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浙教版 数学七年级上册
3.1 平方根
第三章 实数
平方根
1.已知=-1,=9，则=
2.一个正方形的面积为1.44，这个正方形的边长为多少米？
1.44
解：由题意得 (±1.2) =1.44
∵边长不能为负数
∴正方形边长为1.2m
平方根
49的平方根是
的平方根是
0.01的平方根是
0.0001的平方根是
0的平方根是
-9的平方根是
324的平方根是
625的平方根是
平方根
加法运算
减法运算
求一个数平方根的运算叫做开平方
根号
49
开平方
7
-7
(读做“根号49”)
(读做“负根号49”)
-
和
差
平方根
例1 求64的平方根
解：∵(±8) =64
∴±= ±8
练习1 求1的平方根
练习2 求(-7) 的平方根
算术平方根
的平方根
0(=0)
(＞0)
(＞0)
0的算术平方根是0
正数的正平方根称为算术平方根
(≥0)的算术平方根
记做
(≥0)
(≥0)
算术平方根具有“双重非负性”
算术平方根
一个正方形的面积为1.44，这个正方形的边长为多少米？
1.44
解：由题意得 =1.2
答：正方形的边长为1.2m
平方根与算术平方根
例2 下列各数中，没有平方根的是（ ）
A. 0 B.-5的相反数
C.-|-3| D. ()
例3 下列说法中，错误的是（ ）
A. -3是9的一个平方根
B. 25的平方根是±5
C. 0.01是0.1的一个平方根
D. 0只有一个平方根
例4 一个数的平方等于2，则这个数是
平方根与算术平方根
=
=
=
=
16的算术平方根记做 ，原式=
表示 ,原式=
表示 ,原式=
5的算术平方根是
算术平方根等于它本身的数是
=
例5
例6
例7
平方根与算术平方根
表示 ，读做 .原式=
±表示 ，读做 .原式=
表示 ，读做 .原式=
0.01的算术平方根记做 ，原式=
0.0001的算术平方根记做 ，原式=
0.000001的算术平方根记做 ，原式=
例8
平方根与算术平方根
的算术平方根是
平方根是
的算术平方根是
下列各数中，不一定有平方根的是( )
A. B.||+2 C. +1 D.||-1
例9
计算的值是
例10
例11
算术平方根
的平方根
0(=0)
(＞0)
(＞0)
0的算术平方根是0
正数的正平方根称为算术平方根
(≥0)的算术平方根
记做
(≥0)
(≥0)
算术平方根具有“双重非负性”
平方根与算术平方根
1.已知|3|0,则
2.已知||0,则 ,
3. ，
4.已知|| ，则
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3.2 实数
Junior High School Mathematics
七年级上册
Junior High School Mathematics
有 理 数
整 数
零
负 整 数
分 数
正 分 数
负 分 数
自 然 数
正 整 数
1.4 ＜2＜1.5 1.4＜ ＜1.5
1.41 ＜2＜1.42 1.41＜ ＜1.42
1.414 ＜2＜1.415 1.414＜ ＜1.415
1.4142 ＜2＜1.4143 1.4142＜ ＜1.4143
1.41421 ＜2＜1.41422 1.41421＜ ＜1.41422
… …
Junior High School Mathematics
Junior High School Mathematics
and
有 理 数
正有理数
零
负有理数
无 理 数
正无理数
负无 理数
负实数
实 数
正实数
零
有限小数和无限循环小数
无限不循环小数
and
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属于有理数的有： ;
属于无理数的有： ；
属于实数的有： .
0.314
0.3
3
，
，
，
，
，
，
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能在数轴上标出吗？
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-
事实上，在实数范围内，实数与数轴上的点一一对应。并且：
Junior High School Mathematics
and
有 理 数
实 数
有理数中相反数和绝对值的概念在实数范围内同样适用。
For example
和互为相反数
=
和 互为相反数
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1.带根号的数是无理数。 （ ）
2.不带根号的数一定是有理数。 （ ）
3. 无限小数都是无理数。 （ ）
4. 无理数都是无限小数。 （ ）
5. 两个无理数之和一定是无理数。（ ）
6.实数不是无理数就是有理数。 （ ）
√
×
×
×
×
√
如：、
如：
如：0.3、0.25
互为相反数的一对无理数
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将下列实数与它们在数轴上的点对应起来，并把按从小到大的顺序排列，用“＜”连接。
0.6
0
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
A
B
C
D
E
＜
＜
＜
＜
估计在哪两个整数之间。
解：
∵ ＜10＜
∴ 3＜＜4
又在哪里呢？
Junior High School Mathematics
有理数的分类
无理数的定义
实数的定义
实数与数轴
实数的性质
Junior High School Mathematics
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思考题
利用如图4×4方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数 和
在数轴上作出 的对应点.
0
1
2
3
-1
1
2
B
A
怎样在数轴上找到表示无理数的点呢？你有哪些方法？
1、什么是平方根？
2、如何用符号表示数a的平方根？
3、正数有几个平方根，他们之间有什么关系？负数有没有平方根？0的平方根是多少？
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫二次方根。
±
初中数学七年级上
1、已知魔方的体积为8cm3，问它的棱长a是多少？
2、什么数的立方等于－8？
a3＝8，
a＝
a=2cm
-2
一般地，如果一个数的 等于a，那么这个数叫做a的 ，也叫做a的 。
平方
平方根
二次方根
立方
立方根
三次方根
用式子表示，就是：如果x3=a，那么x叫做a的立方根。数a的立方根用符号“ ”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.(注意：根指数3不能省略).
例如， 23＝8，则2是8的立方根，即
(－2)3＝－8，则－2是－8的立方根，即
立方根的表示方法
3
a
根指数
根号
被开方数
立方根与平方根的表示方法有什么区别吗,被开方数呢？
注意：根指数3不能省略
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方是立方的逆运算，我们通过立方来求一个数的立方根。
例1、求下列各数的立方根
（1） 27； （2） －27； （3） ；
（4） －0.064；（5）0.
你有什么发现？
观察(1)和(2)，(1)和(3)
1、一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零。
2、如果两个数互为相反数（或者倒数），则它们的立方根仍互为相反数（或者倒数）。
请记住这些结论！
2、负数不能开立方
3、平方根是它本身的数是0，+1，-1
4、立方根是它本身的数是0，1
5、平方根和立方根是它本身的数只有0
1、 的立方根是
√
×
×
×
×
分别求下列各式的值：
1.你知道什么是立方根了吗？
2.你能总结出立方根与平方根的异同点吗是什么？
①正数有两个平方根，它们互为相反数
②0的平方根是0
③负数没有平方根
①正数的立方根是正数
②0的立方根是0
③负数的立方根是负数
平方根 立方根
性质
表示方法
a的取值
a为任意实数
常规作业
观察上述式子你发现了什么？
1、计算：
（1） ； （2）
观察上述式子你发现了什么？
1、计算：
（3） ； （4）
观察上述式子你发现了什么？
1、计算：
（5） ； （6）
2、立方根等于本身的数有_________；
平方根等于本身的数有________；
算术平方根等于本身的数有________；
立方根等于平方根的数是_______;
立方根等于算术平方根的数是_______
0、±1
0
0、1
0
0、1
5、一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根
是_____________，立方根是____________。
－2
4
6、求下列各式中的x
（1）8x3＋27＝0
（2）
7、
2
±2
8、填空：
（1）如果一个正方形的边长变为原来的3倍，那么它的面积为原来的____倍；若它的面积变为原来的4倍，则边长为原来的____倍
9
2
（2）如果一个立方体的棱长变为原来的2倍，那么它的体积为原来的____倍；若它的体积变为原来的216倍，则棱长为原来的__倍
8
6(共10张PPT)
3.4 实数的运算
问题引入，章节起始
先算哪一步？
有理数运算顺序：
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号， 则先进行括号里的运算．
问题引入，章节起始
先算哪一步？
实数的运算顺序：
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号， 则先进行括号里的运算．
例1 计算：
解：
．
1.交换律：
加法 a+b=b+a
乘法 a×b=b×a
2.结合律：
加法（a+b）+c=a+（b+c）
乘法（a×b）×c=a×（b×c）
3.分配律：
a× （b+c）= a×b+ a×c
实数的运算律：
例题演练，掌握新知
(1)3×()+ (2)
解：(1)原式=3×(34)+5
=3×(1)+5
=8
(2)原式=91÷()+4
=9++4
=
练习巩固，掌握新知
例3 俗话说，登高望远．从理论上说，当人站在距地面h千米高处时，能看到的最远距离约为 千米．上海金茂大厦观光厅高340米，人在观光厅里最多能看多远 （结果精确到0.1千米）？
解： （千米）．
答：最多大约能看到65.3千米远．
例题演练，掌握新知
某地气象资料表明：某地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计其中d（km）是雷雨区域的直径．雷雨区域的直径为8 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
解：当d=8 km时，
答：这场雷雨大约能持续 小时．
变式训练，巩固新知
1.判断下面说法是否正确,并举例说明理由.
(1)两个无理数的和一定是无理数.
(2)两个无理数的积一定是无理数.
变式：写出两个无理数，使它们的和为2。
课堂练习，巩固新知
2．若a2=9，=﹣2，则a+b=（ ）
A．﹣5 B．﹣11 C．﹣5或﹣11 D．±5或±11
【分析】利用平方根及立方根定义求出a与b的值，即可求出a+b的值．
解：∵a2=9， ﹣2，
∴a=3或﹣3，b=﹣8，
则a+b=﹣5或﹣11，故选C
课堂练习，巩固新知
3．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3= ，i4= ； （2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
课堂练习，巩固新知(共24张PPT)
本章知识结构图
乘方
开方
开平方
开立方
平方根
立方根
有理数
无理数
实数
互为逆运算
算术平方根
负的平方根
平方根、立方根概念及性质
1.算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于
a,即 =a,那么这个正数x叫做a的
算术平方根。a的算术平方根记为 ，
读作“根号a”，a叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是0。
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）．
这就是说，如果x 2 = a ，那么 x 就叫做 a 的平方根．a的平方根记为±
a
2. 平方根的定义：
3.平方根的性质：
正数有2个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根。
平方根、立方根概念及性质
4.立方根的定义：
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．记作 .
其中a是被开方数，３是根指数，
符号“ ”读做“三次根号”．
5.立方根的性质：
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零。
平方根、立方根概念及性质
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
算术平方根 平方根 立方根
表示方法
的取值
性
质
≥
开
方
≥
正数
0
负数
正数（一个）
0
没有
互为相反数（两个）
0
没有
正数（一个）
0
负数（一个）
求一个数的平方根
的运算叫开平方
求一个数的立方根
的运算叫开立方
≠
是本身
0,1
0
0,1,-1
1.求下列各数的算术平方根:
(1) 0.04; (2) 1; (3) (-3)2 ; (4)
49
64
3.求下列各数的立方根:
(1) 121;(2) 16; (3) 0 ; (4) (-3)2 ; (5)
9
4
2.求下列各数的平方根:
(1) -0.008;(2) 43; (3) -64; (4) (-3)3; (5)
27
8
4.求下列各式的值:
求根也好,求值也好,关键要弄清它是什么意思,然后可以选择定义和性质来求.
不要搞错了
64
±8
8
-4
＿＿＿.
-4,-3,-2,-1,
0,1,2,3
一、平方根和立方根
1. 16的平方根是_____,符号表示为_____;
16的算术平方根是____,符号表示为_____.
2. 27的立方根是____,符号表示为_____.
3.下列数中的无理数是______________
－1， ，0.3， ， 0 ，
0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
3
4
0.101 001 000 1…
（3）
= 2
=2
利用定义
无理数也有乘除运算，在后面的章节里将会学习，也满足先定符号，再计算.
三、实数的运算
不要遗漏哦！
解下列方程：
当方程中出现平方时，若有解，一般都有两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解
1.
解:
2.
解:
掌握规律
注意平方根和立方根的移位法则
1、无限不循环的小数 叫做无理数.
有理数和无理数统称实数.
3、在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样
5、在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用。
实数的有关概念和性质
2、实数与数轴上的点是一一对应的.
4、实数的大小比较方法有：利用数轴比较、利用绝对值比较、求平方比较、求差比较、求商比较和计算近似值比较等方法。
实数
有理数
无理数
分数
整数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
自然数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
有限小数及无限循环小数
一般有三种情况
课堂检测
1、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。 （ ）
3.无理数都是无限小数。 （ ）
4.带根号的数都是无理数。 （ ）
5.两个无理数之积一定是无理数。（ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
有理数集合：{ }；
1、把下列各数填在相应的大括号内：
整数集合：{ ……}；
奇数集合：{ ……}；
无理数集合：{ }。
-1，0，
-1
-1，，3.14，0，3.3·3·，，
π, 2.1010010001…
2、把下列各数分别填入相应的集合内：
有理数集合
无理数集合
是负数
等于它的相反数
是正数
等于它本身
是负数
里面的数的符号
化简绝对值要看它
等于它的相反数
要学会计算哟！
计算：
3、已知
位置如图所示，
试化简
解：原式＝-a-(b-a)+(c-a)-(c-b)
=-a-b+a+c-a-c+b=-a
解：原式＝-(a+b-c)+(-b+2c)+(b-a)
=-a-b+c-b+2c+b-a
=-2a-b+3c
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
（1）a是一个实数，它的相反数为 ，
绝对值为 ；
（2）如果a 0，那么它的倒数为 .
例题;求下列各数的相反数和绝对值
解：
相反数
绝对值
２、 的相反数是 ，绝对值是 ．
３、绝对值等于 的数是 ， 的平 方 是 ．
１、正实数的绝对值是 ，０的绝对值是 ，负实数的绝对值是 .
它本身
0
它的相反数
4、一个数的绝对值是 ，则这个数是 .
5、判断
（1）带根号的数都是无理数。
（2）无理数就是开方开不尽的数。
（3）有限小数是有理数，无限小数是无理数。
6、实数 在数轴上对应的点的位置关系如图所示，下列式子错误的是（ ）
×
×
×
C
