2022-2023学年浙教版数学九年级上册4.2 由平行线截得的比例线段 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·肃州期末）如图， ，直线a，b与 分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB∶BC＝2∶3，EF＝6，则DE的长是（ ）
A．8 B．9 C．4 D．10
2．（2021九上·禅城期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝4，BC＝6，EF＝9，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2021九上·石阡月考）如图，，BC＝2，，则AB的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2021九上·海曙期末）如图 中， 分别在边 上， ， 则 （ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
5．（2021九上·无棣期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，则DE的长度是（ ）
A． B． C．6 D．10
6．（2020九上·顺德期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝3，则EC的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．
7．（2021九上·全椒期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·三水期末）如图，，若，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
9．（2021九上·虹口期末）在中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果，，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九上·温州期末）如图， 是一组平行线，直线AC，DF分别与这组平行线依次相交于点A，B，C和点D，E，F.若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·天桥期末）如图，已知△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．AD＝2，DB＝3，AE＝4，则EC＝ ；
12．（2021九上·舟山期末）如图，在ΔABC中，BC＝20，点B1，B2，B3，B4和点C1，C2，C3，C4分别是AB，AC的5等分点，则B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4的值为 。
13．（2021九上·天桥期末）如图，已知 ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD＝60°，BC＝2CD，连结OE．下列结论，①OE//CD；②OE＝CD；③S ABCD＝BD·CD；④AO＝2BO，⑤S△DOF＝2S△EOF．其中正确结论的序号是 ；
14．（2021九上·大连期末）如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝ ．
15．（2021九上·松江期末）我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD＝1，BC＝2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EFBC，如果四边AEFD与四边形EBCF相似，那么的值是 ．
16．（2021九上·鞍山期末）如图，A，B两点在x轴上，点P为反比例函数图象上一点，连接，，，且与反比例函数的图象交于点N，若，，的面积为2，则k的值为 ．
三、解答题
17．（2021九上·鞍山期末）如图，在中，点D为边上一点，连接，点H为中点，延长交边于点E，求证：．
18．（2021九上·舟山月考）如图，在△ABC中，EF∥CD ，DE∥BC ．求证：AF：FD=AD：DB ．
19．（2021九上·凌海期中）在四边形ABCD中， ， ， ， ， 的平分线分别交AD、AC于点E、F，求 的值．
20．（2021九上·阳谷期中）如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度是？
21．（2021九上·大东期末）如图，在△ABC中，EFCD，DEBC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．
22．（2021九上·江油期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B，一次函数y＝kx+4（k≠0）图象与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D，若AB＝3BD．
（1）求点A的坐标；
（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；
（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图象与一次函数y＝kx+4（k≠0）图象交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？
23．（2021九上·永川月考）已知：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E.
（1）求证：BC = CE；
（2）求证：
24．（2021九上·嘉兴期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，以AD为直径的⊙O经过点C，交AB于点E，且AC＝AE，CF为⊙O的直径，连接FE并延长交BC于点G，连接AF。
（1）求证：四边形ADGF是平行四边形；
（2）若AF：BC＝3：8，BE＝4，求⊙O的直径。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由平行线分线段成比例定理得： ，即 ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】由平行线分线段成比例定理得： ，然后代入数据进行计算就可得到DE的长.
2．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，然后代入计算即可得到DE.
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：且，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得比列式，将其相关线段的长代入计算，可求出AC的长，然后根据AB=AC-BC，可求出AB的长.
4．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴即
解之：BC=6.
故答案为：A.
【分析】利用平行线分线段成比例定理可得比列式，然后代入相关的线段的长进行计算，可求出BC的长.
5．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由平行线分线段成比例可知
∴
解得
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算即可。
6．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： ∵DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝3，
∴，
即，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算即可。
7．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵，，，
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，，再利用等量代换可得。
8．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵BF=3DF，∴BD=2DF，
∵，
∴=，
∴==2，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得=，再将数据代入计算即可得到==2。
9．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】如图：
∵DE∥AC，AE：EB=3：2，
∴
∴
∵，
∴
故答案为：B
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再利用等量代换可得。
10．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
又∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例得，再由得出即可求解.
11．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴EC=6，
故答案为：6．
【分析】根据平行线分线段成比例可得，据此求解即可.
12．【答案】40
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
同理，
∴
故答案为：40.
【分析】由SAS得出，从而得出对应线段成比例，得出的长，同理，可得出其他线段的长，从而得出结果。
13．【答案】①②④⑤
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，AB∥CD，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠BCD=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=60°=∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=CD，
∵BC=2CD，
∴BE=CE，
又∵OA=OC，
∴OE∥AB，OE=CD，
∴OE∥CD；
故①②符合题意；
∵△DEC是等边三角形，
∴∠DEC=60°=∠DBC+∠BDE，
∵BE=EC=DE，
∴∠DBC=∠BDE=30°，
∴∠BDC=30°+60°=90°，
∴BD⊥CD，
∴S ABCD=BD CD；
故③符合题意；
设AB=x，则AD=2x，则BD=x，
∴OB=x，
由勾股定理得：AO=，
故④不符合题意；
∵AD∥EC，
∴，
∴DF=2EF，
∴S△DOF=2S△EOF．
故⑤符合题意；
故答案为：①②④⑤．
【分析】证明△CDE是等边三角形，可得CE=CD，结合BC=2CD得出BE=CE，由平行四边形的性质可得OA=OC，AB∥CD，从而得出OE是△ABC的中位线，即得OE∥AB，OE=CD，据此判断①②；易求∠BDC=90°，可得S ABCD=BD CD，据此判断③；设AB=x，则AD=2x，则BD=x，OB=x，由勾股定理求出AO，即可判断④；由AD∥EC可得，从而得出S△DOF=2S△EOF，据此判断⑤．
14．【答案】5.4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∴，
解得 CN＝3.6，
∴ND＝CD﹣CN＝9﹣3.6＝5.4
故答案为：5.4．
【分析】先求出＝，再求出 CN＝3.6，最后计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边AEFD与四边形EBCF相似，
∴，
∵AD=1，BC=2，
∴，
解得：EF=，
∵四边AEFD与四边形EBCF相似，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，再求出EF=，最后计算求解即可。
16．【答案】4
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点P作PC⊥OA于C，过点N作ND⊥OA于D，设点P坐标为（），
∵PC∥ND，，
∴，，
∴，
N点坐标为（），
∴，
∵，
∴
∴点D与点A重合，
的面积为2，即的面积为2，
，
，
解得，；
故答案为：4．
【分析】过点P作PC⊥OA于C，过点N作ND⊥OA于D，设点P坐标为（），利用平行线及线段的中点，可求出N点坐标为（），可得=CA，即得点D与点A重合，从而得出的面积=的面积=2，由的面积=，代入相应数据即可求出k值.
17．【答案】证明：过点D作DF∥BE交AC于F，
∵点H为中点，
∴AH=HD，
∵DF∥BE，
∴，
∴AE=EF，
∵DF∥BE，
∴，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】 过点D作DF∥BE交AC于F，由线段的中点可得AH=HD，由DF∥BE可得，从而求出AE=EF，由DF∥BE可得，据此即可求解.
18．【答案】证明：∵EF∥CD，
∴AF：FD=AE：EC，
∵DE∥BC，
∴AD：DB=AE：EC，
∴ AF：FD=AD：DB .
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】由EF∥CD，根据平行线分线段成比例的性质得出AF：FD=AE：EC，同理得出AD：DB=AE：EC，等量代换，即可得证.
19．【答案】解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴EA∥FG，
∴ = ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又BE是∠ABC的平分线，
∴FG=FC，
在 中，
，
，
∴CB=GB，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴AB= BC，
∴ = = =( －1)．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】先求出 ∠ACB=90°， 再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
20．【答案】解：∵OA=1，OB=2，
∴AB=3，
∵a∥b∥c，
∴ ，
即 ，
∴ ；
∴DE的长度是 ．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算即可。
21．【答案】（1）证明：∵EFCD，
∴AF：FD=AE：EC，
∵DEBC，
∴AE：EC=AD：DB，
∴AF：FD＝AD：DB；
（2）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：（2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1，
∴，
∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD=2：1，
∴
【分析】（1）先利用平行线分线段成比例的性质可得AF：FD=AE：EC，AE：EC=AD：DB，再利用等量代换可得AF：FD＝AD：DB；
（2）先求出AD的长，再根据AF：FD＝AD：DB，最后将数据代入计算即可。
22．【答案】（1）解：作AE⊥x轴与点E，则BO∥AE，
将x＝0代入y＝（x﹣2）2得y＝4，
∴点B坐标为（0.4）．
∵AB＝3BD，
∴.
∴AE＝4BO＝16，
将y＝16代入y＝（x﹣2）2得16＝（x﹣2）2，
解得x＝6或x＝﹣2（舍），
∴点A坐标为（6，16）．
（2）作CF∥y轴交AB于点F，
将（6，16）代入y＝kx+4得16＝6k+4，
解得k＝2，
∴y＝2x+4，
将x＝2代入y＝2x+4得y＝8，
∴点F坐标为（2，8），
∴FC＝8，
∴S△ABC＝S△BCF+S△ACF＝ FC （xC﹣xB）+FC （xA﹣xC）＝×8×（2﹣0）+×8×（6﹣2）＝24．
（3）设抛物线向上平移m个单位，则点P坐标为（0，4+m），
由题意可得P，Q关于对称轴对称，
∴点Q坐标为（4，4+m），
将（4，4+m）代入y＝2x+4得4+m＝8+4，
解得m＝8，
∴该抛物线平移了8个单位．
【知识点】二次函数图象的几何变换；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）作AE⊥x轴与点E，先求出点B的坐标为（0，4），再根据平行线分线段成比例定理得出AE=16，再把y=16代入抛物线的解析式求出x的值，即可得出点A的坐标；
（2）作CF∥y轴交AB于点F，利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点F的坐标，利用 S△ABC＝S△BCF+S△ACF列式进行计算，即可得出答案；
（3）设抛物线向上平移m个单位，得出点P坐标为（0，4+m），从而得出点Q坐标为（4，4+m），再把点Q的坐标代入直线AB的解析式，求出m的值，即可得出答案.
23．【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD.
又∵BE∥CD，
∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD.
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠CBE=∠CEB.
故△BCE是等腰三角形，BC=CE.
（2）证明：∵BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得=，
又∵BC=CE，
∴=.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠CBE=∠CEB，根据等角对等边得出BC=CE；
（2）根据平行线分线段成比例定理可得=， 结合BC=CE，即可得证.
24．【答案】（1）证明：连接CE．
∵AC＝AE，
∴ ，
∴AD⊥CE，
∵CF是直径，
∴∠CEF＝90°，
∴FG⊥CE，
∴AD∥FG，
∵CF，AD是直径，
∴∠ACD＝∠CAF＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝180°，
∴AF∥BC，
∴四边形ADGF是平行四边形．
（2）解：∵∠AOF＝∠COD，
∴ ，
∴AF＝CD，
∵四边形ADGF是平行四边形，
∴AF＝DG，
∵AF：BC＝3：8，
∴BG：DG＝2：3，
∵EG∥AD，
∴ ，
∵BE＝4，
∴AE＝AC＝6，
∴AB＝10，BC＝ ＝8，
∵CD＝DG，BG：DG＝2：3，
∴CD＝GD＝3，BG＝2，
∴AD＝ ＝3 ，
∴⊙O的直径为3
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；垂径定理；圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】(1)根据垂径定理得出AD⊥CE，然后根据圆周角定理求出FG⊥CE，可得AD∥FG，根据直径所对的圆周角是直角求出∠CAF+∠ACD＝180°，可得AF∥BC，从而证出四边形ADGF是平行四边形．
(2) 根据平行四边形的性质和圆心角和弦的关系求出AF=CD=DG，可得BG：DG=2： 3，利用平行线分线段成比例定理求出AE、AC，再利用勾股定理求出BC、CD，即可求出结果.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册4.2 由平行线截得的比例线段 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·肃州期末）如图， ，直线a，b与 分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB∶BC＝2∶3，EF＝6，则DE的长是（ ）
A．8 B．9 C．4 D．10
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由平行线分线段成比例定理得： ，即 ，
解得 .
故答案为：C.
【分析】由平行线分线段成比例定理得： ，然后代入数据进行计算就可得到DE的长.
2．（2021九上·禅城期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝4，BC＝6，EF＝9，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，然后代入计算即可得到DE.
3．（2021九上·石阡月考）如图，，BC＝2，，则AB的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：且，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得比列式，将其相关线段的长代入计算，可求出AC的长，然后根据AB=AC-BC，可求出AB的长.
4．（2021九上·海曙期末）如图 中， 分别在边 上， ， 则 （ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴即
解之：BC=6.
故答案为：A.
【分析】利用平行线分线段成比例定理可得比列式，然后代入相关的线段的长进行计算，可求出BC的长.
5．（2021九上·无棣期末）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，则DE的长度是（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由平行线分线段成比例可知
∴
解得
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算即可。
6．（2020九上·顺德期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝3，则EC的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： ∵DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝3，
∴，
即，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算即可。
7．（2021九上·全椒期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵，，，
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，，再利用等量代换可得。
8．（2021九上·三水期末）如图，，若，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵BF=3DF，∴BD=2DF，
∵，
∴=，
∴==2，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得=，再将数据代入计算即可得到==2。
9．（2021九上·虹口期末）在中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果，，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】如图：
∵DE∥AC，AE：EB=3：2，
∴
∴
∵，
∴
故答案为：B
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再利用等量代换可得。
10．（2021九上·温州期末）如图， 是一组平行线，直线AC，DF分别与这组平行线依次相交于点A，B，C和点D，E，F.若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
又∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例得，再由得出即可求解.
二、填空题
11．（2021九上·天桥期末）如图，已知△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．AD＝2，DB＝3，AE＝4，则EC＝ ；
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴EC=6，
故答案为：6．
【分析】根据平行线分线段成比例可得，据此求解即可.
12．（2021九上·舟山期末）如图，在ΔABC中，BC＝20，点B1，B2，B3，B4和点C1，C2，C3，C4分别是AB，AC的5等分点，则B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4的值为 。
【答案】40
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
同理，
∴
故答案为：40.
【分析】由SAS得出，从而得出对应线段成比例，得出的长，同理，可得出其他线段的长，从而得出结果。
13．（2021九上·天桥期末）如图，已知 ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD＝60°，BC＝2CD，连结OE．下列结论，①OE//CD；②OE＝CD；③S ABCD＝BD·CD；④AO＝2BO，⑤S△DOF＝2S△EOF．其中正确结论的序号是 ；
【答案】①②④⑤
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，AB∥CD，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠BCD=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=60°=∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=CD，
∵BC=2CD，
∴BE=CE，
又∵OA=OC，
∴OE∥AB，OE=CD，
∴OE∥CD；
故①②符合题意；
∵△DEC是等边三角形，
∴∠DEC=60°=∠DBC+∠BDE，
∵BE=EC=DE，
∴∠DBC=∠BDE=30°，
∴∠BDC=30°+60°=90°，
∴BD⊥CD，
∴S ABCD=BD CD；
故③符合题意；
设AB=x，则AD=2x，则BD=x，
∴OB=x，
由勾股定理得：AO=，
故④不符合题意；
∵AD∥EC，
∴，
∴DF=2EF，
∴S△DOF=2S△EOF．
故⑤符合题意；
故答案为：①②④⑤．
【分析】证明△CDE是等边三角形，可得CE=CD，结合BC=2CD得出BE=CE，由平行四边形的性质可得OA=OC，AB∥CD，从而得出OE是△ABC的中位线，即得OE∥AB，OE=CD，据此判断①②；易求∠BDC=90°，可得S ABCD=BD CD，据此判断③；设AB=x，则AD=2x，则BD=x，OB=x，由勾股定理求出AO，即可判断④；由AD∥EC可得，从而得出S△DOF=2S△EOF，据此判断⑤．
14．（2021九上·大连期末）如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝ ．
【答案】5.4
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∴，
解得 CN＝3.6，
∴ND＝CD﹣CN＝9﹣3.6＝5.4
故答案为：5.4．
【分析】先求出＝，再求出 CN＝3.6，最后计算求解即可。
15．（2021九上·松江期末）我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD＝1，BC＝2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EFBC，如果四边AEFD与四边形EBCF相似，那么的值是 ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边AEFD与四边形EBCF相似，
∴，
∵AD=1，BC=2，
∴，
解得：EF=，
∵四边AEFD与四边形EBCF相似，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，再求出EF=，最后计算求解即可。
16．（2021九上·鞍山期末）如图，A，B两点在x轴上，点P为反比例函数图象上一点，连接，，，且与反比例函数的图象交于点N，若，，的面积为2，则k的值为 ．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点P作PC⊥OA于C，过点N作ND⊥OA于D，设点P坐标为（），
∵PC∥ND，，
∴，，
∴，
N点坐标为（），
∴，
∵，
∴
∴点D与点A重合，
的面积为2，即的面积为2，
，
，
解得，；
故答案为：4．
【分析】过点P作PC⊥OA于C，过点N作ND⊥OA于D，设点P坐标为（），利用平行线及线段的中点，可求出N点坐标为（），可得=CA，即得点D与点A重合，从而得出的面积=的面积=2，由的面积=，代入相应数据即可求出k值.
三、解答题
17．（2021九上·鞍山期末）如图，在中，点D为边上一点，连接，点H为中点，延长交边于点E，求证：．
【答案】证明：过点D作DF∥BE交AC于F，
∵点H为中点，
∴AH=HD，
∵DF∥BE，
∴，
∴AE=EF，
∵DF∥BE，
∴，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】 过点D作DF∥BE交AC于F，由线段的中点可得AH=HD，由DF∥BE可得，从而求出AE=EF，由DF∥BE可得，据此即可求解.
18．（2021九上·舟山月考）如图，在△ABC中，EF∥CD ，DE∥BC ．求证：AF：FD=AD：DB ．
【答案】证明：∵EF∥CD，
∴AF：FD=AE：EC，
∵DE∥BC，
∴AD：DB=AE：EC，
∴ AF：FD=AD：DB .
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】由EF∥CD，根据平行线分线段成比例的性质得出AF：FD=AE：EC，同理得出AD：DB=AE：EC，等量代换，即可得证.
19．（2021九上·凌海期中）在四边形ABCD中， ， ， ， ， 的平分线分别交AD、AC于点E、F，求 的值．
【答案】解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴EA∥FG，
∴ = ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又BE是∠ABC的平分线，
∴FG=FC，
在 中，
，
，
∴CB=GB，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴AB= BC，
∴ = = =( －1)．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】先求出 ∠ACB=90°， 再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
20．（2021九上·阳谷期中）如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度是？
【答案】解：∵OA=1，OB=2，
∴AB=3，
∵a∥b∥c，
∴ ，
即 ，
∴ ；
∴DE的长度是 ．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算即可。
21．（2021九上·大东期末）如图，在△ABC中，EFCD，DEBC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．
【答案】（1）证明：∵EFCD，
∴AF：FD=AE：EC，
∵DEBC，
∴AE：EC=AD：DB，
∴AF：FD＝AD：DB；
（2）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：（2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1，
∴，
∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD=2：1，
∴
【分析】（1）先利用平行线分线段成比例的性质可得AF：FD=AE：EC，AE：EC=AD：DB，再利用等量代换可得AF：FD＝AD：DB；
（2）先求出AD的长，再根据AF：FD＝AD：DB，最后将数据代入计算即可。
22．（2021九上·江油期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B，一次函数y＝kx+4（k≠0）图象与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D，若AB＝3BD．
（1）求点A的坐标；
（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；
（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图象与一次函数y＝kx+4（k≠0）图象交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？
【答案】（1）解：作AE⊥x轴与点E，则BO∥AE，
将x＝0代入y＝（x﹣2）2得y＝4，
∴点B坐标为（0.4）．
∵AB＝3BD，
∴.
∴AE＝4BO＝16，
将y＝16代入y＝（x﹣2）2得16＝（x﹣2）2，
解得x＝6或x＝﹣2（舍），
∴点A坐标为（6，16）．
（2）作CF∥y轴交AB于点F，
将（6，16）代入y＝kx+4得16＝6k+4，
解得k＝2，
∴y＝2x+4，
将x＝2代入y＝2x+4得y＝8，
∴点F坐标为（2，8），
∴FC＝8，
∴S△ABC＝S△BCF+S△ACF＝ FC （xC﹣xB）+FC （xA﹣xC）＝×8×（2﹣0）+×8×（6﹣2）＝24．
（3）设抛物线向上平移m个单位，则点P坐标为（0，4+m），
由题意可得P，Q关于对称轴对称，
∴点Q坐标为（4，4+m），
将（4，4+m）代入y＝2x+4得4+m＝8+4，
解得m＝8，
∴该抛物线平移了8个单位．
【知识点】二次函数图象的几何变换；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）作AE⊥x轴与点E，先求出点B的坐标为（0，4），再根据平行线分线段成比例定理得出AE=16，再把y=16代入抛物线的解析式求出x的值，即可得出点A的坐标；
（2）作CF∥y轴交AB于点F，利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点F的坐标，利用 S△ABC＝S△BCF+S△ACF列式进行计算，即可得出答案；
（3）设抛物线向上平移m个单位，得出点P坐标为（0，4+m），从而得出点Q坐标为（4，4+m），再把点Q的坐标代入直线AB的解析式，求出m的值，即可得出答案.
23．（2021九上·永川月考）已知：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E.
（1）求证：BC = CE；
（2）求证：
【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD.
又∵BE∥CD，
∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD.
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠CBE=∠CEB.
故△BCE是等腰三角形，BC=CE.
（2）证明：∵BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得=，
又∵BC=CE，
∴=.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠CBE=∠CEB，根据等角对等边得出BC=CE；
（2）根据平行线分线段成比例定理可得=， 结合BC=CE，即可得证.
24．（2021九上·嘉兴期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，以AD为直径的⊙O经过点C，交AB于点E，且AC＝AE，CF为⊙O的直径，连接FE并延长交BC于点G，连接AF。
（1）求证：四边形ADGF是平行四边形；
（2）若AF：BC＝3：8，BE＝4，求⊙O的直径。
【答案】（1）证明：连接CE．
∵AC＝AE，
∴ ，
∴AD⊥CE，
∵CF是直径，
∴∠CEF＝90°，
∴FG⊥CE，
∴AD∥FG，
∵CF，AD是直径，
∴∠ACD＝∠CAF＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝180°，
∴AF∥BC，
∴四边形ADGF是平行四边形．
（2）解：∵∠AOF＝∠COD，
∴ ，
∴AF＝CD，
∵四边形ADGF是平行四边形，
∴AF＝DG，
∵AF：BC＝3：8，
∴BG：DG＝2：3，
∵EG∥AD，
∴ ，
∵BE＝4，
∴AE＝AC＝6，
∴AB＝10，BC＝ ＝8，
∵CD＝DG，BG：DG＝2：3，
∴CD＝GD＝3，BG＝2，
∴AD＝ ＝3 ，
∴⊙O的直径为3
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；垂径定理；圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】(1)根据垂径定理得出AD⊥CE，然后根据圆周角定理求出FG⊥CE，可得AD∥FG，根据直径所对的圆周角是直角求出∠CAF+∠ACD＝180°，可得AF∥BC，从而证出四边形ADGF是平行四边形．
(2) 根据平行四边形的性质和圆心角和弦的关系求出AF=CD=DG，可得BG：DG=2： 3，利用平行线分线段成比例定理求出AE、AC，再利用勾股定理求出BC、CD，即可求出结果.
1 / 1
