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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列语句中，一定正确的是（ ）
①过三点有且只有一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．③④⑤
2．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到
．若点
刚好落在BC边上，且
，若∠C=20°，则△ABC旋转的角度为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
3．如图， 的直径AB与弦CD相交于点E，若 ， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于( )
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
5．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上（不与点A，点B重合），连结PD交⊙O于点C，且PC＝OB.设∠P＝α，∠B＝β，下列说法正确的是（ ）
A．α+β＝90° B．3α+2β＝180°
C．5α+4β＝180° D．β﹣α＝30°
6．⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（ ）
A．2 B． C．2 D．2
7．如图，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠A=60°，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)移动时，点P( )
A．到CD的距离保持不变 B．位置不变
C．平分 D．随点C的移动而移动
9．如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=2a，则 PQ的值为（ ）
A．a B．1.5a C． D．
10．如图， 中， ， ，点D是边 上一动点，连接 ，以 为直径的圆交 于点E.若 长为4，则线段 长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则 ．
（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）
12．如图，将Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ．
13．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 .
14．如图，在△ABC中，AC=BC=5，AB=6，点D为AC上一点，作DE∥AB交BC于点E，点C关于DE的对称点为点O，以OA为半径作⊙O恰好经过点C，并交直线DE于点M，N，则MN的值为 。
15．如图,点O是半径为3的圆形纸片的圆心,将这个圆形纸片按下列顺序折叠,使弧AB和弧BC都经过圆心O,则阴影部分的面积为
（第15题） （第16题）
16．在⊙O中，AB为直径，∠ACD=45°，已知AC=7，BC=5，则CD =
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图， 为 的外接圆， 为 的直径，点D为 的中点.
（1）连接 .求证： .
（2）设 交 于E，若 ， .求阴影部分面积.
18．如图， 的直径 为10，弦 为6， 是 的中点，弦 和 交于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求 的长.
19．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
20．如图， 内接于 ， 是 上的一点，连接 ， ， ．
（1）求证：
（2）若 ， ，求 的半径．
21．如图1：在 中， ， 为 边上一点（不与点 ， 重合），试探索 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论.
小明同学的思路是这样的：将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， .继续推理就可以使问题得到解决.
（1）请根据小明的思路，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在 中， ， 为 外的一点，且 ，线段 ， ， 之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知 是 的直径，点 ， 是 上的点，且 .
①若 ， ，求弦 的长为 ；
②若 ，求 的最大值，并求出此时 的半径.
22．如图
（1）（问题背景）如图1， 是正三角形 外一点， ，则 ？小明为了证明这个结论，将 绕点 逆时针旋转 请帮助小明完成他的作图；
（2）（迁移应用）如图2，在等腰 中， ，点 在 外部，使得 ，若 ，求 ；
（3）（拓展创新）如图3，在四边形 中， 点 在四边形 内部．且 ， 直接写出 的长．
23．如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以 为直径作 ，交 轴的正半轴于点C，连结AC、BC，过A、B、C三点作抛物线.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F是BC延长线上一点， 的平分线CE交 于点E，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连结AE，在 上是否存在点P，使得 ？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
24．在 中，∠B=90°，D是 外接圆上的一点，且点D是∠B所对的弧的中点．
（1）尺规作图：在图中作出点 ；（要求不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图，连接 ， ，过点 的直线交边 于点 ，交该外接圆于点 ，交 的延长线于点 ， ， 的延长线交于点 ， ．
①若 ， ， ，求 的长；
②若 ，求 的度数
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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质 尖子生测试卷（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列语句中，一定正确的是（ ）
①过三点有且只有一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．③④⑤
【答案】D
【解析】过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，所以①不符合题意；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②不符合题意；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以③符合题意；
同弧或等弧所对的圆周角相等，所以④符合题意；
圆内接平行四边形的对角相等且互补，此时四边形是矩形，所以⑤符合题意．
故答案为：D．
2．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到
．若点
刚好落在BC边上，且
，若∠C=20°，则△ABC旋转的角度为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】C
【解析】∵，
∴∠B'AC=∠C，
由旋转前后对应线段相等可知：AB’=AB，
∴∠B=∠AB’B，
由三角形外角定理可知：∠AB’B=∠B’AC+∠C=2∠C=40°，
∴∠B=∠AB’B=40°，
∴△ABC旋转的角度为∠BAB’=180°-∠B-∠AB’B=180°-40°-40°=100°，
故答案为：C．
3．如图， 的直径AB与弦CD相交于点E，若 ， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】如图，连接OD，过圆心O作 于点H，
垂径定理 ；
，
；
又 ， ，
，
的半径 ；
，
在 中，由勾股定理得： ，
在 中， ，
，即 .
故答案为：C.
4．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于( )
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
【答案】B
【解析】连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF= ∠BOF=15°.
故答案为：B.
5．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上的一点，D在⊙O上（不与点A，点B重合），连结PD交⊙O于点C，且PC＝OB.设∠P＝α，∠B＝β，下列说法正确的是（ ）
A．α+β＝90° B．3α+2β＝180°
C．5α+4β＝180° D．β﹣α＝30°
【答案】B
【解析】如图，连接OC，OD.
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB＝β，
∴∠POD＝∠B+∠ODB＝2β，
∵CP＝OB＝CO＝OD，
∴∠P＝∠COP＝α，∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCD＝∠P+∠COP=2α，
∴∠ODC＝2α，
∵∠P+∠POD+∠ODP＝180°，
∴3α+2β＝180°.
故答案为：B.
6．⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（ ）
A．2 B． C．2 D．2
【答案】C
【解析】根据题意得：正三角形的每一个内角为60°，正方形的每一个内角为90°，正六边形的每一个内角为 ，
如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，过点O作OM⊥BC，连接OB，
∵ ，
∴ ；
如图，正方形ABCD为⊙O的内接正方形，过点O作ON⊥CD于点N，连接OD，
∵ ，∴ ；
如图，六边形ABCDE是⊙O的内接正六边形，过点O作OH⊥DE于点H，连接OE，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴半径为4的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2， ， ，
∵ ，
∴以三条边心距为边的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积为 ．
故答案为：C
7．如图，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠A=60°，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接OB，OC，
∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴ = =4π．
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．
8．如图，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)移动时，点P( )
A．到CD的距离保持不变 B．位置不变
C．平分 D．随点C的移动而移动
【答案】B
【解析】连OP，如图，
∵CP平分∠OCD，
∴∠1=∠2，
而OC=OP，有∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OP∥CD，
又∵弦CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点，
即点P的位置不变，
故答案为：B．
9．如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=2a，则 PQ的值为（ ）
A．a B．1.5a C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接AP、BQ，作BH⊥AP于H，
∵AC、BC为直径，
∴∠APC=∠BQC=90°，
∴四边形BHPQ为矩形，
∴PQ=BH，
∵BH∥CP，
∴∠ABH=∠C=30°，
∴BH=ABcos30°=2a×=a，
∴PQ=a.
故答案为：C.
10．如图， 中， ， ，点D是边 上一动点，连接 ，以 为直径的圆交 于点E.若 长为4，则线段 长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接CE， 由CD为直径，
∴点E在以BC的中点O为圆心， BC为直径的 上运动，
连接AO， 交 于点E， 则此时AE=AO-OE 最小，
， ，
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则 ．
【答案】30°
【解析】由题意得，，
则．
故答案为：30°.
12．如图，将Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ．
【答案】76°或142°
【解析】设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，
∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，
∴∠BOD=2∠BCD，
①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，
连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；
②若BC为等腰三角形的腰时，
当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，
连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，
当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，
综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，
故答案为：76°或142°．
13．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 .
【答案】41π
【解析】如图，连接 ，并延长交圆 于点 ，连接 ， .
则 ， .
∵ ，
∴ // ，
∴
∴BE=CD，
∵
∴ .
在Rt△ 中，AB=10，
所以，由勾股定理得，
∴ .
所以圆 的面积为 .
故答案为：41π.
14．如图，在△ABC中，AC=BC=5，AB=6，点D为AC上一点，作DE∥AB交BC于点E，点C关于DE的对称点为点O，以OA为半径作⊙O恰好经过点C，并交直线DE于点M，N，则MN的值为 。
【答案】
【解析】如图，过O作OC交MN于H，连接OM，延长CO交AB于G，连接OA，
∵AC=BC，∴CG⊥AB，
CG==4，
设OA=x, 则OG=4-x,
由OA2=OG2+AG2，
x2=32+(4-x)2,
解得x=,
∴OM=OA=，
∵点C关于DE的对称点为点O，
∴OC是DE的垂直平分线，
∴OH=HC=OC=，
∴MH=,
∴MN=2MH=.
故答案为：.
15．如图,点O是半径为3的圆形纸片的圆心,将这个圆形纸片按下列顺序折叠,使弧AB和弧BC都经过圆心O,则阴影部分的面积为
【答案】3π
【解析】【解答】如图，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，
∵OD= AO，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形AOC = =3π.
故答案为：3π.
16．在⊙O中，AB为直径，∠ACD=45°，已知AC=7，BC=5，则CD =
【答案】 或
【解析】如图：过点A作AM⊥CD，过点B作BN⊥CD，连接AD,BD
∵ 且AB是圆的直径
∴△MAC,△NBC，△ABD均为等腰直角三角形
∴AD=BD
∵AM⊥CD， BN⊥CD
∴
又∵
∴
∴△MAD≌△NDB
∴DN=AM
又∵△MAC,△NBC均为等腰直角三角形
∴ ,
∴ ;
如图：过点A作AM⊥CD，过点B作BN⊥CD，连接AD,BD
同理可证，此时
故答案为： 或
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图， 为 的外接圆， 为 的直径，点D为 的中点.
（1）连接 .求证： .
（2）设 交 于E，若 ， .求阴影部分面积.
【答案】（1）证明： 为 的直径，
，即 ，
点 为 的中点，
垂直平分BC，
；
（2）解：设 的半径为 ，则 ，
，
，
由（1）已证： 垂直平分BC，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，
，
在 中， ，
，
又 ，
，
，
则阴影部分面积为 .
18．如图， 的直径 为10，弦 为6， 是 的中点，弦 和 交于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求 的长.
【答案】（1）证明：∵∴
又∵ ， ∴
∴
（2）解：连接 ， ， ，
∵ 为 的直径
∴ ，
在 中，
∵ 是弧 的中点
∴
∴
又∵
∴ ，即
∴
∴ ，
∴
在 延长线上截取 ，连
在圆内接四边形 中，
又∵∴
∴
∴
∴
∴在等腰 中，
19．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【答案】解：如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝
∵AD平分∠CAB，
∴ ，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5 ；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
20．如图， 内接于 ， 是 上的一点，连接 ， ， ．
（1）求证：
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明： ，
即： ，
（2）解：如图：连接 ， ，过点 作 于点 ，
则
，
， ，
，
．
设 为 ，则 为
，
，
，
的半径为
21．如图1：在 中， ， 为 边上一点（不与点 ， 重合），试探索 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论.
小明同学的思路是这样的：将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， .继续推理就可以使问题得到解决.
（1）请根据小明的思路，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在 中， ， 为 外的一点，且 ，线段 ， ， 之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知 是 的直径，点 ， 是 上的点，且 .
①若 ， ，求弦 的长为 ；
②若 ，求 的最大值，并求出此时 的半径.
【答案】（1）解： ，
理由：由旋转知， ， ，
，
，
，
， ，
在 中， ，
，
，
，
根据勾股定理得， ，
在 中， ，
；
（2）解： ，
理由：如图2，
将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ，
同（1）的方法得， ，
，在 中， ，
，
，
，
，
根据勾股定理得， ，
即： ；
（3）；解：如图3，过点 作 交 的延长线于 ， ， ， ， ， 根据勾股定理得， ， 连接 ， ， 是 的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，由①知 ， ， 当 时， 的最大值为 ， ， ， 在 中，根据勾股定理得， ， 的半径为 .
【解析】（3）① ， ，
，
，
，
故答案为： ；
22．如图
（1）（问题背景）如图1， 是正三角形 外一点， ，则 ？小明为了证明这个结论，将 绕点 逆时针旋转 请帮助小明完成他的作图；
（2）（迁移应用）如图2，在等腰 中， ，点 在 外部，使得 ，若 ，求 ；
（3）（拓展创新）如图3，在四边形 中， 点 在四边形 内部．且 ， 直接写出 的长．
【答案】解：如图，作 ，连结 ，则 即为所求作的图形： （迁移应用）（2）如图2，在等腰 中， ，点 在 外部，使得 ，若 ，求 ； 解：作线段 垂直于 交 延长线于点 连接 为等腰直角三角形， 在 与 中： （拓展创新）（3）如图3，在四边形 中， 点 在四边形 内部．且 ， 直接写出 的长． 解：5．证明如下： 如图，将 顺时针旋转 至 ，则 ， ， ， ，即 为直角三角形，其中 ， ，由勾股定理得 ， 又 旋转角为 ，即 ， 则 ，即 ， 在 与 中，
（1）解：如图，作 ，连结 ，则 即为所求作的图形：
（2）解：作线段 垂直于 交 延长线于点
连接
为等腰直角三角形，
在 与 中：
（3）5
【解析】（3）证明如下：
如图，将 顺时针旋转 至 ，则 ， ，
，
，即
为直角三角形，其中 ， ，由勾股定理得 ，
又 旋转角为 ，即 ，
则 ，即 ，
在 与 中，
23．如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以 为直径作 ，交 轴的正半轴于点C，连结AC、BC，过A、B、C三点作抛物线.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F是BC延长线上一点， 的平分线CE交 于点E，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连结AE，在 上是否存在点P，使得 ？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1，连接
∵ ， ，
∴ ， .
设抛物线为 ，
则
得 ，
.
（2）解：如图1，连接 .
∵ 为直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
（3）解：如备用图，情况1：点 在 的上方时，
过 作 交 于点 ，则
过 作 ，交 于 交 于 连结 、 ，则
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ .
情况2：点 在 的下方时，
∴
∴ .
综上： 或 .
24．在 中，∠B=90°，D是 外接圆上的一点，且点D是∠B所对的弧的中点．
（1）尺规作图：在图中作出点 ；（要求不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图，连接 ， ，过点 的直线交边 于点 ，交该外接圆于点 ，交 的延长线于点 ， ， 的延长线交于点 ， ．
①若 ， ， ，求 的长；
②若 ，求 的度数
【答案】（1）解：作 的平分线，如图点 即为所求．
（2）解：① ，
，即 ，
，
在 中， ，
．
；
②如图，连接 ，
， 为直径，
，
是 中点， ，
， ，
，
把 绕点 逆时针旋转90°，则点 与点 重合， 对应点为点 ，
则有 ， ， ，
四边形 为 外接圆的内接四边形，
， ，
， ， 三点共线，
，
且 ，
， ，
，
，
，且 ，
，
， ，
， ．，
为直径，
，
连接 ， ，则有 ．
四边形 为矩形，
， ， ．
．
．
，
．
设 ，则 ．
．
．
解得 ．
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