2022-2023学年浙教版数学九年级上册4.1 比例线段 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·茂南期末）已知2a=3b，则下列比例式不正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、，则，不符合题意；
B、，则，不符合题意；
C、，则，不符合题意；
D、，则，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 2a=3b， 对每个选项一一判断即可。
2．（2021九上·舒城期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴x=y，
∴，
故答案为：D．
【分析】由已知条件可得x=y，然后代入中化简即可.
3．（2021九上·槐荫期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设x=3k，y=5k，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据，设x=3k，y=5k，再将x、y的值代入计算即可。
4．（2021九上·成都期末）若线段 ， ， ， 是成比例线段，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b=c：d
∴
∵ ，
，
，
∴
故答案为：A.
【分析】根据比例线段的概念可得a：b=c：d，然后表示出d，接下来将a、b、c的值代入计算即可.
5．（2021九上·萍乡期末）若，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
等式的两边都除以3b：，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求解即可。
6．（2021九上·黄浦期末）4和9的比例中项是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设4和9的比例中项为x，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】设4和9的比例中项为x，即可得到，再求出x的值即可。
7．（2021九上·舟山期末）某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ）米.
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设车身总厂为x米，则
即
∴
即车身总长约为4.14米.
故答案为：A.
【分析】设出未知数，由黄金比例，上部分：下部分=下部分：总厂，得出方程，得出结果。
8．（2021九上·兴宁期末）若点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，则AC的长是（ ）
A．－4 B．9－
C．－3或9－ D．－4或12－
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，
当时， ，
；
当时，，
即，
，
综上，AC的长为或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，利用 点C为线段AB的黄金分割点， 求解即可。
9．（2021九上·怀宁期末）下列结论中，不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（b﹣d≠0），则
D．若，则a＝3，b＝4
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，而，，不合题意；
B、若，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则，不合题意；
C、若（b﹣d≠0），则，则，不合题意；
D、若，设，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1， a，b的值不是3与4，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据比例的性质逐项判断即可。
10．（2021九上·陵城期末）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意；
B.1×4≠2×3，故不符合题意；
C.2×5≠3×4，故不符合题意；
D.2×=×2，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据成比例线段的性质求解即可。
二、填空题
11．（2021九上·海州期末）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝ cm.
【答案】4
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，线段a＝2cm，b＝8cm，
∴ ＝
，
∴c2＝ab＝2×8＝16，
∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去），
∴线段c＝4cm.
故答案为：4.
【分析】根据比例中项的概念可得c2＝ab，代入求解即可.
12．（2021九上·普宁期末）若（x，y，z均不为0），则 ．
【答案】2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：（x，y，z均不为0），
设，则，，
则．
故答案为：2．
【分析】先求出，，再代入求解即可。
13．（2021九上·海曙期末）若 ， 则 .
【答案】
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a：b=4：3
设a=4x，则b=3x
∴.
故答案为：.
【分析】利用比例的性质可证得a：b=4：3，设a=4x，则b=3x，再代入计算，可求出结果.
14．（2021九上·南京期末）已知B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝6，则AB的长为 .（结果保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：
B是线段AC的黄金分割点，
AC＝6
故答案为：3
－3.
【分析】所谓黄金分割，就是将一条线段一分为二，使较长线段的长与整个线段的长的比等于较小线段的长与较长线段的长的比，据此可得
，然后将AC=6代入计算即可.
15．（2020九上·顺德期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4．若D是BC边上的黄金分割点，则△ABD的面积为 ．
【答案】5﹣或3﹣5
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：过作于E，如图所示：
，
，
，
的面积，
是边上的黄金分割点，
当时，，
，
的面积；
当时，，
，
，
的面积；
故答案为：或．
【分析】过作于E，先有等腰三角形的性质得出BE的长，由勾股定理得出AE的值，再求出三角形ABC的面积，再由黄金分割的定义得出，进而得出答案。
16．（2021九上·揭东期末）已知点P是线段的黄金分割点，，那么 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设的长为，由黄金分割点可知
∴
去分母得：
解得（舍去）或
经检验是方程的解
∴的长为cm
故答案为：．
【分析】设的长为，由黄金分割点可知，再将数据代入计算即可。
三、解答题
17．（2021九上·怀宁期末）已知，求的值．
【答案】解：设＝k，
则，
解得．
所以
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】设＝k，求出，再代入计算即可。
18．（2021九上·涟水月考）已知有三条长度分别为2cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段.使这四条线段成比例，求所添线段的长度.
【答案】解：设添加的线段长度为x，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：.
∴所添线段的长度为1或4或16.
【知识点】比例线段
【解析】【分析】 四条线段a、b、c、d，如果存在a∶b=c∶d，我们就说这四条线段成比例，设添加的线段长度为x， 则添加的线段可以是a、b、c、d中的任意一条，从而分类讨论，分别建立关于x的方程求解即可.
19．（2021九上·包河期中）已知实数x、y、z满足 ，试求 的值．
【答案】解：设 ，则 ，
，
．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】先求出 ， 再代入计算求解即可。
20．（2021九上·温州期末）
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知二次函数的图象的顶点坐标为 ，且经过点 ，求该二次函数的解析式.
【答案】（1）解：由 ，
得 ，
.
（2）设该二次函数的解析式为 .
顶点坐标为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
该二次函数的解析式为 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；比例的性质
【解析】【分析】（1） 由，得 ，将原式变形为 ，再代入计算即可；
（2）根据待定系数法（顶点式）求出二次函数解析式即可.
21．（2021九上·涟水月考）如图，在△ABC中，，AB＝15，AE＝6，EC＝4.
（1）求AD的长.
（2）试说明成立.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴AD=9；
（2）解：∵，
∴，即，
∴.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）把已知线段长代入比例式，然后化成一个关于AD的方程求解即可；
（2）利用合比性质将原比例式化成 ， 然后将两边的分子和分母同时颠倒，即可得到结论.
22．（2021九上·吉安期中）已知 、 、 是 的三边长，且 .
（1）求 的值；
（2）若 的周长为90，求各边的长.
【答案】（1）解：∵ ，
∴设a=5x，b=4x，c=6x，
∴ ，
（2）解：∵ 的周长为90，
∴a+b+c=90
∴5x+4x+6x=90
∴x=6
∴各边的长为：30，24，36
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）先 设a=5x，b=4x，c=6x， 再计算求解即可；
（2）先求出 a+b+c=90 ，再求出 5x+4x+6x=90 ，最后计算求解即可。
23．（2021九上·温州期中）已知线段a，b满足 ，且a+b=14，
（1）求a，b，c的值；
（2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：设 ，则a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b=14，
∴3k+4k=7k=14，
解得k=2，
∴a=6，b=8，c=10
（2）解：∵b=8，c=10，x是b，c的比例中项，
∴x2=8×10=80，
解得
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件a=3k，b=4k，c=5k，根据a+b=14，可求出k的值，然后求出a，b，c的值.
（2）利用x是b，c的比例中项， 可得到x2=bc，代入可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
24．（2021九上·宁波期中）已知a：b＝3：2，求：
（1） ；
（2） 的值.
【答案】（1）解：∵a：b＝3：2，
∴设a＝3k，b＝2k，
＝ ＝ ；
（2）解： ＝ ＝﹣1.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1） 可设a＝3k，b＝2k， 然后代入计算即可；
（2） 可设a＝3k，b＝2k， 然后代入计算即可.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册4.1 比例线段 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·茂南期末）已知2a=3b，则下列比例式不正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
2．（2021九上·舒城期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·槐荫期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·成都期末）若线段 ， ， ， 是成比例线段，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·萍乡期末）若，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·黄浦期末）4和9的比例中项是（ ）
A．6 B． C． D．
7．（2021九上·舟山期末）某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ）米.
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
8．（2021九上·兴宁期末）若点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，则AC的长是（ ）
A．－4 B．9－
C．－3或9－ D．－4或12－
9．（2021九上·怀宁期末）下列结论中，不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（b﹣d≠0），则
D．若，则a＝3，b＝4
10．（2021九上·陵城期末）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021九上·海州期末）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝ cm.
12．（2021九上·普宁期末）若（x，y，z均不为0），则 ．
13．（2021九上·海曙期末）若 ， 则 .
14．（2021九上·南京期末）已知B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝6，则AB的长为 .（结果保留根号）
15．（2020九上·顺德期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4．若D是BC边上的黄金分割点，则△ABD的面积为 ．
16．（2021九上·揭东期末）已知点P是线段的黄金分割点，，那么 ．
三、解答题
17．（2021九上·怀宁期末）已知，求的值．
18．（2021九上·涟水月考）已知有三条长度分别为2cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段.使这四条线段成比例，求所添线段的长度.
19．（2021九上·包河期中）已知实数x、y、z满足 ，试求 的值．
20．（2021九上·温州期末）
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知二次函数的图象的顶点坐标为 ，且经过点 ，求该二次函数的解析式.
21．（2021九上·涟水月考）如图，在△ABC中，，AB＝15，AE＝6，EC＝4.
（1）求AD的长.
（2）试说明成立.
22．（2021九上·吉安期中）已知 、 、 是 的三边长，且 .
（1）求 的值；
（2）若 的周长为90，求各边的长.
23．（2021九上·温州期中）已知线段a，b满足 ，且a+b=14，
（1）求a，b，c的值；
（2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值．
24．（2021九上·宁波期中）已知a：b＝3：2，求：
（1） ；
（2） 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、，则，不符合题意；
B、，则，不符合题意；
C、，则，不符合题意；
D、，则，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 2a=3b， 对每个选项一一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴x=y，
∴，
故答案为：D．
【分析】由已知条件可得x=y，然后代入中化简即可.
3．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设x=3k，y=5k，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据，设x=3k，y=5k，再将x、y的值代入计算即可。
4．【答案】A
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b=c：d
∴
∵ ，
，
，
∴
故答案为：A.
【分析】根据比例线段的概念可得a：b=c：d，然后表示出d，接下来将a、b、c的值代入计算即可.
5．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
等式的两边都除以3b：，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求解即可。
6．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设4和9的比例中项为x，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】设4和9的比例中项为x，即可得到，再求出x的值即可。
7．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设车身总厂为x米，则
即
∴
即车身总长约为4.14米.
故答案为：A.
【分析】设出未知数，由黄金比例，上部分：下部分=下部分：总厂，得出方程，得出结果。
8．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，
当时， ，
；
当时，，
即，
，
综上，AC的长为或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，利用 点C为线段AB的黄金分割点， 求解即可。
9．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，而，，不合题意；
B、若，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则，不合题意；
C、若（b﹣d≠0），则，则，不合题意；
D、若，设，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1， a，b的值不是3与4，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据比例的性质逐项判断即可。
10．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意；
B.1×4≠2×3，故不符合题意；
C.2×5≠3×4，故不符合题意；
D.2×=×2，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据成比例线段的性质求解即可。
11．【答案】4
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，线段a＝2cm，b＝8cm，
∴ ＝
，
∴c2＝ab＝2×8＝16，
∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去），
∴线段c＝4cm.
故答案为：4.
【分析】根据比例中项的概念可得c2＝ab，代入求解即可.
12．【答案】2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：（x，y，z均不为0），
设，则，，
则．
故答案为：2．
【分析】先求出，，再代入求解即可。
13．【答案】
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a：b=4：3
设a=4x，则b=3x
∴.
故答案为：.
【分析】利用比例的性质可证得a：b=4：3，设a=4x，则b=3x，再代入计算，可求出结果.
14．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：
B是线段AC的黄金分割点，
AC＝6
故答案为：3
－3.
【分析】所谓黄金分割，就是将一条线段一分为二，使较长线段的长与整个线段的长的比等于较小线段的长与较长线段的长的比，据此可得
，然后将AC=6代入计算即可.
15．【答案】5﹣或3﹣5
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：过作于E，如图所示：
，
，
，
的面积，
是边上的黄金分割点，
当时，，
，
的面积；
当时，，
，
，
的面积；
故答案为：或．
【分析】过作于E，先有等腰三角形的性质得出BE的长，由勾股定理得出AE的值，再求出三角形ABC的面积，再由黄金分割的定义得出，进而得出答案。
16．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设的长为，由黄金分割点可知
∴
去分母得：
解得（舍去）或
经检验是方程的解
∴的长为cm
故答案为：．
【分析】设的长为，由黄金分割点可知，再将数据代入计算即可。
17．【答案】解：设＝k，
则，
解得．
所以
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】设＝k，求出，再代入计算即可。
18．【答案】解：设添加的线段长度为x，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：.
∴所添线段的长度为1或4或16.
【知识点】比例线段
【解析】【分析】 四条线段a、b、c、d，如果存在a∶b=c∶d，我们就说这四条线段成比例，设添加的线段长度为x， 则添加的线段可以是a、b、c、d中的任意一条，从而分类讨论，分别建立关于x的方程求解即可.
19．【答案】解：设 ，则 ，
，
．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】先求出 ， 再代入计算求解即可。
20．【答案】（1）解：由 ，
得 ，
.
（2）设该二次函数的解析式为 .
顶点坐标为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
该二次函数的解析式为 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；比例的性质
【解析】【分析】（1） 由，得 ，将原式变形为 ，再代入计算即可；
（2）根据待定系数法（顶点式）求出二次函数解析式即可.
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴AD=9；
（2）解：∵，
∴，即，
∴.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）把已知线段长代入比例式，然后化成一个关于AD的方程求解即可；
（2）利用合比性质将原比例式化成 ， 然后将两边的分子和分母同时颠倒，即可得到结论.
22．【答案】（1）解：∵ ，
∴设a=5x，b=4x，c=6x，
∴ ，
（2）解：∵ 的周长为90，
∴a+b+c=90
∴5x+4x+6x=90
∴x=6
∴各边的长为：30，24，36
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）先 设a=5x，b=4x，c=6x， 再计算求解即可；
（2）先求出 a+b+c=90 ，再求出 5x+4x+6x=90 ，最后计算求解即可。
23．【答案】（1）解：设 ，则a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b=14，
∴3k+4k=7k=14，
解得k=2，
∴a=6，b=8，c=10
（2）解：∵b=8，c=10，x是b，c的比例中项，
∴x2=8×10=80，
解得
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件a=3k，b=4k，c=5k，根据a+b=14，可求出k的值，然后求出a，b，c的值.
（2）利用x是b，c的比例中项， 可得到x2=bc，代入可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
24．【答案】（1）解：∵a：b＝3：2，
∴设a＝3k，b＝2k，
＝ ＝ ；
（2）解： ＝ ＝﹣1.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1） 可设a＝3k，b＝2k， 然后代入计算即可；
（2） 可设a＝3k，b＝2k， 然后代入计算即可.
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