2022-2023学年浙教版数学九年级上册4.3 相似三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·槐荫期末）如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACP，
∴∠ACB=∠APC=65°，
∵∠A=70°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°．
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的性质可得。
2．（2021九上·深圳期末）如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（ ）
A．30° B．35° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-65°=80°，
又∵△ABC∽△DEF，
∴∠F=∠C=80°，
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠C的度数，再根据相似三角形的性质可得∠F=∠C=80°。
3．（2021九上·阳山期末）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABO∽△CDO，BO＝8，DO＝4，CD＝3，
∴，即，
∴AB=6．
故答案为：D．
【分析】根据题意已知BO＝8，DO＝4，CD＝3，再利用相似三角形的性质即可得出答案。
4．（2021九上·扬州月考）如图，已知，若，，，则AC的长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，列出比例式，然后代值计算即可.
5．（2021九上·荷塘期末）已知，，则=（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△∽△，，，
∴==.
故答案为：B.
【分析】直接根据相似三角形对应边成比例的性质进行求解.
6．（2021九上·会同期末）已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：=1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应边的比相等进行解答即可.
7．（2021九上·衡阳期末）△ABC中，AB=6，BC=10，CA=12，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）
A．12 B．18 C．20 D．27
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设另一个和它相似的三角形最短的一边是x，
∵△ABC中，AB=6，BC=10，CA=12，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
∴，
解得x=18.
故答案为：B.
【分析】设另一个和它相似的三角形最短的一边是x，然后根据相似三角形对应边成比例进行求解.
8．（2021九上·义乌期中）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的边长分别为8cm，10cm和12cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设另一个三角形的最长边为 ，
∵两个三角形的形状相同，即这两个三角形相似，
∴ ，
解得 ，
即另一个三角形的最长边为 .
故答案为：A.
【分析】设另一个三角形的最长边为xcm，根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
9．（2021九上·鄞州期中）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，利用AAA可以判断两个三角形相似.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理分别计算每一个选项中三角形各内角的度数，再根据AAA定理进行判断.
10．（2021九上·高邑期中）如图所示， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的性质可得，再结合 ， ，可求出。
11．（2021九上·于洪期中）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC＋∠ACB的度数为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC=∠DEF=135°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-135°=45°，
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DEF=135°，再利用三角形的内角和计算即可。
12．（2021九上·温州月考）如图，已知△ABC和△A′B′C′相似，则图中角度 和边长x分别为（ ）
A．30°，9 B．30°，6 C．40°，9 D．40°，6
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意：△ABC∽△A′B′C′，
∴∠ =∠ ＝40°，
，即 ，
∴解得 ，
经检验 符合意义，是原方程的解.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠α的度数，根据相似三角形对应边成比例可得x的值.
二、填空题
13．（2022九上·碑林月考）如图，在中，，，D是的中点，过D点的直线交于点Q，若使与相似，则的长度为 ．
【答案】2或4.5
【知识点】相似三角形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵AB=6，D是AB的中点，
∴AD=AB=3，
①若△ADQ∽△ABC，则AD：AB=AQ：AC，
即3：6=AQ：4，
解得：AQ=2；
②若△ADQ∽△ACB，则AD：AC=AQ：AB
即3：4=AQ：6，
解得：AQ=4.5；
∴AQ的长为2或4.5.
故答案为：2或4.5.
【分析】根据中点的概念可得AD=AB=3，①若△ADQ∽△ABC，则AD∶AB=AQ∶AC，代入数据计算即可；②若△ADQ∽△ACB，则AD∶AC=AQ∶AB，代入数据计算即可.
14．（2021九上·绥化期末）如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP= ．
【答案】或2或6
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°，
AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x，
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，
解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），
解得x=2或x=6．
所以AP=或AP=2或AP=6．
故答案是：或2或6．
【分析】由AD//BC，∠ABC=90°，易得∠PAD=∠PBC=90°，又由AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为（8-x），然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP其分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案。
15．（2021九上·前进期末）如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝ 时，△ADP与△BCP相似．
【答案】2或5或8
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴BC=AD=4，CD=AB=10
当△ADP∽△PCB时，，即
∴DP(10 DP)=16
即
解得：DP=2或DP=8
当△ADP∽△BCP时，
∴DP=PC
∵DP+PC=10
∴DP=5
综上所述，当DP的长为2或5或8时，△ADP与△BCP相似．
故答案为：2或5或8
【分析】根据矩形的性质得出BC=AD=4，CD=AB=10 ，分两种情况：当△ADP∽△PCB时，，当△ADP∽△BCP时，，即可得出结论。
16．（2021九上·西湖期中）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 .
【答案】3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得 .
故答案为：3.
【分析】依题意可知：两高脚杯中的液体部分两三角形相似，然后根据对应边成比例可得AB.
17．（2021九上·薛城期中）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．当△ACP∽△PDB时，∠APB＝ °．
【答案】120
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠A＝∠BPD，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝60°，
∴∠PCD＝∠A+∠APC＝60°，
∴∠APC+∠BPD＝60°，
∴∠APB＝∠APC+∠CPD+∠BPD＝120°．
故答案为120．
【分析】先求出∠PCD＝∠CPD＝60°，再求出∠APC+∠BPD＝60°，最后计算求解即可。
18．（2021九上·西安期中）如图，△ABC∽△DAC，∠B＝28°，∠D＝140°，则∠BAD的度数为 .
【答案】168°
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠B＝∠DAC＝28°，∠D＝∠BAC＝140°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝28°+140°=168°.
故答案为：168°.
【分析】由相似三角形的对应角相等可得∠B＝∠DAC＝28°，∠D＝∠BAC＝140°，然后根据∠BAD=∠DAC+∠BAC进行计算.
三、解答题
19．（2021九上·济阳期中）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
【答案】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有，，，
当时，，
即，
解得秒；
当时，，
即，
解得秒．
∴经过2.5秒或1秒时，△PBQ与△ABC相似．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】分两种情况：①当时，，②当时，，再将数据代入求解即可。
20．（2021九上·鹿城期末）
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长.
【答案】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
，即 ，解得DF＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，
由勾股定理得：
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF的长；再利用矩形的性质可证得∠D=90°，然后利用勾股定理求出EF的长.
21．（2019九上·乡宁期中）
（1）已知 ，求一次函数 所经过的象限；
（2）已知 与 相似，且 的三边长分别为6、8、4， 其中一边长为2，试求 的另外两边长．
【答案】（1）解：
，即
若 ，即 ，满足已知等式
则一次函数为 ，此函数的图象经过第二、三、四象限
若 ，即
，即
解得
则一次函数为 ，此函数的图象经过第一、二、三象限
综上，当 时，一次函数 的图象经过第二、三、四象限；当 时，一次函数 的图象经过第一、二、三象限
（2）解：设 的另外两边长分别为
由 分以下三种情况：
①当 边长为2的边与 边长为6的边为对应边
则 ，解得
因此， 的三边分别为 ，满足三角形的三边关系
②当 边长为2的边与 边长为8的边为对应边
则 ，解得
因此， 的三边分别为 ，满足三角形的三边关系
③当 边长为2的边与 边长为4的边为对应边
则 ，解得
因此， 的三边分别为 ，满足三角形的三边关系
综上， 的另外两边长分别为 或 或
【知识点】三角形三边关系；比例的性质；相似三角形的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）先利用等式的性质求出k的值，再根据一次函数的图象即可得；（2）先根据相似三角形的性质得出两个三角形对应边的比例式，从而求出 的另外两边长，再根据三角形的三边关系定理即可得．
22．（2020九上·罗庄期末）如果三角形的两个内角 与 满足 =90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，求∠B的度数；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵△ABC是“准互余三角形”，
∴2∠A+∠B＝90°或∠A+2∠B＝90°
∵∠C＞90°，∠A＝60°，2∠A+∠B＝90°不合题意，舍去．
∴∠A+2∠B＝90°，
∴∠B=15°．
（2）解：在边BC上存在点E，使得△ABE也是“准互余三角形”
∵点E在BC边上，∠AEB＞90°，
∴2∠BAE+∠B＝90°或∠BAE+2∠B＝90°，
∵点E异于点D，
∴2∠BAE+∠B＝90°不成立；
∴∠BAE+2∠B＝90°，
在Rt△ABC中，
∠BAE+∠EAC+∠B=90°，∠BAE+2∠B=90°，
∴∠B=∠EAC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△EAC，
∴ ，
∴CE= ，
∴BE= ．
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可求解；
（2）证明△ABC∽△EAC，根据三角形相似的性质列出比例式即可求解。
23．（2020九上·深圳月考）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t >0）秒．
（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ ∽△ABC，求t的值；
（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．
①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；
②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵△APQ∽△ABC ∴ ， 即 解得
（2）解：①如图①，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，
则AP=AQ，
即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，
过点Q作QO∥AD交AC于点O，
则 ∴ ，
，∴PO=AO－AP=1．
由△APE∽△OPQ，得 ．
②（ⅰ）如图②，当点Q从B向A运动时l经过点B，
BQ＝BP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP
∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°
∴∠PBC＝∠PCB CP＝BP＝AP＝t
∴CP＝AP＝ AC＝ ×5＝2.5∴t＝2.5
（ⅱ）如图③，当点Q从A向B运动时l经过点B，
BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，
过点P作PG⊥CB于点G，由△PGC∽△ABC，
得
，BG＝4－
由勾股定理得 ，即
，解得 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意得AP=t，AQ=3-t， 由△APQ∽△ABC，可得，据此求出t值即可；
（2）①如图①，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，可得AP=AQ，即3－t=t，求出t=1.5，即得AP=AQ=1.5，过点Q作QO∥AD交AC于点O，可得， 据此求出AO，OQ，PO的长，由△APE∽△OPQ，得 从而求出AE的长；
②分两种情况 (ⅰ）如图②，当点Q从B向A运动时l经过点B，（ⅱ）如图③，当点Q从A向B运动时l经过点B， 据此分别解答即可.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册4.3 相似三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·槐荫期末）如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
2．（2021九上·深圳期末）如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（ ）
A．30° B．35° C．80° D．100°
3．（2021九上·阳山期末）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．（2021九上·扬州月考）如图，已知，若，，，则AC的长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．（2021九上·荷塘期末）已知，，则=（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（2021九上·会同期末）已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
7．（2021九上·衡阳期末）△ABC中，AB=6，BC=10，CA=12，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）
A．12 B．18 C．20 D．27
8．（2021九上·义乌期中）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的边长分别为8cm，10cm和12cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
9．（2021九上·鄞州期中）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021九上·高邑期中）如图所示， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021九上·于洪期中）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC＋∠ACB的度数为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
12．（2021九上·温州月考）如图，已知△ABC和△A′B′C′相似，则图中角度 和边长x分别为（ ）
A．30°，9 B．30°，6 C．40°，9 D．40°，6
二、填空题
13．（2022九上·碑林月考）如图，在中，，，D是的中点，过D点的直线交于点Q，若使与相似，则的长度为 ．
14．（2021九上·绥化期末）如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP= ．
15．（2021九上·前进期末）如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝ 时，△ADP与△BCP相似．
16．（2021九上·西湖期中）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 .
17．（2021九上·薛城期中）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．当△ACP∽△PDB时，∠APB＝ °．
18．（2021九上·西安期中）如图，△ABC∽△DAC，∠B＝28°，∠D＝140°，则∠BAD的度数为 .
三、解答题
19．（2021九上·济阳期中）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
20．（2021九上·鹿城期末）
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长.
21．（2019九上·乡宁期中）
（1）已知 ，求一次函数 所经过的象限；
（2）已知 与 相似，且 的三边长分别为6、8、4， 其中一边长为2，试求 的另外两边长．
22．（2020九上·罗庄期末）如果三角形的两个内角 与 满足 =90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，求∠B的度数；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
23．（2020九上·深圳月考）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t >0）秒．
（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ ∽△ABC，求t的值；
（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．
①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；
②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACP，
∴∠ACB=∠APC=65°，
∵∠A=70°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°．
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的性质可得。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-65°=80°，
又∵△ABC∽△DEF，
∴∠F=∠C=80°，
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠C的度数，再根据相似三角形的性质可得∠F=∠C=80°。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABO∽△CDO，BO＝8，DO＝4，CD＝3，
∴，即，
∴AB=6．
故答案为：D．
【分析】根据题意已知BO＝8，DO＝4，CD＝3，再利用相似三角形的性质即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，列出比例式，然后代值计算即可.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△∽△，，，
∴==.
故答案为：B.
【分析】直接根据相似三角形对应边成比例的性质进行求解.
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：=1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应边的比相等进行解答即可.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设另一个和它相似的三角形最短的一边是x，
∵△ABC中，AB=6，BC=10，CA=12，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，
∴，
解得x=18.
故答案为：B.
【分析】设另一个和它相似的三角形最短的一边是x，然后根据相似三角形对应边成比例进行求解.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设另一个三角形的最长边为 ，
∵两个三角形的形状相同，即这两个三角形相似，
∴ ，
解得 ，
即另一个三角形的最长边为 .
故答案为：A.
【分析】设另一个三角形的最长边为xcm，根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，利用AAA可以判断两个三角形相似.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理分别计算每一个选项中三角形各内角的度数，再根据AAA定理进行判断.
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的性质可得，再结合 ， ，可求出。
11．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC=∠DEF=135°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-135°=45°，
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DEF=135°，再利用三角形的内角和计算即可。
12．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意：△ABC∽△A′B′C′，
∴∠ =∠ ＝40°，
，即 ，
∴解得 ，
经检验 符合意义，是原方程的解.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠α的度数，根据相似三角形对应边成比例可得x的值.
13．【答案】2或4.5
【知识点】相似三角形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵AB=6，D是AB的中点，
∴AD=AB=3，
①若△ADQ∽△ABC，则AD：AB=AQ：AC，
即3：6=AQ：4，
解得：AQ=2；
②若△ADQ∽△ACB，则AD：AC=AQ：AB
即3：4=AQ：6，
解得：AQ=4.5；
∴AQ的长为2或4.5.
故答案为：2或4.5.
【分析】根据中点的概念可得AD=AB=3，①若△ADQ∽△ABC，则AD∶AB=AQ∶AC，代入数据计算即可；②若△ADQ∽△ACB，则AD∶AC=AQ∶AB，代入数据计算即可.
14．【答案】或2或6
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°，
AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x，
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，
解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），
解得x=2或x=6．
所以AP=或AP=2或AP=6．
故答案是：或2或6．
【分析】由AD//BC，∠ABC=90°，易得∠PAD=∠PBC=90°，又由AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为（8-x），然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP其分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案。
15．【答案】2或5或8
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴BC=AD=4，CD=AB=10
当△ADP∽△PCB时，，即
∴DP(10 DP)=16
即
解得：DP=2或DP=8
当△ADP∽△BCP时，
∴DP=PC
∵DP+PC=10
∴DP=5
综上所述，当DP的长为2或5或8时，△ADP与△BCP相似．
故答案为：2或5或8
【分析】根据矩形的性质得出BC=AD=4，CD=AB=10 ，分两种情况：当△ADP∽△PCB时，，当△ADP∽△BCP时，，即可得出结论。
16．【答案】3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得 .
故答案为：3.
【分析】依题意可知：两高脚杯中的液体部分两三角形相似，然后根据对应边成比例可得AB.
17．【答案】120
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠A＝∠BPD，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝60°，
∴∠PCD＝∠A+∠APC＝60°，
∴∠APC+∠BPD＝60°，
∴∠APB＝∠APC+∠CPD+∠BPD＝120°．
故答案为120．
【分析】先求出∠PCD＝∠CPD＝60°，再求出∠APC+∠BPD＝60°，最后计算求解即可。
18．【答案】168°
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠B＝∠DAC＝28°，∠D＝∠BAC＝140°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝28°+140°=168°.
故答案为：168°.
【分析】由相似三角形的对应角相等可得∠B＝∠DAC＝28°，∠D＝∠BAC＝140°，然后根据∠BAD=∠DAC+∠BAC进行计算.
19．【答案】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有，，，
当时，，
即，
解得秒；
当时，，
即，
解得秒．
∴经过2.5秒或1秒时，△PBQ与△ABC相似．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】分两种情况：①当时，，②当时，，再将数据代入求解即可。
20．【答案】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
，即 ，解得DF＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，
由勾股定理得：
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF的长；再利用矩形的性质可证得∠D=90°，然后利用勾股定理求出EF的长.
21．【答案】（1）解：
，即
若 ，即 ，满足已知等式
则一次函数为 ，此函数的图象经过第二、三、四象限
若 ，即
，即
解得
则一次函数为 ，此函数的图象经过第一、二、三象限
综上，当 时，一次函数 的图象经过第二、三、四象限；当 时，一次函数 的图象经过第一、二、三象限
（2）解：设 的另外两边长分别为
由 分以下三种情况：
①当 边长为2的边与 边长为6的边为对应边
则 ，解得
因此， 的三边分别为 ，满足三角形的三边关系
②当 边长为2的边与 边长为8的边为对应边
则 ，解得
因此， 的三边分别为 ，满足三角形的三边关系
③当 边长为2的边与 边长为4的边为对应边
则 ，解得
因此， 的三边分别为 ，满足三角形的三边关系
综上， 的另外两边长分别为 或 或
【知识点】三角形三边关系；比例的性质；相似三角形的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）先利用等式的性质求出k的值，再根据一次函数的图象即可得；（2）先根据相似三角形的性质得出两个三角形对应边的比例式，从而求出 的另外两边长，再根据三角形的三边关系定理即可得．
22．【答案】（1）解：∵△ABC是“准互余三角形”，
∴2∠A+∠B＝90°或∠A+2∠B＝90°
∵∠C＞90°，∠A＝60°，2∠A+∠B＝90°不合题意，舍去．
∴∠A+2∠B＝90°，
∴∠B=15°．
（2）解：在边BC上存在点E，使得△ABE也是“准互余三角形”
∵点E在BC边上，∠AEB＞90°，
∴2∠BAE+∠B＝90°或∠BAE+2∠B＝90°，
∵点E异于点D，
∴2∠BAE+∠B＝90°不成立；
∴∠BAE+2∠B＝90°，
在Rt△ABC中，
∠BAE+∠EAC+∠B=90°，∠BAE+2∠B=90°，
∴∠B=∠EAC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△EAC，
∴ ，
∴CE= ，
∴BE= ．
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可求解；
（2）证明△ABC∽△EAC，根据三角形相似的性质列出比例式即可求解。
23．【答案】（1）解：∵△APQ∽△ABC ∴ ， 即 解得
（2）解：①如图①，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，
则AP=AQ，
即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，
过点Q作QO∥AD交AC于点O，
则 ∴ ，
，∴PO=AO－AP=1．
由△APE∽△OPQ，得 ．
②（ⅰ）如图②，当点Q从B向A运动时l经过点B，
BQ＝BP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP
∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°
∴∠PBC＝∠PCB CP＝BP＝AP＝t
∴CP＝AP＝ AC＝ ×5＝2.5∴t＝2.5
（ⅱ）如图③，当点Q从A向B运动时l经过点B，
BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，
过点P作PG⊥CB于点G，由△PGC∽△ABC，
得
，BG＝4－
由勾股定理得 ，即
，解得 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意得AP=t，AQ=3-t， 由△APQ∽△ABC，可得，据此求出t值即可；
（2）①如图①，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，可得AP=AQ，即3－t=t，求出t=1.5，即得AP=AQ=1.5，过点Q作QO∥AD交AC于点O，可得， 据此求出AO，OQ，PO的长，由△APE∽△OPQ，得 从而求出AE的长；
②分两种情况 (ⅰ）如图②，当点Q从B向A运动时l经过点B，（ⅱ）如图③，当点Q从A向B运动时l经过点B， 据此分别解答即可.
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