2022-2023学年浙教版数学九年级上册4.6相似多边形 同步练习

2022-2023学年浙教版数学九年级上册4.6相似多边形 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·三水期末）两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　）
A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2
2．（2021九上·太原期末）如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（　　）
A．2 B． C． D．
3．（2021九上·越秀期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点F为边CD上一点，且FE⊥AB交AB于点E，若AD＝2，BC＝8，四边形AEFD～四边形EBCF，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021九上·浑南期末）如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C．： D．16：81
5．（2021九上·金塔期末）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（　　）
A． B． C．2 D．
6．（2021九上·上城月考）下列语句中，正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3；
④已知线段AB＝2，点C是AB的黄全分割点，则；
⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021九上·信都期中）如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2021九上·大埔期中）若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是（　　）
A．16 cm B．12 cm C．24 cm D．36 cm
9．（2021九上·宣城期中）若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，已知AB＝4cm，BC＝5cm，则矩形EFGH的周长是（　　）
A．12cm B．27cm C．24cm D．18cm
10．（2021九上·沈北期中）四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'=1：2，已知BC=8，则B'C'的长是（　　）
A．4 B．16 C．24 D．64
二、填空题
11．（2021九上·九江期末）两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为，则较大的多边形的面积为　 　cm2．
12．（2021九上·椒江期末）如图，把矩形Ⅰ、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的 L 型放入矩形 ABCD 中.矩形Ⅰ的一个顶点落在 L 型中正方形的顶点 E 处，其他顶点在矩形 ABCD 的边上； L 型中的正方形有三个顶点恰好在矩形
ABCD 的边上，另有一个顶点和小正方形顶点合.若矩形Ⅰ与矩形
ABCD相似，则 AB：BC 的值为　 　.
13．（2021九上·鄞州期末）如图，矩形 被分割为5个全等的长方形，若这5个矩形都与矩形 相似，则 的值是　 　.
14．（2021九上·罗湖期中）四边形 ∽四边形 ， ， ， ，则 　 　．
15．（2021九上·包河期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么 的值为　 　．
16．（2021九上·顺德月考）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为　 　．
三、解答题
17．（2021九上·六盘水月考）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1.
18．（2020九上·镇海期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积.
19．（2020九上·罗山期末）学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的 ，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度.
20．（2019九上·庆阳月考）如图，点 是菱形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作一个菱形 ，且菱形 菱形 ，连接 ，求证： .
21．（2020九上·温州期末）如图， 中， ，P是斜边 上一个动点，以 为直径作 交 于点D，与 的另一个交点E，连接 .
（1）当 时，
①若 ，求 的度数；
②求证 ；
（2）当 ， 时，是否存在点P，使得 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 的长.
22．（2020九上·抚州期末）如图
如图1，把两个相似比为 的矩形ABCD与矩形CEFG拼成如图所示的图案．
（1）（一）问题发现：
请探究AC与CF的位置关系并证明．
（2）求 的值．
（3）（二）拓展应用：
如图2，在四边形ABCF中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CF＝10，AF＝5 ．
求tan∠AFC；
（4）连接BF，求BF的长．
23．（2020九上·宁夏期中）如图，四边形 四边形 .
（1） ＝　 　，它们的相似比是　 　.
（2）求边x、y的长度.
24．（2020九上·郑州月考）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形 是矩形ABCD的“减半”矩形.请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽.
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设较大多边形的面积为S
由两个相似多边形的相似比是3：4，可知两个相似多边形面积的相似比是9：16
∴
解得
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形的性质可得，再求出S的值即可。
2．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F，
∴，
∵矩形AEFD与矩形ABCD相似，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据ABCD是矩形，矩形AEFD与矩形ABCD相似，得出，推出，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AEFD～四边形EBCF，
∴，
即：，
∴EF=4（舍去负值），
∴，
故答案为：B．
【分析】利用相似多边形的性质即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，
∴这两个相似多边形的相似比是2：3，
∴它们的面积比是4：9，
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的性质可得：面积之比等于相似比的平方。
5．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得 或 舍去 ，
.
故答案为：B.
【分析】根据裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同可得 ，求解即可.
6．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心；黄金分割；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，故不符合题意；
②在同圆或等圆中，等弦所对的优弧相等，等弦所对的劣弧相等，原说法错误，故不符合题意；
③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，原说法正确，故符合题意；
④已知线段AB＝2，点C是AB的黄全分割点，
则或，原说法错误，故不符合题意；
⑤三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，原说法错误，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，相似多边形的性质、黄全分割点、三角形的外心的性质分别进行判断即可.
7．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由题意可知，两个矩形相似，可以得到
或 ，
解得 或 ，
∵两个矩形不全等，
∴ （舍去），
∴x=3，
故答案为：A．
【分析】先求出 或 ，再求出 或 ，最后求解即可。
8．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵AB=3cm，BC=5cm，
∴矩形ABCD的周长=2×（3+5）=16cm，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，
∴矩形EFGH的周长为24cm，
故答案为：C．
【分析】先求出矩形ABCD的周长为16cm，再求出矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，最后计算求解即可。
9．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设矩形 的周长为 ，
，
矩形 的周长为 ，
矩形 矩形 ，且它们的相似比为 ，
，
解得 ，
即矩形 的周长为 ，
故答案为：B．
【分析】根据题意求出矩形ABCD的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比求出周长之比，计算即可。
10．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：已知四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'=1：2，已知BC=8，则B'C'的长=16.即
故答案为：B.
【分析】利用相似多变形的性质可得AB：A'B'=1：2，再将BC=8代入计算即可。
11．【答案】64
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的面积比是9：16，
∵较小多边形的面积为36cm2，
∴较大多边形的面积为64cm2，
故答案为：64．
【分析】先求出两个相似多边形的相似比是3：4，再求出两个相似多边形的面积比是9：16，最后求解即可。
12．【答案】 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，
在Rt△IJH中，JH= a，
∵四边形ABCD和四边形MEFD是矩形，四边形NBLK是矩形，
4个完全相同的小正方形组成的L型模板如图放置，
∴∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，
∴∠LKJ+∠LJK=∠IJH+∠IHJ=∠GHC+∠HGC=∠EGF+∠GEF=90°，
∠KJL+∠IJH=∠IHJ+∠GHC=∠EGF+∠HGC=90°，
∴∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，
∴△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，
∴BL=KL=HC，LJ=GC，
，
，
即
，
，
∴FG=
，EF=
，BL=KL=HC=
，LJ=GC=
，
∴CD=DF+FG+GC=x+
=
，
BC=BL+LJ+JH+HC=
+
=
，
当矩形MEFD∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
，
AB：BC 的值为
；
当矩形MDFE∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
(负值已舍)，
AB：BC 的值为
；
故答案为：
或
.
【分析】设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，由勾股定理得JH= a，根据矩形的性质得∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，由同角的余角相等得∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，证△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，根据全等三角形的性质可得BL=KL=HC，LJ=GC，根据相似三角形的性质可得FG、EF，进而得到BL、LJ、CD、BC，根据相似矩形的对应边成比例可得x的值，进而可得AB：BC的值.
13．【答案】
【知识点】全等图形；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：
设AE＝a，
∵五个小矩形全等，
∴AD＝5AE＝5a，
∵每个小矩形都与矩形ABCD相似
∴ ＝
，
∴AB2＝AD AE＝5AE2＝5a2，
AB＝
a，
∴AD：AB＝5a：
a＝
.
故答案为：
.
【分析】对图形进行点标注，设AE＝a，则AD＝5AE＝5a，根据相似图形的性质可得
＝
，表示出AB，据此解答.
14．【答案】90
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∠D=360°-70°-108°-92°=90°。
【分析】根据多边形相似的性质，结合四边形的内角和定理，求出答案即可。
15．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
由相似图形的性质得： ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 ，
故答案为： ．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵矩形CDFE∽矩形ADCB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，
解得，AD1＝1﹣ （舍去），AD2＝ ，
故答案为： ．
【分析】根据矩形CDFE∽矩形ADCB，可得 ＝ ，再将数据代入计算可得AD2﹣2AD﹣4＝0，最后解一元二次方程即可。
17．【答案】解：∵，
∴.
∵四边形 四边形，
∴，，
即.
∴.
【知识点】多边形内角与外角；相似多边形的性质
【解析】【分析】根据四边形内角和为360°可得∠D=80°，由相似图形的性质可得∠D1=∠D，，据此求解.
18．【答案】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，
根据题意得 ， ，
解得x＝24，y＝36，
所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，根据相似多边形的 周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方列出方程，求解即可.
19．【答案】解：∵AB＝130，AD＝400，
∴ ，
∵内外两个矩形相似，
∴ ，
∴设A′B′＝13x，则A′D′＝40x，
∵矩形作品面积是总面积的 ，
∴ ，
解得：x＝±12，
∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，
∴x＝12，
∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（40x﹣400）÷2＝40.
答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm.
【知识点】相似多边形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】由内外两个矩形相似可得 ，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的 列方程可求出x的值，进而可得答案.
20．【答案】解：∵菱形 菱形 ，
∴∠DAB=∠EAG，
∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD，
∵四边形ABCD、AEFG都是菱形，
∴AE=AG，AB=AD，
在△EAB和△GAD中 ，
∴△EAB≌△GAD，
∴GD=EB.
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；相似多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG，根据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD，根据菱形的性质可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可证明△EAB≌△GAD，即可证明GD=EB.
21．【答案】（1）解：①如图，连接PD，
∵PB为直径，
∴∠PDB=90°，
∠BPD=65°，
∴∠PBD=90°-∠BPD=25°，
∵ ，
∴，
∴，
∴∠C=∠BPE-∠PBD=65°-25°=40°；
② 证明：∵，
∴∠CBP=∠EBP，
∵∠ABE+∠A=∠C+∠A=90°，
∴∠C=∠ABE，
∴∠ABP=∠ABE+∠EBP，∠APB=∠C+∠CBP，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB；
（2）解：存在，
如图，连接PD，
由AB=15，BC= 20,
由勾股定理得: AC= = =25，
∵AB.BC=AC.BE ,
即×15×20=×25×BE，
∴ BE=12，
∵BP是直径，
∴∠PDB =90° ,
∵∠ABC =90° ,
∴PD∥AB ,
∴△DCP∽△BCA ,
∴,
∴，
△BDE是等腰角形，分三种情况:
当BD= BE时，BD=BE=12,
∴CD=BC-BD=20-12=8，
∴ CP=CD=x8=10，
当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，
∴CD=BC=10,
∴CP=CD=×10=，
当DE=BE时，作EH⊥BC, 则H是BD中点，EH//AB, 如图，
AE== =9，
:.CE=AC-AE=25-9=16， CH=BC-BH=20-BH ,
∵EH∥AB，
∴，
即，
解得: BH= ,
∴BD=2BH=，
∴CD= BC-BD=20-=，
∴CP=CD=，
综上所述，△BDE 是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；平行线分线段成比例；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）如图，连接PD，
① 根据直径所对的圆周角是直角，结合求得∠BPD的大小，则度数可求，从而求出的度数，最后利用三角形外角的性质求出∠C的度数即可；
② 由弧相等得角相等，再由余角的性质得∠C=∠ABE，于是角的关系即可得出∠ABP=∠APB，从而证出AP=AB；
（2）由勾股定理得AC=25，由面积公式得出AB BC=AC BE，求出BE=12，连接DP，则PD∥AB，得出△DCP∽△BCA，求出CP==，CD，
△BDE是等腰三角形，分三种情况讨论，当BD=BE时，BD=BE=12，CD=BC-BD=8，
CP=2CD=10; 当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，得出CD=BC=10，CP=CD=，当DE=BE时，作EH⊥BC,则H是BD中点, EH∥AB ,求出AE==9, CE=AC-AE=16,CH=20-BH，由EH∥AB, 根据平行线分线段成比例求出BH=，BD=2BH=, CD=BC- BD= , 则CP=CD=7.
22．【答案】（1）解：AC⊥CF
证明：∵矩形ABCD∽矩形CEFG
∴ ，
∵∠B=∠E=90°，
∴△ABC∽△CEF，
∴∠ACB=∠CFE，
∵∠CFE+∠FCE=90°，
∴∠ACB+∠FCE=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥CF
（2）解：∵△ABC∽△CEF，
∴
（3）解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC= ，
∵CF＝10，AF＝5 ，
∴ ，
∴∠ACF=90°，
tan∠AFC=
（4）解：过点F作FD⊥BC，交BC延长线于点D，
∵∠ACB+∠BAC=90°，∠ACB+∠FCD=90°，
∴∠BAC=∠FCD，
∵∠ABC=∠D，
∴△ABC∽△CDF，
∴ ，
∵AB＝3，BC＝4，AC=5，CF＝10，
∴CD=6，FD=8，BD=10，
BF=
【知识点】相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出 △ABC∽△CEF， 得到 ∠ACB=∠CFE， 即可得出 AC⊥CF ；
（2）由（1）列出比例式即可求出比值为；
（3）连接AC，勾股定理求出AC，用勾股定理逆定理证明△ACF是直角三角形，按照三角函数的意义求值即可；
（4）过点F作FD⊥BC，交BC延长线于点D， 求出DF、CD即可求出BF。
23．【答案】（1）83°；
（2）解：∵四边形 四边形 ，相似比为
∴
解得： ， .
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形 四边形 ，
∴∠ =∠A=62°，∠ =∠B=75°
∵∠ =140°
∴ ＝360°－∠ －∠ －∠ =83°
相似比为
故答案为：83°； ；
【分析】（1）直接根据相似多边形的性质即可得出∠ ，∠ ，然后利用四边形的内角和即可求出 ，根据相似比的定义即可求出结论；（2）直接根据相似多边形的性质列出比例式即可求出结论.
24．【答案】（1）解：存在“减半”矩形；
设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，
由题意得：x(5-x)= ，
解得：x1= ，x2= ；
∴ “减半”矩形的长为 ，宽为 ；
（2）解：不存在.
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 时，面积比必定是 ，
所以正方形不存在“减半”正方形.
【知识点】相似多边形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，根据“减半”矩形的定义列出方程求解即可；
（2）根据两个正方形是相似图形，面积比是相似比的平方可知不存在“减半”正方形.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册4.6相似多边形 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·三水期末）两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　）
A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设较大多边形的面积为S
由两个相似多边形的相似比是3：4，可知两个相似多边形面积的相似比是9：16
∴
解得
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形的性质可得，再求出S的值即可。
2．（2021九上·太原期末）如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F，
∴，
∵矩形AEFD与矩形ABCD相似，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据ABCD是矩形，矩形AEFD与矩形ABCD相似，得出，推出，即可得出答案。
3．（2021九上·越秀期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点F为边CD上一点，且FE⊥AB交AB于点E，若AD＝2，BC＝8，四边形AEFD～四边形EBCF，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AEFD～四边形EBCF，
∴，
即：，
∴EF=4（舍去负值），
∴，
故答案为：B．
【分析】利用相似多边形的性质即可得出答案。
4．（2021九上·浑南期末）如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（　　）
A．2：3 B．4：9 C．： D．16：81
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，
∴这两个相似多边形的相似比是2：3，
∴它们的面积比是4：9，
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的性质可得：面积之比等于相似比的平方。
5．（2021九上·金塔期末）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得 或 舍去 ，
.
故答案为：B.
【分析】根据裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同可得 ，求解即可.
6．（2021九上·上城月考）下列语句中，正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3；
④已知线段AB＝2，点C是AB的黄全分割点，则；
⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心；黄金分割；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，故不符合题意；
②在同圆或等圆中，等弦所对的优弧相等，等弦所对的劣弧相等，原说法错误，故不符合题意；
③若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，原说法正确，故符合题意；
④已知线段AB＝2，点C是AB的黄全分割点，
则或，原说法错误，故不符合题意；
⑤三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，原说法错误，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，相似多边形的性质、黄全分割点、三角形的外心的性质分别进行判断即可.
7．（2021九上·信都期中）如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由题意可知，两个矩形相似，可以得到
或 ，
解得 或 ，
∵两个矩形不全等，
∴ （舍去），
∴x=3，
故答案为：A．
【分析】先求出 或 ，再求出 或 ，最后求解即可。
8．（2021九上·大埔期中）若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是（　　）
A．16 cm B．12 cm C．24 cm D．36 cm
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵AB=3cm，BC=5cm，
∴矩形ABCD的周长=2×（3+5）=16cm，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，
∴矩形EFGH的周长为24cm，
故答案为：C．
【分析】先求出矩形ABCD的周长为16cm，再求出矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，最后计算求解即可。
9．（2021九上·宣城期中）若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，已知AB＝4cm，BC＝5cm，则矩形EFGH的周长是（　　）
A．12cm B．27cm C．24cm D．18cm
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设矩形 的周长为 ，
，
矩形 的周长为 ，
矩形 矩形 ，且它们的相似比为 ，
，
解得 ，
即矩形 的周长为 ，
故答案为：B．
【分析】根据题意求出矩形ABCD的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比求出周长之比，计算即可。
10．（2021九上·沈北期中）四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'=1：2，已知BC=8，则B'C'的长是（　　）
A．4 B．16 C．24 D．64
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：已知四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB：A'B'=1：2，已知BC=8，则B'C'的长=16.即
故答案为：B.
【分析】利用相似多变形的性质可得AB：A'B'=1：2，再将BC=8代入计算即可。
二、填空题
11．（2021九上·九江期末）两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为，则较大的多边形的面积为　 　cm2．
【答案】64
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的面积比是9：16，
∵较小多边形的面积为36cm2，
∴较大多边形的面积为64cm2，
故答案为：64．
【分析】先求出两个相似多边形的相似比是3：4，再求出两个相似多边形的面积比是9：16，最后求解即可。
12．（2021九上·椒江期末）如图，把矩形Ⅰ、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的 L 型放入矩形 ABCD 中.矩形Ⅰ的一个顶点落在 L 型中正方形的顶点 E 处，其他顶点在矩形 ABCD 的边上； L 型中的正方形有三个顶点恰好在矩形
ABCD 的边上，另有一个顶点和小正方形顶点合.若矩形Ⅰ与矩形
ABCD相似，则 AB：BC 的值为　 　.
【答案】 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，
在Rt△IJH中，JH= a，
∵四边形ABCD和四边形MEFD是矩形，四边形NBLK是矩形，
4个完全相同的小正方形组成的L型模板如图放置，
∴∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，
∴∠LKJ+∠LJK=∠IJH+∠IHJ=∠GHC+∠HGC=∠EGF+∠GEF=90°，
∠KJL+∠IJH=∠IHJ+∠GHC=∠EGF+∠HGC=90°，
∴∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，
∴△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，
∴BL=KL=HC，LJ=GC，
，
，
即
，
，
∴FG=
，EF=
，BL=KL=HC=
，LJ=GC=
，
∴CD=DF+FG+GC=x+
=
，
BC=BL+LJ+JH+HC=
+
=
，
当矩形MEFD∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
，
AB：BC 的值为
；
当矩形MDFE∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
(负值已舍)，
AB：BC 的值为
；
故答案为：
或
.
【分析】设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，由勾股定理得JH= a，根据矩形的性质得∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，由同角的余角相等得∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，证△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，根据全等三角形的性质可得BL=KL=HC，LJ=GC，根据相似三角形的性质可得FG、EF，进而得到BL、LJ、CD、BC，根据相似矩形的对应边成比例可得x的值，进而可得AB：BC的值.
13．（2021九上·鄞州期末）如图，矩形 被分割为5个全等的长方形，若这5个矩形都与矩形 相似，则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】全等图形；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：
设AE＝a，
∵五个小矩形全等，
∴AD＝5AE＝5a，
∵每个小矩形都与矩形ABCD相似
∴ ＝
，
∴AB2＝AD AE＝5AE2＝5a2，
AB＝
a，
∴AD：AB＝5a：
a＝
.
故答案为：
.
【分析】对图形进行点标注，设AE＝a，则AD＝5AE＝5a，根据相似图形的性质可得
＝
，表示出AB，据此解答.
14．（2021九上·罗湖期中）四边形 ∽四边形 ， ， ， ，则 　 　．
【答案】90
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∠D=360°-70°-108°-92°=90°。
【分析】根据多边形相似的性质，结合四边形的内角和定理，求出答案即可。
15．（2021九上·包河期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么 的值为　 　．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
由相似图形的性质得： ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 ，
故答案为： ．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
16．（2021九上·顺德月考）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为　 　．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵矩形CDFE∽矩形ADCB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，
解得，AD1＝1﹣ （舍去），AD2＝ ，
故答案为： ．
【分析】根据矩形CDFE∽矩形ADCB，可得 ＝ ，再将数据代入计算可得AD2﹣2AD﹣4＝0，最后解一元二次方程即可。
三、解答题
17．（2021九上·六盘水月考）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1.
【答案】解：∵，
∴.
∵四边形 四边形，
∴，，
即.
∴.
【知识点】多边形内角与外角；相似多边形的性质
【解析】【分析】根据四边形内角和为360°可得∠D=80°，由相似图形的性质可得∠D1=∠D，，据此求解.
18．（2020九上·镇海期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积.
【答案】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，
根据题意得 ， ，
解得x＝24，y＝36，
所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，根据相似多边形的 周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方列出方程，求解即可.
19．（2020九上·罗山期末）学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的 ，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度.
【答案】解：∵AB＝130，AD＝400，
∴ ，
∵内外两个矩形相似，
∴ ，
∴设A′B′＝13x，则A′D′＝40x，
∵矩形作品面积是总面积的 ，
∴ ，
解得：x＝±12，
∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，
∴x＝12，
∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（40x﹣400）÷2＝40.
答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm.
【知识点】相似多边形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】由内外两个矩形相似可得 ，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的 列方程可求出x的值，进而可得答案.
20．（2019九上·庆阳月考）如图，点 是菱形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作一个菱形 ，且菱形 菱形 ，连接 ，求证： .
【答案】解：∵菱形 菱形 ，
∴∠DAB=∠EAG，
∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD，
∵四边形ABCD、AEFG都是菱形，
∴AE=AG，AB=AD，
在△EAB和△GAD中 ，
∴△EAB≌△GAD，
∴GD=EB.
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；相似多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG，根据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD，根据菱形的性质可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可证明△EAB≌△GAD，即可证明GD=EB.
21．（2020九上·温州期末）如图， 中， ，P是斜边 上一个动点，以 为直径作 交 于点D，与 的另一个交点E，连接 .
（1）当 时，
①若 ，求 的度数；
②求证 ；
（2）当 ， 时，是否存在点P，使得 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 的长.
【答案】（1）解：①如图，连接PD，
∵PB为直径，
∴∠PDB=90°，
∠BPD=65°，
∴∠PBD=90°-∠BPD=25°，
∵ ，
∴，
∴，
∴∠C=∠BPE-∠PBD=65°-25°=40°；
② 证明：∵，
∴∠CBP=∠EBP，
∵∠ABE+∠A=∠C+∠A=90°，
∴∠C=∠ABE，
∴∠ABP=∠ABE+∠EBP，∠APB=∠C+∠CBP，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB；
（2）解：存在，
如图，连接PD，
由AB=15，BC= 20,
由勾股定理得: AC= = =25，
∵AB.BC=AC.BE ,
即×15×20=×25×BE，
∴ BE=12，
∵BP是直径，
∴∠PDB =90° ,
∵∠ABC =90° ,
∴PD∥AB ,
∴△DCP∽△BCA ,
∴,
∴，
△BDE是等腰角形，分三种情况:
当BD= BE时，BD=BE=12,
∴CD=BC-BD=20-12=8，
∴ CP=CD=x8=10，
当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，
∴CD=BC=10,
∴CP=CD=×10=，
当DE=BE时，作EH⊥BC, 则H是BD中点，EH//AB, 如图，
AE== =9，
:.CE=AC-AE=25-9=16， CH=BC-BH=20-BH ,
∵EH∥AB，
∴，
即，
解得: BH= ,
∴BD=2BH=，
∴CD= BC-BD=20-=，
∴CP=CD=，
综上所述，△BDE 是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；平行线分线段成比例；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）如图，连接PD，
① 根据直径所对的圆周角是直角，结合求得∠BPD的大小，则度数可求，从而求出的度数，最后利用三角形外角的性质求出∠C的度数即可；
② 由弧相等得角相等，再由余角的性质得∠C=∠ABE，于是角的关系即可得出∠ABP=∠APB，从而证出AP=AB；
（2）由勾股定理得AC=25，由面积公式得出AB BC=AC BE，求出BE=12，连接DP，则PD∥AB，得出△DCP∽△BCA，求出CP==，CD，
△BDE是等腰三角形，分三种情况讨论，当BD=BE时，BD=BE=12，CD=BC-BD=8，
CP=2CD=10; 当BD= ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，得出CD=BC=10，CP=CD=，当DE=BE时，作EH⊥BC,则H是BD中点, EH∥AB ,求出AE==9, CE=AC-AE=16,CH=20-BH，由EH∥AB, 根据平行线分线段成比例求出BH=，BD=2BH=, CD=BC- BD= , 则CP=CD=7.
22．（2020九上·抚州期末）如图
如图1，把两个相似比为 的矩形ABCD与矩形CEFG拼成如图所示的图案．
（1）（一）问题发现：
请探究AC与CF的位置关系并证明．
（2）求 的值．
（3）（二）拓展应用：
如图2，在四边形ABCF中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CF＝10，AF＝5 ．
求tan∠AFC；
（4）连接BF，求BF的长．
【答案】（1）解：AC⊥CF
证明：∵矩形ABCD∽矩形CEFG
∴ ，
∵∠B=∠E=90°，
∴△ABC∽△CEF，
∴∠ACB=∠CFE，
∵∠CFE+∠FCE=90°，
∴∠ACB+∠FCE=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AC⊥CF
（2）解：∵△ABC∽△CEF，
∴
（3）解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC= ，
∵CF＝10，AF＝5 ，
∴ ，
∴∠ACF=90°，
tan∠AFC=
（4）解：过点F作FD⊥BC，交BC延长线于点D，
∵∠ACB+∠BAC=90°，∠ACB+∠FCD=90°，
∴∠BAC=∠FCD，
∵∠ABC=∠D，
∴△ABC∽△CDF，
∴ ，
∵AB＝3，BC＝4，AC=5，CF＝10，
∴CD=6，FD=8，BD=10，
BF=
【知识点】相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出 △ABC∽△CEF， 得到 ∠ACB=∠CFE， 即可得出 AC⊥CF ；
（2）由（1）列出比例式即可求出比值为；
（3）连接AC，勾股定理求出AC，用勾股定理逆定理证明△ACF是直角三角形，按照三角函数的意义求值即可；
（4）过点F作FD⊥BC，交BC延长线于点D， 求出DF、CD即可求出BF。
23．（2020九上·宁夏期中）如图，四边形 四边形 .
（1） ＝　 　，它们的相似比是　 　.
（2）求边x、y的长度.
【答案】（1）83°；
（2）解：∵四边形 四边形 ，相似比为
∴
解得： ， .
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形 四边形 ，
∴∠ =∠A=62°，∠ =∠B=75°
∵∠ =140°
∴ ＝360°－∠ －∠ －∠ =83°
相似比为
故答案为：83°； ；
【分析】（1）直接根据相似多边形的性质即可得出∠ ，∠ ，然后利用四边形的内角和即可求出 ，根据相似比的定义即可求出结论；（2）直接根据相似多边形的性质列出比例式即可求出结论.
24．（2020九上·郑州月考）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形 是矩形ABCD的“减半”矩形.请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽.
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：存在“减半”矩形；
设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，
由题意得：x(5-x)= ，
解得：x1= ，x2= ；
∴ “减半”矩形的长为 ，宽为 ；
（2）解：不存在.
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 时，面积比必定是 ，
所以正方形不存在“减半”正方形.
【知识点】相似多边形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，根据“减半”矩形的定义列出方程求解即可；
（2）根据两个正方形是相似图形，面积比是相似比的平方可知不存在“减半”正方形.
1 / 1