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浙教版2022-2023学年八上数学第3章 一元一次不等式 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．a+5＜b+5 B．- -
C．﹣4a＞﹣4b D．3a﹣2≤3b﹣2
【答案】B
【解析】A、∵a＞b，
∴a+5＞b+5，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴，故B符合题意；
C、∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣4b，故C不符合题意；
D、 ∵a＞b，
∴3a＞3b，
∴3a-2＞3b-2，故D不符合题意；
故答案为：B.
2．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，若，则x的取值可以是（ ）
A．56 B．51 C．45 D．40
【答案】B
【解析】∵=5，
∴5≤＜6，
∴46≤x＜56，
∴x的取值可以是51.
故答案为：B.
3．随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机APP实时查看公交车到站情况.小聪同学想乘公交车，他走到A、B两站之间的C处，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为700m（如图），此时他有两种选择：
①与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
②与公交车同向而行，到B公交站去乘车.
假设公交车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（ ）
A．240m B．260m C．280m D．300m
【答案】A
【解析】设小聪的速度是xm/分，则公交车速度是6xm/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为ym，
到A公交站：xt＋6xt=700，
解得xt＝100，
则6xt＝6×100＝600，
到B公交站，由小聪不会错过这辆公交车可得
解得y≤240，符合题意
故A，B两公交站之间的距离最大为240m.
故答案为：A.
4．是不等式的一个解，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】∵
是不等式的一个解，
∴
故答案为：A.
5．某次知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分.小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对的题数是( )
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【解析】设至少答对x题，
5x-（19-x）×2＞80，
5x+2x-38=80，
7x>118，
∴x>16.85，
故x=17.
故答案为：C.
6．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜ ，则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣m的解集是（ ）
A．x＜﹣ B．x＞﹣ C．x＜ D．x＞
【答案】A
【解析】∵mx﹣n＞0 ，
∴mx>n，
∵x＜ ，
∴m<0，=，
∴m=5n，n<0，
（m+n）x＞n﹣m ，
∴x<==-.
故答案为：A.
7．随看科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择：
（ 1 ）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．假设小明的速度是公交车速度的 ，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（ ）
A．240m B．300m C．320m D．360m
【答案】B
【解析】设小明的速度是x m/分，则公交车速度是5x m/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为y m，根据题意得
到A公交站：xt＋5xt＝720，
解之：xt＝120，
则5xt＝5×120＝600；
到B公交站：5y 600≤600＋y，
解之：y≤300．
故A，B两公交站之间的距离最大为300m．
故答案为：B.
8．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
解不等式①得x＜m，
解不等式②得x≥3，
∴不等式组的解集为3≤x＜m，
∵不等式组有4个整数解，
∴6＜m≤7，
故答案为：D.
9．若关于 的不等式组 无解，且关于 的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数 的和为（ ）
A．6 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】∵ ＝1﹣ ，解得： 且 ，
∵关于y的分式方程 ＝1﹣ 的解为非负整数，
∴ ≥0且 ，即：a≥-2且a≠4，
∵ ，
∴ ，
∵关于x的不等式组 无解，
∴ ，即： ，
∴ 且a≠4，
∵ 是非负整数，
∴ ， ， ，
∴符合条件的所有整数a的和为：-2+1+7+10=16．
故答案为：B．
10．已知非负数a,b,c满足条件a+b=7，c-a=5，设S=a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m-n的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】∵a，b，c为非负数；
∴S=a+b+c≥0；
又∵c-a=5；
∴c=a+5；
∴c≥5；
∵a+b=7；
∴S=a+b+c=7+c；
又∵c≥5；
∴c=5时S最小，即S最小=12，即n=12；
∵a+b=7；
∴a≤7；
∴S=a+b+c=7+c=7+a+5=12+a；
∴a=7时S最大，即S最大=19，即m=19；
∴m-n=19-12=7.
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．不等式 的最小负整数解 .
【答案】-3
【解析】，
3x＞-11，
解之：
∴此不等式的最小负整数解为-3.
故答案为：-3.
12．不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是 .
【答案】-3＜a≤-2
【解析】解不等式组得，
不等式组的整数解共有4个，
不等式组的整数解分别为：-2，-1，0，1，
故答案为：-3＜a≤-2.
13．比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则 .
（2）若，为实数，则 .
【答案】（1）＜
（2）＞
【解析】（1），且，
，
.
故答案为：＜；
（2）
，
.
故答案为：＞..
14．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a b＝a（a﹣b）+1.如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式﹣3 x＜15的解为 .
【答案】
【解析】∵
，
，
.
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
15．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于41
【答案】28
【解析】由题意可得：
移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；
移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2；
移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4；
移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5；
移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7；
移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8；
…
∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；
移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．
①当3n﹣2≥41时，
解得：n≥
∵n是正整数，
∴n最小值为15，此时移动了29次．
②当3n﹣1≥41时，
解得： n≥14．
∵n是正整数，
∴n最小值为14，此时移动了28次．
纵上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．
故答案为：28．
16．△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝ .
【答案】175
【解析】∵2∠B＝5∠A，即∠B＝ ∠A，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A，
又∵∠A≤∠C≤∠B，
∴∠A≤180°﹣ ∠A，
解得∠A≤40°；
又∵180°﹣ ∠A≤ ∠A，
解得∠A≥30°，
∴30°≤∠A≤40°，
即30°≤ ∠B≤40°，
∴75°≤∠B≤100°
∴m+n＝175.
故答案为：175.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．以下是圆圆解不等式组的解答过程.
解：由①，得，
所以，.
由②，得，
所以，.
所以原不等式组的解为.
圆圆的解答过程是否正确？若不正确，写出正确的解答过程.
【答案】解：圆圆的解答过程不正确
解不等式①得，解不等式②得，
所以原不等式组的解是
18．十字形的路口，东西、南北方向的行人车辆来来往往，车水马龙．为了不让双方挤在一起，红绿灯就应动而生，一个方向先过，另一个方向再过．如在南稍门的十字路口，红灯绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长．即当东西方向的红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒后才亮．这样方可确保十字路口的交通安全．
那么，如何根据实际情况设置红绿灯的时间差呢？
如图所示，假设十字路口是对称的，宽窄一致．设十字路口长为m米，宽为n米．当绿灯亮时最后一秒出来的骑车人A，不与另一方向绿灯亮时出来的机动车辆B相撞，即可保证交通安全．
根据调查，假设自行车速度为4m/s，机动车速度为8m/s．若红绿灯时间差为t秒．通过上述数据，请求出时间差t要满足什么条件时，才能使车人不相撞．当十字路口长约64米，宽约16米，路口实际时间差t=8s时，骑车人A与机动车B是否会发生交通事故？
【答案】解：从C1C2线到FG线的距离= +n= ，骑车人A从C1C2线到K处时，另一方向绿灯亮，此时骑车人A前进距离=4tK处到FG线距离= ﹣4t．骑车人A从K处到达FG线所需的时间为 （ ﹣4t）= ﹣t，D1D2线到EF线距离为 ．机动车B从D1D2线到EF线所需时间为 × = ，A通过FG线比B通过EF线要早一些方可避免碰撞事故．∴ ﹣t≤ ，即t≥ ，即设置的时间差要满足t≥ 时，才能使车人不相撞．如十字路口长约64米，宽约16米，理论上最少设置时间差为（64+16×3 ）÷16=7秒，而实际设置时间差为8秒（8＞7）．故骑车人A与机动车B不会发生交通事故．
19．阅读材料：基本不等式 ，当且仅当 时，等号成立.其中我们把 叫做正数a、b的算术平均数， 叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大 小 值问题的有力工具.
例如：在 的条件下，当x为何值时， 有最小值，最小值是多少？
解 ，
，即是
，
当且仅当 时，即 时， 有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）若 ，函数 ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，
（2）当 时，式子 成立吗？请说明理由.
【答案】（1）解： ，
，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为
（2）解：式子不成立.
理由： ， ， ，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，且最小值为2，
， 不等式不能取等号，
亦即不等式 不成立.
20．一个汽车零件制造车间可以生产甲，乙两种零件，生产4个甲种零件和3个乙种零件共获利l20元；生产2个甲种零件和5个乙种零件共获利l30元．
（1）求生产1个甲种零件，l个乙种零件分别获利多少元？
（2）若该汽车零件制造车间共有工人30名，每名工人每天可生产甲种零件6个或乙种零件5个，每名工人每天只能生产同一种零件，要使该车间每天生产的两种零件所获总利润超过2 800元，至少要派多少名工人去生产乙种零件？
【答案】（1）解：生产1个甲种零件获利x元，生产1个乙种零件获利y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：生产1个甲种零件获利15元，生产1个乙种零件获利20元．
（2）解：设要派a名工人去生产乙种零件，则 名工人去生产甲种零件，
根据题意得： ，
解得： ．
为正整数，
的最小值为11．
答：至少要派11名工人去生产乙种零件．
21．对 ， 定义一种新运算 （中 ， 均为非零常数）.例如： ；已知 ， .
（1）求 ， 的值；
（2）若关于 的不等式组 恰好只有 个整数解，求 的取值范围.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
解得： ；
（2）∵a=1，b=-3，
∴ ，
∴ 可变形为 ，
化简得： ，
解得： ，
∵不等式组恰好只有1个整数解，
∴ ，
解得： .
22．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”.将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为 .例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和与11的商为55÷11=5，所以 .
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：50、42，33中，“湘一数”为 ；②计算： .
（2）如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是 ，且 ，请求出“湘一数”b；
（3）如果一个“湘一数”c，满足 ，求满足条件的c的值.
【答案】（1）42；9
（2）解：设任意一个“湘一数”的十位上的数字是m，个位上的数字是n，
则f（10m＋n）＝（10m＋n＋10n＋m）÷11＝m＋n.
又∵一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是2（k＋1），且f（b）＝11，
∴k＋2（k＋1）＝11，解得k＝3.
∴b＝10k＋2（k＋1）＝12k＋2＝12×3＋2＝38.
（3）解：设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y，
∵c 5f（c）＞30，
∴10x＋y 5（x＋y）＞30，
∴5x＞30＋4y，
∵y≥1，
∴5x＞34，即x＞6.8，
∵x为整数，
∴x可取7，8，9，
当x＝7时，y＝1，c＝71；
当x＝8时，y＝1或2，c＝81或82；
当x＝9时，y＝1或2或3，c＝91或92或93；
综上，满足条件的c的值为：71，81，82，91，92，93.
【解析】（1）①由“湘一数”的定义可得，“湘一数”为42.
故答案为：42；
②f（45）＝（45＋54）÷11＝9.
故答案为：9；
23．对于 定义一种新运算 ，规定： （其中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
（1）已知
①求 的值；
②若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，求实数 的取值范围.
（2）若 对于任意不相等的实数 都成立，求 与 满足的关系式.
【答案】（1）解：①根据题意得：
解得：
②根据题意得：
由①得： ；
由②得： ，
不等式组的解集为
不等式组恰好有3个整数解，即
解得 ；
（2）解：由 ，得到
整理得：
对任意实数 都成立，
，即
24．已知 ，其中a，b，c是常数，且 .
（1）当 时，求a的范围.
（2）当 时，比较b和c的大小.
（3）若当 时， 成立，则 的值是多少？
【答案】（1）解：将 代入不等式得
，解得
（2）解：当 时，
不等式 两边同除以 得
∴
∴
（3）解：当 时，
不等式 两边同除以 得
∴
又∵
∴
∴
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浙教版2022-2023学年八上数学第3章 一元一次不等式 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．a+5＜b+5 B．- -
C．﹣4a＞﹣4b D．3a﹣2≤3b﹣2
2．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，若，则x的取值可以是（ ）
A．56 B．51 C．45 D．40
3．随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机APP实时查看公交车到站情况.小聪同学想乘公交车，他走到A、B两站之间的C处，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为700m（如图），此时他有两种选择：
①与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
②与公交车同向而行，到B公交站去乘车.
假设公交车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（ ）
A．240m B．260m C．280m D．300m
4．是不等式的一个解，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．某次知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分.小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对的题数是( )
A．15 B．16 C．17 D．18
6．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜ ，则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣m的解集是（ ）
A．x＜﹣ B．x＞﹣ C．x＜ D．x＞
7．随看科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择：
（ 1 ）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．假设小明的速度是公交车速度的 ，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（ ）
A．240m B．300m C．320m D．360m
8．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若关于 的不等式组 无解，且关于 的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数 的和为（ ）
A．6 B．16 C．18 D．20
10．已知非负数a,b,c满足条件a+b=7，c-a=5，设S=a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m-n的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．不等式 的最小负整数解 .
12．不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是 .
13．比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则 .
（2）若，为实数，则 .
14．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a b＝a（a﹣b）+1.如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式﹣3 x＜15的解为 .
15．如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于41
16．△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝ .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．以下是圆圆解不等式组的解答过程.
解：由①，得，
所以，.
由②，得，
所以，.
所以原不等式组的解为.
圆圆的解答过程是否正确？若不正确，写出正确的解答过程.
18．十字形的路口，东西、南北方向的行人车辆来来往往，车水马龙．为了不让双方挤在一起，红绿灯就应动而生，一个方向先过，另一个方向再过．如在南稍门的十字路口，红灯绿灯的持续时间是不同的，红灯的时间总比绿灯长．即当东西方向的红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒后才亮．这样方可确保十字路口的交通安全．
那么，如何根据实际情况设置红绿灯的时间差呢？
如图所示，假设十字路口是对称的，宽窄一致．设十字路口长为m米，宽为n米．当绿灯亮时最后一秒出来的骑车人A，不与另一方向绿灯亮时出来的机动车辆B相撞，即可保证交通安全．
根据调查，假设自行车速度为4m/s，机动车速度为8m/s．若红绿灯时间差为t秒．通过上述数据，请求出时间差t要满足什么条件时，才能使车人不相撞．当十字路口长约64米，宽约16米，路口实际时间差t=8s时，骑车人A与机动车B是否会发生交通事故？
19．阅读材料：基本不等式 ，当且仅当 时，等号成立.其中我们把 叫做正数a、b的算术平均数， 叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大 小 值问题的有力工具.
例如：在 的条件下，当x为何值时， 有最小值，最小值是多少？
解 ，
，即是
，
当且仅当 时，即 时， 有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）若 ，函数 ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，
（2）当 时，式子 成立吗？请说明理由.
20．一个汽车零件制造车间可以生产甲，乙两种零件，生产4个甲种零件和3个乙种零件共获利l20元；生产2个甲种零件和5个乙种零件共获利l30元．
（1）求生产1个甲种零件，l个乙种零件分别获利多少元？
（2）若该汽车零件制造车间共有工人30名，每名工人每天可生产甲种零件6个或乙种零件5个，每名工人每天只能生产同一种零件，要使该车间每天生产的两种零件所获总利润超过2 800元，至少要派多少名工人去生产乙种零件？
21．对 ， 定义一种新运算 （中 ， 均为非零常数）.例如： ；已知 ， .
（1）求 ， 的值；
（2）若关于 的不等式组 恰好只有 个整数解，求 的取值范围.
22．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”.将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为 .例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和与11的商为55÷11=5，所以 .
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：50、42，33中，“湘一数”为 ；②计算： .
（2）如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是 ，且 ，请求出“湘一数”b；
（3）如果一个“湘一数”c，满足 ，求满足条件的c的值.
23．对于 定义一种新运算 ，规定： （其中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
（1）已知
①求 的值；
②若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，求实数 的取值范围.
（2）若 对于任意不相等的实数 都成立，求 与 满足的关系式.
24．已知 ，其中a，b，c是常数，且 .
（1）当 时，求a的范围.
（2）当 时，比较b和c的大小.
（3）若当 时， 成立，则 的值是多少？
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