三角形的初步认识

八上第1章 三角形的初步认识
章节概述：三角形的初步认识，是初中几何类题型中较重要的部分，许多同学在学习这部分内容时，较容易忽略最基本的定义、性质，从而对不少题目会感到无从下手。本节课，老师将带领同学们一起系统地全面地梳理三角形的内容，使同学们能够清晰地理解知识要点、掌握解题思路与步骤，全面突破三角形的初步！
§1.1 认识三角形
教学目标：
理解并掌握三角形的三边关系
理解并掌握三角形的内角和定理
理解并掌握三角形的外角性质
例1：三角形两边的长分别为1和8，若该三角形第三边长为偶数，则该三角形的周长为
解析：此题考查了三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”．
解：根据三角形的三边关系，得第三边应＞7，而＜9．又第三边是偶数，则第三边是8．则三角形的周长是17．
即时练习：
1、一个三角形的两边长分别为2厘米和9厘米，若第三边的长为奇数，则第三边的长为 厘米．
2、现有2cm、4cm、6cm、8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为
3、设△ABC的三边为a、b、c，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=
例2：若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状．
解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4，∴三个内角分别是180°×=40°，180°×=60°，180°×=80°．所以该三角形是锐角三角形．故选B．
例3：锐角三角形中，∠A＞∠B＞∠C，则下列结论中错误的是（　　）
A．∠A＞60° B．∠B＞45° C．∠C＜60° D．∠B+∠C＜90°
解析：利用三角形内角和的定理分析．
解：根据已知条件，知：∠A是最大角，∠C是最小角．再根据三角形的内角和是180°，故最大角一定大于60°，否则内角和将小于180°，故A正确；最小角一定小于60°，否则内角和将大于180°，故B、C正确；根据前面的分析，最大角可以是锐角，故另外两个角的和可能大于90°．故D不对．故选D．
即时练习：
1、如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1= 度．
2、一个三角形的三个内角中（　　）
A．至少有一个钝角 B．至少有一个直角
C．至多有一个锐角 D．至少有两个锐角
3、在△ABC中，∠A=3∠B，∠A-∠C=30°，则∠A= 度，∠C= 度．
例4：若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是
解析：三角形的外角性质；三角形内角和定理．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，那么根据这个外角和它相邻的内角和为180°，即可求得三角形的一个内角的度数，进而判断三角形的形状即可．
解：∵三角形的一个外角等于和它相邻的内角，这个外角和它相邻的内角和为180°，∴这个外角和这个内角均为90°，∴这个三角形是直角三角形．
例5：如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是（　　）
A．30° B．35° C．36° D．42°

解析：此题结合生活实际，有利于激发学生的探究意识．题目巧妙结合了三角形内角和外角的关系，将所有角转化到一个三角形内，体现了数形结合思想和转化思想在解决数学问题时的魅力．如图所示，△ABF中，根据内角和外角的关系，∠2=∠A+∠B；△EDG中，∠1=∠D+∠E；根据三角形内角和等于180°，得到∠1+∠2+∠C=180度．于是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，由于五个角的度数是相同，即可求得每一个角的度数．
解：∵∠2=∠A+∠B；∠1=∠D+∠E，∠1+∠2+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，
∵五个角的度数是相同，则每一个角的度数都是180°÷5=36°．故选C．
即时练习：
1、如图是A、B两片木板放在地面上的情形．图中∠1、∠2分别为A、B两木板与地面的夹角，∠3是两木板问的夹角．若∠3=110°，则∠2-∠1=（　　）
A．55° B．70° C．90° D．110°
2、已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于

3、一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BDC=142°，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
4、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为
§1.2 三角形角平分线、中线、高线
教学目标：
理解并掌握三角形的角平分线性质及有关计算
理解并掌握三角形的中线性质及应用
理解并掌握三角形的高线
例1：如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（　　）
A．10° B．12° C．15° D．18°
解析：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．
解：∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=128° ∴∠EAC＝64° ∵AD⊥BC且∠C=36°
∴∠DAC＝54° ∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=10° 故选A
例2：△ABC中，∠B的外角平分线的与∠C外角平分线相交于点P，且∠BPC=80°，则∠BAP的度数为
解析：此类题目考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．
解：如图，BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-（∠A+180°），=90°-∠A；
∵∠BPC=80°，∴∠CAB=20°，∴∠BAP=10°；故答案为：10°
即时练习：
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，则∠CEB是（　　）
A．15° B．20° C．30° D．35°
2、如图，△ABC中，BM、CM分别平分∠ABC和∠ACB，连接AM，已知∠MBC=25°，∠MCA=30°，则∠MAB的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
例3：若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是（　　）
A．AD平分∠BAC B．BD=DC C．AD平分BC D．BC=2DC
解析：本题主要考查三角形的中线的概念，并能够正确运用几何式子表示是解本题的关键．
解：A、AD平分∠BAC，则AD是△ABC的角平分线，故本选项错误；AD是△ABC的中线，则有BD=DC，AD平分BC，BC=2DC，故B、C、D正确．故选A．
例4：如图，已知点D是△ABC中BC边上的一点，线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条（　　）
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．边的垂直平分线
解析：本题利用了三角形的中线的性质．
解：由题意知，当线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条中线．故选B．
即时练习：
1、如图，D为AC上一点，AD=DC，E为BC上一点，BE=EC，则下列说法不正确的是（　D　）
A．DE是△BDC的中线 B．BD是△ABC的中线
C．D为AC中点，E为BC中点 D．图中∠C的对边是DE
2、如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　）
A．①、②都正确 B．①、②都不正确
C．①正确②不正确 D．①不正确，②正确
3、△ABC中，AD是BC边上的中线，下列五种说法：①AD把∠BAC分成相等的两部分；②AD把线段BC分成相等的两部分；③AD把△ABC分成形状相同的两个三角形；④AD把△ABC分成周长相等的两个三角形；⑤AD把△ABC分成面积相等的两个三角形．其中正确的说法有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
★例5：画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　）

A B C D
解析：考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．
解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，所以画法正确的是C．故选C．
例6：已知△ABC的三条高的比是3：4：5，且三条边的长均为整数，则△ABC的一边长可能是（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
解析：此题考查了学生对公倍数和三角形面积的理解和掌握．关键是运用三角形面积公式得到Xa1= Ya2= Za3，据给出的已知条件得出三边之比．
解：设三边为X，Y，Z 三条对应的高为a1，a2，a3可得：Xa1= Ya2= Za3，
已知a1：a2：a3=3：4：5，可得X：Y：Z=20：15：12 因为三边均为整数．
又4个答案分别是10，12，14，16．所以答案应该是12．故选B．
即时练习：
1、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（C）
A．AC是△ABC的高 B．DE是△BCD的高
C．DE是△ABE的高 D．AD是△ACD的高
2、如图，AD是几个三角形的高？（C ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3、图1为两个相同的矩形，若图1阴影区域的面积为10，则图2的阴影面积等于（　D　）
A．40 B．30 C．20 D．10
A组
1．由下列长度的三条线段能组成三角形吗?请说明理由.
（1）10cm，12cm，21cm； （2）5cm，5cm，10cm；
（3）5.4cm，7.2cm，11cm. （4）(k+1)cm，(k+2)cm，(2k+2)cm
2．图中的三角形共有（ ）
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个　
３．下列说法正确的是（ ）
A.经过三角形一边的中点的直线是三角形的中线
B.连接三角形两边中点的线段是三角形的中线
C.三角形的中线把三角形分成的两个小三角形的面积一定相等
D.三角形的中线把三角形分成的两个小三角形的周长一定相等
４．已知BD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则△ABD的周长为（ ）
A.12 B.10.5 C.10 D.8.5
５．在图中，正确画出AC边上高的是………………………………………………………（ ）
A B C D
6．AD是△ABC的一条高，也是△ABC的角平分线，若∠B=40°，求∠BAC的度数.
7．三角形中最多有______个直角或钝角.
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且∠B＝3∠BAD，求∠ADC的度数.
10．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长.
B组
１．如图，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上， 则∠1＋∠2的大小为（ ）
A.130° B.230° C.180° D.310°
２．如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB 的角平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线 交于点D2，依次类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（ ）
A.60° B.56° C.94° D.68°
３．如图，在△ABC中，D、E分别为BC上的两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（ 4组 ）
A.1组 B.2组 C.3组 D. 没有
4．在ΔABC中，，已知M是AB的中点， ΔMBC的周长为20，则ΔAMC的周长为 .
5．如图， ΔABC中，两条内角平分线与两条外角平分线分别相交于点D和点E，若∠D比∠E的2倍还大30°，求∠A的度数.
6．三角形一边上的高与另两边的夹角分别为62°和28°，求这边所对的角的度数.
7．如图，一张三角形纸片ABC，BD是它的一条角平分线.现将纸片沿BD折叠，点C落在AB边上的E处.已知∠ABC=40°，∠C=80°，请找出图中与∠ADE相等的角，并说明理由.
8．(1)如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C，△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝ 度，
∠XBC＋∠XCB＝ 度；
(2)如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．

９．如图所示，有一块三角形的土地，其中一边靠水渠，现要将它分给甲，乙，丙三户人家.甲户6人，乙，丙两户都有3人.土地按人口均分，但每户人家分得的土地都必须和水渠相邻，试问应如何分割这块土地.
§1.3 全等三角形的性质及判定
教学目标：
理解并掌握全等三角形的性质
理解并掌握三角形全等的判定
理解并掌握作三角形的方法
例1：如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，则∠C1= 度．
解析：本题考查了全等三角形的性质；解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．
解：∵△ABC≌△A1B1C1，∴∠C1=∠C，又∵∠C=180°-∠A-∠B=180°-110°-40°=30°，
∴∠C1=∠C=30°．故填30．
例2：若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A=52°，∠B=67°，BC=15cm，
∠F= 度，FE= cm．
解析：本题用考查的知识点为：全等三角形性质及对应关系的找法；书写全等时，应注意各对应顶点应在同一位置也可根据此点来找对应关系．
解：∵∠A=52°，∠B=67° ∴∠C=180°-∠A-∠B=61° ∵△ABC≌△DEF，BC=15cm，A与D，B与E分别是对应顶点 ∴∠F=∠C=61°，FE=BC=15cm．
即时练习：
1、如图，△ABC≌△ADE，∠B与∠D是对应角，AB与AD是对应边，另外两组对应边为 ，对应角为
2、如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C= 30 度．
3、一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y= 11
例3：如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）
解析：本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件有一边与一角，根据不同的证明方法可以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出的地方．
解：∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE，∵AB=DB，∴①用“角边角”，需添加∠BDE=∠BAC，
②用“边角边”，需添加BE=BC，
③用“角角边”，需添加∠ACB=∠DEB．故答案为：∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．（写出一个即可）
例4：在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD=DC，AB=AC；②∠B=∠C，∠BAD=∠CAD；③∠B=∠C，BD=DC；④∠ADB=∠ADC，BD=DC．能得出△ADB≌△ADC的序号是 ．
解析：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
解：①在△ADB和△ADC中，AD=AD，若添加条件BD=DC，AB=AC，根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ADB≌△ADC；故本选项正确；
②在△ADB和△ADC中，AD=AD，若添加条件∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，根据全等三角形的判定定理AAS可以证得△ADB≌△ADC；故本选项正确；
③在△ADB和△ADC中，AD=AD，若添加条件∠B=∠C，BD=DC，由SSA不可以证得△ADB≌△ADC；故本选项错误；
④在△ADB和△ADC中，AD=AD，若添加条件∠ADB=∠ADC，BD=DC，根据全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADB≌△ADC；故本选项正确；
综上所述，符合题意的序号是①②④；故答案是：①②④．
例5：如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有 对全等三角形．
解析：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等
解：①△AEB≌△ADC；∵AE=AD，∠1=∠2=90°，∠A=∠A，∴△AEC≌△ADC；∴AB=AC，∴BD=CE；
②△BED≌△CDE；∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵∠ADC=∠AEB，∴∠CDE=∠BED，∴△BED≌△CDE．
③∵BD=CE，∠DBO=∠ECO，∠BOD=∠COE，∴△BOD≌△COE．故答案为3．
例6：如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
解析：此题考查了作图-复杂作图，用到的知识点是全等三角形的判定、平行线的性质、角平分线的性质等，解题的关键是证出∠CAM=∠CMA．
解：（1）∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，
由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=33°
（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，
∴∠CAM=∠CMA，又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC，
在△ACN和△MCN中，∵，∴△ACN≌△MCN．
即时练习：
1、如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是 ．（只写一个即可，不添加辅助线）
2、（2012?南宁）如图所示，∠BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．
（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；
（2）试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．
3、（2012?北海）已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．
4、（2012?阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．乙
甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；
乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；
丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．
例7：已知二边及夹角，求做三角形。

解：1、作∠DBE= ∠a
2、在BD上截取BC=a；在BD上截取BA=b
3、连结AC，则△ABC就是所求的三角形
即时练习：
1、已知∠ α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠ α ，另一个内角等于2∠ α ，且这两内角的夹边等于a。

2、已知线段a，b，c。求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a .
A组
1、如图，在△ABC中，D、E分别是AB，BC上的点，若△ACE≌△ADE≌△BDE，则∠ABC=

第1题 第2题 第3题
2、正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（　　）。
A．10 B．12 C．14 D．16
3、如图，△ODA≌△OCB，已知∠O=70°，∠C=25°，则∠BEA=
4、如图，△ABC≌△DEF，则此图中相等的线段有（　　）。
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5、在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC中与这个角对应的角是 。
6、已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 7 个．
7、如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有 对。
？★★★8、在平面上，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，且满足AB=CD．有下列四个条件：（1）OB=OC；（2）AD∥BC；（3）；（4）∠OAD=∠OBC．若只增加其中的一个条件，
就一定能使∠BAC=∠CDB成立，这样的条件可以是（D　）
△AOD∽△BOC→AO/BO=OD/OC→AO/OD=BO/OC→△AOB∽△DOC
A．（2），（4） B．（2） C．（3），（4） D．（4）
★★★9、如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为 。

第9题 第10题 第11题
10、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．
11、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A?A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是
12、（2011?连云港）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？

13、（2009?北京）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．
求证：AB=FC．

B组
1、如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是 度．
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，垂足为点E，AB=12cm，则△DEB的周长为 cm。
4、如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去玻璃店．
5、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE= ；若∠CBA=32°，则∠FED= ，∠EFD= 。

第5题 第6题
6、如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE=16米，则AB= 米．
★★★7、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥L于E，QF⊥L于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．
8、雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．

9、在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．
（1）如图①，当∠DAB=120°，∠B=∠D=90°时，求证：AB+AD=AC．
（2）如图②，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图③，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
§1.4 章节检测
一、选择题
1、下列各组长度的线段能构成三角形的是( )
A、1.5cm 3.9cm 2.3cm B、3.5cm 7.1cm 3.6cm
C、6cm 1cm 6cm D、4cm 10cm 4cm
2、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，③∠A=90°－∠B，④∠A=∠B= ∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A、1个； B、2个； C、3个； D、4个
3、锐角三角形中任意两个锐角的和必大于( )
A、120° B、110° C、100° D、90°
4、如图1，△ABC中，CD⊥BC于C，D点在AB的延长线上，则CD是△ABC( )
A、BC边上的高； B、AB边上的高；
C、AC边上的高； D、以上都不对；
5、下列说法错误的是( )
A、有两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等；
B、一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
C、有一条边和两个角对应相等的两个三角形全等；
D、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
6、如图2，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有( )
A、2对； B、3对；
C、4对； D、5对；
7、如图3，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE全等
的理由不是( )
A、SAS B、AAS C、SSS D、ASA
8、如图4，能用AAS来判断△ACD≌△ABE需要添加的条件是( )
A、∠AED=∠ABC，∠C=∠B
B、∠AEB=∠ADC，CD=BE
C、AC=AB，AD=AE
D、AC=AB，∠C=∠B
10、如图7，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时(即n=10)时需要的火柴棒总数为( )根
A、165 B、65 C、110 D、55
二、填空题
11、在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是 ___________三角形；
12、把一副常用的三角形如图所示拼在一起，那么如图8中∠ADE是_______度；
13、如图9，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=125°，∠A=75°，则∠B=________度；
14、在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶4，则这个三角形中最大的角是_______度，按角分， 这是一个_________三角形；
15、如图10，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，则
∠ABD_____∠ACD (填“>”、“<”或“=”)
16、如图11，矩形ABCD中(AD>AB)，M为CD上一点， 若沿着AM折叠，点N恰落在BC上，则∠ANB+∠MNC=____________；

三、简答题
17、(9分)如图12，按下列要求作图：(1)作出△ABC的角平分线CD；
(2)作出△ABC的中线BE；(3)作出△ABC的高AF和BG(要求有明显的作图痕迹，不写作法)

18、(8分)已知：如图13在△ABC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°，(1)求∠AEC的度数；(2)想一想，还有其它的求法吗？写出你的思考。

19、(8分)如图14，已知AB=AC，BD=CE，请说明△ABE≌△ACD

20、(8分)如图15，已知∠ACB和∠ADB都是直角，AB平分∠CAD，E是AB上任一点，请说明CE=DE的理由。

21、(8分)如图16，在一水库的两测有A、B两点，请设计一种方案测量出A、B两点的距离(只说明设计方案，不要求数据计算、要求画出图形，并说明理由)

22、(9分)如图17，已知AC、BD交于O点，且∠A=∠B，OD=OC，EF为过O点的一条线段，分别交AD、BC于F、E点，现要求补充一个条件，使得O点能平分线段EF(说明理由)
条件：______________
理由：

23、(10分)请你找一个长方形的纸片，按以下步骤进行动手操作：
步骤一：在CD上取一点P，将角D和角C向上翻折，这样将形成折痕PM和PN，如图所示；
步骤二：翻折后，使点D、C落在原长方形所在的平面内，即点D′和C′，细心调整折痕PN、PM的位置使PD′，PC′重合如图2，设折角∠MPD′=α，∠NPC′=β
(1)猜想∠MPN的度数；
(2)若重复上面的操作过程，并改变α的大小，猜想：随着α的大小变化，∠MPN的度数怎样变化？并说明你猜想的正确性。
八上第1章 三角形的初步认识
同步突破1答案
A组
1．（1）能 （2）不能 （3）能 （4）能
2．D ３．C ４．B ５．C
6．100° 7．1个 8．∠ADC=72° 9． BE=
B组
１．B ２．B ３．B
4．28或12 5．80° 6．90°或34° 7．∠ABD和∠BCD
8．（1）150°；90° （2）不变；∠ABX＋∠ACX＝60°
９．取BC中点D，连AD，△ABD给甲户人家；再取CD中点E，连AE，△ADE和△AEC分别给乙和丙两户人家
同步突破2答案
A组
1、30° 2、D 3、120° 4、D 5、∠A
6、7个 7、4对 8、A 9、4 10、3cm．
11、SAS 12、全等 13、证明△ABC≌△FCE即可得
B组
1、D 2、35° 3、12cm 4、③
5、90°；32°，58° 6、16米
7、t=1s或t=s 8、相等
9、（1）易得AB=AD=AC，∴AB+AD=AC
（2）AB+AD=AC
（3）AB+AD=AC
章节检测答案
一、1、C 2、C 3、D 4、D 5、A 6、C 7、C 8、B 9、D 10、A
二、11、钝角 12、135 13、50 14、90，直角 15、= 16、90°
三、17、略；
18、(1)∠AEC=115°；(2)略
19、提示：利用SAS说明全等；
20、提示：先利用角平分线的性质及直角的条件说明∠ABC=∠ABD、BC=BD，再利用△ACE≌△BDE；
21、先构造全等三角形再利用全等三角形的对应边相等的性质得出。(只要说明全理都行)
22、可添加：AF=EB或∠FOA=∠EOB等，理由略；
23、(1)90°；
(2)∠MPN的度数不变，仍为90°(提示：∵∠α=∠MPD，∠β=∠NPC，又∵∠α+∠β+∠MPD+∠NPC=180°，∴α+β=90°)