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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 尖子生测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球．作AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D．已知∠AEC＝∠BED，AC＝10cm，BD＝15cm，CD＝20cm，若球手恰好能击中B球，则DE的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．cm
【答案】C
【解析】∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACE＝∠BDE＝90°，
∵∠AEC＝∠BED，
∴△AEC∽△BED，
∴，
∵AC＝10cm，BD＝15cm，
∴，
∴DE＝12（cm），
∴DE的长为12cm.
故答案为：C.
2．如图，已知∠A=70°，∠APC=65°，，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】A
【解析】∵∠A=70°，∠APC=65°
∴∠ACP=180°-70°-65°=45°
∵
∴
∵∠B=∠B
∴△BAC∽△CPA
∴∠B=∠ACP=45°．
故答案为：A．
3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．下列结论中错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．点为线段的黄金分割点
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
∴，A不符合题意；
∵是AB的垂直平分线，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴平分，B不符合题意；
根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，C符合题意；
∵，
∵，
∴，
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴点为线段的黄金分割点，D不符合题意，
故答案为：C．
4．如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，
根据相似比可知：，
即，
解得：EF=2（3-x），
则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-（x-）2+，
故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为（，）的抛物线．
故答案为：A．
5．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则（ ）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
【答案】C
【解析】∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，
∴DO=BO，，
又∵E为OD的中点，
∴，
∴DE：EB=1：3，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：C．
6．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为中点，连接交于点，则：（ ）
A．1：3 B．1：5 C．2：3 D．1：6
【答案】D
【解析】四边形ABCD是平行四边形，
，，
点M是AD中点，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
：.
故答案为：D.
7．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交BD于点F，若 ，则BD的长度是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴ ，
∵ ，点E是BC的中点，
∴ ，
∴DF＝4，
∴BD＝BF＋DF＝2＋4＝6，
故答案为：C．
8．如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE，以BE边作矩形BEFG，使得FG始终经过点C．若矩形ABCD的面积为 ，矩形BEFG的面积为 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD和四边形BEFG是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠EBG=∠G=90°，
∴∠ABE+∠CBE=∠CBG+∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠CBG，
∴△ABE∽△GBC，
∴，
∴AB·BC=BG·BG，
∴S1=S2.
故答案为：B.
9．如图，在中，，在内依次作，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
∽，
．
．
．
∽，
．
，
．
，，
∽．
．
．
∽，
．
，
．
，，
∽．
．
．
故答案为：C.
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示.作.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】连结CF，
设AF=a，DF=b，
∵ME∥AD，
∴△FME∽△FAD，
∴，即，
∴DF=2AF，
∴b=2a，
∵AF=DE=HC=BG=a，
∴FE=GF=GH=EH=AG-AF=2a-a=a，
∴点E为DF的中点，
∵CE⊥DF，
∴CF=CD，
∵四边形FGHE为正方形，
∴GF∥EH，即MG∥NE，
又∵ME∥GM，
∴四边形MGNE为平行四边形，
∴GM=EN，
∵GF=EH，
∴MF=HN=，
∴NC=CH-HN=a，
∴MF=CN，且MF∥CN，
∴四边形MFCN为平行四边形，
∴MN=FC=DC，
在Rt△AFD中，
AD=，
∴MN=CD=AD=，
∴MN：DF=.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知，若，则 ．
【答案】12
【解析】，
由等比性质，得，
所以．
故答案为：12.
12．如图，在中，，，D是的中点，过D点的直线交于点Q，若使与相似，则的长度为 ．
【答案】2或4.5
【解析】∵AB=6，D是AB的中点，
∴AD=AB=3，
①若△ADQ∽△ABC，则AD：AB=AQ：AC，
即3：6=AQ：4，
解得：AQ=2；
②若△ADQ∽△ACB，则AD：AC=AQ：AB
即3：4=AQ：6，
解得：AQ=4.5；
∴AQ的长为2或4.5.
故答案为：2或4.5.
13．如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
【答案】
【解析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．
平分，，，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
14．如图，在中，，，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作，，垂足分别为点D和点E，连接，交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是 ．
【答案】6或
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴AC＝，
当∠APQ＝90°时，如图1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝8，
∴AC＝，
∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，
∴△CAP∽△BAC，
∴，即，
∴AP＝6，
当∠AQP＝90°时，如图2，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ＝QP，
∵∠AQP＝90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP＝AC＝，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是6或．
故答案为：6或．
15．如图，已知M、N为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、、的延长线于点D、E、F，则 ．
【答案】3
【解析】过点M作MG∥DF，点G在AB上，过点N作NH∥DF，H在AB上，NH交AM于I，
则有MG∥DF∥NH∥AC
∵GM∥NH，
∴△BMG∽△BNH
∴
又∵BM=，
∴
∵MG∥NH∥AC，
∴
∴
∵MG∥NH
∴△AHI∽△AGM
∴
又∵
∴
∴
又∵DF∥NH
∴△AHI∽△ADE，△ANI∽△AFE，
∴
∴
∴
故答案为：3.
16．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ．
【答案】
【解析】过点D作DF⊥AC于点F，
∵AC⊥BC，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∴2AC2=AB2
∴；
∴，
∴即
解之：；
∴
∴；
∵DF⊥AC，AC⊥BC，
∴DF∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴即
解之：
，
∴.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（），连接．
（1）若，求t的值；
（2）若△NBM∽△ABC，求t的值．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，BC=，由题意知：BM=2t，CN=，∴BN=-，∵BM=BN，∴，解得：．
（2）解：当△NBM∽△ABC时，即解得：，∴当时，△NBM∽△ABC．
18．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， 、
（1）若AB=8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】（1）解：由题意，得DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵AB=8，
∴AD=2
（2）解：设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2．
∵
∴
∵S1=1，
∴S=16．
∵
同理可得S2=9，
∴平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6．
19．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE.
（1）求证 ；
（2）当 时，求CE的长.
【答案】（1）证明：∵ 所对的圆周角是 ，
∴ ，
又 ，
∴
（2）解：∵△ 是等边三角形，
∴
∵ ，
∴
∴
∵
∴ ，
∴
∴
连接 如图，
∵
∴
∴∠
又∠ ，
∴△
∴ ，
∴
∴ ，
∴ （负值舍去）
∴ ，
解得，
20．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是 ；
（2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等：
（3）在图②中的边上确定一点E，连结，使：
（4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．
【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图，点D即为所求作，使与全等：
（3）解：如图所示，点E即为所作，且使：
（4）解：如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．
【解析】（1）∵
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
21．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m，
∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣＋x＋4；
A（﹣2，0）；C（0，4）
（2）解：存在点M使AM＋OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点，连接A交BC于点M，连接B，
由对称性可知，OM＝M，
∴AM＋OM＝AM＋MA，
当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠BM＝45°，
∴B⊥BO，
∴（4，4），
设直线A的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x＋，
设直线BC的解析式为，
∴4＋4＝0，
∴＝﹣1，
∴y＝﹣x＋4，
联立方程组，
解得，
∴M（）；
（3）解：存在点P，使得最大，理由如下：
连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G，
设P（t，﹣＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），
∴PG＝﹣＋2t，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4，
∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF，
∴PF＝﹣＋t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PFCD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵B、D两点关于y轴对称，
∴CD＝4，
∴＝﹣（﹣4t）＝﹣＋，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，有最大值，
此时P（2，4）．
【解析】（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣＋x＋4＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F.
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若＝2，求的值；
（3）若MN∥BE，求的值.
【答案】（1）证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝CD，
∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴AM＝CE
（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF∽△ECF，
∴，
∵CE＝3，
∴BM＝，
∴AM＝，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴
（3）解：∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，
∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）同理得，，
∴，
解得：AN＝，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴.
23．
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
24．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为.
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值.
【答案】（1）解：如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；（或可以通过△AOB与△COD相似，得出对应边、对应边上的高线成比例，且比值相等，所以得证结论）
（2）解：(1)中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，△ODE∽△OBF，∴
∴；
（3）解：如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵，
∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，
∴△OEF≌△OCD（AAS），
∴OD=OF，
∵，
∴△OEF∽△OAM，
∴，
设，则，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，
∴HN是△ABM的中位线，
∴，
∴△OGF∽△OHN，
∴，
∵OG=2GH，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由（2）可知.
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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 尖子生测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球．作AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D．已知∠AEC＝∠BED，AC＝10cm，BD＝15cm，CD＝20cm，若球手恰好能击中B球，则DE的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．cm
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，已知∠A=70°，∠APC=65°，，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．下列结论中错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．点为线段的黄金分割点
4．如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则（ ）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为中点，连接交于点，则：（ ）
A．1：3 B．1：5 C．2：3 D．1：6
7．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交BD于点F，若 ，则BD的长度是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE，以BE边作矩形BEFG，使得FG始终经过点C．若矩形ABCD的面积为 ，矩形BEFG的面积为 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
9．如图，在中，，在内依次作，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
（第9题） （第10题） （第12题） （第13题）
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示.作.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知，若，则 ．
12．如图，在中，，，D是的中点，过D点的直线交于点Q，若使与相似，则的长度为 ．
13．如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
14．如图，在中，，，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作，，垂足分别为点D和点E，连接，交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，已知M、N为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、、的延长线于点D、E、F，则 ．
16．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（），连接．
（1）若，求t的值；
（2）若△NBM∽△ABC，求t的值．
18．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形， 、
（1）若AB=8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
19．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE.
（1）求证 ；
（2）当 时，求CE的长.
20．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是 ；
（2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等：
（3）在图②中的边上确定一点E，连结，使：
（4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．
21．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F.
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若＝2，求的值；
（3）若MN∥BE，求的值.
23．
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
24．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为.
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值.
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