3.3.1垂径定理 课件（共20张PPT）

(共19张PPT)
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
初中数学——九年级上册
（1）在透明纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么
结论1：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
圆的对称轴有无数条
O
C
D
（2）在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重合 如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧(等弧),有哪些圆弧相等？
A
B
E
并且平分弦所对的弧．
结论2：垂直于弦的直径平分这条弦，
自主探究
A
B
E
O
C
D
∴沿CD折叠，点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，
弧AD和弧BD重合．
（3）请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明．
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一
条弦，CD⊥AB，且交AB于点Ｅ．
求证：
EA=EB， AC= BC， AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
证明：连结OA，OB.
∵在三角形AOB 中
∠OEA=∠OEB=Rt∠，AO=BO
∴EA=EB（等腰三角形三线合一）.
⌒
⌒
⌒
⌒
∴ EA=EB， AC= BC，AD=BD．
思考：你能利用其他方法说明OC平分AB吗？
命题证明
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
垂径定理的几何语言叙述:
∵CD为圆O直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
A
B
O
C
D
E
直径垂直于弦
直径平分弦所对的弧
直径平分弦
（条件）
（结论）
几何语言
1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。
不是
不是
是
满足条件：(1)直径 (2)并且垂直于弦
随堂练习
C
D
A
B
E
.O
基本图形
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OD的长就是弦AB的弦心距.
作法：
⒈ 连结AB.
⒉ 作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点．
C
D
A
B
E
例1 已知弧AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．
⌒
分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分.
⌒
⌒
思考：你可以确定这个圆的圆心和半径吗？
例题讲解
.O
F
做一做：
　１.如图，过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦
的中点,然后作出弦所对的两条弧的中点．
B
C
BC就是所要求的弦
点D,E就是所要求的弦
所对的两条弧的中点.
D
E
例2 一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
D
C
10
8
8
解:作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8.
由勾股定理得:
想一想:
（1）排水管中水的深度多少
（2）如果水面继续上升，水面的宽度仍然是16，此时水深多少？
答:截面圆心O到水面的距离为6.
例题讲解
题后小结：
1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；
．
O
A
B
C
r
d
2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
　想一想：
　在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的
　弦心距之间有什么关系？　
答:在同一个圆中，
弦心距越长,所对应的弦就越短;
弦心距越短,所对应的弦就越长.
C
A
B
O
D
.
在直径为２０厘米的球形油槽内装入一些油后，截面如
图所示，如果油面宽是１６厘米，求油槽中油的深度．
C
D
Ｆ
解：
因为ＯＥ⊥ＣＤ，
过Ｏ作ＯＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，延长ＯＥ交ＣＤ于点Ｆ，
⌒
O
Ｅ
所以油槽中油的深度ＥＦ＝１０－６＝４（厘米）
连结ＯＤ．
做一做
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
3
3
1
做一做
同心圆Ｏ中，大圆的弦ＡＢ与小圆交于Ｃ，Ｄ
两点，判断线段ＡＣ与ＢＤ的大小关系，并说明
理由．
ＡＣ与ＢＤ相等。理由如下：
解：
过点Ｏ作ＯＥ⊥AB于点Ｅ，
则ＡＥ＝ＢＥ，ＣＥ＝ＤＥ，
所以ＡＥ－ＣＥ＝ＢＥ－ＤＥ，
即ＡＣ＝ＢＤ．
O
C
D
Ａ
Ｂ
Ｅ
同心圆是指两个
圆的圆心相同
做一做
做一做
5、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。
求证：
AC=BD
⌒
⌒
适度拓展
１、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ ）
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
D
10
8
6
2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3．
A
B
O
M
适度拓展
A
1.本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2.垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3.解题的主要方法：
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线；
课堂小结
作业
（1）完成配套作业本相关练习。
（2）根据垂径定理的基本模型图设计一道例题，并解答。