相似三角形教案

九上第4章
目录
封面 ..................................................1
相似三角形
§4.1 比例线段与相似图形性质..........................3
§4.2 相似三角形的性质和判定.........................14
§4.3 相似三角形性质和判定应用及相似多边形...........25
§4.4 反思与总结.....................................33
§4.5 章节成果检测...................................
封底 .................................................34
九上第4章 相似三角形
章节概述：相似三角形分三节内容，比例线段、相似性质；相似三角形的性质和判定；相似三角形性质和判定应用及相似多边形。此章内容在中考中占有非常重要的位置。本章主要知识点有比例线段、相似三角形的性质和判定。目标，能通过理解相似三角形的性质，判定方法的证明过程和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，并加深对图形变换的认识. 进一步强化推理、判断、计算和作图．
§4.1 比例线段与相似图形性质
§4.1.1 比例线段
知识目标：1、掌握合比性质与等比性质
2、黄金分割点与黄金三角形
3、平行线分线段成比例
例1：例1：已知 ，则=
解析：根据合比公式，把转化成，进而求得结果
∵
∴，
即时练习：1.若，求的值。
答案：或-1
2. 若三边，三边上的高分别为，
求的值。
答案：2：3：4
例2：已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )
A．AM∶BM =AB∶AM B.AM =AB C.BM =AB D.AM ≈0.618AB
解析：根据黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，据此判断即可．
解答：解：∵点M将线段AB黄金分割（AM＞BM），∴AM是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AM=AM：BM，AM=AB≈0.618AB，BM=AB．故选C．
即时练习：1.若线段AB=10cm，C是AB的黄金分割点，则较短线段CB= cm。
答案：
2．如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取点AD的中点E，连接EB，在DA的延长线上取一点F，使得EF=EB, 以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．
解答：解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB=，∴AH=AF=EF-AE=EB-AE=-1，HB=AB-AH=3-；∴AH2=6-2，AB?HB==6-2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．
§4.1.2 相似图形的性质
知识目标：1、相似图形对应边成比例
2、相似图形对应角相等
例1：已知△ABC∽△ACD，且AD=7，BD=2，求AC的长。
解析：相似三角形对应边成比例
解：∵已知△ABC∽△ACD，∴ ,
∵AD=7，BD=2，
∴,
∵AC＞0，所以AC=
即时练习 已知RT△ABC∽RT△DFE,CM,EN分别是斜边AB,DF上的中线，AC=9cm，CB=12cm，DE=3cm。求CM和EN的长。
∵△ABC∽△DFE
∴AC/DE=CB/EF
∵AC=9cm,CB=12cm,DE=3cm
∴EF=4cm
∵∠ACB=∠DEF=90°
∴AC2+BC2=AB2,DE2+EF2=DF2
∴AB=15,DF=5
∵∠B=∠B,∠CMB=∠ACB
∠F=∠F,∠ENF=∠DEF
∴△CMB∽△ACB,△ENF∽△DEF
∴CM/AC=BC/AB,EN/DE=EF/DF
∵AC=9,BC=12,AB=15
DE=3,EF=4,DF=5
∴CM=36/5,EN=12/5
(你也可以利用面积来做,CM.EN分别是△ABC和△DFE斜边上的高)
例2：如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（　　）
A.都扩大为原来的5倍 B. 都扩大为原来的10倍
C. 都扩大为原来的25倍 D. 都与原来相等
解：∵所得的三角形与原三角形相似∴三角形的每个角都与原来相等故选D．
即时练习：已知在△ABC中，∠A=30°，AB=1米，现要用1：100的比例尺把△ABC画在纸上记作△A′B′C′，那么，∠A′= °
答案：30°
例3：如图，，且,若，求的长。
解析：平行线分线段成比例
∵BD=AE
∴AD+AE=5
∵DE//BC
∴△ADE与△ABC相似三角形
∴AD/AB=AE/AC
∴AE=10/3
即时练习：1.如图，已知，若，，，求证：.
答案：根据平行线分线段成比例可知
∵，
∴
∴
2.如图，直线，已知AG=1.2cm，BG=2.4cm，EF=4cm，CD=3cm，则 CH= ，KF= 。
先解CH
由直线L1∥L2∥L3，即可得到 AG/BG=CH/DH，又由设CH=xcm，则DH=3-x（cm），代入数值解方程即可求得CH的长．
解答：解：∵L1∥L2∥L3，
∴AG/BG=CH/DH ，
∵AG=1.2cm，BG=2.4cm，CD=3cm，
设CH=xcm，则DH=3-x（cm），
∴ 1.2/2.4=X/(3-X)，
解得：x=1．
即CH=1cm．
故答案为：1．
再解KF（方法其实同上）
由直线L1∥L2∥L3，即可得到 AG/BG=FK/KF
解答：解：∵L1∥L2∥L3，
∴AG/BG=FK/KF，
∵AG=1.2cm，BG=2.4cm,EF=4cm，
设FK=Ycm，则KF=4-Y（cm），
∴ 1.2/2.4=Y/(4-Y)，
解得：Y=4/3．
即FK=4/3cm．所以KF=4-4/3=8/3
故答案为：8/3CM
总结：1. 平行线分线段成比例定理
如下图，如果，则，，.
2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果，则
3. 平行的判定定理：如上图，如果有，那么∥ 。
同步突破
A组
1、如果 a:b=12:8，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于………（ ）
A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4
2、已知△ABC和△A′B′C′，＝＝＝，且A′B′+B′C′+C′A′＝16cm.则AB+BC+AC＝ .
3、如图，，，垂足分别为、，AD和
BC相交于点，，垂足为.证明：.
4、已知：MN//PQ，ab,cx，则满足关系式的图形是……（ ）

5．已知，且，则（ ）
A、11 B、12 C、 D、9
6、如图，线段AB=2，点C是AB的黄金分割点(AC＜BC），点D（不同于C点）在AB上，且，求：的值
B组
1、已知AB=1，，且，则BC的长为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、知P是线段AB的黄金分割点，且，则AB的长为（ ）
A、2 B、 C、2或 D、以上都不对
3、图D、E分别在△ABC的边AB、AC上，＝＝＝，且△ABC与△ADE的周长之差为15cm，求△ABC与△ADE的周长.
§4.2 相似三角形的判定与性质
§4.2.1 相似三角形的判定
知识目标：1、掌握相似三角形的三种判定方法
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
2、两对对应角相等的两个三角形
3、三边对应成比例的两个三角形
4、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形
5、射影定理
例1：如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在
离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为 （ ）
A、 B、 1 C、 D、
解析：根据图形可以看出三角形间是相似关系（A型相似），结合图中给出的数据写出相似比，可以求出h的数值。
解：相似三角形对应边成比例
＝
h＝
答案：C
即时练习：1、如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（ ）
A．24m B．25m C．28m D．30m
答案：D
2、某班同学要测量学校升国旗的旗杆的高度，若在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长时1m，旗杆的影长时8m，则旗杆的高度是多少？
解析：解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的比值等于旗杆的高与其影子长的比值．
解：设旗杆的高度为x，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：∴x==12m，∴旗杆的高度是12m．
例2：如图，平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（ ）
A ∠AEF=∠DEC B FA:CD=AE:BC C FA:AB=FE:EC D AB=DC
解析：本题从平行四边形中可以得到很多相似三角形，其中有A型相似也有X型相似，通过相似可以找出线段成比例，角相等。本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质, 由平行四边形可得AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∠AEF与∠DEC是对顶角，再由平行线分线段成比例即可得出题中的线段是否成比例
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴FA：CD=EF：EC，即FA：AB=EF：EC，∴FA：CD=AE：DE，并不等于AE：EC，又∠AEF与∠DEC是对顶角，所以∠AEF=∠DEC．故选B．
即时练习：1、如图，AB∥CD，AE∥FD，AE,FD分别交BC于点G、H,则图中共有相似三角形（ ）
A 4对 B 5对 C 6对 D 7对
答案：C
2、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；
答案：△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．
例3：如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．求证：△ABF∽△EAD；
解析：：∠AFB=∠D，∠BAF=∠AED，由如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可证得△ABF∽△EAD
∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=180°．∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA．∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED．∴△ABF∽△EAD．
即时练习：1、如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.
(1)试说明△ABD≌△BCE。
(2)△AEF与△ABE相似吗?说说你的理由。
(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由。
证明：
1、∵等边△ABC
∴AB=BC,∠ABD=∠BCE
∵BD=CE，∠ABD=∠BCE，AB=BC
∴△ABD≌△BCE
2、
∵等边△ABC
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60
∵BD＝CE
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD＝∠CBE
∵∠EAF＝∠BAC-∠BAD＝60-∠BAD，∠ABE＝∠ABC-∠CBE＝60-∠CBE
∴∠EAF＝∠ABE
∵∠AEF＝∠BEA
∴△AEF∽△ABE
3、
∵∠BAD＝∠CBE，∠BFD＝∠BAD+∠ABE
∴∠BFD＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60
∴△ABD∽△BFD
∴BD/AD＝DF/BD
∴BD2=AD?DF
2、如图，点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上，且∠AED=∠ABC，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为________
解析：此题求边长，方法有利用线段数量关系、勾股定理计算线段长度、还有相似求线段长度。结合题意选择相似，问题转化为如何证明相似。本题考查相似三角的判定定理。
答案：4
例4：如图，小正方形的边长均为1，下面A，B，C，D四个图中的格点三角形（顶点在正方形的顶点上的三角形）与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
解析：从图中找不到角的关系，进而会想到用边来解决问题。本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例即可．
∵AC=,BC=2，AB=
A．三边分别为1，，
B．三边分别为1，，
C．三边分别为，，3
D．三边分别为2，，
根据如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似∴B中的三角形与△ABC相似．故选B．
即时练习：1、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC，②ΔBCD，③ΔBDE，④ΔBFG，⑤ΔFGH，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）
A、②③④ B、③④⑤ C、④⑤⑥ D、②③⑥
答案：B
2、如图，D为△ABC的边AB上一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，已知BE:CE=2:1，AC=6cm，求DE的长
答案:∵DE∥ AC,∴△BDE∽△BAC，∴BE/BC=DE/AC
∵BE：CE=2:1∴BE/BC=2:3=DE/AC
∵AC=6cm ，∴DE=4cm 少图
例5：如图所示，△ABC∽△ACD的条件是（ ）
A． B． C． D．
解析：本题考查的是三角形相似的判定
根据题意可判断应用第三条判定
∵∠A=∠A∴当∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或AD：AC=AC：AD
（即）时△ABC∽△ACD
即时练习：1、如图，D、E是ΔABC 的边 AB、AC 上的点, DE 与 BC 不平行,
请填上一个你认为合适的条件: 使得ΔADE∽ΔACB.
答案：不唯一
由题意，∠ADE=∠C即可．证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角∴△ADE∽△ABC．
2、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．求证：△ACB∽△DCE；
答案：证明：由图可知，BC⊥AE于点C．∴∠ACB=∠DCE=90°．在△ABC和△DEC中，，，
∴．∴△ACB∽△DCE．
例6：如图，Rt△ABC中，AD⊥BC于D，求相似三角形的个数，并写出对应边。
解析：根据角之间的关系可以看出△ABD∽△CAD，△ABD∽△CBA，△ACD∽△BCA
（1）△CAD∽△ABD
＝= AD2＝BD·CD
（2）△ABD∽△CBA
＝＝ AB2＝BD·BC
（3）△ACD∽△BCA
＝= AC2＝BC·CD
即时练习：1、如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝∠ADB，找出相似三角形，并写出对应边。
解析：
△CBA∽△ABD
＝= AB2＝BD·BC
2、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：
（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC
其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（　　）
（A）3个　　　（B）2个　　　（C）1个　　　（D）0个
解：（1）不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴无法证明△ABC是直角三角形；（2）能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B=∠DAC，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B=90°；（3）能(不能)∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠CDA=90°，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，（因为都有一个直角，两组对应边成比例）∴∠ABD=∠CAD；∠BAD=∠ACD∵∠ABD+∠BAD=90°∴∠CAD+∠BAD=90°∵∠BAC=∠CAD+∠BAD∴∠BAC=90°；（4）能，∵能说明△CBA∽△ABD，∴△ABC一定是直角三角形．∴一定能够判定△ABC是直角三角形的有（2）（3）（4）．故答案为：（2）（3）（4）．
答案：A
§4.2.2 相似三角形的性质
知识目标：1、相似三角形的性质、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
2、相似中中线、高线性质
例1．如图，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于（）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
解析：利用相似三角形的性质可知，对应边成比例可以得到：AC2＝CD·BC
所以AC=6
即时练习：如图，△ABC中，DE∥BC，AD=1，DB=2，AE=2，那么EC=（）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：∵DE∥BC∴＝
∴EC==4
答案：D
例2：若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为6，则△ADE的周长为（）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
解析：根据相似三角形对应边成比例及中位线的性质可知：相似比为1/2，周长比等于相似比，所以答案是B
即时练习：两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm，则另一个三角形的周长是　　　　．
答案：60或21.6
例3：如图，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E。已知AD：DB=2：3．
则S△ADE：SBCED＝（）
（A）2：3 （B）4：9 （C）4：5 （D）4：21
解析：
∵ DE//BC，
∴所以△ADE∽△ABC
∴其相似比 为 AD/AB=AD/(AD+DB)=2/5
∴△ADE 与△ABC的面积比为4/25
∴S△ADE：S四边形BCDE=4：21
答案：D
即时练习：1、△ADE∽△ABC，相似比为2：3，则△ADE与△ABC的面积比为（）
（A）2：3 （B）3：2 （C）9：4 （D）4：9
答案：D
2、如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．
答案；10.5
例5：如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（　　）
（A）2︰1　　（B）3︰2　　（C）3︰1　　（D）5︰2
证明：过C作CK//AB交DE于K，
∵M是AC边中点，
∴CK:AE=CM:AM=1,
∴CK=AE,
∵AE=AB/4,
∴CK:BE=DC:DB=1/4,
∴CD/BC=1:2,
即BC=2CD
答案：A
如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．
证明：∵DE//AC∴∠CAD=∠EDA
又∵∠EAD=∠DAC ∴∠EDA=∠EAD
∴ED=EA
因为DE//AC，EF//BC
∴四边形DCFE是平行四边形
∴ED=FC
设ED=EA=FC=x
∵EF//BC∴AE/AB=AF/AC
∴x/15=4/(4+x)
∴x=6或x=-10（舍去）
∴DE=6
例6：如图，E是中线AD上的一点，CE交AB于F，已知AE：ED=1：2，则AF：BF= 。
证明：
过D作DG//CF交AB于G。
∵D是BC中点，
∴BG/GF=BD/DC=1，
∴BG=GF。
∵DG平行CF，
∴AF/FG=AE/ED=1/2，
∴FG=2AF，
∴BF=BG+GF=4AF，
∴AF：BF=1：4。
同步突破
A组
1．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（　）
（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD
2、△ABC中，D是AB上的点，不能判定△ACD∽△ABC的是以下条件中的（ ）
A ＜ACD=＜B B ＜ADC=＜ACB C =AD·AB D AD:AC=CD:BC
3、如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且＜APD=60°，BP=1，CD=，则△ABC的边长为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
4、 如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN，AM/AN=BM/CM，下列结论正确的是（ ）
A △ABM∽△ACB B △ANC∽△AMB C △ANC∽△ACM D △CMN∽△BCA
5、如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为2，则△
DCF的面积为_________
6、 已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，且相似比为1:4，则AD的长度为___________
7、已知：如图4，△PMN是等边三角形，∠APB=120°。
求证：AM·PB=PN·AP。
8、如图，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是BC的中点，ＦＣ＝CD，下面得出六个结论：
△ABE∽△AEF；②△ABE∽△ECF；
③△ADF∽△ABE；④△AEF∽△ECF；
⑤△AEF∽△ADF；⑥△ECF∽△ADF，其中正确的个数是（　　）
Ａ.２个　　Ｂ.３个　　　Ｃ.４个　　Ｄ.５个
B组
1、正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（ ）
A ＜APB=＜EPC B ＜APE=90° C P是BC的中点 D BP:BC=2:3

2、如图，直角△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｄ是BC边上的一点，ＡＢ＝５，BＣ＝４，若△ＡＢＣ∽△AＤＣ，则ＣＤ的长等于（　　　）
Ａ.２　　Ｂ. 　　Ｃ. 　　Ｄ.
3、已知ＡＤ为△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ∥ＡＢ交于点Ｅ，如果，那么＝（　　）
Ａ. 　　Ｂ. 　　Ｃ. 　　Ｄ.
4、如图，在△ABC中，DE∥BC，且，则:=_______
5、 如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=21cm，高AD=15cm，则内接正方形边长EF=_________
6、如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG:GB等于（ ）
A 1:2 B 1:3 C 1:4 D 2:3
7、如图，AD是ABC的高线，的平分线交BD于E，且，求证：
8、 如图，在中，为边的中点，为
边上的任意一点，交于点.
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）试猜想时的值，并证明你的猜想.
§4.3相似三角形的应用及相似多边形
§4.3.1 相似三角形与圆结合
知识目标：1、能把相似的知识灵活应用在圆的线段求解中
例1：如图，△ＡＢＣ内接于○Ｏ，ＡＤ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上的高，ＡＥ是○Ｏ的直径，连接ＢＥ,△ＡＢＥ与△ＡＤＣ相似吗？请证明你的结论。
解:连接OB
∵AE是直径,
∴∠ABE=90°
∵AD是△ABC的边BC上的高
∴∠ADC=90°=∠ABE
又∠BEA=∠DCA=1/2∠BOA(同弧所对的圆心角相等)
∴△ABE与△ADC相似
即时练习：
如图①,△ＡＢＣ内接于○Ｏ，且∠ＡＢＣ＝∠Ｃ,点Ｄ在弧ＢＣ上运动，过点Ｄ作ＤＥ∥ＢＣ, DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．（1）求证：∠ADB=∠E；（2）求证 ；
证明：（1）在△ABC中，∵∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，∴∠E=∠C，又∵∠ADB=∠C，∴∠ADB=∠E； （2）由（1）得∠ADB=∠E，且∠ADB=∠C，即可得出AB=AC，又因为∠BAD为公共角，且AB=AC，易得△ABD∽△ADE，即有AB：AD=AD：AE，即有AD2=AB?AE=AC?AE．即证．
例2：一个圆的两弦相交，一条弦被分为12 cm和18 cm两段，另一弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．
解析：设另一弦被分的两段长分别为3k,8k(k>0)，
由相交弦定理，得3k·8k＝12×18，解得k＝3，
故所求弦长为3k＋8k＝11k＝33 cm.
答案：33 cm
即时练习：如图，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB=10，AF=2．若CF：DF=1：4，则CF的长等于（　　）
A、 B、2 C、3 D、2
解析：
设CF为x,所以,FD=4x因为AB和CD为圆内相交的弦,所以有CF*FD=AF*FB又因为AB=10,AF=2,所以BF=8故有 4x*x=2*8解x=2
答案：B
§4.3.2 相似三角形与函数结合
知识目标： 通过与函数结合类型题，体验数形结合思想
例1、.在正方形ABCD中，AB = 2， P是BC 边上与 B、C 不重合的任意点，DQ⊥AP于Q。
(1)试说明ΔDQA∽ΔABP。
(2)当P 点在BC上变化时，线段 DQ 也随之变化。 设PA= x,，DQ= y，求 y 与 x 之间的函数关系式？
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，DQ⊥AP．∴∠BAD=∠B，∠AQD=90°，∴∠B=∠AQD，又∵∠BAP+∠QAD=90°，∠ADQ+∠QAD=90°∴∠BAP=∠ADQ，∴△DQA∽△ABP； （2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△DQA∽△ABP，∴，∴，∴xy=4即 y=.
即时练习：1、如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.
（1）求证：AB·AF＝CB·CD
（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2.
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值.
解:
（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC
∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.
∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B
∴△DCF∽△ABC
∴，即.∴AB·AF＝CB·CD
（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝12，∴CF＝AF＝6
∴×6＝3x＋27（x＞0）
②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小.
显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.
由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.
EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.
∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.
Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.
∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.
∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝
例2：如图，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.
（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
解:(1) △ABE∽△DAE, △ABE∽△DCA
∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠C=45°
∴△ABE∽△DCA
(2)∵△ABE∽△DCA
∴
由依题意可知CA=BA=
∴
∴m=
自变量n的取值范围为1 (3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n
∵m=
∴m=n=
∵OB=OC=BC=1
∴OE=OD=－1
∴D(1－, 0)
∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE, DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2
∵BD＋CE=2 BD=2(2－)=12－8, DE=(2－2)= 12－8
∴BD＋CE=DE
(4)成立
证明:如图,将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,
∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.
连接HD,在△EAD和△HAD中
∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.
∴△EAD≌△HAD
∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
∴BD+HB=DH
即BD＋CE=DE
即习练习2、如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．
（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
解：（1），，，．
点为中点，．
，．
，
，．
（2），．
，，
，，
即关于的函数关系式为：．
（3）存在，分三种情况：
①当时，过点作于，则．
，，
．
，，
，．
②当时，，
．
③当时，则为中垂线上的点，
于是点为的中点，
．
，
，．
综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．
同步突破
A组
1、如图，四边形ＢＤＥＦ是直角△ＡＢＣ的内接正方形，如果ＡＢ=６，ＢＣ=４，那么此内接正方形的边长ＤＥ为　　　　　　
2、已知三个边长分别为２,３,５的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积是　　　　　
3、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）
（2）求BP：PQ：QR
4、如图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，且ＡＢ=２ＣＤ，Ｅ,Ｆ分别是ＡＢ,ＢＣ的中点，ＥＦ与ＢＤ相交于点Ｍ，
求证:
若ＤＢ=９，求ＢＭ
B组
1、如图，⊙O的直径AB=10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE=2，DE=2，则弦心距OF为（　　）
A、1 B、 C、 D、
2、 如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得D、E、F依次落在边AB、BC、CA上
用尺规作图作出BC边上的点E（保留作图痕迹，不写作法与证明）；然后补全图形
若AB=6，AC=2，求正方形ADEF的边长
3、 如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N
求证：（1）AE=CG； （2）AN·DN=CN·MN
4、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1.5cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BPQ是等边三角形？说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR∥BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR与△PRQ相似？
5、已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题按以下要求解答问题：
将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG= PD，求△POD与△PDG的面积之比；

§4.4 反思与总结
1、比例性质：
（1）基本性质：
（2）合比定理：
（3）等比定理：
2、黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．
3、相似
1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.
2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.
3.相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4. 相似三角形的性质
（1）对应边的比相等，对应角相等.
（2）相似三角形的周长比等于相似比.
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.
5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.
三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.
梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.
7.相似三角形的应用:
１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；
２、利用三角形相似，求线段的长等
3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。
8、位似:
位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.
位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
§4.5 章节检测
相似三角形单元检测
　
一．选择题（共10小题）
1．下列长度的各组线段中，能构成比例的是（　　）
A. 2，5，6，8 B. 3，6，9，18 C. 1，2，3，4 D. 3，6，7，9
2．已知，则直线y=kx+2k一定经过（　　）
A. 第1，2象限 B. 第2，3象限 C. 第3，4象限 D. 第1，4象限
3．已知线段a=10，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是（　　）
A. 5（+1） B. 5（﹣1） C. 10（﹣1） D . 5（+3）
4．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（　　）
A. 4cm2 B. 2cm2 C. 3cm2 D. 3cm2
　

第4题 第5题 第6题 第7题
5．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（　　）
①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6．如图，已知?ABCD中，∠BDE=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（　　）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
7．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的是（　　）
A. ②③④ B. ③④⑤ C. ④⑤⑥ D. ②③⑥
8．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（　　）
A. 11.5米 B. 11.75米 C. 11.8米 D. 12.25米
9．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（　　）
A. 75° B. 60° C. 87° D. 120°
　
10．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条a1，a2，…，an．若使裁得的矩形纸条的长不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数为（　　）
A. 24 B. 25 C. 26 D. 27
　
二．填空题（共6小题）
11．若x：y：z=2：（﹣1）：1，则=　_________　．
12．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于N，那么S△DMN：S四边形ANME=　_________　．
　
13．如图，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG：GA=3：1，BC=8，则AF=　_________　．
　
14．如图，小明从路灯下，向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米．如果小明的身高为1.6米，那么路灯高地面的高度AB是　_________　米．
　
15．晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为　_________　米．
　
16．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是　_________　cm2．
　
三．解答题（共11小题）
17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在如图所示的4×4的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形（要求：所画三角形为钝角三角形，标明字母，并说明理由）．
　
18．如下图，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=6 cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
　
19．在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）当t=2秒时，四边形OPQB的面积多少个平方单位？
　
20．如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A?B?C?D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A?B?C?D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
　
21．锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）
（1）△ABC中边BC上高AD=　_________　；
（2）当x=　_________　时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；
（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？
　
22．如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为G，F是CD延长线上的一点，AF交⊙O于点E，连接CE．若CF=10，，求CE的长．
　
23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．
（1）求证：∠CBE=36°；
（2）求证：AE2=AC?EC．
　
24．如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为．
探究与计算：
（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为　_________　；
（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为　_________　；
（3）如图4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．
　
25．如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
（1）求证：DE﹣BF=EF；
（2）当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．
　
26．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．
（1）求证：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC的中点，时，如图2，求的值；
（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值．
　
相似三角形讲义答案
§4.1 比例线段与相似图形性质
§4.1.1 比例线段
例1：
即时练习：1.答案：或-1
2.答案：2：3：4
例2：
即时练习：1.答案：
2． 解答：解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB=，∴AH=AF=EF-AE=EB-AE=-1，HB=AB-AH=3-；∴AH2=6-2，AB?HB==6-2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．
§4.1.2 相似图形的性质
例1：
即时练习
∵△ABC∽△DFE
∴AC/DE=CB/EF
∵AC=9cm,CB=12cm,DE=3cm
∴EF=4cm
∵∠ACB=∠DEF=90°
∴AC2+BC2=AB2,DE2+EF2=DF2
∴AB=15,DF=5
∵∠B=∠B,∠CMB=∠ACB
∠F=∠F,∠ENF=∠DEF
∴△CMB∽△ACB,△ENF∽△DEF
∴CM/AC=BC/AB,EN/DE=EF/DF
∵AC=9,BC=12,AB=15
DE=3,EF=4,DF=5
∴CM=36/5,EN=12/5
(你也可以利用面积来做,CM.EN分别是△ABC和△DFE斜边上的高)
例2：
即时练习：答案：30°
例3：
即时练习：1.答案：根据平行线分线段成比例可知
∵，
∴
∴
2.先解CH
由直线L1∥L2∥L3，即可得到 AG/BG=CH/DH，又由设CH=xcm，则DH=3-x（cm），代入数值解方程即可求得CH的长．
解答：解：∵L1∥L2∥L3，
∴AG/BG=CH/DH ，
∵AG=1.2cm，BG=2.4cm，CD=3cm，
设CH=xcm，则DH=3-x（cm），
∴ 1.2/2.4=X/(3-X)，
解得：x=1．
即CH=1cm．
故答案为：1．
再解KF（方法其实同上）
由直线L1∥L2∥L3，即可得到 AG/BG=FK/KF
解答：解：∵L1∥L2∥L3，
∴AG/BG=FK/KF，
∵AG=1.2cm，BG=2.4cm,EF=4cm，
设FK=Ycm，则KF=4-Y（cm），
∴ 1.2/2.4=Y/(4-Y)，
解得：Y=4/3．
即FK=4/3cm．所以KF=4-4/3=8/3
故答案为：8/3CM
同步突破
A组
1、B
2、24cm
3、证明：易得△DEF∽△DAB，∴ ①
易得△BEF∽△BCD，∴ ②
①+②，得
∴两边同除EF得：
4、BC
5、D
6、解：由题意可得：C是AB的黄金分割点，且AC ∵ ∴BC= CD= AC=
∴
B组
1、C
2、C
3、解：由题意可知：△ADE∽△ABC，∴, 又∵
∴
4、C
§4.2 相似三角形的判定与性质
§4.2.1 相似三角形的判定
例1：
即时练习：1、答案：D
2、解析：解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的比值等于旗杆的高与其影子长的比值．
解：设旗杆的高度为x，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：∴x==12m，∴旗杆的高度是12m．
例2：
即时练习：1、答案：C
2、答案：△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．
例3：
即时练习：1、证明：
1、∵等边△ABC
∴AB=BC,∠ABD=∠BCE
∵BD=CE，∠ABD=∠BCE，AB=BC
∴△ABD≌△BCE
2、
∵等边△ABC
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60
∵BD＝CE
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD＝∠CBE
∵∠EAF＝∠BAC-∠BAD＝60-∠BAD，∠ABE＝∠ABC-∠CBE＝60-∠CBE
∴∠EAF＝∠ABE
∵∠AEF＝∠BEA
∴△AEF∽△ABE
3、
∵∠BAD＝∠CBE，∠BFD＝∠BAD+∠ABE
∴∠BFD＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60
∴△ABD∽△BFD
∴BD/AD＝DF/BD
∴BD2=AD?DF
2、解析：此题求边长，方法有利用线段数量关系、勾股定理计算线段长度、还有相似求线段长度。结合题意选择相似，问题转化为如何证明相似。本题考查相似三角的判定定理。
答案：4
4：
即时练习：1、答案：B
2、答案:∵DE∥ AC,∴△BDE∽△BAC，∴BE/BC=DE/AC
∵BE：CE=2:1∴BE/BC=2:3=DE/AC
∵AC=6cm ，∴DE=4cm 少图
例5：
即时练习：1、答案：不唯一
由题意，∠ADE=∠C即可．证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角∴△ADE∽△ABC．
2、答案：证明：由图可知，BC⊥AE于点C．∴∠ACB=∠DCE=90°．在△ABC和△DEC中，，，
∴．∴△ACB∽△DCE．
例6：
即时练习：1、解析：
△CBA∽△ABD
＝= AB2＝BD·BC
2、解：（1）不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴无法证明△ABC是直角三角形；（2）能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B=∠DAC，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B=90°；（3）能∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠CDA=90°，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，（因为都有一个直角，两组对应边成比例）∴∠ABD=∠CAD；∠BAD=∠ACD∵∠ABD+∠BAD=90°∴∠CAD+∠BAD=90°∵∠BAC=∠CAD+∠BAD∴∠BAC=90°；（4）能，∵能说明△CBA∽△ABD，∴△ABC一定是直角三角形．∴一定能够判定△ABC是直角三角形的有（2）（3）（4）．故答案为：（2）（3）（4）．
答案：A
§4.2.2 相似三角形的性质
例1．
即时练习：
解：∵DE∥BC∴＝
∴EC==4
答案：D
例2：
即时练习：答案：60或21.6
例3：
即时练习：1、答案：B
2、 答案；10.5
例5：
即时练习：
证明：∵DE//AC∴∠CAD=∠EDA
又∵∠EAD=∠DAC ∴∠EDA=∠EAD
∴ED=EA
因为DE//AC，EF//BC
∴四边形DCFE是平行四边形
∴ED=FC
设ED=EA=FC=x
∵EF//BC∴AE/AB=AF/AC
∴x/15=4/(4+x)
∴x=6或x=-10（舍去）
∴DE=6
例6：
同步突破
A组
1、B
2、D（题有问题）原题应为：D是AB上一点
3、A
4、B（题有问题）缺少了一个条件：
5、4
6、1.5
7、易得△AMP∽△APB，∴ ∵ ∴
8、B
B组
1、C
2、D
3、B
4、1：2
5、8.75
6、A
7、（1）当时，
（2）当时，；当时，
（3）当时，
§4.3相似三角形的应用及相似多边形
§4.3.1 相似三角形与圆结合
例1：
即时练习：
证明：（1）在△ABC中，∵∠ABC=∠C，∴AB=AC，∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，∴∠E=∠C，又∵∠ADB=∠C，∴∠ADB=∠E； （2）由（1）得∠ADB=∠E，且∠ADB=∠C，即可得出AB=AC，又因为∠BAD为公共角，且AB=AC，易得△ABD∽△ADE，即有AB：AD=AD：AE，即有AD2=AB?AE=AC?AE．即证．
例2：
即时练习：解析：
设CF为x,所以,FD=4x因为AB和CD为圆内相交的弦,所以有CF*FD=AF*FB又因为AB=10,AF=2,所以BF=8故有 4x*x=2*8解x=2
答案：B
§4.3.2 相似三角形与函数结合
例1：
即时练习：1、
解:
（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC
∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.
∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B
∴△DCF∽△ABC
∴，即.∴AB·AF＝CB·CD
（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝12，∴CF＝AF＝6
∴×6＝3x＋27（x＞0）
②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小.
显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.
由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.
EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.
∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.
Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.
∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.
∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝
例2：
即习练习：
解：（1），，，．
点为中点，．
，．
，
，．
（2），．
，，
，，
即关于的函数关系式为：．
（3）存在，分三种情况：
①当时，过点作于，则．
，，
．
，，
，．
②当时，，
．
③当时，则为中垂线上的点，
于是点为的中点，
．
，
，．
综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．
同步突破
A组
1、2.4
2、题的边长是2、3、5，图里的数据是4、5、9。按2、3、5计算面积是3.75；按4、5、9计算面积是8.75
3、（1）△PCQ∽△PAB △PCQ∽△RDQ △RDQ∽△PAB △BCP∽△BER
（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC=AD=CE，AC∥DE，
∴PB=PR， 又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ． 又∵点R是DE中点，
∴DR=RE． PQ/QR=PC/DR=PC/RE=12， ∴QR=2PQ． 又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ， ∴BP：PQ：QR=3：1：2
4、（1）易得△BMF∽△DME ∴
（2）BM=3
B组
1、C
2、（1）
（2）正方形的边长为1.5
3、（1）∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，
∵∠ADE=90°+∠ADG，∠CDG=90°+∠ADG，∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中 ∵ ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE=CG．
（2）由（1）得△ADE≌△CDG，则∠DAE=∠DCG，又∵∠ANM=∠CND，∴△AMN∽△CDN，
∴ 即AN·DN=CN·MN．
4、（1）由题意可得：6-1.5t=2t，
（2）
（3）∵QR∥AB ∴∠PRQ=∠APR
①当PQ∥AC时，∠APR=∠QPR， △ARP∽△QPR 此时
②当∠QPR=∠A=600时，△ARP∽△PRQ 此时
∵AP=1.5t，AR=BQ=2t，∠A=600，∴
∴
5、（1）证明略
（2）4：3
（3）或1
章节检测参考答案与试题解析
　
选择题
1．B．　2．B 3．B．4．C．5．C．6．B．7．B．8．C．9．C．10．C．
　
二．填空题
11． ．12．1:5 ．13．4．14．5.6米．15． 6.6米．16．40cm2．
三．解答题
17．
　
18．解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6﹣t．
当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即：6﹣t=2t，解得：t=2（s），
所以，当t=2s时，△QAP为等腰直角三角形．
（2）在△QAC中，QA=6﹣t，QA边上的高DC=12，
∴S△QAC=QA?DC=（6﹣t）?12=36﹣6t．
在△APC中，AP=2t，BC=6，
∴S△APC=AP?BC=?2t?6=6t．
∴S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=（36﹣6t）+6t=36（cm2）．
由计算结果发现：
在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）
（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
①当=时，△QAP∽△ABC，那么有：
=，解得t==1.2（s），
即当t=1.2s时，△QAP∽△ABC；
②当=时，△PAQ∽△ABC，那么有：
=，解得t=3（s），
即当t=3s时，△PAQ∽△ABC；
所以，当t=1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
　
19．解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、点B（8，0）代入得，
解得，
直线AB的解析式为：y=﹣x+6．
（2）设点P、Q移动的时间为t秒，OA=6，OB=8，
∴勾股定理可得，AB=10，
∴AP=t，AQ=10﹣2t．
分两种情况，
①当△APQ∽△AOB时，
，，t=，
②当△AQP∽△AOB时，，，
t=，
综上所述，当t=或时，
以点A、P、Q为顶点的三角形△AOB相似．
（3）当t=2秒时，四边形OPQB的面积，
AP=2，AQ=6，过点Q作QM⊥OA于M，
△AMQ∽△AOB，
∴，，解得QM=4.8，
∴△APQ的面积为：AP×QM=×2×4.8=4.8（平方单位），
∴四边形OPQB的面积为：S△AOB﹣S△APQ=24﹣4.8=19.2（平方单位）．
20．解：（1）Q（1，0）（1分）Q的图象是一条直线，且过点（11，0）．
且点P运动速度每秒钟1个单位长度．（2分）
（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10﹣4=6．
在Rt△AFB中，AB==10，（3分）
过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H．
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴△ABF≌△BCH．
∴BH=AF=6 CH=BF=8．
∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．
∴所求C点的坐标为（14，12）．（4分）
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，
则△APM∽△ABF．
∴，
∴．
∴AM=t，PM=t，
∴PN=OM=10﹣t，ON=PM=t．
设△OPQ的面积为S（平方单位），
∴S=×（10﹣t）（1+t）=5+t﹣t2（0≤t≤10），（5分）
说明：未注明自变量的取值范围不扣分．
∵a=﹣，
∴当t=﹣=时，△OPQ的面积最大．（6分）
此时P的坐标为（，）．（7分）
（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时，
当P在BC上时，8+（t﹣10）=（t+1），解得：t=﹣15（舍去）
当P在CD上时，14﹣（t﹣20）=（t+1），解得：t=，
即当t=时，OP与PQ相等．
当P在BA上时，t=，OP与PQ相等，（9分）
∴当t=或t=时，OP与PQ相等．
　
21．解：（1）由BC=6，S△ABC=12，得AD=4；
（2）当PQ恰好落在边BC上时，
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．
∴，
即=，x=2.4（或）；
（3）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形．
设ME=NF=h，AD交MN于G（如图2）GD=NF=h，AG=4﹣h．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴，即，
∴．
∴y=MN?NF=x（﹣x+4）=﹣x2+4x（2.4＜x＜6），
配方得：y=﹣（x﹣3）2+6．
∴当x=3时，y有最大值，最大值是6．
　
22．解：方法一：连接AD，（1分）
∵∠EAD=∠ECD，∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCE，（5分）
∴，
∵直径AB垂直于弦CD，
∴，∴AD=AC，
又∵，∴，（8分）
又∵CF=10，∴CE=8；（10分）
方法二：∵直径AB垂直于弦CD，
∴，∴∠AEC=∠ACF，
又∵∠EAC=∠FAC，
∴△AEC∽△ACF，（5分）
∴，∴，（8分）
又∵CF=10，
∴CE=8． （10分）
23．证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=36°．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
∴∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=36°．
（2）由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BC=BE=AE．
在△ABC与△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BEC．
∴，
即BC2=AC?EC．
故AE2=AC?EC．
24．解：（1）；（2）；
（3）若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，正方形的边长是．（2分）
证明，如图，
过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，
设小正方形的边长为x，
∵四边形GDEF为矩形，∴GF∥AB，CM⊥GF，
易算出CN=，
∴，即，
∴x=．
即小正方形的边长是．
　
25．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF．
（2）解：EF=2FG，
理由如下：
∵AB⊥BC，BF⊥AG，AB=2BG，
∵∠BAG=∠GBF，
∴△ABG∽△BFG，
同理可得，△AFB∽△BFG∽△ABG，
∴===2，
∴AF=2BF，BF=2FG，
由（1）知，AE=BF，
∴EF=AF﹣AE=AF﹣BF=BF=2FG．
（3）解：如图，DE+BF=EF．
26．（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
∴△ABF∽△COE．
（2）解：过O作AC垂线交BC于H，
由（1）得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴OF：OE=OA：OH
又∵O为AC的中点，
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=AB，OA=OC=AC，
而，
∴OA：OH=2：1，
∴OF：OE=2；
（3）解：=n．
接写出的值．