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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）正五边形是轴对称图形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
（3）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误；
（4）正五边形是轴对称图形，故原说法正确.
故答案为：A.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7
【答案】A
【解析】在中，°，，，
．
，，
．
以点为圆心作，其半径长为，要使点恰在外，点在内，
的范围是，
故答案为：A．
3．已知O是 的外心，连接AO并延长交BC于D， ，过D作 于E，若 ，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】过点O作OH⊥AC于H，连接BO．
∵∠AOB＝2∠ACB，∠ADC＝2∠ACB，
∴∠AOB＝∠ADC，
∴∠BOD＝∠BDO，
∴BD＝BO，
∴BD＝OA，
∵∠BED＝∠AHO，∠ABD＝∠AOH，
∴△BDE≌△AOH，（AAS），
∴DE＝AH，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH＝ AC，
∴AC＝2DE＝4．
故答案为：B
4．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内， 、 、 、 、 、 均是正六边形的顶点.则点 是下列哪个三角形的外心（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD.
故答案为：D.
5．如图， 的直径 交弦 相于点P，且 若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过点O作 ，连接OC，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
6．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD.若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
【答案】B
【解析】连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，
根据翻折的性质， 所对的圆周角为∠B， 所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，
△ADC中，∵∠BAC＝26°，
∴∠DCA＝180°﹣116°﹣26°＝38°.
故答案为：B.
7．如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（ ）
A． B． C．24 D．
【答案】D
【解析】如图所示，连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C
， ，圆的半径为4，
∴OC=2，
∴BC= ，
∴AB=2BC= ，
∴阴影部分的周长为： .
故答案为：D.
8．如图，点C，D是劣弧 上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则 所在圆的半径长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：
则
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=2，
∴CD∥AB，
∴∠ABC=∠BCD，
∴ ，
∴AC=BD，
又∵CD∥AB，
∴四边形ABDC是等腰梯形，
∵AB=6，CD=2，
根据等腰梯形的对称性可知：
∴BE=BF+EF=2+2=4，
在
∴
在 ，
∴ ，
根据圆周角的性质可知 ，
在 ，
∴ ，
∵BO＞0，
∴BO= .
故答案为：D.
9．如图，已知弧AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，将弧AB绕点A逆时针旋转90°后得到弧AB′则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ）
A．π B．π C．2 π D．2π
【答案】B
【解析】如图，设弧AB的圆心为O，连接OP，OA，AP'，AP，AB'
∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，
根据垂径定理，得AC＝ AB＝4，PO⊥AB．
∴OC＝ ＝3．
∴PC＝OP OC＝5 3＝2．
∴AP＝ ＝ ．
∵将弧AB绕点A逆时针旋转90°后得到弧AB′，
∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°．
∴弧PP′的长为： ＝ π．
则在该旋转过程中，点P的运动路径长是 π．
故答案为：B．
10．如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（ ）
A．S1＝ S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1＞S2
【答案】D
【解析】设正六边形的边长为2，
∴S1=6××2×=6=，
∵=8，
∴S2=×8×2=8=，
∵，
∴S1>S2.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知中，，，，则的外接圆半径是 ．
【答案】
【解析】在中，
，，，
，
直角三角形的外心为斜边中点，
的外接圆的半径为斜边长的一半.
故答案为：.
12．如图，是一个油罐的截面图．已知的直径为，油的最大深度，则油面宽度为 ．
【答案】4
【解析】连接，
根据直径等于可知，半径，
，
，
，
.
故答案为：4.
13．如图，AB为⊙O直径，BC＝4，AC＝3，CD平分∠ACB，则AD＝ ．
【答案】
【解析】如图所示，连接BD，
∵AB是直径，AC=3，BC=4，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AD=BD，
又∵，
∴，
故答案为：．
14．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点，，，格点，的连线交于点，则的长为 ．
【答案】
【解析】如图所示：连接AE、AC、AD，
，
是直径，
，
根据网格图形可知：，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
∴所对的圆心角是，
∴的长为以AC为直径的圆周长的，
即的长为：．
故答案为：.
15．如图，等腰直角 中， ，点 是 的中点，点 是 边上的一点，过 ， ， 三点的圆与 交于点 ，若 与 的面积之比为 ， ，则 的长为 .
【答案】
【解析】如图所示，过点D作DH A C，过点D作DG BC于G，连接CD，DF，
∴∠DGC=∠DHC=∠ACB=90°，即四边形DGCH为矩形，
∵ ABC为等腰直角三角形，D为AB中点，
∴CD AB，CD=BD，∠B=∠DCF=45°，故 CDH也为等腰直角三角形，
∴CH=DH，故四边形DGCH为正方形，
∴DG=DH=CH，∠GDH=90°，
∵∠BCA=90°，∴EF为圆的直径（圆的直径所对应圆周角为直角），
且∠2+∠EDC=90°，∠1+∠EDC=90°，故∠1=∠2，
在 BDE和 CDF中，
∴ BDE≌ CDF（ASA），
∴ ，
设DH=2x，EC=3x，EG=EC-CG=EC-DH=x，
在 中， ，
解得： ，CE= ，
故答案为： .
16．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（ ）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最大值是 ．
【答案】34
【解析】如图，
设P（x,y）,
则PA2=(x+1)2+y2, PB2=（x-1）2+y2, OP2=x2+y2,
∴PA2+PB2 =(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2(x2+y2)+2=2OP2+2,
当OP通过圆心时，∵OP2=OC+OP1>OP1，
即P在P2点时，OP最大，即 PA2+PB2 最大，
OC= ,
∴OP2=OC+CP2=3+1=4，
∴PA2+PB2的最大值=2OP22+2=2×42+2=34.
故答案为：34.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝ ＝8（cm），
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ，
∴AD＝BD ，
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD2＋BD2＝102，
∴AD＝BD＝ ＝5 （cm）.
18．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线 相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB= ，求PD的长．
【答案】（1）证明： ∵∠BAC=∠BPC,∠APC=∠ABC,又 ∠APC=∠CPB=60° ，∴∠BAC=∠ABC=60° ，∴ △ABC是等边三角形；
（2）解： ∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB= ,∠ACD=60°在△APC中，∵ ∠PAC=90°, ∠APC=60°，∴∠ACP=30°,∴AP=AC·tan30°=2,
在△ADC中，∵ ∠DAC=90°, ∠ACD=60°，∴∠D=30°,∴AD==6,∴PD=AD-PA=6-2=4
19．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°，
（1）求∠ABD的度数．
（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：∵∠C=45°，
∴∠A=∠C=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠CDB=30°，BC=3，
∴AB=6，
∴⊙O的半径为3．
20．如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，
①证明：圆中存在“爪形D”；
②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD
（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
【答案】（1）解：①证：∵AB＝BC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴DB平分圆周角∠ADC，
∴圆中存在“爪形D”；
②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180°
∠ECB＋∠DCB＝180°
∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC
∴△BAD≌△BCE
∴∠E＝∠ADB
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝∠ADB＝60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD
（2）AD＋CD＝BD
【解析】（2）AD＋CD＝BD ，理由如下：
延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180°
∠ECB＋∠DCB＝180°
∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC
∴△BAD≌△BCE
∴∠E＝∠ADB，BD=BE
∵AD⊥DC，
∴∠E＝∠ADB＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°，
∴DE＝BD ，
即AD＋CD＝BD.
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=108°，
∴∠B=180°－∠ADC=180°－108°=72°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°－72°=18°；
（2）解：如图，连接OC，OD，
∵∠ADC=108°，∠DCA=27°，
∴∠DAC=180°－108°－27°=45°，
∴∠DOC=2∠DAC=90°，
∵AB=8，
∴OD=OC=OA=4，
∴在中，；
（3）解：∵∠DOC=90°，OD=4，
∴S扇形OCD，
又∵，
∴S阴影=S扇形OCD－S△OCD=．
22．如图，中，，按要求完成下列问题：
（1）作出的外接圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）；
（2）在（1）的条件下，若CD平分，CD交于点D，连接AD，BD．求证：．
【答案】（1）解：如图，为所求；
（2）证明：如图，连接OD，
∵CD平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
23．如图，以 的一边AB为直径的半圆与边AC，BC分别交于点D，E，且AE平分∠CAB.
（1）求证： ；
（2）设∠ABD＝α，∠C＝β.用含β的代数式表示α；
（3）若AB＝10，BC＝12，求弦BD的长.
【答案】（1）证明：∵AB为直径，OE为半径，
∴∠AEB=90°，OE= AB，
∴∠AEC=180°-∠AEB=90°，
∴∠C+∠CAE=90°， ∠ABE+∠BAE=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠C=∠ABE，
∴ AB=AC，
∴OE= AC ；
（2）解：由（1）可知:∠C=∠ABE=β，
∴∠CAB=180°-∠C-∠ABE=180°-2β，
∵ AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CAB+∠ABD=90°，
即180°-2β + α=90°，
α=2β-90°；
（3）解：设OE与BD交于点F，
∵AB=10，
∴OB=OE= AB=5，
∵AB=AC，AE平分∠CAB，
∴BE=CE= BC=6， 即点E为BC的中点，
∵∠BDC= 180°-∠ADB=90°，
∴在Rt△BDC中，DE=BE=6，
∴点E在BD的中垂线上，
∵点O在BD的中垂线上，
∴OE垂直平分BD，BD=2BF，
设OF=x，EF=OE-OF=5-x，
根据勾股定理可得: OB2-OF2=BF2=BE2-EF2，
即52-x2= 62-（5-x）2，
解得：x= ，
即OF= ，
∴BF= = ，
即BD=2BF= .
24．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．
（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝ 时，求⊙O的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积
（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：连接AB，∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，
∴ ∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝90°，
∴ AB是⊙O的直径，
∴ AB＝ ＝ ＝3，
∴ ⊙O的半径为
（2）解：连接AQ，BQ
∵∠APB＝90°
∴∠AQB＝180°-∠APB=90°
∵∠APQ＝∠BPQ＝45°
∴∠ABQ＝∠BAQ＝45°
∴△ABQ是等腰直角三角形
∵AB＝3 ∴AQ＝BQ＝
∴
（3）解：AB∥ON，理由如下：连接OQ，
∵∠APQ＝∠BPQ，∴ ＝ ，
∴ OQ⊥AB
∵ OP＝OQ，
∴ ∠OPN＝∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ＝180°，
∴ 2∠OPN+∠PON+∠NOQ＝180°，
∵ ∠NOP+2∠OPN＝90°，
∴ ∠NOQ＝90°，
∴ NO⊥OQ
∴AB∥ON
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浙教版2022-2023学年九上数学第3章 圆的基本性质 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）正五边形是轴对称图形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（ ）
A．4＜r＜5 B．3＜r＜4 C．3＜r＜5 D．1＜r＜7
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
3．已知O是 的外心，连接AO并延长交BC于D， ，过D作 于E，若 ，则AC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内， 、 、 、 、 、 均是正六边形的顶点.则点 是下列哪个三角形的外心（ ）.
A． B． C． D．
5．如图， 的直径 交弦 相于点P，且 若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD.若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（ ）
A．36° B．38° C．40° D．42°
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
7．如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（ ）
A． B． C．24 D．
8．如图，点C，D是劣弧 上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则 所在圆的半径长为（ ）
A． B． C．2 D．
9．如图，已知弧AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，将弧AB绕点A逆时针旋转90°后得到弧AB′则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ）
A．π B．π C．2 π D．2π
10．如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（ ）
A．S1＝ S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1＞S2
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知中，，，，则的外接圆半径是 ．
12．如图，是一个油罐的截面图．已知的直径为，油的最大深度，则油面宽度为 ．
（第12题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
13．如图，AB为⊙O直径，BC＝4，AC＝3，CD平分∠ACB，则AD＝ ．
14．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点，，，格点，的连线交于点，则的长为 ．
15．如图，等腰直角 中， ，点 是 的中点，点 是 边上的一点，过 ， ， 三点的圆与 交于点 ，若 与 的面积之比为 ， ，则 的长为 .
16．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（ ）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最大值是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
18．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线 相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB= ，求PD的长．
19．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°，
（1）求∠ABD的度数．
（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．
20．如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，
①证明：圆中存在“爪形D”；
②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD
（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
22．如图，中，，按要求完成下列问题：
（1）作出的外接圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）；
（2）在（1）的条件下，若CD平分，CD交于点D，连接AD，BD．求证：．
23．如图，以 的一边AB为直径的半圆与边AC，BC分别交于点D，E，且AE平分∠CAB.
（1）求证： ；
（2）设∠ABD＝α，∠C＝β.用含β的代数式表示α；
（3）若AB＝10，BC＝12，求弦BD的长.
24．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．
（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝ 时，求⊙O的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积
（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．
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