt△ADE中，
，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接BD，利用圆周角定理可证得∠ADB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等可求出∠ABD的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠DAB的度数.
（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AD的长，利用垂径定理可证得DF=2DE；再利用三角形的内角和定理求出∠ADE的度数，即可求出AE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出DE的长，即可得到DF的长.
22．【答案】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，
∴ ，
∴∠CAD=∠CBA
（2）解：AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵AE＝DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC=90°.
∴∠AEC=∠ACB
又∵∠CAD=∠CBA，
∴△ACE∽△BAC，
∴ ，
∴
∴CE=3.6
又∵OC= AB=5，
∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出 ，求出EC即可解决问题．
23．【答案】（1）BE=
（2）证明：连接BC、BN，
∵ 为 的直径，
∴∠ABC=90°，即：AB⊥BC，
∵EN⊥AB，
∴EN∥BC，
∴∠NBC=∠BNE，
∴
（3）解：连接AE，ON，
∵ ， 是等腰直角三角形，
∴EM=MB=1，BE= ，
∵EN⊥AB，
∴tan∠EAM= ，即∠EAM=30°，
∵ ，
∴∠CON=60°，NC=BE= ，
∵OC=ON，
∴ 是等边三角形，
∴OC=NC= ，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1） 为 的直径，点 是 的中点，
∴∠ABE= ，
∵EN⊥AB，
∴∠MEB=45°，即 是等腰直角三角形，
∴BE= ，
故答案是：BE= ；
【分析】（1）利用垂径定理及圆周角定理看求出∠ABE的度数；再利用垂直的定义可得到∠EMB=90°，由此可证得△EMB是等腰直角三角形，然后利用解直角三角形，可得到EM与BE之间的数量关系.
（2）连接BC、BN， 利用直径所对的圆周角是直角，可证得AB⊥BE，由此可推出EN∥BC，利用平行线的性质可知∠NBC=∠BNE，然后根据等弧所对的圆周角相等，可证得结论.
（3）连接AE，ON， 利用等腰直角三角形的性质及解直角三角形可求出EM，BE的长，利用解直角三角形求出∠EAM的度数，利用圆周角定理可求出∠CON的度数，同时可求出NC的长，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△CON是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出NC的长；然后利用阴影部分的面积=扇形OCN的面积-△CON的面积，由此可求出结果.
24．【答案】（1）证明：如图1．∵点D，点E分别是半径的中点
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∴；
（2）证明：如图2．∵，
∴
由（1）得，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
（3）解：如图3．
∵，
∴
∴
连接．∵
∴，
∴，
∵
设，
∴
在上取点M，使得，连接
∵，
∴
∴，
∴为等边三角形
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，
过点H作于点N
，
∴，
∴
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；线段的中点
【解析】【分析】(1)证明即可；
（2）证明= ， 根据等角对等边可得结论；
（3）做辅助线，构造全等三角形，证明为等边三角形 ，设，，证明 ，根据列方程可得x的值， 最后再证明，可得。
1 / 12022年秋季浙教版数学九年级上册第三章《 圆的基本性质》单元测试A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°，
∴∠B′AC＝∠BAB′ ∠CAB＝50°-20°=30°，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC，
∴AC∥C′B′．故②正确；
在△BAB′中，
∵AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180° 50°）＝65°，
∴∠BB′C′＝∠AB′B＋∠AB′C′＝65°＋30°＝95°，
∴C′B′与BB′不垂直．故③错误；
在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180° 50°）＝65°，
∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确.
∴正确结论的序号为：①②④.
故答案为：B.
【分析】利用性质的性质可证得BC＝B′C′可对①作出判断；利用旋转的性质可得到∠BAB′＝50°，由此可求出∠B′AC的度数，同时可推出∠AB′C′＝∠B′AC，利用内错角相等，两直线平行，可对②作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠AB′B的度数，由此可求出∠可得到∠BB′C′的度数，可对③作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠ACC′的度数，可证得∠ABB′＝∠ACC′，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
2．（2022·兰州）如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 （ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理得∠ADC＝∠B，∠CAD＝90°，由三角形的内角和定理得∠ACD+∠D＝90°，结合∠ACD的度数可得∠ADC的度数，据此解答.
3．（2022·兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故答案为：D.
【分析】由图形可得：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，然后结合扇形的面积公式进行计算.
4．（2022·丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（ ）
A．6π B．2π C．π D．π
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的长是=π，
故答案为：D．
【分析】先求出半径OB=3，再求出圆心角∠BOC=2∠A=60°，最后利用弧长公式计算求解即可。
5．（2022·枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠AOB＝86° 30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠AOB＝86° 30°＝56°，再求解即可。
6．（2022·河池）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到.在此旋转过程中所扫过的面积为（ ）
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为.
故答案为：A.
【分析】首先利用勾股定理求出AB的值，然后根据Rt△ABC扫过的面积=圆心角为90°、半径为AB的扇形的面积+Rt△ABC的面积结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
7．（2022·河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）
A．25° B．35° C．40° D．50°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】，∠ABC＝25°，
，
AB是⊙O的直径，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=50°，∠PAO=90°，然后根据∠P=90°-∠AOC进行计算.
8．（2022·深圳）下列说法错误的是（ ）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用菱形，矩形，正方形的判定，圆周角对每个选项一一判断即可。
9．（2022·聊城）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故答案为：C．
【分析】连接OB，OD，AC，根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系定理解答即可。
10．（2022·长春）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ）
A．138° B．121° C．118° D．112°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故答案为：C
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角的的性质可得。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·郴州）如图，点A，B，C在 上， ，则 度.
【答案】31
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由圆周角定理可知：
故答案为：31.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案.
12．（2022·锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为 ．
【答案】40°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠B的度数，再利用圆周角和三角形的内角和求出∠CAB的度数即可。
13．（2022·青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为 m．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：如图，连接，
是中的弦的中点，且，
，，
设的半径长为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
即的半径长为，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理先求出，再求出，最后求解即可。
14．（2022·长沙）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为 .
【答案】7
【知识点】菱形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB、AC，
A、B、C是上的点，，
，
D为OC的中点，
，
四边形AOBC是菱形，
.
故答案为：7.
【分析】连接OB、CA，根据垂径定理可得AD=DB，由中点的概念可得OD=DC，推出四边形AOBC为菱形，然后结合OA的值可得BC的值.
15．（2022·西宁）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】或
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AC于点D，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，AD=CD=，
∴∠OAC=30°，
∴OA=AD÷cos30°=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，
∴S阴影=S扇形AOC==，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出∠OAC=30°，再求出S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
16．（2022·广州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 （结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OD，OE，
∵
∴
∵与边AB相切于点D，
∴
∴
的长
故答案为：．
【分析】先求出再利用弧长公式计算求解即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·盐城）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
【答案】解：已知：如图，是的直径，是的弦，，垂足为．
求证：，，．
证明：如图，连接、．
因为 ，，
所以，．
所以，．
所以．
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OA、OB，根据等腰三角形的性质可得PA=PB，∠AOD=∠BOD，根据圆心角、弧的关系可得，由邻补角的性质可得∠AOC=∠BOC，则.
18．（2022·福建）如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF.
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）.
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D.
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴，
∴AC＝AF.
（2）解：连接AO，CO，CF，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，
∴，
∴.
∴的长.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）由题意可得：四边形ABED是平行四边形，得到∠B＝∠D，根据圆周角定理可得∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，则∠AFC=∠ACF，据此证明；
（2）连接AO，CO，由（1）得∠AFC＝∠ACF，结合内角和定理可得∠AFC的度数，由圆周角定理可得∠AOC=2∠AFC=150°，然后结合弧长公式进行计算.
19．（2022·衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，，连结BC，CD．
（1）求证：．
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵ = ，
∴∠ACD＝∠DBA，
又 ∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴ ；
（2）解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°，
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵ ，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD= ，
∴S阴影= ．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACD=∠DBA，结合已知可证得∠CAB=∠ACD；再利用平行线的判定定理可证得结论.
（2）连接OC，OD，可求出∠CAB的度数，利用圆周角定理可求出∠AOD和∠COB的度数，由此可求出∠COD的度数，利用平行线的判定定理可证得CD∥AB，可推出△DOC和△DBC的面积相等，可证得阴影部分的面积=扇形COD的面积；然后利用扇形的面积公式求出扇形的面积.
20．（2021·临沂）如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
【答案】（1）解：连接BD，
∵ ，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠CBF，
∵ ，
∴BC=CD，
∴BF=DF，又∠DFE=∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【知识点】菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1） 连接BD， 根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=∠CBD，利用内错角相等，两直线平行可证AD∥BC；
（2）连接CD，证明△DEF≌△BCF（ASA），可得DE=BC，由DE∥BC可证四边形BCDE是平行四边形， 由BC=CD，即证四边形BCDE是菱形．
21．（2021·湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是 所对的圆周角，∠ACD=30°。
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F。若AB=4，求DF的长。
【答案】（1）解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵弧AD=弧AD，
∴∠ABD=∠ACD=30°
∴∠DAB=90°-∠ABD=90°-30°=60°.
（2）解： ∵∠ABD=30°，AB=4
∴AD=AB=2
∵DE⊥AB，
∴DF=2DE，∠AED=90°
∵∠ADE=90°-∠DAB=90°-60°=30°，
∴AE=AD=1
在Rt△ADE中，
，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接BD，利用圆周角定理可证得∠ADB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等可求出∠ABD的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠DAB的度数.
（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AD的长，利用垂径定理可证得DF=2DE；再利用三角形的内角和定理求出∠ADE的度数，即可求出AE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出DE的长，即可得到DF的长.
22．（2020·衢州）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6。连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点。
（1）求证：∠CAD=∠CBA。
（2）求OE的长。
【答案】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，
∴ ，
∴∠CAD=∠CBA
（2）解：AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵AE＝DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC=90°.
∴∠AEC=∠ACB
又∵∠CAD=∠CBA，
∴△ACE∽△BAC，
∴ ，
∴
∴CE=3.6
又∵OC= AB=5，
∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出 ，求出EC即可解决问题．
23．（2021·贵阳）如图，在 中， 为 的直径， 为 的弦，点 是 的中点，过点 作 的垂线，交 于点 ，交 于点 ，分别连接 .
（1） 与 的数量关系是 ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求阴影部分图形的面积.
【答案】（1）BE=
（2）证明：连接BC、BN，
∵ 为 的直径，
∴∠ABC=90°，即：AB⊥BC，
∵EN⊥AB，
∴EN∥BC，
∴∠NBC=∠BNE，
∴
（3）解：连接AE，ON，
∵ ， 是等腰直角三角形，
∴EM=MB=1，BE= ，
∵EN⊥AB，
∴tan∠EAM= ，即∠EAM=30°，
∵ ，
∴∠CON=60°，NC=BE= ，
∵OC=ON，
∴ 是等边三角形，
∴OC=NC= ，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1） 为 的直径，点 是 的中点，
∴∠ABE= ，
∵EN⊥AB，
∴∠MEB=45°，即 是等腰直角三角形，
∴BE= ，
故答案是：BE= ；
【分析】（1）利用垂径定理及圆周角定理看求出∠ABE的度数；再利用垂直的定义可得到∠EMB=90°，由此可证得△EMB是等腰直角三角形，然后利用解直角三角形，可得到EM与BE之间的数量关系.
（2）连接BC、BN， 利用直径所对的圆周角是直角，可证得AB⊥BE，由此可推出EN∥BC，利用平行线的性质可知∠NBC=∠BNE，然后根据等弧所对的圆周角相等，可证得结论.
（3）连接AE，ON， 利用等腰直角三角形的性质及解直角三角形可求出EM，BE的长，利用解直角三角形求出∠EAM的度数，利用圆周角定理可求出∠CON的度数，同时可求出NC的长，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△CON是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出NC的长；然后利用阴影部分的面积=扇形OCN的面积-△CON的面积，由此可求出结果.
24．（2022·哈尔滨）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长交于点F，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图1．∵点D，点E分别是半径的中点
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∴；
（2）证明：如图2．∵，
∴
由（1）得，
∴
∴，
∴
∵
∴，
∴
（3）解：如图3．
∵，
∴
∴
连接．∵
∴，
∴，
∵
设，
∴
在上取点M，使得，连接
∵，
∴
∴，
∴为等边三角形
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，
过点H作于点N
，
∴，
∴
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；线段的中点
【解析】【分析】(1)证明即可；
（2）证明= ， 根据等角对等边可得结论；
（3）做辅助线，构造全等三角形，证明为等边三角形 ，设，，证明 ，根据列方程可得x的值， 最后再证明，可得。
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