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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝20°，则∠B的大小是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】B
【解析】将绕点顺时针旋转后得到的△，
，，，
，
，
，
故答案为：B．
2．如图，正六边形内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】连接OB、OC，如图所示：
则，
∵，∴是等边三角形，∴，
∵，∴
∴，
故答案为：B．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．32.5° D．35°
【答案】B
【解析】连接BE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BAD＝60°，
由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：B．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝45°，则∠DAC的度数为（ ）
A．70° B．67.5° C．62.5° D．65°
【答案】B
【解析】∠CBE＝45°，
∴∠ABC＝180° ∠CBE＝180° 45°＝135°，
∵∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180° ∠ABC＝180° 135°＝45°，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝ （180° ∠DAC）＝ （180° 45°）＝67.5°.
故答案为：B.
5．如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB＋CD的最大值（ ）
A．4 B．8 C．10 D．6
【答案】A
【解析】如图，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC
∵∠DAB＝60°，∠DCB=120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°
∴A、B、C、D四点共圆
∵AD=AB，∠DAB=60°
∴△ADB是等边三角形
∴∠ABD=∠ACD=60°
∵DM=DC
∴△DMC是等边三角形
∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC
∴∠ADM=∠BDC
∵AD=BD
∴△ADM≌△BDC
∴AM=BC
∴AC=AM+MC=BC+CD
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC
∵AD=AB=6
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB＋CD最大
∴当AC是△ABC的外接圆的直径时，CB＋CD最大
此时C点在 中点处
∴∠CAB=30°
∴AC最大值=AB÷cos30°=4
∴CB＋CD最大为AC=4 .
故答案为：A.
6．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在该圆内.将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分别连接OA、OB、O 、OC、O 、AC、A ，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB= ，
同理可得：∠OA = ，
∴∠ AB= ，
∵∠DAB= ，
∴∠ AD= ，
由旋转变换的性质可知旋转角为 ，
∵AB=BC=2，∠ABC= ，
∴AC= ，
∴点C运动的路线长为 ，
故答案为：A.
7．如图，菱形 中， ， .以A为圆心， 长为半径画 ，点P为菱形内一点，连 ， ， .若 ，且 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，过点P作 于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，即 ，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
8．如图， 中， 于点 是半径为2的 上一动点， 连结 ， 若 是 的中点， 连结 ， 则 长的最大值为 （ ）
A．3 B．305 C．4 D．4.5
【答案】B
【解析】如图，可知P在BA延长线与 的交点时此时 长的最大，证明如下：
连接BP，
∵ ，∴BD=DC，
∵ 是 的中点，∴DE//BP， ，
所以当BP的长最大时， 长的最大，
由题意可知P在BA延长线与 的交点时BP的长最大此时 长的最大，
∵BC=6，AD=4，
∴BD=DC=3，BA=5，
∵ 的半径为2，即AP=2，
∴BP=5+2=7，
∴ .
故答案为：B.
9．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE.点P为 上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC.过点C作CF⊥BP于点F.给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中， 的值始终等于 .则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
【答案】A
【解析】如图，作CM⊥AP于M，连接AD.
∵AE⊥OD，OE＝DE，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴AE＝EB，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，故①正确，
∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，
∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，
∴CF＝CM，
∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，
∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），
∴PF＝PM，
∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，
∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），
∴AM＝BF，
∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，
∴ ，
在Rt△CPF中，
∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，
，
，
∴ ，故②正确，
故答案为：A.
10．如图所示，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC，BD交于点E，F为 上一点，连结AF，BF，AB，AD，有下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝ R；③若AC⊥BD， ＝ ，AB＝ ，则BF+CE＝1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】∵AC＝BD，
∴ ＝ ，
即 + ＝ + ，
∴ ＝ ，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，所以①正确；
连接OA、OD，如图，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴AD＝ OA＝ R，所以②正确；
AF与BD相交于G点，如图，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝ AB＝ × ＝1，
∵ ＝ ，
∴∠FAC＝∠DAC，
∵AC⊥DG，
∴GE＝DE，即AE垂直平分DG，
∴AG＝AD，
∴∠AGD＝∠ADG，
∵∠BGF＝∠AGD，∠AFB＝∠ADB，
∴∠BGF＝∠BFG，
∴BF＝BG，
在△BCF和△AGE中，
，
∴△BCF≌△AGE（AAS），
∴CE＝GE，
∴BF+CE＝BG+GE＝BE＝1，所以③正确.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为 度.
【答案】50
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∵ ，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°，
故答案为：50.
12．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD，则①∠DAC＝∠DBA；②AD2﹣BC2＝AC2﹣BD2；③AP＝FP；④DF＝BF，这些结论中正确的是 ．（请写序号）
【答案】①②③
【解析】∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DAC＝∠DBA，故①正确，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，
∴PD＝PA，
∵∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB＝90°，
∴∠PDF＝∠PFD，
∴PD＝PF，
∴PA＝PF，故③正确，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴AD2+BD2＝AC2+BC2＝AB2，
∴AD2﹣BC2＝AC2﹣BD2，故②正确，
如图1中，当△ABC是等腰直角三角形时，显然DF≠BF，故④错误．
故答案为：①②③.
13．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．
【答案】3.5
【解析】【解答】令，则x＝±4，
故点B（4，0），
∴OB=4
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PB，如图，
∵点Q、O分别为AP、AB的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
∵C（0，3）∴OC=3
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
则，
故答案为3.5．
14．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，点C为⊙O上的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝6，那么△ACD的面积是 ．
【答案】21
【解析】如图，连接OD，BD，过点A作AG⊥CD于G，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵OC＝OB，
∵∠CBO＝∠BCO，
∴∠ACE＝∠BCO，
∵CD平分∠ECO，
∴∠ECD＝∠OCD，
∴∠ACE+∠ECD＝45°，
∵AC＝6，
∴AG＝CG＝3，
∵∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝10，
∴AD＝5，
∴DG＝，
∴CD＝CG+GD＝3+4＝7，
∴△ACD的面积＝×CD×AG＝×7×3＝21.
故答案为：21.
15．如图，用三个边长为2的正方形组成一个轴对称图形，则能将三个正方形完全覆盖的圆的最小半径是 ．
【答案】
【解析】如图，连接OC，OD，延长BO交上面的正方形与点A，
设定圆心与上面正方形的距离为x，
则，，，，
由勾股定理得：，即，
解得：，
所以能将其完全覆盖的圆的最小半径，
解得：.
故答案为：.
16．如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△ ，连结并延长 、 相交于点P，其中∠ABC=30°，BC=4．
（1）若记 中点为点D，连结PD，则PD= ；
（2）若记点P到直线 的距离为 ，则 的最大值为 ．
【答案】（1）2
（2）
【解析】（1）由旋转的性质得AC=AC'，AB=AB‘, ∠C'AC=∠B'AB，
∴∠ACC'=∠AC'C，∠ABB'=∠AB'B，
∴∠ACC'=∠AC'C=∠ABB'=∠AB'B，
∵∠ACC'+∠C'AC+∠ABB'+∠B'AB+∠B'AC+∠C'PB=360°，
∵∠ACC'+∠C'AC+∠ABB'=∠ACC'+∠C'AC+∠ACC'=180°，∠B'AB+∠B'AC=90°，
∴∠C'PB=90°，
∵D为B'C'的中点，
∴PD=B'C'=BC=2；
故答案为：2.
（2）如图，连接AD，作DE⊥AC'于E，
∵∠AB'C'=∠ABC=30°，
∴∠AC'B=60°，
∵D为B'C'的中点,
∴AD=BC'=DC'，
∴△ADC'是等边三角形，
∴AC'=AD=2，
∵DE⊥AC'，
∴AE=AC'=1，DE=AE=，
当P、D、E三点共线时，点P到直线AC'的距离最大，这时d=PD+DE=2+.
故答案为：2+.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，将两个等腰直角三角形纸片 和 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 ，点 ，点 ．
（1）求证： ；
（2）如图，现将 绕点O顺时针方向旋转，旋转角为 ，连接 ， ，这一过程中 和 是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角 的度数为 时， 所在直线能够垂直平分 ；
（3）在（2）的情况下，将旋转角 的范围扩大为 ，那么在旋转过程中，求 的面积的最大值，并写出此时旋转角 的度数．（直接写出结果即可）．
【答案】（1）证明：（Ⅰ）∵ ， ， ， ，
， ， ， ，
∴ ， ，
∴
（2）90°
（3）解：
的底AB长度是固定的，所以要使它面积最大，则点D到AB的距离要最大，
已知点D的运动轨迹是一个圆，只要求出点O到AB的距离加上半径即可，
如图，过点O作 于点F，
，
则点D到AB的最大距离是： ，
∴ ，
是等腰直角三角形， ，
，
则此时 ，
故 的面积的最大值为 ，旋转角α的度数为 ．
【解析】（2）解：根据题意： ， ，
∵ ，
，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
当旋转角α的度数为 时， 所在直线能够垂直平分 ，
如图所示，此时 依旧成立，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
即 所在直线能够垂直平分 ，
故答案是： ；
离就是点O到AB的距离加上OD的长，此时旋转角就是 ．
18．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．
（Ⅰ）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，弧AD=弧AB，求AB的长；
（Ⅱ）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．
【答案】解：（Ⅰ）如图1，
∵∠DAB＝90°，
∴BD为直径，即BD＝12，
∵ ，
∴AD＝AB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝ BD＝6 ；
（Ⅱ）如图2，连接BD，作BH⊥AC于H，
∵∠DAB＝90°，
∴BD为直径，BD＝ ＝ ，
∴∠BCD＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠BAC＝45°，
∴∠CBD＝∠BDC＝45°，
∴△CDB为等腰直角三角形，
∴BC＝ BD＝ × ＝ ，
在Rt△ABH中，AH＝BH＝ AB＝ ，
在Rt△BCH中，CH＝ ＝ ，
∴AC＝AH+CH＝ ＝4 ．
19．如图， 是 的直径，弦 于点 是弧 上一点，连接 ．
（1）求证 ；
（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）证明： ，
，
；
（2）解：连接 ，设 ，如图所示：
，
，
在 中， ，
解得 ，
的半径为 ．
20．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若OE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴，∴；
（2）解：由（1）可知OC⊥AD，
∵AD＝8，∴，
∵OE＝2，∴，∴⊙O的半径为．
21．如图，已知是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD.
（1）求证：DA平分∠EDC.
（2）若∠EDA＝72°，求的度数.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD内接于，
∴∠ADB+∠ACB＝180°
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC；
（2）解：由（1）得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴，
∴，
∴的度数为72°.
22．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AC＝8，：＝2：1，试求⊙O的半径；
（3）若B为的中点，试判断四边形ABCO的形状．
【答案】（1）证明：∵OC∥AB
∴
∵
∴，即AC平分∠DAB；
（2）解：设⊙O的半径为：r
∵：＝2：1，即＝2
∴
∴
∴
∴
过点O作，交AC于点E，如下图：
∵， AC＝8，
∴，
∴
∴
∴⊙O的半径为：；
（3）解：连接，OB交AC于点F，如下图
∵点B为的中点
∴，
∵
∴
∴
∵AC平分∠DAB
∴
和中
∴
∴
∴
∴
∴四边形ABCO是菱形．
23．如图1，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，连接CD
（1）求∠BCD的大小
（2）求证：CD＝DM
（3）如图2，连接OM，若AM＝ ，OM＝ ，求AC的长
【答案】（1）解：∵BC 为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴ ∠BAC＝90 ，
∵ M为△ABC的内心，
∴ ∠BAD＝45 ，
∴ ∠BCD=∠BAD＝45 .
（2）证明：连接CM.
∵ M为△ABC的内心，
∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵ ，
∴ ∠1＝∠5，
∴ ∠2＝∠5
∵ ∠6＝∠2＋∠3，∠DCM＝∠5＋∠4，
且∠2＝∠5，∠3＝∠4，
∴ ∠6＝∠DCM，
∴CD＝DM；
（3）解：过M作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，MG⊥AC于G，
四边形AEMG是正方形.
∵AM＝ ，
∴AE＝AG＝MF＝2.
在Rt△OMF中，
设CF＝CG＝x，则OC＝OB＝x＋1，BF＝BE＝x＋2，
∴AB＝x＋2＋2＝x＋4，AC＝x＋2，BC＝2（x＋1），
在Rt△ABC中， ，
∴ ，解得x＝4或－2（舍），
∴AC＝x＋2＝6.
24．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”.如图1，在△ 和 中，若 ，且 ，则△ 和 是“青竹三角形”.
（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.
（2）如图2，△ ， ， ，点D是 上任意一点（不与点A、B重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示 ；
（3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”.
①求 的值；
②若 ， ，求△ABC和△ADC的周长之差.
【答案】（1）②④
（2）解： 中， ，
，
△ACD和△BCD是“青竹三角形”
过点D作
四边形 是矩形，
与 都是等腰直角三角形，
中，
；
（3）解：①连接DO并延长交⊙O于E，连接AE、CE，如图：
∵△ABC和△ADC是“青竹三角形”
∴∠ACD+∠BAC=90°，
∵DE是⊙O直径
∴∠ECD=90°
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠BAC=∠ACE，
又∵
∴∠AEC=∠ABC
在△AEC与△CBA中
∴△AEC≌△CBA（AAS）
∴AE=BC
∴在Rt△EAD中，AD2+AE2=AD2+BC2=DE2=82=64，
∴AD2+BC2的值为64；
②∵△ABC和△ADC是“青竹三角形”
∴∠ACD+∠BAC=90°，
，
，四边形ABCD是圆的内接四边形，
中，
∵△ABC和△ADC的周长之差=AB+BC-AD-CD
AE=BC，EC=BA
∴AB+BC-AD-CD=EC+AE-AD-CD=EC-DC=
∴△ABC和△ADC的周长之差为 .
【解析】（1） 矩形与正方形的每个内角都为90°，它们的一条对角线可以将矩形、正方形分成两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形，
②④符合题意，①③不符合题意.
故答案为：②④；
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝20°，则∠B的大小是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，正六边形内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距为（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．32.5° D．35°
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝45°，则∠DAC的度数为（ ）
A．70° B．67.5° C．62.5° D．65°
5．如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB＋CD的最大值（ ）
A．4 B．8 C．10 D．6
6．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在该圆内.将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第71题） （第8题） （第9题） （第10题）
7．如图，菱形 中， ， .以A为圆心， 长为半径画 ，点P为菱形内一点，连 ， ， .若 ，且 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 中， 于点 是半径为2的 上一动点， 连结 ， 若 是 的中点， 连结 ， 则 长的最大值为 （ ）
A．3 B．305 C．4 D．4.5
9．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE.点P为 上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC.过点C作CF⊥BP于点F.给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中， 的值始终等于 .则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
10．如图所示，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC，BD交于点E，F为 上一点，连结AF，BF，AB，AD，有下列结论：①AE＝BE；②若AC⊥BD，则AD＝ R；③若AC⊥BD， ＝ ，AB＝ ，则BF+CE＝1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为 度.
（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）
12．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD，则①∠DAC＝∠DBA；②AD2﹣BC2＝AC2﹣BD2；③AP＝FP；④DF＝BF，这些结论中正确的是 ．（请写序号）
13．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．
14．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，点C为⊙O上的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝6，那么△ACD的面积是 ．
15．如图，用三个边长为2的正方形组成一个轴对称图形，则能将三个正方形完全覆盖的圆的最小半径是 ．
（第15题） （第16题）
16．如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转，得到△ ，连结并延长 、 相交于点P，其中∠ABC=30°，BC=4．
（1）若记 中点为点D，连结PD，则PD= ；
（2）若记点P到直线 的距离为 ，则 的最大值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，将两个等腰直角三角形纸片 和 放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 ，点 ，点 ．
（1）求证： ；
（2）如图，现将 绕点O顺时针方向旋转，旋转角为 ，连接 ， ，这一过程中 和 是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角 的度数为 时， 所在直线能够垂直平分 ；
（3）在（2）的情况下，将旋转角 的范围扩大为 ，那么在旋转过程中，求 的面积的最大值，并写出此时旋转角 的度数．（直接写出结果即可）．
18．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．
（Ⅰ）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，弧AD=弧AB，求AB的长；
（Ⅱ）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．
19．如图， 是 的直径，弦 于点 是弧 上一点，连接 ．
（1）求证 ；
（2）若 ，求 的半径．
20．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若OE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
21．如图，已知是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD.
（1）求证：DA平分∠EDC.
（2）若∠EDA＝72°，求的度数.
22．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AC＝8，：＝2：1，试求⊙O的半径；
（3）若B为的中点，试判断四边形ABCO的形状．
23．如图1，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点M为△ABC的内心，连接AM并延长交⊙O于点D，连接CD
（1）求∠BCD的大小
（2）求证：CD＝DM
（3）如图2，连接OM，若AM＝ ，OM＝ ，求AC的长
24．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”.如图1，在△ 和 中，若 ，且 ，则△ 和 是“青竹三角形”.
（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.
（2）如图2，△ ， ， ，点D是 上任意一点（不与点A、B重合），设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a、b的式子来表示 ；
（3）如图3，⊙O的半径为4，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且△ABC和△ADC是“青竹三角形”.
①求 的值；
②若 ， ，求△ABC和△ADC的周长之差.
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