第一章 三角形的初步认识 章末复习（二） 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
第一章 三角形的初步认识
浙教版 八年级上册
要点梳理
能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
1.全等三角形
△ABC≌△DEF
全等的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
知识点1：全等三角形的定义与性质
要点梳理
2.全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
几何语言：
∵ △ABC≌△A1B1C1
∴ AB=A1B1，AC=A1C1，BC=B1C1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1
考点讲练
例1 如图,已知△ABC≌△DEB,E为AB的中点,AC与BD交于点F,DE=10,
∠C=55°,∠D=25°.
(1)求BC的长;
(2)求∠CBF的度数.
解:(1)∵△ABC≌△DEB,
∴AB=DE=10,BC=BE.
∵E为AB的中点,∴BE=AB=5,∴BC=5.
考点1 全等三角形的性质
考点讲练
例1 如图,已知△ABC≌△DEB,E为AB的中点,AC与BD交于点F,DE=10,
∠C=55°,∠D=25°.
(1)求BC的长;
(2)求∠CBF的度数.
(2)∵△ABC≌△DEB,∠C=55°,∠D=25°,
∴∠A=∠D=25°,∠DBE=∠C=55°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-25°-55°=100°,
∴∠CBF=∠ABC-∠DBE=100°-55°=45°.
考点讲练
例2 如图,△ADE≌△BCF,AD=10 cm,CD=6 cm,则BD的长为 (　　)
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm
解：∵△ADE≌△BCF,AD=10 cm,
∴BC=AD=10 cm.
∵CD=6 cm,
∴BD=BC-CD=10-6=4(cm).
A
考点讲练
【1-1】如图所示，△ABD≌△ACD，∠BAC=90°．
（1）求∠B；
（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
解：（1）∵△ABD≌△ACD，
∴∠B=∠C.
又∵∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°.
（2）AD⊥BC．
理由：∵△ABD≌△ACD，
∴∠BDA=∠CDA.
∵∠BDA+∠CDA=180°，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴AD⊥BC．
考点讲练
【1-2】如图,已知△ABC≌△DEC,点A和点D是对应顶点,点B和点E是对应顶点, 点A作AF⊥CD,垂足为点F,若∠BCE=65°,则∠CAF的度数为 (　　)
A.30° B.25°
C.35° D.65°
B
要点梳理
文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）
“边边边”判定方法
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△ A′B′C′ （SSS）.
AB=A′B′，
BC=B′C′，
CA=C′A′，
几何语言：
知识点2：三角形全等的判定方法
要点梳理
证明两个三角形全等的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
④写出结论：写出全等结论.
要点梳理
文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.（简写成“边角边”或“SAS”）．
“边角边”判定方法
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′ （SAS）.
AB=A′B′，
∠A=∠A′，
AC=A′C′ ，
几何语言：
要点梳理
文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”）
“角边角”判定方法
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′ （ASA）.
∠A=∠A′ ，
AB=A′B′ ，
∠B=∠B′ ，
几何语言：
要点梳理
◆文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
(可以简写成“角角边”或“AAS”).
“角角边”判定方法:
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′ （ASA）.
∠A=∠A′ ，
∠B=∠B′ ，
BC=B′C′ ，
几何语言：
考点讲练
例3 已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB，
BC＝CB，
∠ACB＝∠DBC，
证明：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
A
D
分析：运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定．
考点2 三角形全等的判定方法
考点讲练
例4 如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( )
A．BC=BD； B．AC=AD；
C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB
B
考点讲练
例5 如图AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．
求证：（1）∠C=∠E；（2）AM=AN．
证明：（1）∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE ，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∴∠C=∠E.
考点讲练
例5 如图AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．
求证：（1）∠C=∠E；（2）AM=AN．
（2）∵△ABC≌△ADE
∴∠B=∠D
在△ABM和△ADN中，
∴△ABM≌△AND(ASA)
∴AM=AN.
考点讲练
例6 如图,点A,B分别在OC,OD上,AD与BC相交于点E,∠C=∠D,DE=EC,则下列结论不一定正确的是 (　　)
A.AD=BC B.OA=AC
C.∠OAD=∠OBC D.△OAD≌△OBC
解：在△DEB和△CEA中,
∴△DEB≌△CEA(ASA),∴BE=AE,
∴AD=BC.在△OAD和△OBC中,
B
∴△OAD≌△OBC(AAS),
∴∠OAD=∠OBC,OA=OB.根据题中条件无法得到OA=AC,故B不一定正确.
考点讲练
例7 如图,E,F是BD上两点,AB=CD,BF=DE,AE=CF.求证:AC与BD互相平分.
证明:∵BF=DE,
∴BF-EF=DE-EF,即BE=DF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SSS),∴∠B=∠D.
在△ABO和△CDO中,
∴△ABO≌△CDO(AAS),
∴OA=OC,OB=OD,
∴AC与BD互相平分.
考点讲练
【2-1】已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是( )
A.AB=DE,AC=DF,BC=EF
B. ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DF
C.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D
D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F
D
考点讲练
【2-2】如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点0，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有______对.
4
【分析】根据条件: CD⊥AB，BE⊥AC ,AO平分∠BAC及隐含的条件AO=AO(公共边).
∴△ADO≌△AEO(AAS)，∴AD=AE,
∴△ADC≌△AEB(ASA)，∴∠B=∠C,
∴△ABO≌△ACO(AAS)，∴BO=CO,∴△BDO≌△CEO(AAS),
∴图中全等三角形共有4对.
考点讲练
【2-3】如图：在ΔABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．
(1)求证：∠ABE=∠ACG；
(2)试判：AG与AD的关系？并说明理由．
(1)证明：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠AFC=∠AEB=90°，
∴∠ACG+∠FAC=∠FAC+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠ACG；
(2)解：AG=AD,AG⊥AD，理由如下：
由（1）可知：∠ABD=∠GCA，
∵BD=AC，AB=GC，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AG=AD，∠BAD=∠CGA，
∵∠AFG=90°，
∴∠CGA+∠GAF=90°，
∴∠BAD+∠GAF=90°，即∠GAD=90°，
∴AG⊥AD．
考点讲练
【2-4】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,以B为圆心,BC长为半径画弧,与AD相交于点E,连接BE, 点C作CF⊥BE,
垂足为F.若AE=8,BC=10,则EF的长为　　　　.
解：因为∠ABC=90°,AD∥BC,所以∠A=180°-∠ABC=90°,∠AEB=∠FBC.因为CF⊥BE,所以∠BFC=90°,所以∠A=∠BFC.在△AEB和△FBC中,所以△AEB≌△FBC(AAS),所以BF=AE=8,所以EF=BE-BF=10-8=2.
2
要点梳理
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
A
B
D
l
如图，直线l⊥AB于点D，且AD=BD，直线l就是线段AB的垂直平分线.
结论：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质：
知识点3：垂直平分线的性质
考点讲练
例8 如图，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC等于(　　)
A．50° B．100°
C．120° D．130°
B
考点3 垂直平分线的性质
考点讲练
例9 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为(　　)
A．3 cm B．6 cm C．12 cm D．16 cm
A
要点梳理
文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
几何语言：
∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴PD=PE
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
知识点4：角平分线的性质
考点讲练
例10 如图,P为∠AOB平分线上的点,PD⊥OA于点D,PD=3 cm,则点P到OB的距离为 (　　)
A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm
解：如图, 点P作PE⊥OB于点E,
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PE=PD=3 cm.
C
考点4 角平分线的性质
考点讲练
例11 如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
则S△ABD∶S△ACD= (　　)
A.4∶3 B.9∶8 C.9∶7 D.3∶2
解：∵AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
∵AB=8,AC=6,S△ABD=AB·DE,S△ACD=AC·DF,
∴S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=8∶6=4∶3.
A
考点讲练
【4-1】如图,已知△ABC的周长是20,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
OD⊥BC于点D,且OD=3,则△ABC的面积是 (　　)
A.20 B.25 C.30 D.35
解：如图,连接OA, 点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,∴OE=OF=OD=3.
∵△ABC的周长是20,∴AB+BC+AC=20,
∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO=AB×OE+BC×OD+AC×OF
=(AB+BC+AC)×3=×20×3=30.
C
要点梳理
在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，
简称尺规作图。
知识点5：尺规作图
要点梳理
常用的作图语言：
（1）过点×、×作线段或射线、直线；
（2）连结两点×、×；
（3）在线段或射线×上截取××=××；
（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；
（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；
（6）延长××到点×，使××=××．
考点讲练
例12 用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是　　　　.
解：由作图知在△C'O'D'和△COD中,O'C'=OC,O'D'=OD,C'D'=CD,
所以△C'O'D'≌△COD(SSS),
所以∠A'O'B'=∠AOB.
SSS
考点5 尺规作图
考点讲练
例13 如图,已知∠AOB,C是OB边上一点, 点C作OA的平行线.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
解:如图,以CB为一边,在∠AOB内部作∠BCD=∠BOA,则CD∥OA.
(或以OC为一边,在∠AOB外部作∠OCE=∠AOB,则CE∥OA)
谢谢
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