图形与坐标培优教材

初中数学同步培优教材

目录
图形与坐标..........................................1
§4.1 探索确定位置的方法.................................3
§4.2 平面直角坐标系.................................5
§4.3 坐标平面内的图形变换............................7
封底 ................................................11
八上第4章 图形与坐标
章节概述：本章从中心点出发引出图形位置关系，介绍了两种确定物体位置关系的方法：有序对定位法和方向位置定位法。继而引入平面直角坐标系，在坐标系里探讨了图形的轴对称，中心对称，平移问题，图形的面积计算，平面上两点间的距离。坐标系的学习为我们处理图形提供了一个强大的工具，同时也为后续的一次函数等函数内容的学习打下了基础。
§4.1 探索确定位置的方法
知识目标：1.用有序数对表示物体位置。2.用方向与位置表示坐标。
例1：电影院位置问题：
在电影院内如何找到电影票上所指的位置？
(1) 在电影院内,确定一个座位一般需要几个数据?为什么?
(2) 如果是一个两层的电影院,也需要两个数据吗?
(3)如果将“16排3号”记作（16，3），那么“3排16号”如何表示？____________,它们表示同一个座位吗?
解析：(1) 2个。（2）3个。（3）（3,16）
即时训练：如图，这是棋盘的一部分。请把图中的黑白棋子的位置用数对表示出来 。
答案：黑A（3,7），B(3,6),C(5,7),D(4,5)，白A(4,6),B(3,5),C(2,4),D(4,4)
例2：下图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，比例尺是10海里/cm,对我方潜艇来说：
（1）北偏东40°的方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？
（2）距我方潜艇图上距离1 cm处的敌舰有哪几艘？
（3）我方潜艇向东航行20海里后，在地方战舰的什么方向？
解析：（1）对我方潜艇来说，北偏东40°的方向上有两个目标：敌舰B和小岛．要想确定敌舰B的位置，仅有北偏东40°的方向是不够的，还需要知道敌舰B距我方潜艇的距离．
距我方潜艇图上距离1 cm处的敌舰有两艘：敌舰A和敌舰C．
南偏东40°
即时训练：以纳思书院解放路校区为中心，建兰中学在纳思书院解放路校区南偏西40°方向的1.9km处，杭州高级中学在纳思书院解放路校区北偏西40°方向的1.9km处，采荷实验中学在杭纳思书院解放路校区院北偏西40°方向的1.9km处。请仿照例题的图示方法，以纳思书院解放路校区为中心，画出其它三所学校的位置。
A组
1、小红坐在第 5 排 24 号用（5，24）表示，则（6，27）表示小红坐在第 排 号
2、A在B的北偏东30°方向，则B在A的（　　）
A、北偏东30° B、北偏东60° C、南偏西30° D、南偏西60°
3、下列数据不能确定物体位置的是（　　）
A、三楼四号 B、北偏东45° C、解放路85号 D、东经118°北纬40°
4、小明的家在学校的北偏东45°方向，距离学校 3km 的地方，请在下图中标出小明家 P 的位置。
5、某观察员8:00测得河水的水位比标准水位上升0.6米，记录为（8,0.6），那么（17，-0.2）表示_________
6、（2010?西宁）如图是小刚的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（　　）
A、（1,0） B、（-1，0） C、（-1,1） D、（1，-1）
7、（2008?台湾）以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述：甲：从学校向北直走500公尺，再向东直走100公尺可到图书馆．乙：从学校向西直走300公尺，再向北直走200公尺可到邮局．丙：邮局在火车站西方200公尺处．根据三人的描述，若从图书馆出发，判断下列哪一种走法，其终点是火车站（　　）
A．向南直走300公尺，再向西直走200公尺
B．向南直走300公尺，再向西直走600公尺
C．向南直走700公尺，再向西直走200公尺
D．向南直走700公尺，再向西直走600公尺
8、若图中的有序数对（4，1）对应字母D，有一个英文单词的字母顺序对应图中的有序数对为（1，1）、（2，3）、（2，3）、（5，2）、（5，1）；则这个英文单词是 ______（大小写均可）
9、如图，点A用（3，1）表示，点B用（8，5）表示．若用（3，3）→（5，3）→（5，4）→（8，4）→（8，5）表示由A到B的一种走法，并规定从A到B只能向上或向右走，用上述表示法写出另两种走法，并判断这几种走法的路程是否相等．
10、（2008?毕节地区）如图是中国象棋的一盘残局，如果用（2，-3）表示“帅”的位置，用（1，6）表示的“将”位置，那么“炮”的位置应表示为（　　）
A、（6,4） B、（4,6） C、（8,7） D、（7,8）
A、（11,3） B、（3,11） C、（11,9） D、（9,11）
B组
1、将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是
2、如图，雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现．按照规定的目标表示方法，目标C、F的位置表示为C（6，120°）、F（5，210°）．按照此方法在表示目标A、B、D、E的位置时，其中表示不正确的是（　　）
A、A（5，30°） B、B（2，90°） C、D（4，240°） D、E（3，60°）
3、如图是某镇的部分单位的示意图，若用（2，5）表示图上镇政府的位置，用有序数对表示出其他各单位的位置。
4、常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置
5.如图，已知射线OX，当OX绕端点按逆时针方向旋转30°到OA时，如果线段OA的长是2cm，那么点A用记号A（2，30°）表示．（1）画出两点B（3，50°），C（4，140°）的位置；（2）量出BC的长（精确到0.1cm）；
6、某船上午8点观察到小岛在北偏东450方向，它以每小时20千米的速度向正东航行，上午10点观察到小岛在北偏东300方向，此时船离小岛的距离是多少千米
§4.2 平面直角坐标系
知识要点：1.绘制和建立直角坐标系。
平面直角坐标系下确立点的位置。
在平面坐标系中确定图形的位置。
两点间的距离公式。
例1：建立平面直角坐标系，表示出下列点的位置，并判断它们的象限;求△ABC、△ABD、△ADF、△AGH、△BFE的面积：
训练：略。
即时训练：已知在第二象限，求a的取值范围。
答案
例2：等边底边AB长为4，请建立适当的直角坐标系，并表示出各顶点坐标。
解析：以底边AB的中点O为原点，OB方向为x轴正方向，OC方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，可得A）（-2,0），B(2,0),C(O,).纳思的同学们，想一想，如果是等腰直角三角形，结果如何呢？如果是顶角C为的等腰三角形，你又会算吗？
即时训练1：中，AB边长为4,请建立适当的直角坐标系，并表示出各顶点坐标。
例3：在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,2)，点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有(　　)
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
解析：　B。分类讨论，当以点O为顶点时，有2个；当以点P为顶点时，有1个；当以Q以顶点时，有1个．
例4：（1）O在坐标原点，点A（2,3），求点O,A之间的距离.
点A（2,3），点B（-1，-2），求点,A,B之间的距离.
解析：（1）利用勾股定理即可得O,A之间的距离为事实上，我们可以得到平面上任一点P（x，y）到原点的距离为。
利用勾股定理即可得A,B之间的距离为事实上，我们可以得到平面上任意两点间的距离为。
即时训练3：已知点求点,A,B之间的距离.
答案
A组
1如果点 在第一象限，那么点 在（ ）
　　A、第四象限　B、第三象限　C、第二象限　D、第一象限
2若点M在第一、三象限的角平分线上，且点M到x轴的距离为2，则点M的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（-2，-2） C．（2，2）或（-2，-2） D．（2，-2）或（-2，2）
3矩形 中，三点的坐标分别是 点的坐标是（ ）
　　A、 　B、 　C、 　D、
4下列说法中正确的有
①点（1，-a）一定在第四象限；②坐标轴上的点不属于任一象限；③横坐标为零的点在y轴上，纵坐标为零的点在x轴上；④直角坐标系中，在y轴上的点到原点的距离为5的点的坐标是（0，5）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5在平面直角坐标系内，已知点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，
a =
6 △ABC的各顶点坐标为A（-5，2）、B（1，2）、C（3，-1），则△ABC的面积为___________。
7已知点P（x，y）满足，则点P坐标为___________。
8点A（-1，2）与B（3，5）的距离是 ；
9已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积．
10.点 ，点 ,点 在 轴上，如果 的面积为15，求点 的坐标.
B组
1 已知点P（3，a-1）到两坐标轴的距离相等，则a的值为
A. 4 B. 3 C. –2 D. 4或-2
2设点 的坐标为 ，则点 在第________象限；
3 若点A（a，b）的坐标满足，，则点A在第___________象限。
4阅读下列材料后回答下列问题：
在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（，0）、B（，0），A、B两点之间的距离记作，则；轴上两点C（0，）、D（0，），C、D两点之间的距离记作，则。
如图所示，A（-3，2）、B（2，2），连结AB，易知AB∥x轴，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，则四边形ABCD为长方形，故，而C点坐标为（-3，0），D点坐标为（2，0），所以。
（1）直线∥x轴，上有点M（4，-1）、N（x，y），若，试求x、y的值；
（2）直线∥y轴，上有点P（，）、Q（1，0），若，试求、的值。
5. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为 ．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
(1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积
(2)在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使＝，
若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．
(3)点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．
§4.3 坐标平面内的图形变换
知识要点：1.求关于坐标轴和原点对称的点的坐标。
点和图形的平移。
图形的旋转。
求两点的中点坐标。
例1：如图，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形．如果△ABC中任意一点M的坐标为(a，b)，那么它的对应点N的坐标为____________.
解析：点A(4,3)，B(3,1)，C(1,2)的对应点分别为P(－4，－3)，Q(－3，－1)，R(－1，－2)，可知△PQR与△ABC关于原点对称，所以点M的对应点N的坐标为(－a，－b)．
即时训练：点(a，b)关于x轴，y轴对称的点的坐标分别是____________.
答案 (a，-b),(-a，b)
例2：
将点A(2,1)向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是(　　)
A. (0,1) B．(2，－1) C．(4,1) D．(2,3)
解析：点A′的横坐标为2－2＝0，纵坐标仍为1，∴A′的坐标为(0,1)．选A.
例3：若点A的坐标为(6,3)，O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是(　　)
A．(3，－6) B．(－3,6)
C．(－3，－6) D．(3,6)
解析：　画图，根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，可得A′的坐标为(3，－6)．
即时训练：
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－6,1)，点B的坐标为(－3,1)，点C的坐标为(－3,3)．
(1)将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出图形Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出图形Rt△A2B2C2.
解析：(1)如下图，A1(－1,1)．
(2)如下图：
例4：（1）已知点A（2,-3），点B（-2，-1），求A,B两点的中点坐标。
已知点A（2,3），A,B中点C的坐标为（-1，-2），求点B坐标.
解析：（1）A,B两点的中点坐标为（0，-2），事实上，任意两点的中点坐标为。（2）逆向求法，求得B（-4，-7）.
即时训练：
（1）已知点求点,A,B中点的坐标.
点光源A（-1,1）发出的光线经过平面镜（与x轴重合）反射后经过点B（3,4），求光线从A到B的最短路径长。
答案（1） （2）
A组
1.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n）规定以下两种变换：
①f（m，n）=（m，-n），如f（2，1）=（2，-1）
②g（m，n）=（-m，-n），如g（2，1）=（-2，-1）.
按照以上变换有：
f[g(3,4)]=f(-3，-4)=(-3,4)
那么g[f(-3,2)]等于 （ ）
A.(3,2) B.(3,-2) C.(-3,2) D.(-3,-2)
2.已知，坐标平面上的四个点M（m，n）、N（-m，-n）、P（-m，n）、Q（m，-n）中，关于y轴对称的点是 （ ）
M与N，P与Q B.M与Q，P与N
C.M与P，P与N D.M与P，N与Q
3.点P（-2，y），Q（x，3）关于y轴对称，则x= y=
4.在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(-4,-1)、B(1,1)，将线段AB平移后得到线段A’B’，若点A’的坐标为(-2,-2)，则点B’的坐标为 （ ）
A.(4,3) B.(3,4) C.(-1,-2) D.(-2,-1)
5.已知坐标平面内的△ABC如图所示：
（1）写出△ABC各顶点的坐标；
（2）将点A、B、C的纵坐标分别乘-1，得点A' 、B'、C'，请在坐标系中画出A' B'C'；
（3）请问△A' B'C'是△ABC经过怎样的变换得到的图像？

6.“已知坐标平面内，点，点，、两点的对称中心为，求的值”解这道题的方程组正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
7.下列能把点P（-x，y）变为Q（x，y）的变换有
①向左平移2x个单位；②向右平移2x个单位；③作关于x轴对称；④作关于y轴对称；⑤向上平移2x个单位；⑥向下平移2x个单位
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
8.如图，A、B的坐标为（2,0），（0,1），若将线段AB平移至，则的值
A.2 B.3 C.4 D.5
9.已知点A（a+2，5），B（-4，1-2a），若直线AB平行于x轴，则a的值为（ ）
10.如图，△ABC内任意一点经过平移后对应点为，将作同样的平移得到，求的坐标，并画出.
B组
11.如图，已知点A的坐标为（，），将绕点逆时针旋转90°，得到.则点的坐标为 .若旋转60°得到，则点的坐标为 .

12.在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为、、.一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点跳到以为对称中心的对称点，第2次由点跳到以为对称中心的对称点，第3次由跳到以为对称中心的对称点，…，按此规律，电子蛙分别以、、为对称中心继续跳下去.问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标是（ ， ）
已知点（1,n），点，则点关于点P的对称点的坐标为___________.
如图，一束光线从轴点出发，经过轴上点反射后经过点,则光线从点A到点B所经过的路程是
如图 在直角坐标系中第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次又变换△OA2B2第三次变换成△OA3B3，已知：A（1，3）A1（-2，-3）A2（4，3）A3（-8，-3）；B（2，0）B1（-4，0）B2（8，0）B3（-16，0）（1）观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律变换成△0A4B4
则点A4的坐标为 .点B4的坐标为 .
（2）若按第（1题）中找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到的△OAnBn推测点
An坐标为 ，点Bn坐标为 。

15.“在平面直角坐标系中，已知点（3,4），点绕原点逆时针旋转90°后得到点，求坐标”
在做这道题时，分别过、作轴的垂线，垂足为，.他发现，
由此得出的坐标是（-4,3）.
证明:
求关于原点逆时针旋转后的坐标，并归纳得出平面内任意一点绕原点旋转90°的坐标
尝试使用小明的方法，求平面内一点绕另一点逆时针旋转90°后的坐标

章末总结：
经历了“丰富的图形世界”、“平面图形及其位置关系”、“三角形”等几何知识学习与探索，学生对本章的学习可以说是游刃有余。一方面，在现实生活中确定物体位置的知识或多或少已经耳濡目染；另一方面，丰富、生动、有趣的教科书实例让孩子们操作起来乐此不疲。也因为如此，数形结合的，有序实数对（坐标）的概念要寓于生动的活动中，置于学生的大脑深处尤其不能被教师所忽视。从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度来看，本章的教学目标体现在以下几个方面：（1）从事对现实世界中确定位置的现象进行观察、分析、抽象和概括的活动，经历探索图形坐标的变化与图形形状的变化之间关系的过程，进一步发展学生的数形结合意识，培养学生形象思维能力和数学应用能力。（2）认识并能画出平面直角坐标系，在给定的直角坐标系中，会根据坐标描绘出点的位置，由点的位置写出它的坐标。（3）能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；能结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置。（4）在同一直角坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化和各点坐标变化后图形的变化。