2022-2023学年浙教版数学九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用 同步练习
一、单选题
1．（2022九上·福建竞赛）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足.若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·海曙期末）如图， 在圆形方格网横线上， 点 是直径 与网格横线的交点， 则 为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·镇平县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ABC的面积为16，则四边形BCED的面积为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
4．（2021九上·镇平县期末） 如图，平行四边形OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D.将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，当点D的对应点D'落在OA上时，D'A'的延长线恰好经过点C，则点B的坐标为（ ）
A．（2
，2）
B．（2
，2）
C．（2
1，2）
D．（2
1，2）
5．（2021九上·宜宾期末）如图，在平面直角坐标系中，将 以原点O为位似中心放大后得到 ，若 ， ，则 与 的面积的比是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·宜宾期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边 cm， cm，测得边DF离地面的高度 m， m，则树高AB为（ ）
A．4m B．5m C．5.5m D．6.5m
7．（2021九上·遂宁期末）如图， 中， 是 的中位线，连接 ， 相交于点 ，若 ，则 为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
8．（2021九上·内江期末）如图， ABC与 DEF位似，点O是位似中心，若OE=3OB， =4，则 =（ ）
A．9 B．12 C．16 D．36
9．（2021九上·邗江期末）如图，在 ABC中，DE BC，EF AB，下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九上·南京期末）如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021九上·海州期末）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为 米.
12．（2021九上·宜宾期末）如图，双曲线 经过Rt 斜边上的中点A，与BC交于点D， ，则 .
13．（2021九上·内江期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE：AD =2：3，CD=2，则AF的长为 .
14．（2021九上·南京期末）如图，l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，AD＝1，CF＝4，则BE的长为 .
15．（2021九上·南京期末）如图，在⊙O中， ＝ ，AB＝10，BC＝12，D是 上一点，CD＝5，则AD的长为 .
16．（2021九上·舟山期末）如图，在直角 ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M从点C出发沿线段CA向点A移动，连接BM，MN BM交边AB于点N．若CM＝2，那么线段AN＝ ；当点M从点C移动到AC的中点时，则点N的运动过程中路径长为 。
三、解答题
17．（2021九上·永定期末）某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C ，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE BC.经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝35米，求河的宽度AB为多少米？
18．（2021九上·平阴期末）如图，，、相交于点O，若，，．求的长度．
19．（2021九上·章丘期末）已知：如图，、分别是的边、上的点，，，，．求的长度．
20．（2021九上·揭西期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AC交AB于点E，求证：．
21．（2021九上·宜宾期末）如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点， ，ME交CD于F，交AD的延长线于点E.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
22．（2021九上·遂宁期末）在 中， ， 垂直平分 ，分别交 于点 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
23．（2021九上·内江期末）如图，在
中，
，
cm，
cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ.设运动的时间为t（s），其中
.解答下列问题：
（1）AP= ，AQ= ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，
∽
；
（3）当P、Q在运动过程中，
能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.
24．（2021九上·镇平县期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.
（1）探索发现：
图1中，的值为 ，的值为 .
（2）拓展探究
若将△CDE绕点C旋转，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.
（3）问题解决
当△CDE旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段BE的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设 ，则 ， .
作 于 ，
则 .
所以 .
所以 ，
即 ，
解得 .
于是 ， .
所以 ，
.
又 ，
所以 .
因此 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】设BC=a，则AB=2a，DM=MC=a，作MH⊥AB于点H，根据同角的余角相等可得∠EMH=∠FAB，证明△EMH∽△FAB，根据相似三角形的性质可得a的值，利用勾股定理可得AF，根据三角形的面积公式可得S△ABF，根据相似三角形的性质可得S△AEG，然后根据S四边形BFGE=S△ABF-S△AGE进行计算.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵如图，过点C作CE⊥BE于点E，过点B作BF⊥CF于点F，过点A作AG⊥DG于点G，
∴∠BEC=∠CFD=∠AGD=90°，
∴BE∥CF∥DG，
∴∠B=∠FCD=∠ADG，
∴△BEC∽△CFD∽△DGA，
∴BC：CD：AD=EC：FD：GA=1：3：2.
故答案为：B.
【分析】过点C作CE⊥BE于点E，过点B作BF⊥CF于点F，过点A作AG⊥DG于点G，利用垂直的定义和平行线的性质可证得∠BEC=∠CFD=∠AGD=90°，∠B=∠FCD=∠ADG，EC：FD：GA=1：3：2.；由此可证得△BEC∽△CFD∽△DGA，利用相似三角形的对应边成比例可证得BC：CD：AD=EC：FD：GA，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=
BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=
，
∴，
∵S△ABC=16，
∴，
∴S四边形BCED= S△ABC-S△ADE=16-4=12.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线定理得DE∥BC，DE=
BC，根据“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得
，则S△ADE=
S△ABC，再由图形的构成S四边形BCED= S△ABC-S△ADE可求解.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接A'C，AD⊥y轴，△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴点B的坐标为：
，
故答案为：D.
【分析】连接A'C，AD⊥y轴，△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，由同角的余角相等可得∠DOA=∠D'CO，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADO∽△OD'C，则可得比例式
，根据比例式求出CO，由平行四边形的性质得OC=AB，由线段的构成DB=AD+AB求得DB的值，则点B的坐标可求解.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
，
，
则
与
的位似比为
，
与
的相似比为
则
与
的面积比为
故答案为：D.
【分析】根据点B、D的坐标可得△OAB、△OCD的位似比，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意
，
cm，
cm，
m，
m，
m
m
故答案为：D.
【分析】依题意可得∠EDF=∠CDB，根据垂直的概念可得∠DEF=∠DCB，证明△DEF∽△DCB，根据相似三角形的性质求出BC，然后根据AB=AC+BC进行计算.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 是
的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵BE是中线，
∴ =
，
∵ 是
的中位线，
∴DE∥BC，
∴ =
，
∴ =
，
∴ +
+
=
+
，
∴ +
=
，
∴ =3.
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE∥BC，BC=2DE，证明△DEF∽△CBF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△CBF=4，易得S△ABE=S△CBE，S△BDE=S△CDE，推出S△ADE+S△DEF=S△CBF，据此计算.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴ ，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
即
，
∴.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得△ABC∽△DEF，BC∥EF，则△OBC∽△OEF，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
9．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，EF∥AB，
∴AD：DB=AE：EC，AE：CE=BF：CF，
∴ ，所以A选项的等式成立；
B、∵DE∥BC，
∴ ，所以B选项的等式不成立；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，所以C选项的等式不成立；
D、∵DE∥BC，
∴ ，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，
∴ ，所以D选项的等式不成立.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可判断A、B；易证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可判断C；根据DE∥BC结合平行线分线段成比例的性质可得
，证明△CEF∽△CAB，然后结合相似三角形的性质可判断D.
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
∴ ，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例、相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方进行判断.
11．【答案】6
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：
∵△ACD∽△ABE
∴
∴EB=4DC=1.5×4=6米
故答案为：6.
【分析】对图形进行点标注，易证△ACD∽△ABE，然后根据相似三角形的性质进行求解.
12．【答案】14
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作
轴，则
，
∴ ，
∵ 轴，
，点A是OB中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
，
∵反比例函数过第一象限，
∴ .
故答案为：14.
【分析】作AE⊥x轴，根据反比例函数k的几何意义可得S△AOE=S△DOC=
|k|，则S四边形BAEC=S△BOD=21，易证△AOE∽△BOC，根据相似三角形的性质可得
，根据S四边形BAEC+S△AOE=S△BOC可得S△AOE，求出k的值，然后结合反比例函数图象所在的象限就可得到k的值.
13．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AFE∽△DCE，
∴ ，
∵AE：AD=2：3，CD=2，
∴ ，
∴AF=4.
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，证明△AFE∽△DCE，然后根据相似三角形的性质以及已知条件进行计算.
14．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图过D点作DN∥AC交BE于点M ，交CF于点N ；
四边形ABMD与四边形BCNM均为平行四边形
，
，
由题意知
故答案为：
.
【分析】过D点作DN∥AC交BE于点M，交CF于点N，则四边形ABMD、BCNM均为平行四边形，得到AB=DM=2，BC=MN=3，AD=BM=CN=1，证明△DME∽△DNF，根据相似三角形的性质可得ME，然后根据BE=BM+ME进行计算.
15．【答案】3＋2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，
∵ ＝ ， AB＝10，
∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，
∵AE⊥BC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴ ，
∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE∽△CDF，
∴ ，
∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，
∴ ，
解得：DF=3，CF=4，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，
则 ，
∴AD=DF+AF=3＋2 .
故答案为：3＋2 .
【分析】过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠B=∠D，根据等弧所对的弦相等得AB=AC=10，由等腰三角形的三线合一得BE=CE=6， 利用勾股定理可得AE，证明△ABE∽△CDF，根据相似三角形的性质可得DF、CF，利用勾股定理求出AF，然后根据AD=DF+AF进行计算.
16．【答案】；
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图，作ND⊥AC
易得AB=10
易得
∴
设ND=x，则MD=3x
则AD=AC-CM-MD=6-3x
易得
∴
∴
∴AN=
（2）同（1）理，得出AN=
故答案为：；.
【分析】由三垂直，得出，得出，设出未知数，由平行，得出，得出方程，从而得出结果。
17．【答案】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，
又∵BC=25，BD=12，DE=35，
∴ ，
解得：AB=30.
答：河的宽度AB为30米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 由BC∥DE可证△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
18．【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△OAB∽△ODC，
∴，即，
∴CD=6.
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠A=∠D，∠B=∠C，从而证得△OAB∽△ODC，利用相似三角形的性质即可求解.
19．【答案】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，
∴，
∴AC＝6．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】证明△ADE∽△ACB，可得，代入相应数据即可求出AC.
20．【答案】证明：平分，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可。
21．【答案】（1）证明： 四边形 是正方形
（2）解：
四边形 是正方形， ， ，
， ，
，
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，根据同角的余角相等可得∠MAB=∠FMC，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据正方形的性质可得BC∥AD，BC=CD=4，MC=BC-BM=2，利用相似三角形的性质求出CF，然后根据DF=DC-CF可得DF，易证△MCF∽△EDF，利用相似三角形的性质求出DE，然后根据三角形的面积公式进行计算.
22．【答案】（1）证明： ，
，
垂直平分 AB ，
，
，
，
，
；
（2）解：证明：由（1）知 ，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠C=72°，根据垂直平分线的性质可得AE=BE，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠A=36°，推出∠BEC=∠C，据此证明；
（2）易证△BEC∽△ABC，然后根据相似三角形的性质证明即可.
23．【答案】（1）（5﹣t）cm；tcm
（2）解：如图1，
当∠PQA＝90°时，△APQ∽△ABC，
则 ＝ ，
即 ，
解得：t＝ ；
（3）解：△APQ能成为等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①如图3，当AP＝AQ时，
5﹣t＝t，
解得：t＝ ；
②如图4，当AP＝PQ时，过点P作PM⊥AC于M，
则∠AMP＝90°，AM＝QM＝ AQ＝ ，
∵∠ACB＝90°，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得：t＝ ；
③如图5，当QP＝AQ时，过点Q作QN⊥AB于N，
则∠ANQ＝∠ACB＝90°，AN＝NP＝ AP＝ （5﹣t），
∵∠NAQ＝∠CAB，
∴△ANQ∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得：t＝ ，
综上所述，当t的值为 或 或 时，△APQ能成为等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5（cm），
由题意得：BP＝tcm，AQ＝tcm，
∴AP＝AB﹣BP＝（5﹣t）cm，
故答案为：（5﹣t）cm，tcm；
【分析】（1）首先由勾股定理求出AB，由题意得：BP＝tcm，AQ＝tcm，然后根据AP＝AB-BP可表示出AP；
（2）当∠PQA＝90°时，△APQ∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出t的值；
（3）①当AP＝AQ时，5-t＝t，求解可得t的值；②当AP＝PQ时，过点P作PM⊥AC于M，则AM＝QM=
，证明△APM∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行求解就可得到t的值；③当QP＝AQ时，过点Q作QN⊥AB于N，同理证明△ANQ∽△ACB，根据相似三角形的性质进行求解就可得到t的值.
24．【答案】（1）；
（2）解：无变化，理由如下：
由（1）知，，
∴，，
∴，
，
由旋转的性质得：，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，即的大小不变；
（3）或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AE，
，
，
点D、E分别是AC、BC的中点，
，
，
，
，，
故答案为：，；
（3）由题意，分以下两种情况：
①如图，当△CDE绕点C逆时针旋转180°时，A、C、D三点共线，
由（1）知，，
则；
②如图，当△CDE绕点C逆时针旋转360°时，A、C、D三点共线，
由（1）知，，
综上，线段的长为或.
【分析】（1）连接AE，由等腰三角形的性质可得∠AEB＝90°，∠B=∠C=30°，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得AE的值，再用勾股定理求出BE，则比值可求解；
（2）由（1）可得和的值，根据两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似可得△ACD∽△BCE，于是可得比例式求解；
（3）由题意可分两种情况：①当△CDE绕点C逆时针旋转180°时，A、C、D三点共线，由线段的构成BE=BC+CE可求解；②当△CDE绕点C逆时针旋转360°时，A、D、C三点共线，根据线段中点的性质得BE=BC可求解.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用 同步练习
一、单选题
1．（2022九上·福建竞赛）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足.若EB=2，BF=1，则四边形BFGE的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设 ，则 ， .
作 于 ，
则 .
所以 .
所以 ，
即 ，
解得 .
于是 ， .
所以 ，
.
又 ，
所以 .
因此 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】设BC=a，则AB=2a，DM=MC=a，作MH⊥AB于点H，根据同角的余角相等可得∠EMH=∠FAB，证明△EMH∽△FAB，根据相似三角形的性质可得a的值，利用勾股定理可得AF，根据三角形的面积公式可得S△ABF，根据相似三角形的性质可得S△AEG，然后根据S四边形BFGE=S△ABF-S△AGE进行计算.
2．（2021九上·海曙期末）如图， 在圆形方格网横线上， 点 是直径 与网格横线的交点， 则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵如图，过点C作CE⊥BE于点E，过点B作BF⊥CF于点F，过点A作AG⊥DG于点G，
∴∠BEC=∠CFD=∠AGD=90°，
∴BE∥CF∥DG，
∴∠B=∠FCD=∠ADG，
∴△BEC∽△CFD∽△DGA，
∴BC：CD：AD=EC：FD：GA=1：3：2.
故答案为：B.
【分析】过点C作CE⊥BE于点E，过点B作BF⊥CF于点F，过点A作AG⊥DG于点G，利用垂直的定义和平行线的性质可证得∠BEC=∠CFD=∠AGD=90°，∠B=∠FCD=∠ADG，EC：FD：GA=1：3：2.；由此可证得△BEC∽△CFD∽△DGA，利用相似三角形的对应边成比例可证得BC：CD：AD=EC：FD：GA，即可求解.
3．（2021九上·镇平县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ABC的面积为16，则四边形BCED的面积为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=
BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=
，
∴，
∵S△ABC=16，
∴，
∴S四边形BCED= S△ABC-S△ADE=16-4=12.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线定理得DE∥BC，DE=
BC，根据“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得
，则S△ADE=
S△ABC，再由图形的构成S四边形BCED= S△ABC-S△ADE可求解.
4．（2021九上·镇平县期末） 如图，平行四边形OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D.将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，当点D的对应点D'落在OA上时，D'A'的延长线恰好经过点C，则点B的坐标为（ ）
A．（2
，2）
B．（2
，2）
C．（2
1，2）
D．（2
1，2）
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接A'C，AD⊥y轴，△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴点B的坐标为：
，
故答案为：D.
【分析】连接A'C，AD⊥y轴，△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，由同角的余角相等可得∠DOA=∠D'CO，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADO∽△OD'C，则可得比例式
，根据比例式求出CO，由平行四边形的性质得OC=AB，由线段的构成DB=AD+AB求得DB的值，则点B的坐标可求解.
5．（2021九上·宜宾期末）如图，在平面直角坐标系中，将 以原点O为位似中心放大后得到 ，若 ， ，则 与 的面积的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
，
，
则
与
的位似比为
，
与
的相似比为
则
与
的面积比为
故答案为：D.
【分析】根据点B、D的坐标可得△OAB、△OCD的位似比，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
6．（2021九上·宜宾期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边 cm， cm，测得边DF离地面的高度 m， m，则树高AB为（ ）
A．4m B．5m C．5.5m D．6.5m
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意
，
cm，
cm，
m，
m，
m
m
故答案为：D.
【分析】依题意可得∠EDF=∠CDB，根据垂直的概念可得∠DEF=∠DCB，证明△DEF∽△DCB，根据相似三角形的性质求出BC，然后根据AB=AC+BC进行计算.
7．（2021九上·遂宁期末）如图， 中， 是 的中位线，连接 ， 相交于点 ，若 ，则 为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 是
的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵BE是中线，
∴ =
，
∵ 是
的中位线，
∴DE∥BC，
∴ =
，
∴ =
，
∴ +
+
=
+
，
∴ +
=
，
∴ =3.
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE∥BC，BC=2DE，证明△DEF∽△CBF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△CBF=4，易得S△ABE=S△CBE，S△BDE=S△CDE，推出S△ADE+S△DEF=S△CBF，据此计算.
8．（2021九上·内江期末）如图， ABC与 DEF位似，点O是位似中心，若OE=3OB， =4，则 =（ ）
A．9 B．12 C．16 D．36
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴ ，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
即
，
∴.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得△ABC∽△DEF，BC∥EF，则△OBC∽△OEF，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
9．（2021九上·邗江期末）如图，在 ABC中，DE BC，EF AB，下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，EF∥AB，
∴AD：DB=AE：EC，AE：CE=BF：CF，
∴ ，所以A选项的等式成立；
B、∵DE∥BC，
∴ ，所以B选项的等式不成立；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，所以C选项的等式不成立；
D、∵DE∥BC，
∴ ，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，
∴ ，所以D选项的等式不成立.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可判断A、B；易证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可判断C；根据DE∥BC结合平行线分线段成比例的性质可得
，证明△CEF∽△CAB，然后结合相似三角形的性质可判断D.
10．（2021九上·南京期末）如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
∴ ，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例、相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方进行判断.
二、填空题
11．（2021九上·海州期末）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为 米.
【答案】6
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：
∵△ACD∽△ABE
∴
∴EB=4DC=1.5×4=6米
故答案为：6.
【分析】对图形进行点标注，易证△ACD∽△ABE，然后根据相似三角形的性质进行求解.
12．（2021九上·宜宾期末）如图，双曲线 经过Rt 斜边上的中点A，与BC交于点D， ，则 .
【答案】14
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作
轴，则
，
∴ ，
∵ 轴，
，点A是OB中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得：
，
∵反比例函数过第一象限，
∴ .
故答案为：14.
【分析】作AE⊥x轴，根据反比例函数k的几何意义可得S△AOE=S△DOC=
|k|，则S四边形BAEC=S△BOD=21，易证△AOE∽△BOC，根据相似三角形的性质可得
，根据S四边形BAEC+S△AOE=S△BOC可得S△AOE，求出k的值，然后结合反比例函数图象所在的象限就可得到k的值.
13．（2021九上·内江期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE：AD =2：3，CD=2，则AF的长为 .
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AFE∽△DCE，
∴ ，
∵AE：AD=2：3，CD=2，
∴ ，
∴AF=4.
故答案为：4.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，证明△AFE∽△DCE，然后根据相似三角形的性质以及已知条件进行计算.
14．（2021九上·南京期末）如图，l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，AD＝1，CF＝4，则BE的长为 .
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图过D点作DN∥AC交BE于点M ，交CF于点N ；
四边形ABMD与四边形BCNM均为平行四边形
，
，
由题意知
故答案为：
.
【分析】过D点作DN∥AC交BE于点M，交CF于点N，则四边形ABMD、BCNM均为平行四边形，得到AB=DM=2，BC=MN=3，AD=BM=CN=1，证明△DME∽△DNF，根据相似三角形的性质可得ME，然后根据BE=BM+ME进行计算.
15．（2021九上·南京期末）如图，在⊙O中， ＝ ，AB＝10，BC＝12，D是 上一点，CD＝5，则AD的长为 .
【答案】3＋2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，
∵ ＝ ， AB＝10，
∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，
∵AE⊥BC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴ ，
∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE∽△CDF，
∴ ，
∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，
∴ ，
解得：DF=3，CF=4，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，
则 ，
∴AD=DF+AF=3＋2 .
故答案为：3＋2 .
【分析】过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AD于F，则∠AEB=∠CFD=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠B=∠D，根据等弧所对的弦相等得AB=AC=10，由等腰三角形的三线合一得BE=CE=6， 利用勾股定理可得AE，证明△ABE∽△CDF，根据相似三角形的性质可得DF、CF，利用勾股定理求出AF，然后根据AD=DF+AF进行计算.
16．（2021九上·舟山期末）如图，在直角 ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M从点C出发沿线段CA向点A移动，连接BM，MN BM交边AB于点N．若CM＝2，那么线段AN＝ ；当点M从点C移动到AC的中点时，则点N的运动过程中路径长为 。
【答案】；
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图，作ND⊥AC
易得AB=10
易得
∴
设ND=x，则MD=3x
则AD=AC-CM-MD=6-3x
易得
∴
∴
∴AN=
（2）同（1）理，得出AN=
故答案为：；.
【分析】由三垂直，得出，得出，设出未知数，由平行，得出，得出方程，从而得出结果。
三、解答题
17．（2021九上·永定期末）某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C ，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE BC.经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝35米，求河的宽度AB为多少米？
【答案】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，
又∵BC=25，BD=12，DE=35，
∴ ，
解得：AB=30.
答：河的宽度AB为30米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 由BC∥DE可证△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
18．（2021九上·平阴期末）如图，，、相交于点O，若，，．求的长度．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△OAB∽△ODC，
∴，即，
∴CD=6.
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠A=∠D，∠B=∠C，从而证得△OAB∽△ODC，利用相似三角形的性质即可求解.
19．（2021九上·章丘期末）已知：如图，、分别是的边、上的点，，，，．求的长度．
【答案】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，
∴，
∴AC＝6．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】证明△ADE∽△ACB，可得，代入相应数据即可求出AC.
20．（2021九上·揭西期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AC交AB于点E，求证：．
【答案】证明：平分，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可。
21．（2021九上·宜宾期末）如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点， ，ME交CD于F，交AD的延长线于点E.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1）证明： 四边形 是正方形
（2）解：
四边形 是正方形， ， ，
， ，
，
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，根据同角的余角相等可得∠MAB=∠FMC，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据正方形的性质可得BC∥AD，BC=CD=4，MC=BC-BM=2，利用相似三角形的性质求出CF，然后根据DF=DC-CF可得DF，易证△MCF∽△EDF，利用相似三角形的性质求出DE，然后根据三角形的面积公式进行计算.
22．（2021九上·遂宁期末）在 中， ， 垂直平分 ，分别交 于点 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
【答案】（1）证明： ，
，
垂直平分 AB ，
，
，
，
，
；
（2）解：证明：由（1）知 ，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠C=72°，根据垂直平分线的性质可得AE=BE，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠A=36°，推出∠BEC=∠C，据此证明；
（2）易证△BEC∽△ABC，然后根据相似三角形的性质证明即可.
23．（2021九上·内江期末）如图，在
中，
，
cm，
cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ.设运动的时间为t（s），其中
.解答下列问题：
（1）AP= ，AQ= ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，
∽
；
（3）当P、Q在运动过程中，
能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.
【答案】（1）（5﹣t）cm；tcm
（2）解：如图1，
当∠PQA＝90°时，△APQ∽△ABC，
则 ＝ ，
即 ，
解得：t＝ ；
（3）解：△APQ能成为等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①如图3，当AP＝AQ时，
5﹣t＝t，
解得：t＝ ；
②如图4，当AP＝PQ时，过点P作PM⊥AC于M，
则∠AMP＝90°，AM＝QM＝ AQ＝ ，
∵∠ACB＝90°，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得：t＝ ；
③如图5，当QP＝AQ时，过点Q作QN⊥AB于N，
则∠ANQ＝∠ACB＝90°，AN＝NP＝ AP＝ （5﹣t），
∵∠NAQ＝∠CAB，
∴△ANQ∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得：t＝ ，
综上所述，当t的值为 或 或 时，△APQ能成为等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5（cm），
由题意得：BP＝tcm，AQ＝tcm，
∴AP＝AB﹣BP＝（5﹣t）cm，
故答案为：（5﹣t）cm，tcm；
【分析】（1）首先由勾股定理求出AB，由题意得：BP＝tcm，AQ＝tcm，然后根据AP＝AB-BP可表示出AP；
（2）当∠PQA＝90°时，△APQ∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出t的值；
（3）①当AP＝AQ时，5-t＝t，求解可得t的值；②当AP＝PQ时，过点P作PM⊥AC于M，则AM＝QM=
，证明△APM∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行求解就可得到t的值；③当QP＝AQ时，过点Q作QN⊥AB于N，同理证明△ANQ∽△ACB，根据相似三角形的性质进行求解就可得到t的值.
24．（2021九上·镇平县期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.
（1）探索发现：
图1中，的值为 ，的值为 .
（2）拓展探究
若将△CDE绕点C旋转，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.
（3）问题解决
当△CDE旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段BE的长.
【答案】（1）；
（2）解：无变化，理由如下：
由（1）知，，
∴，，
∴，
，
由旋转的性质得：，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，即的大小不变；
（3）或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AE，
，
，
点D、E分别是AC、BC的中点，
，
，
，
，，
故答案为：，；
（3）由题意，分以下两种情况：
①如图，当△CDE绕点C逆时针旋转180°时，A、C、D三点共线，
由（1）知，，
则；
②如图，当△CDE绕点C逆时针旋转360°时，A、C、D三点共线，
由（1）知，，
综上，线段的长为或.
【分析】（1）连接AE，由等腰三角形的性质可得∠AEB＝90°，∠B=∠C=30°，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得AE的值，再用勾股定理求出BE，则比值可求解；
（2）由（1）可得和的值，根据两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似可得△ACD∽△BCE，于是可得比例式求解；
（3）由题意可分两种情况：①当△CDE绕点C逆时针旋转180°时，A、C、D三点共线，由线段的构成BE=BC+CE可求解；②当△CDE绕点C逆时针旋转360°时，A、D、C三点共线，根据线段中点的性质得BE=BC可求解.
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