2022-2023学年浙教版数学九年级上册4.7 图形的位似 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·南召期末）如图，在平面直角坐标系中，将 OAB以原点O为位似中心放大后得到 OCD，若B（0，1），D（0，3），则 OAB与 OCD的面积比是（ ）
A．2：1 B．1：3 C．1：9 D．9：1
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，B（0，1），D（0，3），
∴
∴ △OAB与△OCD的面积比是
故答案为：C.
【分析】根据点B、D的坐标可得OB：OD=1：3，然后根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行解答.
2．（2021九上·舟山期末）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与ΔOAB的位似比为 的位似图形ΔOCD.若点C的坐标为 ，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意得，
∴
∵
∴
∴A（3，2）
故答案为：D.
【分析】由位似可以得出，C点和A点的横坐标绝对值之比，等于纵坐标绝对值之比，等于位似比，从而得出结果。
3．（2021九上·永定期末）如图，BC ED，下列说法不正确的是（ ）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．AB：AC是相似比
D．点B与点D、点C与点E是对应位似点
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，
∴两个三角形是位似图形，点A是两个三角形的位似中心，点B与点D、点C与点E是对应位似点，
故答案为：C.
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心； 由BC∥ED得△ABC∽△ADE，可得
，据此即可判断.
4．（2021九上·江城期末）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．1：9
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：
与位似，点是它们的位似中心，
故答案为：D
【分析】根据位似图形的性质列出比例式，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可。
5．（2021九上·成都期末）如图，
与
位似，点O是位似中心，若
，
，则
（ ）
A．9 B．12 C．16 D．36
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：
与
位似，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】易得△OAC∽△ODF，根据相似三角形的性质以及已知条件可得
，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
6．（2021九上·包头期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0），则点C的坐标为（ ）
A．（6，3） B．（－6，－3）
C．（4，2） D．（－4，－2）
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0）
A点的对应点C的坐标为，即
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出 A点的对应点C的坐标为 A点的对应点C的坐标为，再求解即可。
7．（2021九上·青岛期末）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝：，则四边形ABCD和A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．： B．2：3 C．2：5 D．4：9
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝：，
∴ ，
∴四边形ABCD和A′B′C′D′的面积比为 ．
故答案为：B
【分析】根据位似图形的性质可得，再利用相似三角形的性质可得答案。
8．（2021九上·高州期末）如图，已知△ABC和△A′B′C′是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△A′B′C′的周长之比为1∶2，点C的坐标为（－1，0），若点B的对应点B′的横坐标为5，则点B的横坐标为（ ）
A．－5 B．－4 C． D．－3
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，过点B′作B′H⊥x于点H，则BD∥B′H，
∴∠DBC=∠HB′C，∠BDC=∠B′HC，
∴△BCD∽△B′CH，
∴，
∵△ABC和△A′B′C′的周长之比为1∶2，
∴，
∴，
∵点C的坐标为（－1，0），点B的对应点B′的横坐标为5，
∴OC＝1，OH＝5，
∴CH＝6，
∴＝3，
∴OD＝OC+CD=1+3=4，
∴点B的横坐标为－4．
故答案为：B．
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，过点B′作B′H⊥x于点H，则BD∥B′H，得出△BCD∽△B′CH，根据相似三角形的性质求出△ABC和△A′B′C′的周长之比为1∶2，进而求出EC的值，根据坐标与图形性质解答即可。
9．（2021九上·和平期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A的对应点A′的坐标为（2，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（1，0），则点A坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，）
C．（﹣，） D．（﹣，2）
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．
∵B（-2，0），C（-1，0），B′（1，0），A′（2，-3）
∴OB=2，OC=OB′=1，OF=2，A′F=3，
∴BC=1，CB′=2，CF=3，
∵△ABC∽△A′B′C，
∴，
∴，
∵∠ACE=∠A′CF，∠AEC=∠A′FC=90°，
∴△AEC∽△A′FC，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．由已知点的坐标可求出BC=1，CB′=2，CF=3，由位似图形知△ABC∽△A′B′C，利用相似三角形的性质可求，证明△AEC∽△A′FC，可得，据此求出，从而求出，继而得出点A坐标.
10．（2021九上·包河期中）如图，线段 两个端点的坐标分别为 ，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段 扩大为原来的2倍后得到线段 ，则端点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意得： ，
则端点 的坐标为 ，即为 ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
二、填空题
11．（2021九上·怀宁期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE= .
【答案】6
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，
∴DE=6．
故答案为：6．
【分析】根据位似图形的性质可得AB：DE=OA：OD，再将数据代入计算即可。
12．（2021九上·遂宁期末）如图，平面直角坐标系中，点A在 轴正半轴上，且 ， ，以点 为位似中心，将 放大2倍，则点 的对应点 的坐标为 .
【答案】 或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；位似变换
【解析】【解答】解：①当点
在第一象限时，过点B作BE⊥x轴于点E，如图，
∵ ，
∴
由勾股定理得，
∴
由勾股定理得，
延长OB到
，使B
=OB，过
作
//BA，过
作
轴，
∴
∴ ，
∴
②当点
在第三象限时，方法同上，
可得，
∴ ，
∴
综上，点
的坐标为
或
故答案为：
或
【分析】①当点B′在第一象限时，过点B作BE⊥x轴于点E，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2，由勾股定理求出OB，进而得到BE，利用勾股定理求出OE，延长OB到B′，使BB′=OB，过B′作 B′A′//BA，过B′作 B′E′⊥x轴，求出B′E′、OE′，据此可得点B′的坐标；②当点B′在第三象限时，同理求出B′E′、OE′，据此可得点B′的坐标.
13．（2021九上·揭西期末）在平面直角坐标系中，△ABC中点A的坐标是（2，3），以原点O为位似中心把△ABC放大，使放大后的三角形与△ABC的相似比为3：1，则点A的对应点A′的坐标为 ．
【答案】（6，9）或（-6，-9）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以原点为位似中心，把放大，使放大后的三角形与的相似比为，
则点的对应点的坐标为（6，9）或（-6，-9）．
故答案为：（6，9）或（-6，-9）．
【分析】根据位似的性质求出点的坐标即可。
14．（2021九上·揭东期末）如图，小莉用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的面积为，则影子的面积为 ．
【答案】50
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵矩形与矩形是位似图形，
∴矩形∽矩形，
∴，
∵S矩ABCD=，
∴．
故答案为：50．
【分析】先证明矩形∽矩形，再利用相似的性质可得，再结合S矩ABCD=，即可得到。
15．（2021九上·青岛期末）如图，点A（3，4），点B（4，0），以O为位似中心，按比例1∶2，将△AOB放大后得△A1O1B1，则A1坐标为 ．
【答案】（6，8）或（-6，-8）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】依题意，点A（3，4），按比例1∶2，将△AOB放大后得△A1O1B1，
的坐标为或，
故答案为：（6，8）或（-6，-8）．
【分析】根据位似图形的性质可得的坐标为或。
16．（2021九上·绥化期末）在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是 ．
【答案】（-8，4）或（8，-4）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵点E（-4，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，
∴点E的对应点E′的坐标是：（-8，4）或（8，-4）．
故答案为（-8，4）或（8，-4）．
【分析】根据位似变换的性质计算即可得到答案。
三、解答题
17．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
18．（2021九上·清涧期末）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比.
【答案】解：∵点B的坐标是（4, 0），点D的坐标是（6, 0），
∴OB=4，OD=6，
∴ ，
∵△OAB与△OCD关于点O位似，
∴△OAB∽△OCD，
∵相似三角形的对应边的比是相似三角形的相似比，
又∵OB与OD为一组对应边，
∴△OAB与△OCD的相似比为 .
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【分析】由点B，D的坐标可得到OB，OD的长，因此可求出OB与OD的比值；再利用成位似的两个三角形相似，易证△OAB∽△OCD；然后根据相似三角形的相似可求出两三角形的相似比.
19．（2020九上·清涧期末）如图， 与 是位似图形，点O是位似中心， ， ，求DE的长.
【答案】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵OA=AD，
∴位似比是OB：OE=1：2，
∵AB=5，
∴DE=10.
【知识点】位似变换
【解析】【分析】已知△ABC与△DEF是位似图形，且OA=AD，则位似比是OB：OE=1：2，从而可得DE.
20．如图，已知 是坐标原点， 、 的坐标分别为 ， ．
（1）在 轴的左侧以 为位似中心作 的位似 ，使新图与原图的相似比为 ；
（2）分别写出 、 的对应点 、 的坐标．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示： ，
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）分别延长AO和BO使得DO=2AO，CO=2BO，连接CD即可得出所得图形。
（2）根据（1）中所做的位似图形，将C和D的坐标写出即可。
21．（2021九上·淮北月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题．
（1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换放大到原来的两倍，得到ΔA1B1C1；
（2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变换后对应的点P'的坐标是 ；
【答案】（1）解：如图所示：
（2）（2a，2b）
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变换后对应的点P'的坐标是（2a，2b）
故答案为：（2a，2b）
【分析】（1）根据位似图形的变换作出图形即可；
（2）根据位似图形的性质求解即可。
22．（2021九上·长沙月考）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（﹣3，﹣4）、C（﹣1，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度.
（1）以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A1的坐标；
（2）△A1B1C与△ABC的面积比为 .
【答案】（1）解：如图，△A1B1C为所作；点A1的坐标为(﹣3，0)；
（2）4：1
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）∵△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，
∴△A1B1C与△ABC的面积比为4：1.
故答案为：4：1.
【分析】（1）分别延长CA、CB至点A1、B1，使CA1=2AC，CB1=2BC，然后顺次连接A1、B1、C即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
23．（2021九上·灵石期中）阅读与思考
探索位似的性质
利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质．
小明利用几何画板软件，尝试用“观察—猜想-验证—应用”的方法进行探究，步骤如下∶如图（1），任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选新旧图形的相似比为k，得到△A B C ．
图（1）
第一步，度量对应边的长度，并计算它们的比值，发现结果与k的值相等．
第二步，以0为原点建立平面直角坐标系，分别度量点A，A 的横坐标，并计算比值；分别度量点A，A 的纵坐标，并计算比值，观察比值与k的关系，发现它们相等．接下来对其他顶点进行相同的操作，得出相同的结论．
第三步，作线段 OA，OA ，OB，OB ，OC，OC ，度量它们，发现的结论是：_________．
第四步，任意改变△ABC的位置成形状，发现上面探究得出的结论仍然成立．
于是，小明总结并得出了位似的性质．
任务∶
（1）第三步发现的结论是： ．．
（2）已知图（1）中A（6，2），A （9，3），B（3，3），S△ABC=2，则点B 的坐标是 ，S△A B C = ．
（3）如图（2），以点A为位似中心，画出与矩形 ABCD的相似比为0.75的一个图形．
【答案】（1）位似中心与对应点连线长度之比等于相似比（答案不唯一，结论正确即可）
（2）（4.5，4.5）；4.5
（3）解：如图，矩形AEFG即为所求．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比，结论符合题意即可．
（2）∵ ，且点 ，
∴点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，所以 ，
又∵ ，
∴ ；
【分析】
(1)观察图，结合位似图形的性质即可求解；
(2)根据位似比可得点的坐标，再由面积比等于相似比的平方，即可得到S△A B C ；
(3)分别求出所给矩形的长和宽，然后根据相似比计算位似图形的长和宽，在网格中画出图形即可。
24．（2019九上·西城期中）如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，－1），B（4，－1），C（3，－4）．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的 ,并写出点 的坐标： ；
（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的 ，使得它与△ABC的位似比等于2：1 .
【答案】（1）（1，2）
（2）解：
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）由题意得，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．则AB1⊥AB，AC1⊥AC，画出图形写出坐标．（2）根据以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，可以得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册4.7 图形的位似 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·南召期末）如图，在平面直角坐标系中，将 OAB以原点O为位似中心放大后得到 OCD，若B（0，1），D（0，3），则 OAB与 OCD的面积比是（ ）
A．2：1 B．1：3 C．1：9 D．9：1
2．（2021九上·舟山期末）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与ΔOAB的位似比为 的位似图形ΔOCD.若点C的坐标为 ，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·永定期末）如图，BC ED，下列说法不正确的是（ ）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．AB：AC是相似比
D．点B与点D、点C与点E是对应位似点
4．（2021九上·江城期末）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．1：9
5．（2021九上·成都期末）如图，
与
位似，点O是位似中心，若
，
，则
（ ）
A．9 B．12 C．16 D．36
6．（2021九上·包头期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0），则点C的坐标为（ ）
A．（6，3） B．（－6，－3）
C．（4，2） D．（－4，－2）
7．（2021九上·青岛期末）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝：，则四边形ABCD和A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．： B．2：3 C．2：5 D．4：9
8．（2021九上·高州期末）如图，已知△ABC和△A′B′C′是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△A′B′C′的周长之比为1∶2，点C的坐标为（－1，0），若点B的对应点B′的横坐标为5，则点B的横坐标为（ ）
A．－5 B．－4 C． D．－3
9．（2021九上·和平期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第二象限，点B坐标为（﹣2，0），点C坐标为（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C．若点A的对应点A′的坐标为（2，﹣3），点B的对应点B′的坐标为（1，0），则点A坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，）
C．（﹣，） D．（﹣，2）
10．（2021九上·包河期中）如图，线段 两个端点的坐标分别为 ，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段 扩大为原来的2倍后得到线段 ，则端点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·怀宁期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE= .
12．（2021九上·遂宁期末）如图，平面直角坐标系中，点A在 轴正半轴上，且 ， ，以点 为位似中心，将 放大2倍，则点 的对应点 的坐标为 .
13．（2021九上·揭西期末）在平面直角坐标系中，△ABC中点A的坐标是（2，3），以原点O为位似中心把△ABC放大，使放大后的三角形与△ABC的相似比为3：1，则点A的对应点A′的坐标为 ．
14．（2021九上·揭东期末）如图，小莉用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的面积为，则影子的面积为 ．
15．（2021九上·青岛期末）如图，点A（3，4），点B（4，0），以O为位似中心，按比例1∶2，将△AOB放大后得△A1O1B1，则A1坐标为 ．
16．（2021九上·绥化期末）在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是 ．
三、解答题
17．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
18．（2021九上·清涧期末）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比.
19．（2020九上·清涧期末）如图， 与 是位似图形，点O是位似中心， ， ，求DE的长.
20．如图，已知 是坐标原点， 、 的坐标分别为 ， ．
（1）在 轴的左侧以 为位似中心作 的位似 ，使新图与原图的相似比为 ；
（2）分别写出 、 的对应点 、 的坐标．
21．（2021九上·淮北月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题．
（1）以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换放大到原来的两倍，得到ΔA1B1C1；
（2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变换后对应的点P'的坐标是 ；
22．（2021九上·长沙月考）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（﹣3，﹣4）、C（﹣1，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度.
（1）以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A1的坐标；
（2）△A1B1C与△ABC的面积比为 .
23．（2021九上·灵石期中）阅读与思考
探索位似的性质
利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质．
小明利用几何画板软件，尝试用“观察—猜想-验证—应用”的方法进行探究，步骤如下∶如图（1），任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选新旧图形的相似比为k，得到△A B C ．
图（1）
第一步，度量对应边的长度，并计算它们的比值，发现结果与k的值相等．
第二步，以0为原点建立平面直角坐标系，分别度量点A，A 的横坐标，并计算比值；分别度量点A，A 的纵坐标，并计算比值，观察比值与k的关系，发现它们相等．接下来对其他顶点进行相同的操作，得出相同的结论．
第三步，作线段 OA，OA ，OB，OB ，OC，OC ，度量它们，发现的结论是：_________．
第四步，任意改变△ABC的位置成形状，发现上面探究得出的结论仍然成立．
于是，小明总结并得出了位似的性质．
任务∶
（1）第三步发现的结论是： ．．
（2）已知图（1）中A（6，2），A （9，3），B（3，3），S△ABC=2，则点B 的坐标是 ，S△A B C = ．
（3）如图（2），以点A为位似中心，画出与矩形 ABCD的相似比为0.75的一个图形．
24．（2019九上·西城期中）如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，－1），B（4，－1），C（3，－4）．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的 ,并写出点 的坐标： ；
（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的 ，使得它与△ABC的位似比等于2：1 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，B（0，1），D（0，3），
∴
∴ △OAB与△OCD的面积比是
故答案为：C.
【分析】根据点B、D的坐标可得OB：OD=1：3，然后根据位似图形的面积比等于位似比的平方进行解答.
2．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意得，
∴
∵
∴
∴A（3，2）
故答案为：D.
【分析】由位似可以得出，C点和A点的横坐标绝对值之比，等于纵坐标绝对值之比，等于位似比，从而得出结果。
3．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，
∴两个三角形是位似图形，点A是两个三角形的位似中心，点B与点D、点C与点E是对应位似点，
故答案为：C.
【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心； 由BC∥ED得△ABC∽△ADE，可得
，据此即可判断.
4．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：
与位似，点是它们的位似中心，
故答案为：D
【分析】根据位似图形的性质列出比例式，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可。
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：
与
位似，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】易得△OAC∽△ODF，根据相似三角形的性质以及已知条件可得
，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
6．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0）
A点的对应点C的坐标为，即
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出 A点的对应点C的坐标为 A点的对应点C的坐标为，再求解即可。
7．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝：，
∴ ，
∴四边形ABCD和A′B′C′D′的面积比为 ．
故答案为：B
【分析】根据位似图形的性质可得，再利用相似三角形的性质可得答案。
8．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，过点B′作B′H⊥x于点H，则BD∥B′H，
∴∠DBC=∠HB′C，∠BDC=∠B′HC，
∴△BCD∽△B′CH，
∴，
∵△ABC和△A′B′C′的周长之比为1∶2，
∴，
∴，
∵点C的坐标为（－1，0），点B的对应点B′的横坐标为5，
∴OC＝1，OH＝5，
∴CH＝6，
∴＝3，
∴OD＝OC+CD=1+3=4，
∴点B的横坐标为－4．
故答案为：B．
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，过点B′作B′H⊥x于点H，则BD∥B′H，得出△BCD∽△B′CH，根据相似三角形的性质求出△ABC和△A′B′C′的周长之比为1∶2，进而求出EC的值，根据坐标与图形性质解答即可。
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．
∵B（-2，0），C（-1，0），B′（1，0），A′（2，-3）
∴OB=2，OC=OB′=1，OF=2，A′F=3，
∴BC=1，CB′=2，CF=3，
∵△ABC∽△A′B′C，
∴，
∴，
∵∠ACE=∠A′CF，∠AEC=∠A′FC=90°，
∴△AEC∽△A′FC，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点A作AE⊥x轴于E，过点A′作A′F⊥x轴于F．由已知点的坐标可求出BC=1，CB′=2，CF=3，由位似图形知△ABC∽△A′B′C，利用相似三角形的性质可求，证明△AEC∽△A′FC，可得，据此求出，从而求出，继而得出点A坐标.
10．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由题意得： ，
则端点 的坐标为 ，即为 ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
11．【答案】6
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，
∴DE=6．
故答案为：6．
【分析】根据位似图形的性质可得AB：DE=OA：OD，再将数据代入计算即可。
12．【答案】 或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；位似变换
【解析】【解答】解：①当点
在第一象限时，过点B作BE⊥x轴于点E，如图，
∵ ，
∴
由勾股定理得，
∴
由勾股定理得，
延长OB到
，使B
=OB，过
作
//BA，过
作
轴，
∴
∴ ，
∴
②当点
在第三象限时，方法同上，
可得，
∴ ，
∴
综上，点
的坐标为
或
故答案为：
或
【分析】①当点B′在第一象限时，过点B作BE⊥x轴于点E，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2，由勾股定理求出OB，进而得到BE，利用勾股定理求出OE，延长OB到B′，使BB′=OB，过B′作 B′A′//BA，过B′作 B′E′⊥x轴，求出B′E′、OE′，据此可得点B′的坐标；②当点B′在第三象限时，同理求出B′E′、OE′，据此可得点B′的坐标.
13．【答案】（6，9）或（-6，-9）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以原点为位似中心，把放大，使放大后的三角形与的相似比为，
则点的对应点的坐标为（6，9）或（-6，-9）．
故答案为：（6，9）或（-6，-9）．
【分析】根据位似的性质求出点的坐标即可。
14．【答案】50
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵矩形与矩形是位似图形，
∴矩形∽矩形，
∴，
∵S矩ABCD=，
∴．
故答案为：50．
【分析】先证明矩形∽矩形，再利用相似的性质可得，再结合S矩ABCD=，即可得到。
15．【答案】（6，8）或（-6，-8）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】依题意，点A（3，4），按比例1∶2，将△AOB放大后得△A1O1B1，
的坐标为或，
故答案为：（6，8）或（-6，-8）．
【分析】根据位似图形的性质可得的坐标为或。
16．【答案】（-8，4）或（8，-4）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵点E（-4，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，
∴点E的对应点E′的坐标是：（-8，4）或（8，-4）．
故答案为（-8，4）或（8，-4）．
【分析】根据位似变换的性质计算即可得到答案。
17．【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
18．【答案】解：∵点B的坐标是（4, 0），点D的坐标是（6, 0），
∴OB=4，OD=6，
∴ ，
∵△OAB与△OCD关于点O位似，
∴△OAB∽△OCD，
∵相似三角形的对应边的比是相似三角形的相似比，
又∵OB与OD为一组对应边，
∴△OAB与△OCD的相似比为 .
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【分析】由点B，D的坐标可得到OB，OD的长，因此可求出OB与OD的比值；再利用成位似的两个三角形相似，易证△OAB∽△OCD；然后根据相似三角形的相似可求出两三角形的相似比.
19．【答案】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵OA=AD，
∴位似比是OB：OE=1：2，
∵AB=5，
∴DE=10.
【知识点】位似变换
【解析】【分析】已知△ABC与△DEF是位似图形，且OA=AD，则位似比是OB：OE=1：2，从而可得DE.
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示： ，
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）分别延长AO和BO使得DO=2AO，CO=2BO，连接CD即可得出所得图形。
（2）根据（1）中所做的位似图形，将C和D的坐标写出即可。
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）（2a，2b）
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）若△ABC内一点P的坐标为（a，b），则位似变换后对应的点P'的坐标是（2a，2b）
故答案为：（2a，2b）
【分析】（1）根据位似图形的变换作出图形即可；
（2）根据位似图形的性质求解即可。
22．【答案】（1）解：如图，△A1B1C为所作；点A1的坐标为(﹣3，0)；
（2）4：1
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）∵△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，
∴△A1B1C与△ABC的面积比为4：1.
故答案为：4：1.
【分析】（1）分别延长CA、CB至点A1、B1，使CA1=2AC，CB1=2BC，然后顺次连接A1、B1、C即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
23．【答案】（1）位似中心与对应点连线长度之比等于相似比（答案不唯一，结论正确即可）
（2）（4.5，4.5）；4.5
（3）解：如图，矩形AEFG即为所求．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比，结论符合题意即可．
（2）∵ ，且点 ，
∴点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，所以 ，
又∵ ，
∴ ；
【分析】
(1)观察图，结合位似图形的性质即可求解；
(2)根据位似比可得点的坐标，再由面积比等于相似比的平方，即可得到S△A B C ；
(3)分别求出所给矩形的长和宽，然后根据相似比计算位似图形的长和宽，在网格中画出图形即可。
24．【答案】（1）（1，2）
（2）解：
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）由题意得，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．则AB1⊥AB，AC1⊥AC，画出图形写出坐标．（2）根据以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，可以得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．
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