2022年秋季浙教版数学九年级上册第三章《 圆的基本性质》单元测试B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·贵港）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·仙桃）一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·朝阳）如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（ ）
A．24° B．26° C．48° D．66°
4．（2022·鞍山）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
6．（2022·遵义）如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点（E不与A，B重合），交于点F.以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N.若，则图中阴影部分的面积为（ ）
E
A． B． C． D．
7．（2022·赤峰）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·包头）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·梧州）如图， 是 的外接圆，且 ，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接 ，则 的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
10．（2022·贺州）如图，在等腰直角 中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为 ，则EF的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．
12．（2022·上海市）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为 ．（结果保留）
13．（2022·长春）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为 厘米．（结果保留）
14．（2022·常州）如图，是的内接三角形.若，，则的半径是 .
15．（2022·玉林）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心， 为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形 的面积是 ．
16．（2022·绥化）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2020·山西）如图，四边形 是平行四边形，以点 为圆心， 为半径的 与 相切于点 ，与 相交于点 ， 的延长线交 于点 ，连接 交 于点 ，求 和 的度数．
18．（2022·宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 .桥的跨度（弧所对的弦长） ，设 所在圆的圆心为 ，半径 ，垂足为 .拱高（弧的中点到弦的距离） .连接 .
（1）直接判断 与 的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到 ）.
19．（2020·南京）如图，在 中， ，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作 ，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
20．（2020·湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD.
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求 的长.
21．（2022·六盘水）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
（1）科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；
（2）若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
22．（2022·泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
（1）如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
23．（2020·广州）如图， 为等边 的外接圆，半径为2，点 在劣弧 上运动（不与点 重合），连接 ， ， ．
（1）求证： 是 的平分线；
（2）四边形 的面积 是线段 的长 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点 分别在线段 ， 上运动（不含端点），经过探究发现，点 运动到每一个确定的位置， 的周长有最小值 ，随着点 的运动， 的值会发生变化，求所有 值中的最大值．
24．（2021·江西）如图1，四边形 内接于 ， 为直径，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 是 的切线， ，连接 ，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与 围成阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠ABC=90°，∠BPC=∠A，由余角的性质可得∠A=90°-∠ACB=50°，据此解答.
2．【答案】B
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：该扇形的半径为：，
∴扇形的面积为：.
故答案为：B.
【分析】根据弧长公式l=结合题意可得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式S=进行计算.
3．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点A是的中点，
∴，
∴∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°．
故答案为：C．
【分析】利用同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等并且等于圆心角一半的性质可得∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°。
4．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先求出，再利用扇形面积公式求出阴影部分的面积即可。
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
六边形ABCDEF为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的长为.
故答案为：D.
【分析】连接OC、OB，根据正六边形的性质可得∠BOC=60°，结合OB=OC可得△BOC为等边三角形，则BC=OB=6，BM=BC=3，利用勾股定理求出OM，然后根据弧长公式进行计算.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，，
的半径为：
EF过点O，根据中心对称可得四边形EBCF的面积等于正方形面积的一半，
又
阴影部分面积为：
故答案为：B.
【分析】根据AB的值结合正方形的性质以及勾股定理可得OB的值，根据面积间的和差关系可得S阴影=S⊙O-S正方形ABCD-(S扇形ABC-S△ABC)，然后结合圆、正方形、扇形以及三角形的面积公式进行计算.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，
则，
由旋转得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故答案为：C．
【分析】连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，则，证明EOC是等腰直角三角形，根据即可求出答案。
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】连接OE，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，再根据圆心角定理计算即可。
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CD，
则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB= ，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°.
故答案为：C.
【分析】连接CD，根据圆周角定理得∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，根据等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB，结合内角和定理可得∠ACB的度数，然后根据∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB进行计算.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，
设OE=OF=x，
∴
，
解得： ，
∴
故答案为：C.
【分析】根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，根据面积间的和差关系可得S阴影=S扇形OEF-S△OEF=π-2，然后结合扇形、三角形的面积公式可求出x2，接下来利用勾股定理计算即可.
11．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
【分析】先求出AC是圆形镜面的直径，再利用勾股定理求出AC=13cm，最后求解即可。
12．【答案】400π
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图，
∵AC=11，BC=21，
∴AB=AC+BC=32，
∵OD⊥AB于D，
∴AD=BD=AB=16，
∴CD=AD-AC=5，
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
OD==12，
在Rt△OBD中，由勾股定理，得
OB==20，
∴这个花坛的面积=202π=400π，
故答案为：400π．
【分析】先求出CD=5，再利用勾股定理计算求解即可。
13．【答案】或
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】，
，
故答案为：．
【分析】利用弧长公式计算即可。
14．【答案】1
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OC，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：1.
【分析】连接OA、OC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC=2∠ABC=90°，然后利用勾股定理进行计算即可.
15．【答案】1
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据图形可得：AB=AD=1，
，
∴
故答案为：1.
【分析】根据图象可得：AB=AD=1，则弧BD的长为2，然后根据扇形的面积S=lr进行计算.
16．【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【分析】连接AO，先求出∠AOB=360°÷6=60°，再求出∠AOH=360°÷5=72°，最后利用角的运算可得∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°。
17．【答案】
解：连接 ．
与 相切于点 ，
． ．
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形，
．
．
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】连接OB，即可得 ，再由平行四边形得出∠BOC=90°，从而推出∠C=45°，再由平行四边形的性质得出∠A=45°，算出∠AOB=45°，再根据圆周角定理即可得出∠E=22.5°．
18．【答案】（1）解：AD=BD
（2）解：设主桥拱半径为 ，由题意可知 ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为 .
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：（1）∵半径 OC⊥AB ，
∴ .
故答案为：AD=BD；
【分析】（1）根据垂径定理进行解答即可；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB=16，CD=5，则BD=AB=13，OD=OC-CD=R-5，接下来在Rt△OBD中，根据勾股定理计算即可.
19．【答案】（1）证明： ，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形.
（2）证明：如图，连接
，
四边形 是 的内接四边形
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明 ，利用平行线证明 ，利用圆的性质证明 ，再证明 即可得到结论；（2）如图，连接 ，利用平行线的性质及圆的基本性质 ，再利用圆内接四边形的性质证明 ，从而可得结论.
20．【答案】（1）证明∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC
∴∠CAD=∠DBC
∴∠CAD=∠ABC
（2）解∵∠CAD=∠ABC，
∴
∵AD是⊙O的直径，AD=6，
∴
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得到∠DBC=∠ABC，再利用同弧所对的圆周角相等，可得到∠CAD=∠DBC，据此可证得结论。
（2）利用∠CAD=∠ABC，可证得弧CD和半圆的关系，根据圆的直径可得到圆的半径长，然后就可求出弧CD的长。
21．【答案】（1）解： ， ，
，
设半径为 ，则
在 中，
解得
答：半径 的长约为
（2）解：如图，在优弧 上任取一点 ，连接
，
，
，
因为CD在∠CMD的内部，所以点 在洞顶 上巡视时总能看清洞口 的情况．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用垂径定理求出BC的长，设圆的半径为r，可表示出OB的长，再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
（2）在优弧 上任取一点N，连接CM，DM，CN，DN，利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠CND的度数；再利用圆内接四边形的两个对角互补，可求出∠CMD的度数，可知CD在∠CMD的内部，由此可得结论.
22．【答案】（1）解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：
当t=2.5时，BE=2.5，
∵EF=10，
∴OE=EF=5，
∴OB=2.5，
∴EB=OB，
在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，
∴△MBE≌△MBO(SAS)，
∴ME=MO，
∴ME=EO=MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM=60°，
∴.
（2）解：连接GO和HO，如下图所示：
∵∠GOH=90°，
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AOG+∠AGO=90°，
∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中，，
∴△AGO≌△BOH(AAS)，
∴AG=OB=BE-EO=t-5，
∵AB=7，
∴AE=BE-AB=t-7，
∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，
∴(t-5)2+(12-t)2=52，
解得：t1=8，t2=9，
即t的值为8或9秒.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）设BC与⊙O交于点M，当t=2.5时，BE=2.5，OE=EF=5，OB=2.5，则EB=OB，根据正方形的性质可得∠EBM=∠OBM=90°，证明△MBE≌△MBO，得到ME=MO，推出△MOE是等边三角形，则∠EOM=60°，然后结合弧长公式进行计算；
（2）连接GO和HO，根据同角的余角相等得∠AGO=∠BOH，证△AGO≌△BOH，得AG=OB=t-5，易得AE=BE-AB=t-7，AO=EO-AE=12-t，在Rt△AGO中，利用勾股定理可得t的值，据此解答.
23．【答案】（1）∵△ABC为等边三角形，BC=AC，
∴ ，都为 圆，
∴∠AOC=∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC是∠ADB的角平分线．
（2）是．
如图，延长DA至点E，使得AE=DB．
连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．
∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC，AC＝BC，
∴△EAC≌△DBC(SAS)，
∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，
故△EDC是等边三角形，
∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为
∴ ．
（3）依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，根据对称性
C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．
∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t，此时t=D1D2，
由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA，
∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．
∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，
在等腰△D1CD2中，作CH⊥D1D2，
则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H= ，
同理D2H=
∴t=D1D2= ．
∴x取最大值时，t取最大值．
即D与O、C共线时t取最大值，x=4．
所有t值中的最大值为 ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)根据等弧对等角的性质证明即可；(2)延长DA到E，让AE=DB，证明△EAC≌△DBC，即可表示出S的面积；(3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中，t= ，D与O、C共线时t取最大值即可算出．
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC= ，
∵∠EBC+∠ABC= ，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD= ，
∴∠D+∠CAD= ，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC= ，
∴∠CAD=∠ECB
（2）解：①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E= ，
∴∠OCE+∠E=18 ，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD= AD=2，AC=2 ，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF= ，
∴ ，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴ ，
∴阴影部分的面积为
【知识点】菱形的判定；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）先求出 ∠D=∠EBC， 再求出 ∠ECB+∠EBC= ， 最后证明求解即可；
（2）①先求出 ∠OCE=∠E= ， 再求出四边形ABCO是平行四边形， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
②先求出 AO=AB=2，AD=4， 再利用三角形的面积公式和扇形的面积公式计算求解即可。
1 / 12022年秋季浙教版数学九年级上册第三章《 圆的基本性质》单元测试B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·贵港）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠ABC=90°，∠BPC=∠A，由余角的性质可得∠A=90°-∠ACB=50°，据此解答.
2．（2022·仙桃）一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：该扇形的半径为：，
∴扇形的面积为：.
故答案为：B.
【分析】根据弧长公式l=结合题意可得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式S=进行计算.
3．（2022·朝阳）如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（ ）
A．24° B．26° C．48° D．66°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点A是的中点，
∴，
∴∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°．
故答案为：C．
【分析】利用同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等并且等于圆心角一半的性质可得∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°。
4．（2022·鞍山）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】先求出，再利用扇形面积公式求出阴影部分的面积即可。
5．（2022·内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
六边形ABCDEF为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的长为.
故答案为：D.
【分析】连接OC、OB，根据正六边形的性质可得∠BOC=60°，结合OB=OC可得△BOC为等边三角形，则BC=OB=6，BM=BC=3，利用勾股定理求出OM，然后根据弧长公式进行计算.
6．（2022·遵义）如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点（E不与A，B重合），交于点F.以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N.若，则图中阴影部分的面积为（ ）
E
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，，
的半径为：
EF过点O，根据中心对称可得四边形EBCF的面积等于正方形面积的一半，
又
阴影部分面积为：
故答案为：B.
【分析】根据AB的值结合正方形的性质以及勾股定理可得OB的值，根据面积间的和差关系可得S阴影=S⊙O-S正方形ABCD-(S扇形ABC-S△ABC)，然后结合圆、正方形、扇形以及三角形的面积公式进行计算.
7．（2022·赤峰）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，
则，
由旋转得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故答案为：C．
【分析】连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，则，证明EOC是等腰直角三角形，根据即可求出答案。
8．（2022·包头）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；
故答案为：C．
【分析】连接OE，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，再根据圆心角定理计算即可。
9．（2022·梧州）如图， 是 的外接圆，且 ，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接 ，则 的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CD，
则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB= ，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°.
故答案为：C.
【分析】连接CD，根据圆周角定理得∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，根据等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB，结合内角和定理可得∠ACB的度数，然后根据∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB进行计算.
10．（2022·贺州）如图，在等腰直角 中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为 ，则EF的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，
设OE=OF=x，
∴
，
解得： ，
∴
故答案为：C.
【分析】根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，根据面积间的和差关系可得S阴影=S扇形OEF-S△OEF=π-2，然后结合扇形、三角形的面积公式可求出x2，接下来利用勾股定理计算即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
【分析】先求出AC是圆形镜面的直径，再利用勾股定理求出AC=13cm，最后求解即可。
12．（2022·上海市）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为 ．（结果保留）
【答案】400π
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图，
∵AC=11，BC=21，
∴AB=AC+BC=32，
∵OD⊥AB于D，
∴AD=BD=AB=16，
∴CD=AD-AC=5，
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
OD==12，
在Rt△OBD中，由勾股定理，得
OB==20，
∴这个花坛的面积=202π=400π，
故答案为：400π．
【分析】先求出CD=5，再利用勾股定理计算求解即可。
13．（2022·长春）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为 厘米．（结果保留）
【答案】或
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】，
，
故答案为：．
【分析】利用弧长公式计算即可。
14．（2022·常州）如图，是的内接三角形.若，，则的半径是 .
【答案】1
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA、OC，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：1.
【分析】连接OA、OC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC=2∠ABC=90°，然后利用勾股定理进行计算即可.
15．（2022·玉林）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心， 为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形 的面积是 ．
【答案】1
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据图形可得：AB=AD=1，
，
∴
故答案为：1.
【分析】根据图象可得：AB=AD=1，则弧BD的长为2，然后根据扇形的面积S=lr进行计算.
16．（2022·绥化）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【分析】连接AO，先求出∠AOB=360°÷6=60°，再求出∠AOH=360°÷5=72°，最后利用角的运算可得∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2020·山西）如图，四边形 是平行四边形，以点 为圆心， 为半径的 与 相切于点 ，与 相交于点 ， 的延长线交 于点 ，连接 交 于点 ，求 和 的度数．
【答案】
解：连接 ．
与 相切于点 ，
． ．
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形，
．
．
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】连接OB，即可得 ，再由平行四边形得出∠BOC=90°，从而推出∠C=45°，再由平行四边形的性质得出∠A=45°，算出∠AOB=45°，再根据圆周角定理即可得出∠E=22.5°．
18．（2022·宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 .桥的跨度（弧所对的弦长） ，设 所在圆的圆心为 ，半径 ，垂足为 .拱高（弧的中点到弦的距离） .连接 .
（1）直接判断 与 的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到 ）.
【答案】（1）解：AD=BD
（2）解：设主桥拱半径为 ，由题意可知 ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为 .
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：（1）∵半径 OC⊥AB ，
∴ .
故答案为：AD=BD；
【分析】（1）根据垂径定理进行解答即可；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB=16，CD=5，则BD=AB=13，OD=OC-CD=R-5，接下来在Rt△OBD中，根据勾股定理计算即可.
19．（2020·南京）如图，在 中， ，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作 ，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
【答案】（1）证明： ，
，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形.
（2）证明：如图，连接
，
四边形 是 的内接四边形
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明 ，利用平行线证明 ，利用圆的性质证明 ，再证明 即可得到结论；（2）如图，连接 ，利用平行线的性质及圆的基本性质 ，再利用圆内接四边形的性质证明 ，从而可得结论.
20．（2020·湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD.
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若AD＝6，求 的长.
【答案】（1）证明∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠ABC
∴∠CAD=∠DBC
∴∠CAD=∠ABC
（2）解∵∠CAD=∠ABC，
∴
∵AD是⊙O的直径，AD=6，
∴
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得到∠DBC=∠ABC，再利用同弧所对的圆周角相等，可得到∠CAD=∠DBC，据此可证得结论。
（2）利用∠CAD=∠ABC，可证得弧CD和半圆的关系，根据圆的直径可得到圆的半径长，然后就可求出弧CD的长。
21．（2022·六盘水）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
（1）科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；
（2）若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
【答案】（1）解： ， ，
，
设半径为 ，则
在 中，
解得
答：半径 的长约为
（2）解：如图，在优弧 上任取一点 ，连接
，
，
，
因为CD在∠CMD的内部，所以点 在洞顶 上巡视时总能看清洞口 的情况．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用垂径定理求出BC的长，设圆的半径为r，可表示出OB的长，再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
（2）在优弧 上任取一点N，连接CM，DM，CN，DN，利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠CND的度数；再利用圆内接四边形的两个对角互补，可求出∠CMD的度数，可知CD在∠CMD的内部，由此可得结论.
22．（2022·泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
（1）如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
【答案】（1）解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：
当t=2.5时，BE=2.5，
∵EF=10，
∴OE=EF=5，
∴OB=2.5，
∴EB=OB，
在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，
∴△MBE≌△MBO(SAS)，
∴ME=MO，
∴ME=EO=MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM=60°，
∴.
（2）解：连接GO和HO，如下图所示：
∵∠GOH=90°，
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AOG+∠AGO=90°，
∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中，，
∴△AGO≌△BOH(AAS)，
∴AG=OB=BE-EO=t-5，
∵AB=7，
∴AE=BE-AB=t-7，
∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，
∴(t-5)2+(12-t)2=52，
解得：t1=8，t2=9，
即t的值为8或9秒.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）设BC与⊙O交于点M，当t=2.5时，BE=2.5，OE=EF=5，OB=2.5，则EB=OB，根据正方形的性质可得∠EBM=∠OBM=90°，证明△MBE≌△MBO，得到ME=MO，推出△MOE是等边三角形，则∠EOM=60°，然后结合弧长公式进行计算；
（2）连接GO和HO，根据同角的余角相等得∠AGO=∠BOH，证△AGO≌△BOH，得AG=OB=t-5，易得AE=BE-AB=t-7，AO=EO-AE=12-t，在Rt△AGO中，利用勾股定理可得t的值，据此解答.
23．（2020·广州）如图， 为等边 的外接圆，半径为2，点 在劣弧 上运动（不与点 重合），连接 ， ， ．
（1）求证： 是 的平分线；
（2）四边形 的面积 是线段 的长 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点 分别在线段 ， 上运动（不含端点），经过探究发现，点 运动到每一个确定的位置， 的周长有最小值 ，随着点 的运动， 的值会发生变化，求所有 值中的最大值．
【答案】（1）∵△ABC为等边三角形，BC=AC，
∴ ，都为 圆，
∴∠AOC=∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC是∠ADB的角平分线．
（2）是．
如图，延长DA至点E，使得AE=DB．
连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．
∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC，AC＝BC，
∴△EAC≌△DBC(SAS)，
∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，
故△EDC是等边三角形，
∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为
∴ ．
（3）依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，根据对称性
C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．
∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t，此时t=D1D2，
由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA，
∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．
∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，
在等腰△D1CD2中，作CH⊥D1D2，
则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H= ，
同理D2H=
∴t=D1D2= ．
∴x取最大值时，t取最大值．
即D与O、C共线时t取最大值，x=4．
所有t值中的最大值为 ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】(1)根据等弧对等角的性质证明即可；(2)延长DA到E，让AE=DB，证明△EAC≌△DBC，即可表示出S的面积；(3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中，t= ，D与O、C共线时t取最大值即可算出．
24．（2021·江西）如图1，四边形 内接于 ， 为直径，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 是 的切线， ，连接 ，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与 围成阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC= ，
∵∠EBC+∠ABC= ，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD= ，
∴∠D+∠CAD= ，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC= ，
∴∠CAD=∠ECB
（2）解：①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E= ，
∴∠OCE+∠E=18 ，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD= AD=2，AC=2 ，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF= ，
∴ ，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴ ，
∴阴影部分的面积为
【知识点】菱形的判定；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）先求出 ∠D=∠EBC， 再求出 ∠ECB+∠EBC= ， 最后证明求解即可；
（2）①先求出 ∠OCE=∠E= ， 再求出四边形ABCO是平行四边形， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
②先求出 AO=AB=2，AD=4， 再利用三角形的面积公式和扇形的面积公式计算求解即可。
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