2022-2023学年浙教版数学九年级上册4.4 两个三角形相似的判定 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·禅城期末）如图，D是BC上的点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC
C．△ABD∽△ACD D．以上都对
2．（2021九上·青浦期末）下列图形，一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形 D．两个菱形
3．（2021九上·灌阳期末）将一个三角形的各边都缩小到原来的 后，得到三角形与原三角形（ ）
A．一定不相似 B．不一定相似
C．无法判断是否相似 D．一定相似
4．（2021九上·南海期末）如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是（ ）
A． B． C．∠ABC=∠BDC D．∠A=∠CBD
5．（2021九上·历下期末）如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
6．（2021九上·定海期末）如图，要判定与相似，欲添加一个条件，下列可行的条件有
( 1 )；(2)；(3)；(4)；(5).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021九上·宝山期末）下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021九上·平邑期末）在中，点在线段上，请添加一个条件使，则下列条件中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021九上·东坡期末）如图，E是的边的延长线上一点，连接交于F，则图中共有相似三角形（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
10．（2021九上·岑溪期末）如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点O，则图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填空题
11．（2021九上·牡丹江期末）如图，∠1＝∠2，请添加一个条件 ，使△ADE∽△ACB．
12．（2021九上·灌阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个.
13．（2021九上·龙沙期末）如图，在中，D是线段上的一点（不与点A，B重合），连接．请添加一个条件使与相似，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14．（2021九上·北京月考）如图，点E在 的边 的延长线上，连接 分别交 、 于F、G．图中相似的两个三角形共有 对．
15．（2021九上·合肥月考）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示 ．
16．（2021九上·上城期末）如图，在等腰 中， 平分 ，点E在 的延长线上， 交 于点F，则图中与 相似的三角形为 ； 的长为 .
三、解答题
17．（2021九上·岳阳期末）如图，已知 ，点E、F在线段BD上， ， ，求证：
18．（2021九上·槐荫期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB．
19．（2022九上·桂林期末）在△ABC中，已知点D，E分别是AC，AB边上的中点.
求证：△ADE∽△ACB.
20．（2021九上·密云期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：△ABD∽△ACB．
21．（2021九上·内江期末）如图，在 ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE AC，EF AB.
（1）求证： BDE∽ EFC.
（2）若 ，AD＝6，求AB的长.
22．（2021九上·东坡期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF.
23．（2021九上·槐荫期末）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
24．（2021九上·合肥期末）如图1，四边形中，，平分，若，．
（1）求的长．
（2）如图2，过点作交于，连接交于，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ADC＝∠BAC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】题干给出了∠ADC＝∠BAC，结合公共角∠ACD=∠BCA，然后结合相似三角形的判定定理进行判断.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；
B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
C.两个等边三角形，角都是60°，故相似；
D..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的 ，
∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为 ，
∴得到三角形与原三角形一定相似.
故答案为：D.
【分析】根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可判断得到三角形与原三角形一定相似.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵BC2=AC CD，
∴，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，A不合题意，
∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，C不合题意，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，D不合题意，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①三角形的三边的长度为：2，2，2；
②三角形的三边的长度为：，2，；
③三角形的三边的长度为：，3，；
④三角形的三边的长度为：，，3；
∵，
∴相似三角形的是①和②，
故答案为：A．
【分析】先计算每个三角形3条边的长度，根据相似三角形判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似可得答案。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，故（1）正确；
（2）∵，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，故（2）正确；
∵，∠A=∠A，
∴△ABC与△AED不相似，故（3）错误；
（4）∵∠BED+∠C=180°，
∴∠B+∠EDC=360°-180°=180°，
∵∠ADE+∠EDC=180°，
∴∠B=∠ADE，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，故（4）正确；
∵∠A=∠A，∠BED=∠C，
∴△ABC与△AED不相似，故（3）错误，
∴正确的有（1）（2）（4），共3个.
故答案为：C.
【分析】根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似或根据有两角对应相等的两三角形相似，逐项进行判断，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：的三边长分别为：，
，，
∵，
∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别为：2，4，，
∴，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
在中，∠B的夹边为AB和BC，
在中，∠B的夹边为AB和BD，
∴若要，
则，即
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定的方法逐项判断即可。
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，
∴△EAB∽△AFD.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，进而根据平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所截的三角形与原三角形相似得△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，据此解答.
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： AB∥CD，
∴，
又∵，
∴
∴共有3对相似三角形.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得，结合对顶角相等及相似三角形的判定即证.
11．【答案】∠D=∠C（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠DAE＝∠CAB，
∵△ADE∽△ACB
所以，添加的条件为∠D=∠C．
故答案为：∠D=∠C（答案不唯一）．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
12．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，
∴
又
又
，
又
与△ABC相似的三角形有△ACD、△CDE、△CBD、△DBE共计4个
故答案为：4.
【分析】根据等角或同角的余角相等， 找出相等的角，然后利用两组角对应相等的两个三角形相似，证明三角形相似，依此找出所有跟△ABC相似的三角形即可.
13．【答案】∠ACB=∠CDB（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠B=∠B
∴添加∠ACB=∠CDB或∠A=∠DCB或 ．
故答案是：∠ACB=∠CDB（答案不唯一）．
【分析】根据相似三角形的判定即可得出答案。
14．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 是平行四边形，
， ，
， ， ， ， 五对，还有一对特殊的相似三角形即 ，
共6对，
故答案是；6．
【分析】先求出 ， ，再求解即可。
15．【答案】△DEB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意可得： ， ， ，
∴ ，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法判断求解即可。
16．【答案】；
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
∵
∴
，
，
，
，
如图，作 交 于点G，
，
，
，
，
解得 ，
，
，解得 .
故答案为： .
【分析】 （1）根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形外角的性质推出，于是证明△AFE∽△AEC，可得结论；
（2）作EG⊥CD交CD于点G，利用平行线分线段成比例定理求出AE，再利用相似三角形的性质即可求出结果．
17．【答案】证明：∵
∴
又∵ ，
∴
∴ .
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠D，根据已知条件可得
=2，然后利用两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似进行证明.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠B=180°，∠DCF=∠BEC．
∵∠DFC+∠DFE=180°，∠DFE=∠A，
∴∠DFC=∠B，
∴△DCF∽△CEB．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】 根据题意证明∠DCF=∠BEC，∠DFC=∠B，可证 △DCF∽△CEB 。
19．【答案】证明：∵点D，E分别是AC，AB边上的中点
∴DE//BC，
∴
又 =
∴△ADE∽△ACB
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由中位线定理得出DE∥BC，然后由平行线的性质得出 ，则可证明 △ADE∽△ACB .
20．【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD
∵∠ABC=2∠C
∴∠ABD=∠C
∵∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先证明∠ABD=∠C，再结合∠A=∠A，即可证明△ABD∽△ACB．
21．【答案】（1）证明：∵DE AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：∵EF AB，
∴ ，
∵DE AC，
∴ ，
∴
∵AD＝6，
∴ ，
∴BD=3
∴AB＝9.
【知识点】平行线的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据平行线分线段成比例的性质可得
，
，则
，据此计算.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB.
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE.
∵CDBH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H.且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH.
（2）证明：∵BE2=AB AE，
∴=，
∵AGBC，
∴=，
∴=，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF.
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB，结合DF=BE可证明△CDF≌△CBE，得到∠DCF=∠BCE，由平行线的性质可得∠H=∠DCF，则∠BCE=∠H，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）由已知条件可得，由平行线分线段成比例的性质可得，则，结合DF=BE，BC=AB可得BE=AG=DF，据此证明.
23．【答案】（1）2t；（5﹣t）
（2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）解：∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定
【解析】【解答】(1)解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
【分析】（1）由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，则OQ=（5-t）cm；
（2）由（1）可得S==6 ，解之可得t；
（3）由题意可知 △POQ与△AOB相似分为两种情况，△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA，可根据相似三角形的性质对应线段成比例求出t的值。
24．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：
（2）解：∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的长是．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用 ADB~ BDC即可解决问题；
（2）根据已知条件证明 MBD是等腰三角形，求出MB，再证明 MNB~ CND求出DN的值；
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册4.4 两个三角形相似的判定 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·禅城期末）如图，D是BC上的点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC
C．△ABD∽△ACD D．以上都对
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ADC＝∠BAC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】题干给出了∠ADC＝∠BAC，结合公共角∠ACD=∠BCA，然后结合相似三角形的判定定理进行判断.
2．（2021九上·青浦期末）下列图形，一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形 D．两个菱形
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；
B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
C.两个等边三角形，角都是60°，故相似；
D..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
3．（2021九上·灌阳期末）将一个三角形的各边都缩小到原来的 后，得到三角形与原三角形（ ）
A．一定不相似 B．不一定相似
C．无法判断是否相似 D．一定相似
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的 ，
∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为 ，
∴得到三角形与原三角形一定相似.
故答案为：D.
【分析】根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可判断得到三角形与原三角形一定相似.
4．（2021九上·南海期末）如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是（ ）
A． B． C．∠ABC=∠BDC D．∠A=∠CBD
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵BC2=AC CD，
∴，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，A不合题意，
∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，C不合题意，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，D不合题意，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
5．（2021九上·历下期末）如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①三角形的三边的长度为：2，2，2；
②三角形的三边的长度为：，2，；
③三角形的三边的长度为：，3，；
④三角形的三边的长度为：，，3；
∵，
∴相似三角形的是①和②，
故答案为：A．
【分析】先计算每个三角形3条边的长度，根据相似三角形判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似可得答案。
6．（2021九上·定海期末）如图，要判定与相似，欲添加一个条件，下列可行的条件有
( 1 )；(2)；(3)；(4)；(5).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，故（1）正确；
（2）∵，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，故（2）正确；
∵，∠A=∠A，
∴△ABC与△AED不相似，故（3）错误；
（4）∵∠BED+∠C=180°，
∴∠B+∠EDC=360°-180°=180°，
∵∠ADE+∠EDC=180°，
∴∠B=∠ADE，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，故（4）正确；
∵∠A=∠A，∠BED=∠C，
∴△ABC与△AED不相似，故（3）错误，
∴正确的有（1）（2）（4），共3个.
故答案为：C.
【分析】根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似或根据有两角对应相等的两三角形相似，逐项进行判断，即可得出答案.
7．（2021九上·宝山期末）下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：的三边长分别为：，
，，
∵，
∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别为：2，4，，
∴，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
8．（2021九上·平邑期末）在中，点在线段上，请添加一个条件使，则下列条件中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
在中，∠B的夹边为AB和BC，
在中，∠B的夹边为AB和BD，
∴若要，
则，即
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定的方法逐项判断即可。
9．（2021九上·东坡期末）如图，E是的边的延长线上一点，连接交于F，则图中共有相似三角形（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，
∴△EAB∽△AFD.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，进而根据平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所截的三角形与原三角形相似得△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，据此解答.
10．（2021九上·岑溪期末）如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点O，则图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： AB∥CD，
∴，
又∵，
∴
∴共有3对相似三角形.
故答案为：C.
【分析】由平行线的性质可得，结合对顶角相等及相似三角形的判定即证.
二、填空题
11．（2021九上·牡丹江期末）如图，∠1＝∠2，请添加一个条件 ，使△ADE∽△ACB．
【答案】∠D=∠C（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠DAE＝∠CAB，
∵△ADE∽△ACB
所以，添加的条件为∠D=∠C．
故答案为：∠D=∠C（答案不唯一）．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
12．（2021九上·灌阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个.
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，
∴
又
又
，
又
与△ABC相似的三角形有△ACD、△CDE、△CBD、△DBE共计4个
故答案为：4.
【分析】根据等角或同角的余角相等， 找出相等的角，然后利用两组角对应相等的两个三角形相似，证明三角形相似，依此找出所有跟△ABC相似的三角形即可.
13．（2021九上·龙沙期末）如图，在中，D是线段上的一点（不与点A，B重合），连接．请添加一个条件使与相似，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】∠ACB=∠CDB（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠B=∠B
∴添加∠ACB=∠CDB或∠A=∠DCB或 ．
故答案是：∠ACB=∠CDB（答案不唯一）．
【分析】根据相似三角形的判定即可得出答案。
14．（2021九上·北京月考）如图，点E在 的边 的延长线上，连接 分别交 、 于F、G．图中相似的两个三角形共有 对．
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 是平行四边形，
， ，
， ， ， ， 五对，还有一对特殊的相似三角形即 ，
共6对，
故答案是；6．
【分析】先求出 ， ，再求解即可。
15．（2021九上·合肥月考）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示 ．
【答案】△DEB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意可得： ， ， ，
∴ ，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法判断求解即可。
16．（2021九上·上城期末）如图，在等腰 中， 平分 ，点E在 的延长线上， 交 于点F，则图中与 相似的三角形为 ； 的长为 .
【答案】；
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
∵
∴
，
，
，
，
如图，作 交 于点G，
，
，
，
，
解得 ，
，
，解得 .
故答案为： .
【分析】 （1）根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形外角的性质推出，于是证明△AFE∽△AEC，可得结论；
（2）作EG⊥CD交CD于点G，利用平行线分线段成比例定理求出AE，再利用相似三角形的性质即可求出结果．
三、解答题
17．（2021九上·岳阳期末）如图，已知 ，点E、F在线段BD上， ， ，求证：
【答案】证明：∵
∴
又∵ ，
∴
∴ .
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠D，根据已知条件可得
=2，然后利用两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似进行证明.
18．（2021九上·槐荫期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠B=180°，∠DCF=∠BEC．
∵∠DFC+∠DFE=180°，∠DFE=∠A，
∴∠DFC=∠B，
∴△DCF∽△CEB．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】 根据题意证明∠DCF=∠BEC，∠DFC=∠B，可证 △DCF∽△CEB 。
19．（2022九上·桂林期末）在△ABC中，已知点D，E分别是AC，AB边上的中点.
求证：△ADE∽△ACB.
【答案】证明：∵点D，E分别是AC，AB边上的中点
∴DE//BC，
∴
又 =
∴△ADE∽△ACB
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由中位线定理得出DE∥BC，然后由平行线的性质得出 ，则可证明 △ADE∽△ACB .
20．（2021九上·密云期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：△ABD∽△ACB．
【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD
∵∠ABC=2∠C
∴∠ABD=∠C
∵∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先证明∠ABD=∠C，再结合∠A=∠A，即可证明△ABD∽△ACB．
21．（2021九上·内江期末）如图，在 ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE AC，EF AB.
（1）求证： BDE∽ EFC.
（2）若 ，AD＝6，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵DE AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：∵EF AB，
∴ ，
∵DE AC，
∴ ，
∴
∵AD＝6，
∴ ，
∴BD=3
∴AB＝9.
【知识点】平行线的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据平行线分线段成比例的性质可得
，
，则
，据此计算.
22．（2021九上·东坡期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB.
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE.
∵CDBH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H.且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH.
（2）证明：∵BE2=AB AE，
∴=，
∵AGBC，
∴=，
∴=，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF.
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB，结合DF=BE可证明△CDF≌△CBE，得到∠DCF=∠BCE，由平行线的性质可得∠H=∠DCF，则∠BCE=∠H，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）由已知条件可得，由平行线分线段成比例的性质可得，则，结合DF=BE，BC=AB可得BE=AG=DF，据此证明.
23．（2021九上·槐荫期末）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
【答案】（1）2t；（5﹣t）
（2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）解：∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定
【解析】【解答】(1)解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
【分析】（1）由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，则OQ=（5-t）cm；
（2）由（1）可得S==6 ，解之可得t；
（3）由题意可知 △POQ与△AOB相似分为两种情况，△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA，可根据相似三角形的性质对应线段成比例求出t的值。
24．（2021九上·合肥期末）如图1，四边形中，，平分，若，．
（1）求的长．
（2）如图2，过点作交于，连接交于，求的长．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：
（2）解：∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的长是．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用 ADB~ BDC即可解决问题；
（2）根据已知条件证明 MBD是等腰三角形，求出MB，再证明 MNB~ CND求出DN的值；
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