【精品解析】2022-2023学年浙教版数学九年级上册第4章 相似三角形 单元检测

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名称 【精品解析】2022-2023学年浙教版数学九年级上册第4章 相似三角形 单元检测
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2022-07-24 11:51:14

文档简介

2022-2023学年浙教版数学九年级上册第4章 相似三角形 单元检测
一、单选题(每题3分,共30分)
1.(2021九上·锦州期末)如图,a∥b∥c,=,DF=12,则BD的长为(  )
A.2 B.3 C.4 D.6
2.(2021九上·长清期末)已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长比为(  )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
3.(2021九上·长沙月考)已知△ABC∽△A′B′C′, ,则△ABC与△A′B′C′的面积之比为(  )
A. B. C. D.
4.(2021九上·全椒期末)如图,点P在ΔABC的边AC上,下列条件中不能判定的是(  )
A. B.
C. D.
5.(2021九上·金山期末)如图,M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点,AM的延长线交BC于点,交DC的延长线于点F,图中相似三角形有(  )
A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
6.(2021九上·南京期末)如图,在矩形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,DE⊥EF,EF⊥FG,BE=3,BF=2,FC=6,则DG的长是(  )
A.4 B. C. D.5
7.(2021九上·无棣期末)如图平行四边形ABCD中,F为BC中点,延长AD至E,使,连结EF交DC于点G,则(  )
A.2∶3 B.4∶9 C.9∶4 D.3∶2
8.(2021九上·天桥期末)小莹同学的身高为1.6米,某一时刻她在阳光下的影长为3.2米,与她邻近的一棵树的影长为8米,则这棵树的高为(  )
A.3.2米 B.3米 C.4米 D.4.2米
9.(2021九上·宁波期中)如图,取一张长为a,宽为b的长方形纸片,将它对折两次后得到一张小长方形纸片,若要使小长方形与原长方形相似,则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是(  )
A.a= b B.a=2b C.a=2 b D.a=4b
10.(2021九上·太原期末)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形.位似中心是(  )
A.(8,0) B.(8,1) C.(10,0) D.(10,1)
二、填空题(每题3分,共30分) (每题4分,共24分)
11.(2021九上·涟水月考)如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm,另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm,那么这个四边形的最短边的长度为   .
12.(2021九上·岳阳期末)若 , , 的面积为 ,则 的面积为    .
13.(2021九上·无棣期末)如图,线段AB两个端点的坐标分别为,以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点D的坐标为   .
14.(2021九上·邗江期末)如图,在△ABC中, ,CD平分 .若AD=2,BD=3,AC的长为   .
15.(2021九上·永年期中)如图,已知: , , ,当 的长为   时, 与 相似.
16.(2021九上·崇明期末)如图,直线,如果,,,那么线段BE的长是   .
三、解答题(共8题,共66分)
17.(2021九上·揭西期末)碧桂园进驻揭西,一栋栋高楼拔地而起.如图,小明(线段AB)利用学到的知识,计算楼房(线段CD)的层数,他把一镜子放在E处(点B、E、D共线),此时小明通过镜子刚好可以看到大楼的顶端C,若小明身高1.5m,测得BE=1m,ED=58m,碧桂园层高为2.9m,求这栋楼房有多少层?
18.(2021九上·锦州期末)如图,一盏路灯(点O)距地面6.4m,身高1.6m的小明从距离路灯的底部(点P)9m的A处,沿AP所在的直线行走到点D处时,小明在路灯下的影子长度缩短了1.8m,求小明行走的距离.
19.(2021九上·顺义期末)如图,在矩形ABCD中,E为BC的中点,DF⊥AE ,垂足为F,AB=6,BC=4,求AE,DF的长.
20.(2021九上·嘉定期末)如图,在梯形中,,点在线段上,与相交于点,与的延长线相交于点,已知,,.求、的长.
21.(2021九上·南京期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且 = .
(1)求证 △ACD∽△ABC;
(2)若AD=3,BD=2,求CD的长.
22.(2021九上·南京期末)如图,AD和BG是△ABC的高,连接GD.
(1)求证△ADC∽△BGC;
(2)求证△CDG∽△CAB.
23.(2021九上·海州期末)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证:△ABE∽△DFA;
(2)若AB=10,BC=4,求DF的长.
24.(2021九上·海州期末)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,在线段AB上,动点M从点A出发向点B做匀速运动,同时动点N从B出发向点A做匀速运动,当点M、N其中一点停止运动时,另一点也停止运动,分别过点M、N作AB的垂线,分别交两直角边AC,BC所在的直线于点D、E,连接DE,若运动时间为t秒,在运动过程中四边形DENM总为矩形(点M、N重合除外).
(1)写出图中与△ABC相似的三角形;
(2)如图,设DM的长为x,矩形DENM面积为S,求S与x之间的函数关系式;当x为何值时,矩形DENM面积最大?最大面积是多少?
(3)在运动过程中,若点M的运动速度为每秒1个单位长度,求点N的运动速度.求t为多少秒时,矩形DEMN为正方形?
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:∵a∥b∥c,
∴=,
∵DF=12,
∴=,
∴BD=6,
故答案为:D.
【分析】先求出=,再求出=,最后计算求解即可。
2.【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1:3,
∴△ABC与△DEF的周长比为1:3.
故答案为:B.
【分析】根据△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1:3,再求解即可。
3.【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:∵ , ,
∴ 与 的面积比 ,
故答案为:C.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
4.【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解:A、∵∠A=∠A,,
∴△ABP∽△ACB,故本选项不符合题意;
B、∵∠A=∠A,
∴△ABP∽△ACB,故本选项不符合题意;
C、∵∠A=∠A,,
∴△ABP∽△ACB,故本选项不符合题意;
D、∵∠A=∠A,,
∴无法判断△ABP∽△ACB,故本选项符合题意;
故答案为:D.
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
5.【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ , , ,
∵,
∴ ,
∵,

∴,
则图中相似三角形有6对,它们分别是:,,,
故答案为:A.
【分析】根据相似三角形的判定即可得出答案。
6.【答案】B
【知识点】勾股定理;矩形的判定与性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵在Rt△BEF中,BF=2,BE=3
∴EF=
如图:过G作GH⊥DE垂足为H,
∵DE⊥EF,EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形
∴HG=EF=
∵矩形ABCD
∴∠A=∠B=90°
∴∠AED+∠ADE=90°
∵DE⊥EF
∴∠AED+∠BEF=90°
∴∠BEF=∠ADE
又∵∠A=∠B=90°
∴△EBF∽△DAE
同理:△DAE∽△GHD
∴△EBF∽△GHD
∴ ,即 ,解得DG= .
故答案为:B.
【分析】首先利用勾股定理求出EF,过G作GH⊥DE,垂足为H,易得四边形EFGH是矩形,根据矩形的性质可得则HG=EF= ,∠A=∠B=90°,由同角的余角相等可得∠BEF=∠ADE,进而证明△EBF∽△DAE,△DAE∽△GHD,△EBF∽△GHD,然后利用相似三角形的性质进行计算.
7.【答案】B
【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵,
∴设,
∴,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,,
∵点F是BC的中点,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为:B.
【分析】先证明,再利用相似三角形的性质可得。
8.【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解:设这棵树的高度为x m,根据相同时刻的物高与影长成比例,
则可列比例为:,
解得:x=4.
故答案为:C.
【分析】根据相同时刻的物高与影长成比例进行解答即可.
9.【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解:对折两次后的小长方形的长为b,宽为 ,
要使小长方形与原长方形相似,只要满足 即可,
∴ .
故答案为:B.
【分析】由题意可得:对折两次后的小长方形的长为b,宽为a,然后根据相似图形的对应边成比例进行解答.
10.【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解:如图,点E即为位似中心,E(10,0),
故答案为:C.

【分析】连接BB',CC',它们的交点即是位似中心。
11.【答案】15cm
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD与另一个四边形相似,
∴设另一个四边形的最短边的长度为x,
∴,解得:.
∴这个四边形的最短边的长度为15cm.
故答案为:15cm.
【分析】设另一个四边形的最短边的长度为x,根据相似多边形的性质得出“长边比等于短边比”,依此建立关于x的方程求解即可.
12.【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:∵ ,

∴ ,


解得:△A′B′C′的面积=
(cm2).
故答案为:
.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
13.【答案】(8,2)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解:∵线段AB端点B的坐标分别为B(16,4),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,
∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半,
∴端点D的坐标为:(8,2).
故答案是:(8,2).
【分析】利用位似图形的性质,结合两图形的位似比,进而得出D点坐标。
14.【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质;角平分线的定义
【解析】【解答】解:
平分



中,


因线段的长是大于0的数,则
.
故答案为:
.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ACD=∠BCD=
∠ACB,结合已知条件可推出∠ACD=∠B,然后证明△ADC∽△ACB,接下来根据相似三角形的性质求解即可.
15.【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解:∵AD=2,CD= ,
∴AC= = .
要使这两个直角三角形相似,有两种情况:
(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有 = ,∴AB=3;
(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有 = ,∴AB=3 .
即当AB的长为3或3 时,这两个直角三角形相似.
故答案为3或3 .
【分析】先求出AC= = ,再分类讨论求解即可。
16.【答案】3
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:如图,过点D作DG∥AC交CF于点G,交BE于点H,
∵,
∴,四边形ABHD和四边形ACGD是平行四边形,
∴BH=AD=CG=2, ,
∵,
∴FG=4,
∵BE∥CF,
∴△DEH∽△DFG,
∴ ,
∴HE=1,
∴BE=BH+HE=3.
故答案为:3
【分析】过点D作DG∥AC交CF于点G,交BE于点H,先证明△DEH∽△DFG,再利用相似三角形的性质可得,再求出HE的长,最后利用BE=BH+HE计算即可。
17.【答案】解:由已知可得:,
又,


即,
解得:,
(层,
答:这栋楼房有30层.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用相似三角形的判定与性质求解即可。
18.【答案】解:由题意,得OP=64m,AB=DE=1.6m,AP=9m,DF=AC 1.8,
∵∠OPC=∠BAC,∠BCA=∠OCP,
∴△BCA △OCP,
∴,即,
∴AC=3,
∴DF=AC 1.8=3 1.8=1.2(m),
∵∠OPC=∠EDF=90 ,∠EFD=∠OFP,
∴△EFD △OFP,
∴,即,
∴PF=4.8,
∴AD=AP PF+DF=9 4.8+1.2=5.4(m),
答:小明行走的路程为5.4m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
19.【答案】解:四边形是矩形,
,,

又,


是的中点,,



解得:.
【知识点】矩形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明,再利用相似三角形的性质可得,最后将数据代入计算即可。
20.【答案】解:∵∥,
∴.
∵,
∴.
∵,

∴,
∴.
∵,,
∴.
∵∥,
∴△AGE∽△BGC,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先求出 ,再证明 △AGE∽△BGC, 最后利用相似三角形的性质计算求解即可。
21.【答案】(1)解:∵ , ,
∴ ;
(2)解:∵ ,
∴ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,即 ,
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)直接根据两组边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似进行证明;
(2)根据相似三角形的性质可得∠ADC=∠ACB=90°,∠ACD=∠B,则∠CDB=∠ACD,证明△ACD∽
△CBD,然后根据相似三角形的性质进行计算.
22.【答案】(1)解:∵在△ABC中,AD和BG是△ABC的高,
∴∠BGC=∠ADC=90°
又∠C=∠C,
∴△ADC∽△BGC.
(2)解:∵△ADC∽△BGC,
∴ ,
∴ ,
又∠C=∠C,
∴△CDG∽△CAB.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据高线的概念可得∠BGC=∠ADC=90°,然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明;
(2)根据相似三角形的性质可得 ,则 ,然后利用有两组边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似进行证明.
23.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ABC=90°,
∴∠BAE+∠DAE=90°,
∵DF⊥AE,
∴∠AFD=∠EBA=90°,
∴∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠ADF=∠EAB,
∴△ABE∽△DFA;
(2)解:∵E是BC的中点,BC=4,四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=4, ,∠ABE=90°,
∴ ,
∵△ABE∽△DFA,
∴ ,
∴ .
【知识点】勾股定理;矩形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可得∠BAD=∠ABC=90°,根据垂直的概念可得∠AFD=∠EBA=90°,由同角的余角相等可得∠ADF=∠EAB,然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明;
(2)根据矩形的性质可得AD=BC=4,∠ABE=90°,由中点的概念可得BE=CE=2,由勾股定理求出AE,然后利用相似三角形的性质进行计算.
24.【答案】(1)图中与△ABC相似的三角形有△DEC,△EBN,△ADM;
(2)解:∵在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴ ,
∵△ADM∽△ABC,
∴ ,
∵ ,
∴ ,

∴ ,
∴ ,
∵△ADM∽△ABC,△DEC∽△ABC,
∴△ADM∽△DEC,
∴ ,即 ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴当 时,矩形DENM面积最大,最大面积是3;
(3)解:当M、N相遇前,
∵四边形DENM是矩形,
∴NE=MD,
∵△AMD∽△ABC,
∴ ,
由题意得 ,
∴ ,
∴ ;
∵△BEN∽△BAC,
∴ ,即
∴ ,
∴点N的速度为每秒 个单位长度;
∵当N、M相遇时,有AM+BM=AB,
∴ ,
解得 ,即M、N相遇的时间为 ,
当N、M相遇后继续运动,N点到达A点时,
∴ ,
解得 ,即N点到底A点的时间为 ;
∵矩形DENM是正方形,
∴DM=MN=EN,
当N、M相遇前,即当 时, , , ,
∴ ,
∴ ,
解得 ;
当N、M相遇后,即当 时, , , ,
∴ , ,
∴ ,
∴ ,
解得 不符合题意,
∴综上所述,点N的速度为每秒 个单位长度,当 时,矩形DEMN为正方形.
【知识点】二次函数的最值;勾股定理;矩形的性质;正方形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】(1)解:∵四边形DENM是矩形,
∴DE∥AB,∠DMN=∠DMA=∠ENM=∠ENB=90°,
∴△CDE∽△CAB,
∵∠ACB=∠AMD=∠ENB=90°,∠A=∠A,∠B=∠B,
∴△AMD∽△ACB,△ENB∽△ACB;
∴图中与△ABC相似的三角形有△DEC,△EBN,△ADM;
【分析】(1)易得DE∥AB,∠DMN=∠DMA=∠ENM=∠ENB=90°,∠ACB=∠AMD=∠ENB=90°,然后利用相似三角形的判定定理进行证明;
(2)利用勾股定理求出AB,设DM=x,根据相似三角形的性质表示出AM,由勾股定理可得AD,进而表示出CD,易证△ADM∽△DEC,然后根据相似三角形的性质可得DE,接下来根据三角形的面积公式可得S矩形DENM,最后结合二次函数的性质进行解答;
(3)当M、N相遇前,根据矩形的性质可得NE=MD,由题意可得AM=t,根据相似三角形的性质可得MD、BN,然后根据AM+BM=AB求解即可;当N、M相遇后继续运动,N点到达A点时,根据正方形的性质可得DM=MN=EN;当N、M相遇前,表示出MD、BN、AM,然后根据MN=AB-AM-BN可求出t的值;同理可得当N、M相遇后,t的值,据此解答.
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级上册第4章 相似三角形 单元检测
一、单选题(每题3分,共30分)
1.(2021九上·锦州期末)如图,a∥b∥c,=,DF=12,则BD的长为(  )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:∵a∥b∥c,
∴=,
∵DF=12,
∴=,
∴BD=6,
故答案为:D.
【分析】先求出=,再求出=,最后计算求解即可。
2.(2021九上·长清期末)已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长比为(  )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1:3,
∴△ABC与△DEF的周长比为1:3.
故答案为:B.
【分析】根据△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1:3,再求解即可。
3.(2021九上·长沙月考)已知△ABC∽△A′B′C′, ,则△ABC与△A′B′C′的面积之比为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:∵ , ,
∴ 与 的面积比 ,
故答案为:C.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
4.(2021九上·全椒期末)如图,点P在ΔABC的边AC上,下列条件中不能判定的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解:A、∵∠A=∠A,,
∴△ABP∽△ACB,故本选项不符合题意;
B、∵∠A=∠A,
∴△ABP∽△ACB,故本选项不符合题意;
C、∵∠A=∠A,,
∴△ABP∽△ACB,故本选项不符合题意;
D、∵∠A=∠A,,
∴无法判断△ABP∽△ACB,故本选项符合题意;
故答案为:D.
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
5.(2021九上·金山期末)如图,M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点,AM的延长线交BC于点,交DC的延长线于点F,图中相似三角形有(  )
A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ , , ,
∵,
∴ ,
∵,

∴,
则图中相似三角形有6对,它们分别是:,,,
故答案为:A.
【分析】根据相似三角形的判定即可得出答案。
6.(2021九上·南京期末)如图,在矩形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,DE⊥EF,EF⊥FG,BE=3,BF=2,FC=6,则DG的长是(  )
A.4 B. C. D.5
【答案】B
【知识点】勾股定理;矩形的判定与性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵在Rt△BEF中,BF=2,BE=3
∴EF=
如图:过G作GH⊥DE垂足为H,
∵DE⊥EF,EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形
∴HG=EF=
∵矩形ABCD
∴∠A=∠B=90°
∴∠AED+∠ADE=90°
∵DE⊥EF
∴∠AED+∠BEF=90°
∴∠BEF=∠ADE
又∵∠A=∠B=90°
∴△EBF∽△DAE
同理:△DAE∽△GHD
∴△EBF∽△GHD
∴ ,即 ,解得DG= .
故答案为:B.
【分析】首先利用勾股定理求出EF,过G作GH⊥DE,垂足为H,易得四边形EFGH是矩形,根据矩形的性质可得则HG=EF= ,∠A=∠B=90°,由同角的余角相等可得∠BEF=∠ADE,进而证明△EBF∽△DAE,△DAE∽△GHD,△EBF∽△GHD,然后利用相似三角形的性质进行计算.
7.(2021九上·无棣期末)如图平行四边形ABCD中,F为BC中点,延长AD至E,使,连结EF交DC于点G,则(  )
A.2∶3 B.4∶9 C.9∶4 D.3∶2
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵,
∴设,
∴,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,,
∵点F是BC的中点,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为:B.
【分析】先证明,再利用相似三角形的性质可得。
8.(2021九上·天桥期末)小莹同学的身高为1.6米,某一时刻她在阳光下的影长为3.2米,与她邻近的一棵树的影长为8米,则这棵树的高为(  )
A.3.2米 B.3米 C.4米 D.4.2米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解:设这棵树的高度为x m,根据相同时刻的物高与影长成比例,
则可列比例为:,
解得:x=4.
故答案为:C.
【分析】根据相同时刻的物高与影长成比例进行解答即可.
9.(2021九上·宁波期中)如图,取一张长为a,宽为b的长方形纸片,将它对折两次后得到一张小长方形纸片,若要使小长方形与原长方形相似,则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是(  )
A.a= b B.a=2b C.a=2 b D.a=4b
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解:对折两次后的小长方形的长为b,宽为 ,
要使小长方形与原长方形相似,只要满足 即可,
∴ .
故答案为:B.
【分析】由题意可得:对折两次后的小长方形的长为b,宽为a,然后根据相似图形的对应边成比例进行解答.
10.(2021九上·太原期末)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形.位似中心是(  )
A.(8,0) B.(8,1) C.(10,0) D.(10,1)
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解:如图,点E即为位似中心,E(10,0),
故答案为:C.

【分析】连接BB',CC',它们的交点即是位似中心。
二、填空题(每题3分,共30分) (每题4分,共24分)
11.(2021九上·涟水月考)如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm,另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm,那么这个四边形的最短边的长度为   .
【答案】15cm
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD与另一个四边形相似,
∴设另一个四边形的最短边的长度为x,
∴,解得:.
∴这个四边形的最短边的长度为15cm.
故答案为:15cm.
【分析】设另一个四边形的最短边的长度为x,根据相似多边形的性质得出“长边比等于短边比”,依此建立关于x的方程求解即可.
12.(2021九上·岳阳期末)若 , , 的面积为 ,则 的面积为    .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:∵ ,

∴ ,


解得:△A′B′C′的面积=
(cm2).
故答案为:
.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
13.(2021九上·无棣期末)如图,线段AB两个端点的坐标分别为,以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点D的坐标为   .
【答案】(8,2)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解:∵线段AB端点B的坐标分别为B(16,4),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,
∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半,
∴端点D的坐标为:(8,2).
故答案是:(8,2).
【分析】利用位似图形的性质,结合两图形的位似比,进而得出D点坐标。
14.(2021九上·邗江期末)如图,在△ABC中, ,CD平分 .若AD=2,BD=3,AC的长为   .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质;角平分线的定义
【解析】【解答】解:
平分



中,


因线段的长是大于0的数,则
.
故答案为:
.
【分析】根据角平分线的概念可得∠ACD=∠BCD=
∠ACB,结合已知条件可推出∠ACD=∠B,然后证明△ADC∽△ACB,接下来根据相似三角形的性质求解即可.
15.(2021九上·永年期中)如图,已知: , , ,当 的长为   时, 与 相似.
【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解:∵AD=2,CD= ,
∴AC= = .
要使这两个直角三角形相似,有两种情况:
(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有 = ,∴AB=3;
(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有 = ,∴AB=3 .
即当AB的长为3或3 时,这两个直角三角形相似.
故答案为3或3 .
【分析】先求出AC= = ,再分类讨论求解即可。
16.(2021九上·崇明期末)如图,直线,如果,,,那么线段BE的长是   .
【答案】3
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:如图,过点D作DG∥AC交CF于点G,交BE于点H,
∵,
∴,四边形ABHD和四边形ACGD是平行四边形,
∴BH=AD=CG=2, ,
∵,
∴FG=4,
∵BE∥CF,
∴△DEH∽△DFG,
∴ ,
∴HE=1,
∴BE=BH+HE=3.
故答案为:3
【分析】过点D作DG∥AC交CF于点G,交BE于点H,先证明△DEH∽△DFG,再利用相似三角形的性质可得,再求出HE的长,最后利用BE=BH+HE计算即可。
三、解答题(共8题,共66分)
17.(2021九上·揭西期末)碧桂园进驻揭西,一栋栋高楼拔地而起.如图,小明(线段AB)利用学到的知识,计算楼房(线段CD)的层数,他把一镜子放在E处(点B、E、D共线),此时小明通过镜子刚好可以看到大楼的顶端C,若小明身高1.5m,测得BE=1m,ED=58m,碧桂园层高为2.9m,求这栋楼房有多少层?
【答案】解:由已知可得:,
又,


即,
解得:,
(层,
答:这栋楼房有30层.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用相似三角形的判定与性质求解即可。
18.(2021九上·锦州期末)如图,一盏路灯(点O)距地面6.4m,身高1.6m的小明从距离路灯的底部(点P)9m的A处,沿AP所在的直线行走到点D处时,小明在路灯下的影子长度缩短了1.8m,求小明行走的距离.
【答案】解:由题意,得OP=64m,AB=DE=1.6m,AP=9m,DF=AC 1.8,
∵∠OPC=∠BAC,∠BCA=∠OCP,
∴△BCA △OCP,
∴,即,
∴AC=3,
∴DF=AC 1.8=3 1.8=1.2(m),
∵∠OPC=∠EDF=90 ,∠EFD=∠OFP,
∴△EFD △OFP,
∴,即,
∴PF=4.8,
∴AD=AP PF+DF=9 4.8+1.2=5.4(m),
答:小明行走的路程为5.4m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
19.(2021九上·顺义期末)如图,在矩形ABCD中,E为BC的中点,DF⊥AE ,垂足为F,AB=6,BC=4,求AE,DF的长.
【答案】解:四边形是矩形,
,,

又,


是的中点,,



解得:.
【知识点】矩形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明,再利用相似三角形的性质可得,最后将数据代入计算即可。
20.(2021九上·嘉定期末)如图,在梯形中,,点在线段上,与相交于点,与的延长线相交于点,已知,,.求、的长.
【答案】解:∵∥,
∴.
∵,
∴.
∵,

∴,
∴.
∵,,
∴.
∵∥,
∴△AGE∽△BGC,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先求出 ,再证明 △AGE∽△BGC, 最后利用相似三角形的性质计算求解即可。
21.(2021九上·南京期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且 = .
(1)求证 △ACD∽△ABC;
(2)若AD=3,BD=2,求CD的长.
【答案】(1)解:∵ , ,
∴ ;
(2)解:∵ ,
∴ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,即 ,
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)直接根据两组边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似进行证明;
(2)根据相似三角形的性质可得∠ADC=∠ACB=90°,∠ACD=∠B,则∠CDB=∠ACD,证明△ACD∽
△CBD,然后根据相似三角形的性质进行计算.
22.(2021九上·南京期末)如图,AD和BG是△ABC的高,连接GD.
(1)求证△ADC∽△BGC;
(2)求证△CDG∽△CAB.
【答案】(1)解:∵在△ABC中,AD和BG是△ABC的高,
∴∠BGC=∠ADC=90°
又∠C=∠C,
∴△ADC∽△BGC.
(2)解:∵△ADC∽△BGC,
∴ ,
∴ ,
又∠C=∠C,
∴△CDG∽△CAB.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据高线的概念可得∠BGC=∠ADC=90°,然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明;
(2)根据相似三角形的性质可得 ,则 ,然后利用有两组边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似进行证明.
23.(2021九上·海州期末)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证:△ABE∽△DFA;
(2)若AB=10,BC=4,求DF的长.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ABC=90°,
∴∠BAE+∠DAE=90°,
∵DF⊥AE,
∴∠AFD=∠EBA=90°,
∴∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠ADF=∠EAB,
∴△ABE∽△DFA;
(2)解:∵E是BC的中点,BC=4,四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=4, ,∠ABE=90°,
∴ ,
∵△ABE∽△DFA,
∴ ,
∴ .
【知识点】勾股定理;矩形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可得∠BAD=∠ABC=90°,根据垂直的概念可得∠AFD=∠EBA=90°,由同角的余角相等可得∠ADF=∠EAB,然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明;
(2)根据矩形的性质可得AD=BC=4,∠ABE=90°,由中点的概念可得BE=CE=2,由勾股定理求出AE,然后利用相似三角形的性质进行计算.
24.(2021九上·海州期末)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,在线段AB上,动点M从点A出发向点B做匀速运动,同时动点N从B出发向点A做匀速运动,当点M、N其中一点停止运动时,另一点也停止运动,分别过点M、N作AB的垂线,分别交两直角边AC,BC所在的直线于点D、E,连接DE,若运动时间为t秒,在运动过程中四边形DENM总为矩形(点M、N重合除外).
(1)写出图中与△ABC相似的三角形;
(2)如图,设DM的长为x,矩形DENM面积为S,求S与x之间的函数关系式;当x为何值时,矩形DENM面积最大?最大面积是多少?
(3)在运动过程中,若点M的运动速度为每秒1个单位长度,求点N的运动速度.求t为多少秒时,矩形DEMN为正方形?
【答案】(1)图中与△ABC相似的三角形有△DEC,△EBN,△ADM;
(2)解:∵在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴ ,
∵△ADM∽△ABC,
∴ ,
∵ ,
∴ ,

∴ ,
∴ ,
∵△ADM∽△ABC,△DEC∽△ABC,
∴△ADM∽△DEC,
∴ ,即 ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴当 时,矩形DENM面积最大,最大面积是3;
(3)解:当M、N相遇前,
∵四边形DENM是矩形,
∴NE=MD,
∵△AMD∽△ABC,
∴ ,
由题意得 ,
∴ ,
∴ ;
∵△BEN∽△BAC,
∴ ,即
∴ ,
∴点N的速度为每秒 个单位长度;
∵当N、M相遇时,有AM+BM=AB,
∴ ,
解得 ,即M、N相遇的时间为 ,
当N、M相遇后继续运动,N点到达A点时,
∴ ,
解得 ,即N点到底A点的时间为 ;
∵矩形DENM是正方形,
∴DM=MN=EN,
当N、M相遇前,即当 时, , , ,
∴ ,
∴ ,
解得 ;
当N、M相遇后,即当 时, , , ,
∴ , ,
∴ ,
∴ ,
解得 不符合题意,
∴综上所述,点N的速度为每秒 个单位长度,当 时,矩形DEMN为正方形.
【知识点】二次函数的最值;勾股定理;矩形的性质;正方形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】(1)解:∵四边形DENM是矩形,
∴DE∥AB,∠DMN=∠DMA=∠ENM=∠ENB=90°,
∴△CDE∽△CAB,
∵∠ACB=∠AMD=∠ENB=90°,∠A=∠A,∠B=∠B,
∴△AMD∽△ACB,△ENB∽△ACB;
∴图中与△ABC相似的三角形有△DEC,△EBN,△ADM;
【分析】(1)易得DE∥AB,∠DMN=∠DMA=∠ENM=∠ENB=90°,∠ACB=∠AMD=∠ENB=90°,然后利用相似三角形的判定定理进行证明;
(2)利用勾股定理求出AB,设DM=x,根据相似三角形的性质表示出AM,由勾股定理可得AD,进而表示出CD,易证△ADM∽△DEC,然后根据相似三角形的性质可得DE,接下来根据三角形的面积公式可得S矩形DENM,最后结合二次函数的性质进行解答;
(3)当M、N相遇前,根据矩形的性质可得NE=MD,由题意可得AM=t,根据相似三角形的性质可得MD、BN,然后根据AM+BM=AB求解即可;当N、M相遇后继续运动,N点到达A点时,根据正方形的性质可得DM=MN=EN;当N、M相遇前,表示出MD、BN、AM,然后根据MN=AB-AM-BN可求出t的值;同理可得当N、M相遇后,t的值,据此解答.
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