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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 尖子生测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，则=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
2．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特神庙等．若黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，AD是BC边上的高，在的内部，作一个正方形PQRS，若，，则正方形PQRS的边长为（ ）
A． B． C．1 D．
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4．如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
6．如图，在中，：：，是的中点，延长线交于，那么：（ ）
A．3：1 B．4：1 C．6：1 D．7：1
7．如图，，，，D为上一点，且，在上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则等于（ ）
A．或 B．10或 C．或10 D．以上答案都不对
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BD分别交CE、AF于G、H，试判断下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，将边长为6的正六边形沿折叠，点B恰好落在边的中点上，延长交于点M，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
10．如图，在矩形中，，M是边的中点，E，F分别是边上的点，且，垂足为点G.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，正方形城邑的四面正中各有城门，出北门20步的A处（步）有一树木，由南门14步到C处（步），再向西行1775步到B处（步），正好看到A处的树木（点D在直线上），则城邑的边长为 步．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则DF的长为 ．
13．如图1，一张矩形纸片，点、分别在，上，点，分别在、上，现将该纸片沿，，剪开，拼成如图2所示的矩形，已知：：，，则的长是 ．
14．如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F是DE的中点，若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，正方形的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点、、、分别落在边、、、上，则的长为 ．
16．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2，则大正方形的边长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E
（1）求证：△ABD∽△CED
（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
18．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为多少．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子，的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
19．如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接.
（1）求证：；
（2）若.求和的长.
20．已知菱形 中， 是边 的中点， 是边 上一点.
（1）如图1，连接 ， . ， .
①求证： ；
②若 ，求 的长；
（2）如图2，连接 ， .若 ， ，求 的长.
21．（1）［问题提出］如图①，点C 是线段上的一点，．若，则的长为 ．
（2）［问题探究］
如图②，在中，对角线与交于点M，且，，四边形的周长是32，求线段的长；
（3）［问题解决］
①如图③是一个商场平面示意图，由一个 ABCD和一个△CDE组成，已知AB=300m，AD=500m，AC⊥DC，点A、D、E在同一条直线上．因AB边所临的街道人流量较大，现要在AB边上找一点F作为商场大门，为了美观，需使得∠CED=∠CDF．设AE的长为x（m），BF的长为y（m），求y关于x的函数关系式：
②当时，求的面积．
22．如图
（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．
23．如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，直线BD和直线CE交于点F．
（1）线段BD与CE具有怎样的数量关系？写出证明过程；
（2）若AC=BC=3，AE＝DE=，将△ADE绕着点A在平面内旋转，当点D落在线段AC上时，在图2中补全图形，并求CF的长度．
24．如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长．
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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 尖子生测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，则=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
2．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特神庙等．若黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
由题意得： ，
又∵，
∴，
，
故答案为：D．
3．如图，在中，AD是BC边上的高，在的内部，作一个正方形PQRS，若，，则正方形PQRS的边长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】如图：记AD与SR的交点为E，设正方形PQRS的边长为x，
∵AD是△ABC的高，四边形PQRS是正方形，
∴，AE是△ASR的高， 则AE=AD-ED=2-x，
∴△ASR∽△ABC，
解得：，
∴正方形PQRS的边长为．
故答案为：A．
4．如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】∵，
∴△ADC∽△ABO
∴，
∵，
∴，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴B点的纵坐标为6，故C正确.
故答案为：6.
5．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】如图：
∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴=2，
∴.
故答案为：C.
6．如图，在中，：：，是的中点，延长线交于，那么：（ ）
A．3：1 B．4：1 C．6：1 D．7：1
【答案】D
【解析】如图，作GM∥AC交BC于M，
∵G是AD中点，
∴M为DC中点，
，
：：，又且：：，
，
∴BG：GE=（BD+DM）：DM，
：，
：．
故答案为：D.
7．如图，，，，D为上一点，且，在上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则等于（ ）
A．或 B．10或
C．或10 D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】∵∠A=∠A，
①当时△ADE∽△ABC，
则，
得AE=10；
②当时△ADE∽△ACB，
则，
得；
综上分析可知，AE 等于或10，故C符合题意．
故答案为：C．
8．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，BD分别交CE、AF于G、H，试判断下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADF，AB＝CD，BC＝AD，
∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴AE＝BE＝AB，DF＝CF＝CD，
∴AE＝BE＝DF＝CF，
∴△CBE≌△ADF（SAS），故①符合题意；
∵△CBE≌△ADF，BC∥AD，
∴∠BCE＝∠DAF，∠CBD＝∠ADB，
∵BC＝AD，
∴△CBG≌△ADH（ASA），
∴CG＝AH，故②符合题意；
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴EC∥AF，
∵AE＝BE，
∴BG＝GH，
∵CF＝DF，AF∥CE，
∴GH＝DH，
∴BG＝GH＝DH，
∴BG＝GD，故③符合题意；
∵AB∥DF，
∴∠ABD＝∠BDF，∠BAH＝∠AFD，
∴△ABH∽△FDH，
∴＝2，
∴△ADH的面积＝2△DFH的面积，
∵△CBG≌△ADH，
∴S△CBG＝2S△FHD，故④符合题意；
综上所述：上列结论中，正确的结论有4个，
故答案为：D．
9．如图，将边长为6的正六边形沿折叠，点B恰好落在边的中点上，延长交于点M，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点H作延长的垂线，
，
，，
，
设，，，
，
，
，
在△中，根据勾股定理，得
，
，
解得，
，
，
，，
，
△，
，
，
解得，
.
故答案为：A.
10．如图，在矩形中，，M是边的中点，E，F分别是边上的点，且，垂足为点G.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过M作MH⊥AB于H，如图所示
则∠MHE=∠ABF=90°
∵ME⊥AF
∴∠FAE+∠GEA=90°
又∠HME+∠GEA=90°
∴∠FAE=∠HME
∴△ABF∽△MHE
∴
∵AB=2BC，M为CD中点
∴设BC=x，则AB=2x，CM=BH=AH=x，MH=BC=x
∴
解得：EH=
∴BH=BE+EH=，AE=3
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=
在Rt△MEH中，由勾股定理得：ME=
由∠GAE=∠BAF，∠AGE=∠ABF=90°得：
△AEG∽△AFB
∴
∴
解得：EG=
∴MG=ME－EG=
∴==
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，正方形城邑的四面正中各有城门，出北门20步的A处（步）有一树木，由南门14步到C处（步），再向西行1775步到B处（步），正好看到A处的树木（点D在直线上），则城邑的边长为 步．
【答案】250
【解析】设城邑的边长为x步，根据题意，
∵Rt△AHD∽Rt△ACB，
∴ ，
即，
解得x1＝250，x2＝ 284（不合题意，舍去），
∴城邑的边长为250步．
故答案为：250．
12．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则DF的长为 ．
【答案】
【解析】如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°，
∵BC＝6，E是BC的中点，
∴BE＝EC＝3，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠CEF，
∵△ABE∽△ECF，
∴＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝4﹣＝ ，
故答案为：．
13．如图1，一张矩形纸片，点、分别在，上，点，分别在、上，现将该纸片沿，，剪开，拼成如图2所示的矩形，已知：：，，则的长是 ．
【答案】10
【解析】如图，设，依题意得，，
在图2中，
∽
，
，
，，
拼成如图2所示的矩形面积，
在图1中
，
原矩形面积
解得
故答案为：10.
14．如图，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F是DE的中点，若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是 ．
【答案】2
【解析】∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABE，
∴点A，D，B，E四点共圆，
∵∠DAE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∵F是DE的中点，
∴BF＝DE，
∴当DE最小时，BF的值最小，
∵若点E是直线BC上的动点，
∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，
∵∠BAC＝90°，AB＝4＝AC，
∴BC＝4，
∴AE＝＝＝2，
∴DE＝4，
∴BF＝2.
故答案为：2.
15．如图，正方形的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点、、、分别落在边、、、上，则的长为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
正方形ABCD边长为10，
，，
过点G作GP⊥AD，垂足为P，则，
四边形APGB是矩形，
，，
六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，
，
，
∽，
，
，
．
．
同理．
．
，
小正方形的边长为，
．
故答案为：.
16．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2，则大正方形的边长为 ．
【答案】
【解析】如图：
∵大正方形与小正方形的面积之比为5，
∴＝，
∴AD＝EM，
设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴b2+（a+b）2＝（a）2，
∴2b2+2ab﹣4a2＝0，
（b﹣a）（b+2a）＝0，
∵b+2a≠0，
∴b﹣a＝0，
∴b＝a，
∴AE＝DM＝a，
如图，延长BF交CD于N，
∵BN∥DE，CF＝FM，
∴DN＝CN，
∴EN＝DM＝a，
∵PN∥BG，
∴，
设PN＝x，则BG＝4x，
∵DE＝BF，∠BFG＝∠DEF，∠BGF＝∠DPE，
∴△BFG≌△DEP（AAS），
∴PD＝BG＝4x，
同理得：EG＝FP，
∴DN＝3x＝CN，
∴PC＝2x，
∵CP∥BG，
∴， 即 ，
∴PH＝PG＝，
∵，
∴EF＝a＝GP＝，
∴a＝，
∴AD＝a＝．
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E
（1）求证：△ABD∽△CED
（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°．
∵CE是外角平分线
∴∠ACE＝60°．
∴∠BAC＝∠ACE．
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED．
（2）解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6．
∴AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝．
∵AD＝2CD，
∴CD＝2，AD＝4，MD＝1．
在Rt△BDM中，BD＝＝．
由（1）△ABD∽△CED得，
，，
∴ED＝
∴BE＝BD＋ED＝．
18．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为多少．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子，的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
【答案】（1）解：如图，设灯泡为点P，
设灯泡离地面的高度为PM=xcm，则PN=（x-30）cm，根据题意得：AD∥A'D'，PM⊥A'D'，∴∠PAD=∠PA'D'，∠PDA=∠PD'A'，PM⊥AD，∴△PAD∽△PA'D'，∴，∴，解得：x=180，即灯泡离地面的高度为60cm；
（2）解：如图，设灯泡为点P，
设横向影子A'B，D'C的长度和为ycm，由（1）得：PN=150cm，PM=180cm，同（1）得：△PAD∽△PA'D'，∴，∴，解得：y=12，即横向影子，的长度和为12cm；
（3）解：如图，设灯泡为点P，
设灯泡离地面的距离PM=m，则PN=m-a，AD=na，A'D'=na+b，∵AD∥A'D'，PM⊥A'D'，∴∠PAD=∠PA'D'，∠PDA=∠PD'A'，PM⊥AD，∴△PAD∽△PA'D'，∴，∴，解得： ．即灯泡离地面的距离为．
19．如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接.
（1）求证：；
（2）若.求和的长.
【答案】（1）证明：正方形内接于，
∴AD=BC，
∴，
∴∠ABD=∠CGB，
又∵∠EFB=∠BFG，
∴△BFE∽△GFB，
∴，
即；
（2）解：∵点E为AB中点，
∴AE=BE=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AB=AD=6，BD=，CE=，
∵CD∥BE，
∴△CDF∽△EBF，
∴，
∴DF=2BF，CF=2EF，
∴3BF=BD=，3EF=，
∴BF=，EF=，
由（1）得FG=.
20．已知菱形 中， 是边 的中点， 是边 上一点.
（1）如图1，连接 ， . ， .
①求证： ；
②若 ，求 的长；
（2）如图2，连接 ， .若 ， ，求 的长.
【答案】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
②如图，连接 .
∵ 是边 的中点， ，
∴ ，
又由菱形 ，得 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ .
（2）解：如图，延长 交 的延长线于点 ，
由菱形 ，得 ， ，
∴ ， ，
∵ 是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，而 为公共角.
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
21．
（1）［问题提出］如图①，点C 是线段上的一点，．若，则的长为 ．
（2）［问题探究］
如图②，在中，对角线与交于点M，且，，四边形的周长是32，求线段的长；
（3）［问题解决］
①如图③是一个商场平面示意图，由一个 ABCD和一个△CDE组成，已知AB=300m，AD=500m，AC⊥DC，点A、D、E在同一条直线上．因AB边所临的街道人流量较大，现要在AB边上找一点F作为商场大门，为了美观，需使得∠CED=∠CDF．设AE的长为x（m），BF的长为y（m），求y关于x的函数关系式：
②当时，求的面积．
【答案】（1）6
（2）解：∵ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点M，
∴，，，
∵，
可设，，
∵AC⊥CD，
∴，
∵四边形ABCD的周长是32，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①∵ABCD是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
∵
∴，
∴y关于x的函数关系式为：，；
②∵，且，
∴，
∵，且，
∴，
由①可得，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】（1）∵，且AC＝4，
∴，解得：，
∴.
故答案为：6；
22．如图
（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．
【答案】（1）证明：如题图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
（2）解：结论仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
设，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
（3）解：，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
23．如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，直线BD和直线CE交于点F．
（1）线段BD与CE具有怎样的数量关系？写出证明过程；
（2）若AC=BC=3，AE＝DE=，将△ADE绕着点A在平面内旋转，当点D落在线段AC上时，在图2中补全图形，并求CF的长度．
【答案】（1）解：BD＝CE．
证明：∵∠ACB=∠AED=90°，AC=BC，AE=DE，
∴∠BAC=∠DAE=45°，．
∴∠BAD=∠CAE．
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴BD＝CE．
（2）解：当点D落在线段AC上时，如图3，
则AD=AE=2，
∴CD=AC－AD=3-2=1，
∴BD=，
∵∠BAD=∠CAE=45°，，
∴△BAD∽△CAE.
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BDA＝∠CDF，
∴△ABD∽△FCD，
∴，
∵AB=，
∴，
∴CF=.
24．如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，D，E，F分别为的中点，
，，
，
（2）解：，理由如下，
连接，如图，
，D，E，F分别为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，
，
，
，
，
，
（3）解：如图，连接，过点作于，
中，，
，
，
，
，
，
，
，
中，
，
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
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