特殊三角形教案
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文档简介
目录
封面 ..................................................1
特殊三角形
§2.1 等腰三角形......................................3
§2.2 等边三角形.....................................14
§2.3 直角三角形与勾股定理...........................25
§2.4 反思与总结.....................................33
§2.5 章节成果检测...................................
封底 .................................................34
八上第2章 特殊三角形
章节概述：特殊三角形式分三节内容，等腰三角形、等边三角形和直角三角形。本章主要知识点有等腰三角形的概念，性质：角相等，是轴对称图形，顶角的平分线所在的直线是它的对称轴，三线合一；等腰三角形的判定定理及应用。等边三角形的概念，三边相等；性质：三边相等，三角相等，每条边上三线合一。直角三角形的概念，有一个角是直角的三角形；性质，斜边上的中线是斜边的一半，30°所对的直角边等于斜边的一半；等腰直角三角形的概念；勾股定理；直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，两角互余；直角三角形的判定，HL。重要辅助线有，等腰三角形底边上的高，腰上的高及等边三角形的高线，直角三角形斜边上的中线，构造直角三角形。目标，能通过理解特殊三角形的性质，判定方法的证明过程和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，并加深对图形变换的认识. 进一步强化推理、判断、计算和作图．
§2.1 等腰三角形
§2.1.1 等腰三角形定义
知识目标：1、明确等腰三角形的含义
2、学会用等腰来解决问题
例1：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为18cm和21cm两部分，
则它的三边长为________________
解析：解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长
分两种情况讨论：当AB+AD=18，BC+DC=21或AB+AD=21，BC+DC=18，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为12，12，15或14，14，11．
解：设AD=x则，当2x+x=18时，x=6，即AB=AC=12，
∵周长是18+21=39，∴BC=15cm；
三边分别为：12、12、15 两边之和大于第三边。
当2x+x=21时，x=7，即AB=AC=14，
∵周长是18+21=39，∴BC=11cm，
三边分别为：14、14、11 两边之和大于第三边。
综上可知，答案为：12、12、15 或14、14、11
总结：此题是分类讨论题，题目中未明确给出对应的两部分，所以分成两种情况讨论。利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长，在此过程中，要考虑求出的三条边是否能构成三角形
即时练习：1.已知等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3cm，则它的腰长为______________
2. 有一个等腰三角形，三边是3x-2，4x-3，6-2x，求等腰三角形的周长。
总结：当题目中未明确给出腰时，需要进行分类讨论。
§2.1.2 等腰三角形的性质
知识目标：1、掌握等腰三角形的两个性质
2、学会用性质解决问题
例2：如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是（ B ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
解析：此题是“等边对等角”的性质的应用，通过给出的边相等找到角之间的关系，
利用三角形的内角和、外角性质与等腰三角形的“等边对等角”性质计算．
解答：解：由AB=AC、BD=BC得∠ABC=∠ACB、∠C=∠BDC，
在△ABC中，∠A=40°，∠C=∠ABC，
∴∠C=∠ABC=（180°﹣∠A）=（180°﹣40°）=70°；
在△ABD中，由∠BDC=∠A+∠ABD得
∠ABD=∠BDC﹣∠A=70°﹣40°=30度．
即时练习
1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是（ D ）
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ D ）
A．30° B．40° C．45° D．36°
例3：如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。
求证：BE=CE。
解析：证明两线段相等常用方法是证明两个三角形全等（即△ABE≌△ACE），但已知条件不足，可题目中给出等腰三角形还给出了中线，可以通过三线合一的性质得到AD是角平分线，凑足了全等条件，进而证全等
证明：∵在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AB=AC AD是∠BAC的平分线，即∠BAD=∠CAD
又∵AE=AE ∴△ABE≌△ACE（SAS）
∴BE=CE
即时练习：3、如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。
例4如图，点D和点E在BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE
解析：此题是证明两线段相等，可以通过等量减等量的方法来证明，关键在于是“谁减谁”可是BE-DE=CD-DE，也可以是其它的等量相减，这就需要添加辅助线，利用等腰三角形三线合一性质可以找出新的等量，如下证明过程。
证明：取BC中点F，连接AF
∵AB=AC
∴AF⊥BC(三线合一)
∵AD=AE,
∴DF=EF(三线合一)
∴BF-DF=CF-EF（等量减等量，差相等）
∴BD=CE
总结：证明两线段相等常用方法是证明两个三角形ABD与三角形ACE全等，当全等比较麻烦时可以考虑其它方法。
即时练习
4 .在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内的一点，且OB=OC，AO的延长线交BC于点D，证明：BD=CD
§2.1.3 等腰三角形的判定
知识目标：1、学会用等腰三角形的定义和判定定理来判断等腰三角形
2、能用等腰三角形的性质与判定解决问题
例5：已知：D、E为BC边上的点，AD=AE，BD=EC．求证：AB=AC．
解析：判断一个三角形是等腰三角形有两种方法，一是通过定义证明两边相等，二是通等腰三角形的判定定理来证明。此题是利用两边相等判定等腰三角形
证明：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=∠AEC，
在△ADB≌△AEC中，
AD=AE,∠ADB=∠AEC，BD=EC
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴AB=AC．
总结：通过给出的已知可以看出是用定义来证明三角形是等腰三角形，即证明两边相等，通常所用是三角形全等。
即时练习
在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD=CE，证明：△ABC是等腰三角形。
例6： 如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC的形状是________ 等腰三角形
．（直接写出结论，不需证明）
解析：此题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定方法等角对等边
由已知条件，结合公共边可以利用SSS判定△ABC≌△DCB，由三角形全等得角相等，可得OB=OC，所以△OBC是等腰三角形
解答：（1）证明：在△ABC和△DCB中,AB=DC,BC=CB,AC=BD
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
（2）解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠OBC=∠OCB．
∴OB=OC．
∴△OBC为等腰三角形．
故填等腰三角形．
即时练习：2如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
例7如图，△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，经过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（ A ）
A．9 B.8 C.7 D. 6
解析：本题主要利用两直线平行，内错角相等，角平分线的定义以及三角形中等角对等边的判定进行做题．
解答：解：∵∠B和∠C的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠BCF=∠ECF；
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC=∠FBD，∠EFC=∠FCB=∠ECF，
∴DF=DB，EF=EC，
即DE=DF+FE=DB+EC=9．
故选A．
即时练习：3、如图，已知BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线BO和CO相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，求△OEF的周长。
例8：如图，AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，M为CD中点，
求证：AM⊥CD
解析：要证明AM⊥CD，可以想到90度，但无法证明，但题目中给出了中点，可以想到三线合一可以证明垂直，问题转化为找等腰三角形（即△ACD是等腰三角形）
证明：连结AC，AD
∵AB=AE，∠ABC=∠AED ，BC=DE
∴△ABC≌△ADE
∴AC=AD，
∵M为CD中点，
∴AM⊥CD
即时练习：4、如图，∠BCD=∠EDC，BC=DE，∠ABC=∠AED，M为CD中点，
求证：AM⊥CD
总结：当图形内部作辅助线无法达到要求时，可以考虑在外部作辅助线。
同步突破
A组
1、已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，则它的周长为_____________
2、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠GEF=_________
3、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 ____________ 140°呢______________
4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为___________
5、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）
A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半
6、在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（ ）
A、100° B、75° C、150° D、75°或100°
7、在△ABC中，AB=AC，下列推理中错误的是……………………（ ）。
A、如果AD是中线，那么AD⊥BC，∠BAD=∠DAC
B、如果BD是高，那么BD是角平分线
C、如果AD是高，那么∠BAD=∠DAC、BD=DC
D、如果AD是角平分线，那么AD也是BC边的垂直平分线
8、三角形的三边长满足式子，那么这个三角形是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角边三角形 D、以上都不对
9、如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（3）（4）
B组
10、 如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（ ）
A 3 B 4 C 6 D 7
11、 如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长．
12、 如图，在△ABC中，AC=BC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，若∠ADC=∠CAD，则∠ABC=_________
13、 如图所示，已知AE=AC，EF∥BC，EC平分∠DEF，求证：AD⊥EC
13、如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．
§2.2 等边三角形
§2.2.1 等边三角形的概念
知识目标：1、掌握等边三角形的概念
例1：如图，△ABC,△ADE及△EFG都是等边三角形，D,G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是
解析：此类题型重在考查等边三角形三边相等的概念，利用等量代换可求出DE=AD=CD=AB，EF=GF=GA=AD。
解∵△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，
D和G分别为AC和AE的中点，DE=AD=CD=AB=2，
EF=GF=GA=AD=1。
∴图形ABCDEFG外围的周长是AB+CD+BC+DE+EF+GF+AG=4+2+4+2+1+1+1=15
故答案为15．
即时练习：如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 30a ．
§2.2.2 等边三角形的性质
知识目标：1、掌握等边三角形的三个性质
2、用等边三角形解决问题
例1：如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（ B ）
A．45° B．60° C．55° D．75°
解析：从题目已知入手，利用了等边三角形的性质：三边相等，三角等于60°，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
本题等边△ABC中，有
∠ABC=∠C=60°，AB=BC，BD=CE
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°．
故选B．
即时练习：
△ABC是等边三角形，AD是角平分线，以AD为边再画等边△ADE，DE交AB于点F，则有结论：①AD⊥BC；②EF=FD；③BE=BD。其中正确结论的个数为（ A ）
A.3 B.2 C.1 D.0
例2：一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（ C ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
解析：看到高线是中线可以想到等边三角形的三线合一根据等腰三角形的三线合一的性质，可得三边相等，则对这个三角形最准确的判断是正三角形．
故选C．
即时练习
1如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，求∠EDC的度数。
15°
§2.2.3 等边三角形的判定
知识目标：能根据给出的条件来判断等边三角形
例1，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ B ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
解析：等边三角形的判定与性质；方向角
由题意得∠ABC=60°，AB=BC
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=40海里．
故选B．
即时练习：1如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；直角三角形
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？
110°，125°，140°
例2．如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，则△DEF也是等边△，请说明理由
解析：三边相等的三角形是等边三角形，
或一个角为60°的等腰三角形，
注：在几何题中，注意不同的方法解决问题，发散思维。
方法一：在等边△ABC中
∠A=∠B=60°
AB=BC
又∵AF=BD
∴AD=BE
∴△ADF≌△BED（SAS）
∴DF=ED
同理可证DF=EF
∴△DEF为等边△
方法二：在等边△ABC中
∠A=∠B=60°，AB=BC
又∵AF=BD ∴AD=BE
∴△ADF≌△BED（SAS）
∴DF=ED，∠ADF=∠BED
∠EDF=180°-（∠BDE+∠ADF）
=180°-（∠BDE+∠BED）
=60°
∴△DEF为等边△
例3：已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN=BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的论是否仍然成立（不要求证明）．
解析：全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（1）证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，
即：∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴AN=BM．
（2）证明：∵△CAN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB．
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE．
在△CAE和△CMF中
∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，
∴△CAE≌△CMF（ASA）．
∴CE=CF．
∴△CEF为等腰三角形．
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形．
（3）解：如右图，
∵△CMA和△NCB都为等边三角形，
∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，
∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，
∴△CMB≌△CAN，
∴AN=MB，
结论1成立，结论2不成立．
即时训练2：:图（1）中，C点为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；
如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM相等吗？说明理由；
如图（3）C点为线段AB外一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？
说明理
同步突破
A组
1．已知：如图，△ABD和△ACE均为等边三角形，且∠DAB=∠CAE=60°，那么△ADC≌△AEB的根据是（ ）
A． 边边边 B． 边角边 C． 角边角 D． 角角边
2．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
3．在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（ ）
A． 1 B． 4 C． 7 D． 10
4．如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC= 度．
5．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC的大小等于 度．
★★★6．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD= 度．
链接DC，△BCD≌△BPD
7.如图，已知DP分别是等边△ABC内、外一点，且DA=DB,AB=BP,∠DBP=∠DBC,则∠BPD的度数=
8．已知，如图，延长的各边，使得，
，顺次连接，得到为等边三角形．
求证：（1）；（2）为等边三角形．
9．含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α＜90°），再沿∠A的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，A′B′与AB相交于点E．
（1）求证：△ACM≌△A′CN；
（2）当∠α=30°时，找出ME与MB′的数量关系，并加以说明．
10．已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．
（1）求证：△AGE≌△DAB；
★★（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．
B组
1．如图，等边⊿ABC的边长为3，P为BC上一点，且∠APD=800在AC上取一点D，使AD=AP，则∠DPC的度数是（ ）
A.100 B.150 C.200 D.250
2．如图，在等边△ABC中，点O在AC上，且AO=3，CO=6，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 8
3．.若a,b,c为△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则⊿ABC是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
4.已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，
且A，E，D三点在一直线上。请你说明DA-DB=DC。
5．如图，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连结PB和PD得到△PBD。求：⑴当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长；
★★★⑵△PBD的周长的最小值。
★★★6．如图所示，△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和线段AD的长．
7．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 ．
§2.3直角三角形和勾股定理
§2.3.1 直角三角形的性质
知识目标：1、掌握直角三角形的基本性质
2、能用“斜中线性质”和“30°的锐角所对的直角边为斜边的一半”解决问题
例1：如果三角形的三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形的是（ ）
A．锐角三角形 B.直角三角形
C．钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角
解析：根据三角形内角和180度定理和三个内角的比值可以得出每个内角的相应度数。
答案：B
此题关键在于角的比例而不是边的比值。如是边的比值则三角形不存在。
即时练习：如果三角形的一个角等到于其他两个角的和，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B.直角三角形
C．钝角三角形 D.以上答案都不对
例2、如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。
解析：（1）因为AE是Rt△BAD斜边BD上中线，
由性质拓展可知：
∠AEC=2∠B。
又因为∠C=2∠B，
所以∠AEC=∠C。
（2）由（1）∠AEC=∠C，所以AE=AC，AE是Rt△BAD斜边上中线。由性质可得：
，所以，
故BD=2AC。
即时练习：2、四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点，F为BD的中点，求证；EF⊥BD
例题3：已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A=30°，求BC，CD和DE的长
解析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.在Rt△ADE中，有∠A=30°，则DE可求.
解：在Rt△ABC中
∵∠ACB=90 ∠A=30°∴
∵AB=8 ∴BC=4
∵D为AB中点，CD为中线
∴
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°
在Rt△ADE中，，
∴
即时练习3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交AB于D，交BC于E，BE＝7，求AC的长.
7/2
§2.3.2 等腰直角三角形
知识目标：掌握等腰直角三角形的性质
例4：轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ D ）海里．
A．25 B．25 C．50 D．25
解析：根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．
解答：解：根据题意，
∠1=∠2=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ABC=30°+60°=90°，
∴∠CBA=75°-30°=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵BC=50×0.5=25，
∴AC=BC=25（海里）．
故选D．
总结：本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．
§2.3.3 直角三角形的全等
知识目标：直角三角形的全等条件
例4：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE
求证：OB=OC.
解析：HL
欲证OB=OC可证明∠1=∠2，由已知发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE与△CBD全等即可
证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，则∠BEC=∠CDB=90°
∴在Rt△BCE与Rt△CBD中
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)
∴∠1=∠2，∴OB=OC
即时练习1 已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE
§2.3.4勾股定理
知识目标：1、掌握勾股定理的应用
2、使用勾股定理的前提条件
例5、如果的三边长满足关系式，则
=________，=________，=________，的形状是______________.
解析：题目中给出几个非负数的和为0，可以得到每一个非负数为0，由此可以三元一次方程组，得出a，b，c的值，进而判断的形状
答案：=24，=18，=30 的形状是直角三角形。
§2.3.5直角三角形的判定
知识目标：通过三边的数量关系来判断直角三角形
例6.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=.
(1) 求AD的长；
(2) △ABC是直角三角形吗？请说明理由.
解析：(1)在中，由勾股定理CD +BD = BC 可以得CD得长，
再由勾股定理AC =AD +CD 可以得AD得长.
(2) 由（1）可得AB的长，再由勾股定理验证是否有AB =CB +AC 。
解：（1）在Rt△DBC中，
CD = BC - BD = 144/25
∴AD =AC - CD =256/25
∴AD=16/5
∴AB=5
∴△ABC是直角三角形
同步突破
A组
1、如图1，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．
2．已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A、5 B、25 C、7 D、15
3、若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
4．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F
求证：CE=DF.
5．图，已知：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F.
求证：CF=2BF.
6．如图，已知∠B=90°; ∠E=90°AC=DF FB=EC 求证：AB=DE.
7．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，N为AC中点，求证：MN⊥AC．
B组
1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，E、F分别是AB、CD的中点。求证：。
2．已知：如图，△ACD是等边三角形，AE⊥CD于E，AB⊥AC，AC＝AB，AE、BD相交于O.
求证：BC=2OD.
3．架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？
4．已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．
（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；
（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
§2.4 反思与总结
本章节我们系统地学习了等腰，等边，直角三角形；我们希望能通过本堂课的学习为同学们理清思路，抓住核心的方法，下面做个小结：
等腰三角形，概念 ；
性质 ；
判定 ；
常用等量变换及方法 。
等边三角形，概念 ；
性质 ；
判定 ；
常用等量变换及方法 。
直角三角形，概念 ；
性质 ；
判定 ；
常用等量变换及方法 。
勾股定理 ；
勾股定理的逆定理 ；
常出现的题型 。
直角三角形的判定 。
题型总结
§2.5 章节成果检测
特殊三角形章节检测
一、选择题
1．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）
（A）顶角 （B）顶角的一半
（C）顶角的2倍 （D）底角的一半
2．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，DE⊥BC于E，若EC=2，则BE=（ ）
A、8 B、6 C、10 D、4
3．△ABC中，如果两条直角边分别为3，4，则斜边上的高线是（ ）
A、 B、 C、5 D、不能确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线.则∠1与∠2的关系是（ ）
A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定
5．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（ ）
A．45° B．75° C．45°或75° D．60°
6．下列说法正确的是（ ）
A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
7．在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（ ）
A、100° B、75° C、150° D、75°或100°
8．等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
9．如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过Ｆ作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（ ）.
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
10．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点的距离是（ ）
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，则∠B= 度，∠C= 度．
12．如图，在 INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image002.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image002.gif" \* MERGEFORMATINET 中， INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image004.gif" \* MERGEFORMATINET 平分 INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image006.gif" \* MERGEFORMATINET ，则D点到AB的距离为____．
INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image008.jpg" \* MERGEFORMATINET
13．如果等腰三角形的周长为25，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是2，则这个等腰三角形的底边长为 ．
14．如图， INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image021.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image021.gif" \* MERGEFORMATINET ，AB的垂直平分线交AC于D，则 INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image023.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image023.gif" \* MERGEFORMATINET ．
INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image025.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image025.jpg" \* MERGEFORMATINET
15．如图，已知是等边三角形，点是上任意一点，分别与两边垂直，等边三角形的高为，则的值为
16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以它的各边为边向外作三个等边三角形，面积分别为S1、S2、S3，已知S1=20、S3=100，则S2=__
三、解答题
17．上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向下北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
18．如图，已知：在 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image208.gif" \* MERGEFORMATINET 中， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image209.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image211.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image213.gif" \* MERGEFORMATINET ，求 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image215.gif" \* MERGEFORMATINET 的度数.
INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image217.jpg" \* MERGEFORMATINET
19．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.
20．如图，等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连结AE．
（1）△ACE≌△BCD
（2）AE∥BC．
21．已知在△ABC中，三边长，，满足等式，试判断该三角形是什么三角形，并加以证明．
22．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．
23、如图:在△ABC中，已知BD，CE分别是△ABC的AC，AB边上的高，F是DE的中点，G是BC的中点.请说明GF⊥DE的理由.
24．如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE。
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系 请证明你的结论；
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗 作出判断并说明理由。
特殊三角形讲义答案
§2.1.1 等腰三角形定义
即时练习：1、9
2、答案：解：①当3x-2是底边时，则腰长为：4x-3，6-2x
∵三角形为等腰三角形，∴4x-3=6-2x，∴x=1.5，∴4x-3=3，6-2x=3，∴等腰三角形的周长=3+3+2.5=8.5
②当4x-3是底边时，则腰长为：3x-2，6-2x
∵三角形为等腰三角形，∴3x-2=6-2x，∴x=1.6，∴3x-2=2.8，6-2x=2.8，∴4x-3=3.4，∴等腰三角形的周长=2.8+2.8+3.4=9
③当6-2x是底边时，则腰长为：3x-2，4x-3
∵三角形为等腰三角形，∴3x-2=4x-3，∴x=1，∴3x-2=1，4x-3=1，∵1=1，∴6-2x=4
∵1+1＜4，∴不能构成三角形
故答案为：8.5或9．
§2.1.2 等腰三角形的性质
即时练习：1答案：D
2答案：D
3、证明：由于AB=AC，BD=CD，AD=AD，所以△ABD≌△ACD（SSS）。
故∠BAD=∠CAD。AD平分∠BAC。
在等腰△ABC中，由“三线合一”知AD⊥BC，且AD平分BC。
4答案在△ABC中AB=AC，OB=OC，AO=AO，∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，∴BD=CD（等腰三角形三线合一）
§2.1.3 等腰三角形的判定
即时练习：1答案：△ABC的面积=AB×CE=AC×BD，
∵BD =CE，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
2、答案：（1）证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE．又
∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB=DC．
（2）解： △OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，∴△OEF为等腰三角形．
3、解：∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2，∠4=∠5，
∵OE∥AB，OF∥AC，
∴∠1=∠3，∠4=∠6，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴BE=OE，OF=FC，
∴BC=BE+EF+FC=OF+OE+EF，
∵BC=3，
∴OF+OE+EF=3
∴△OEF的周长=OF+OE+EF=3．
4、证明：延长AB，AE与CD的延长线分别相交于点F，G
∵∠ABC=∠AED，∠BCD=∠EDC
∴∠CBF=∠DEG，∠BCF=∠EDG
∵BC=DE
∴△BCF≌△DEG
∴∠CFB=∠DGE，CF=DG
∴△AFG是等腰三角形
∵M为CD中点，
∴CM=DM
∴FM=GM
∴AM⊥CD
同步突破
同步突破答案
1 16cm或17cm ，2 85°，3 40°，100°或70°，70°；20°，20°，4 50°或130°，5 A， 6 D， 7 B， 8 A， 9 D
10 解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．
故答案为：6．
11解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，∴BD=PD，CE=PE，∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．即△PDE的周长是5cm．
12解：设∠CDA=α，∵∠ADC=∠CAD，∴∠CAD=2α，而DA平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE=2α，而∠EAD=∠B+∠ADC，∴∠B=2α-α=α，又∵AC=BC，∴∠BAC=∠B=α
在△ABD中，∴∠B+∠CAB+∠CAD+∠ADC=180°，即α+α+2α+α=180°，∴α=36°．
故答案为36．
13 解：∵EF∥BC，∴∠FEC=∠DCE，因为EC平分∠DEF，∴∠FEC=∠DEC，∴∠DEC=∠DCE。∴DE=DC，∵AE=AC，AD=AD,∴△AED≌△ACD，所以∠EAD=∠CAD，∴AD⊥EC
14．解答：解：OE⊥AB．
证明：在△BAC和△ABD中，
，
∴△BAC≌△ABD．
∴∠OBA=∠OAB，
∴OA=OB．
又∵AE=BE，∴OE⊥AB．
答：OE⊥AB．
§2.2.1 等边三角形的概念
即时练习：
1、解析：根据等边三角形的三边相等，
如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x，则可依次求出等边三角形的边长，进而求出六边形周长为7x+9a，由图知最大的三角形的边长等出等边三角形的边长，进而求出六边形周长为7x+9a，由图知最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍，即x+3a=2x，求出x=3a．即可求六边形周长．
设它的边长为x，
则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，
所以六边形周长是，
2x+2（（x+a）+2（ x+2a）+（x+3a）=7x+9a，
而最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍，
即x+3a=2x，
故x=3a．
所以周长为7x+9a=30a．
§2.2.2 等边三角形的性质
即时练习1、A
2、解析：从等边三角形中可以想到三边相等三角相等，结合给出的中线会想到三线合一的性质
设∠CDE=x
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°
∵AD为中线
∴∠BAD=∠DAC=30°，∠ADC=90°
∵AD＝AE
∴∠ADE=∠AED=75°
∴∠EDC=15°
§2.2.3 等边三角形的判定
即时练习；1答案：1、根据旋转的性质，CO＝CD，角OCD＝60度，所以三角形COD为等边三角形
2、当X=150度时，角ADO也为150度，而角ODC＝60度，所以角ODA＝90度
三角形AOD为直角三角形
3、角AOC＝360-110-X＝250-X，角AOD＝角AOC-60＝190-X
角ADC＝角BOC＝X，所以，角ODA＝X-60
三角形为等腰三角形，当AO＝OD进，角AOD+2×角ODA＝180
即190-X+2×（X-60）＝180,解得X＝110度
当AO＝AD时，角AOD＝角ODA，即190-X＝X-60，解得X＝125度
当OD＝AD时，2×（190-X）+X-60＝180,解得X＝140
所以当X为110度、125度、140度时，三角形AOD是等腰三角形
2、解：（1）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，
又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．
（2）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC
又∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM．
（3）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，
又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM．
同步突破
A组
1、 B． 2、 D． 3、D 4、120° 5、30
6、30 7、30
8、证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量代换）．
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
同理可得∠BAC=60°．
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．
9、解析：本题利用了全等三角形的判定和性质，旋转和对折后得到的图形和原来的图形全等的知识．
（1）要证△ACM≌△A'CN，根据已知，只需证∠ACM=∠A′CN．
很明显都用90°减去∠BCB′就可以得到．再加上∠A=∠A′，AC=A′C，即可证三角形全等．
（2）根据题意可知，∠MCN=∠α=30°，则∠AMC=∠MCN+∠B=60°，那么∠EMB′=60°．
而∠B′=30°，显然在Rt△MB′E中，ME=MB′
（1）证明：∵∠A=∠A′，AC=A′C，∠ACM=∠A'CN=90°﹣∠MCN，
∴△ACM≌△A'CN．
（2）解：在Rt△ABC中
∵∠B=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°．
又∵∠α=30°，∴∠MCN=30°，
∴∠ACM=90°﹣∠MCN=60°．
∴∠EMB′=∠AMC=∠A=∠MCA=60°．
∵∠B′=∠B=30°，
所以三角形MEB′是Rt△MEB′，且∠B′=30°．
所以MB′=2ME．
10、（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，
∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，
∴△AGD是等边三角形，
AG=GD=AD，∠AGD=60°．
∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，
∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，
∴△AGE≌△DAB；
（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．
∵EF∥DB，DG∥BC，
∴四边形BFED是平行四边形．
∴EF=BD，
∴EF=AE．
∵∠DBC=∠DEF，
∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．
∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．
B组
1、C 2、C 3、C
4、证明:如图
在△ABE和△CBD中，角ABE=60°-∠EBC=∠CBD, AB=CB, EB=DB
所以：这两个三角形全等
所以：AE=DC, ∠BDC=∠AEB=120°
所以：∠ADC=∠ADB=60°,即AD垂直平分BC
所以:BD=DC=AE=DE=AD/2,
所以:AD-DB=DC
5、
1.P为AC中点时，△PDC为正三角形，△PBC为直角三角形
PB=√3·PC=√3·a/2
PD=a/2
△PBD周长L=PB+PD+BD=a+√3·a/2
2.作点B关于AC对称的点B'，连DB'交AC于P，此时PB+PD=B'D，有最小值
连AD，AB'
则AD⊥AB'
AD=√3·a/2，AB'=AB=a
B'D=√7·a/2
∴L=(√7+1)a/2
即△PBD周长的最小值为(√7+1)a/2
6、解：∵△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，
∴∠BAC+∠BDC=120°+60°=180°，
∴A，B，D，C四点共圆，
∴∠BAD=∠BCD=60°，∠ACD+∠ABD=180°，
又∵∠ABD=∠ECD，∴∠ACD+∠ECD=180°，
即∠ACE=180°即A、C、E共线，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ADB+∠ADC=∠CDE+∠ADC=∠BDC=∠ADE=60°，AD=ED，
故△ADE是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
AD=AE=AC+AB=3+2=5．
7、解析：求三角形的周长，边长类题目，常用的方法有转化，做加，做减，此类题
涉及到不定的因素，AM,AN,不定，故先转化为定值再计算
解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC
∴△BDF≌△CND
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．
§2.3.1 直角三角形的性质
即时练习；1答案：B
2、答案：连结DE、BE，
∠ABC=90度，∠ADC=90度，
△ABC是RT△，E是AC中点，
故BE是斜边AC上的中线，
BE=AC/2，
同理DE=AC/2，
故BE=DE，
三角形BED是等腰三角形，
而F是BD中点，
EF是BD边上的中线，
故也是BD边上的高，
∴EF⊥BD。
3、解析：
连接AE
∵DE垂直平分AB
∴BE=AE
∵∠ACB=15°
∴∠AEC=30°
∵∠C＝90°
∴
∵BE=7
∴AC=3.5
§2.3.2 等腰直角三角形
§2.3.3 直角三角形的全等
即时练习1分析：由已知可以得到△DBE与△BCE全等
即可证明DE=EC又BD=BC，可知B、E在线段CD的中垂线上，故CD⊥BE。
证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°
∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中
BD=BC
BE=BE
∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）
∴DE=EC又∵BD=BC
∴E、B在CD的垂直平分线上
即BE⊥CD.
§2.3.4勾股定理
同步突破
A组
1、答案：8
2、答案：C
3、答案：C
4、在Rt△ACB与Rt△ABD中
∴Rt△ACB≌Rt△BDF（HL）
∴∠CAB=∠DBA，AC=BD
∴在Rt△CAE与Rt△BDF中
∴△CAE≌△BDF（AAS）
∴CE=DF.
5、证明：
连接AF
BE=AE，角BEF=角AEF，EF=EF
所以AEF全等于BEF
BF=AF，角B=角FAE，AF=BF
因为角BAC=120
所以角B=30，角FAE=30 ，角C=30
角FAC=90
所以CF=2AF
因为AF=BF
所以FC=2BF
6、证明： ∵BF=EC
∴BC=EF
∵∠B=∠E=90°，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（HL），
∴AB=DE
7、考点：直角三角形斜边上的中线 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
解析：根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得到AM=CM，从而可推出△AMC为等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得到MN⊥AC．
解答：证明：连接CM，AM，
∵∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，
∴CM= BD=AM．
∴△AMC为等腰三角形．
∵N为AC中点，
∴MN⊥AC．
B组
1、作DM//BC，交AB于M，作DN//EF，交AB于N，
则四边形DCBM是平行四边形，四边形DFEN也是平行四边形，
BM=CD，NE=DF=CD/2，
MN=ME+NE=BE-BM+DF=AB/2-CD+CD/2=（AB-CD）/2，
AN=AE-NE=AB/2-DF=AB/2-CD/2=（AB-CD）/2，
∴AN=MN，
N是AM中点，
∵DM//CB，
∴《DMA=〈B，（同位角相等），
∵〈A+〈B=90°，
∴〈A+〈DMA=90°，
△DAM是RT△，
N是RT△DAM斜边的中点，
∴DN=AM/2=（AB-CD）/2，
∴EF=（AB-CD）/2。
2、
∵AB=AC
∴AB=AD
∵∠BAC=90° ∠CAD=60°
∴∠BAD=150°
∴∠ADB=∠ABD=15°
∴∠ODE=60°-∠ADB=45°
勾股定理
即OD=√2DE
BC=√2AB
∵AB=CD=2DE
∴BC=2OD
3、
解析：
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
（3）设这个相等的距离为x，根据勾股定理，列出方程，求解，得出x，则梯子距离地面的距离为（24-x）米．
解答：解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：
=24米；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为（24-4）=20米，
根据勾股定理：
25=，
解得
A'B=8米．
即下端滑行了8米．
（3）设梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等为x，
根据题意，
25=，
解得，
x=17米，
即梯子顶端距离地面的高度为（24-17）=7米．
答：（1）梯子距离地面的高度为24米；
（2）梯子的底端在水平方向滑动了8米；
（3）梯子顶端距离地面的高度为7米．
4、
（1）证明：连接AD
∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点
∴AD=BC/2=BD=CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=45°
在△BDE和△ADF中，
BD=AD
∠B=∠DAE=45°
BE=AF
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF
∵∠BDE+∠ADE=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形．
（2）解：四边形AEDF面积不变．
理由：由（1）可知：S△BDE=S△ADF
而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD
∴S四边形AEDF不会发生变化．
（3）解：仍为等腰直角三角形．
理由：∵△AFD≌△BED
∴DF=DE，∠ADF=∠BDE
∵∠ADF+∠FDB=90°
∴∠BDE+∠FDB=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形．
特殊三角形章节检测参考答案
一、选择题
1．B 2．B 3．B 4．B 5．C
6．D 7．D 8．A 9．A 10．C
二、填空题
11． 77，38.5
12．4
13．7或．
14．20°
15．1
16．80
三、解答题
17． 解：∵船的速度是20海里/时，从A到B所用的时间=11﹣8=3时，
∴AB=20×3=60（海里），
∵∠NAC=40°，∠NBC=80°=∠A+∠C，
∴∠C=40°，
∴BC=AB=60（海里）．804869
18．
【解析】
试题分析：由 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image209.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image211.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image213.gif" \* MERGEFORMATINET ，根据“等边对等角”得 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image334.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image336.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image338.gif" \* MERGEFORMATINET ，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和得到 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image340.gif" \* MERGEFORMATINET ，即得 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image342.gif" \* MERGEFORMATINET ，又 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image344.gif" \* MERGEFORMATINET ，根据三角形的内角和定理即可求得结果。
由条件易得 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image334.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image336.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image338.gif" \* MERGEFORMATINET ，
且 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image340.gif" \* MERGEFORMATINET
∴ INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image342.gif" \* MERGEFORMATINET ，又 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image344.gif" \* MERGEFORMATINET
∴ INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image346.gif" \* MERGEFORMATINET
∴ INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image348.gif" \* MERGEFORMATINET
19．
试题分析：已知∠BAC=120°，AB=AC，∠B=∠C=30°，可得AD⊥AC，有CD=2AD，AD=BD．即可得证．
在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠C=30°
∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°，
∴AD=DB，
∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD．
20．（1）∵△ABC与△EDC是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC．……3分
又∵∠BCD=∠ACB－∠ACD，∠ACE=∠DCE－∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE．…………………………………5分
∴△ACE≌△BCD．…………………………………6分
（2）∵ACE≌△BCD，
∴∠ABC=∠CAE=60°，……………………………7分
又∵∠ACB=60°，
∴∠CAE=∠ACB， …………………………………8分
∴ AE∥BC． …………………………………10分
21．解：△ABC是等边三角形．
理由：∵
∴a2+b2+c2+b2-2ab-2bc=0，
∴（a-b）2+（b-c）2=0，
∴a-b=0，，b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
22．证明：为等边三角形,
23．证明：连接GD、GE．
∵Rt△CBD中G为BC的中点，
∴GD= BC，
∵Rt△CBE中G为BC的中点，
∴GE= BC，
∴GD=GE，
∵F是DE的中点，
∴FG⊥DE．
24．解：（1）AF=BE．
证明：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60，
∴△AFC≌△BEC．
∴AF=BE．
（2）成立．理由：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°，
∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB，
即∠ACF=∠BCE．∴△AFC≌△BEC，
∴AF=BE．
A
C
D
E
B
M
A
C
D
E
B
M
A
B
E
D
C
A
B
C
D
O
第7题
A
B
C
D
E
A
B
C
D
P
A
A
C
B
D
A
A′
BA
A′
OA
16cm
cm
（第8题）
甲杯
E
G
F
D
C
B
A
封面 ..................................................1
特殊三角形
§2.1 等腰三角形......................................3
§2.2 等边三角形.....................................14
§2.3 直角三角形与勾股定理...........................25
§2.4 反思与总结.....................................33
§2.5 章节成果检测...................................
封底 .................................................34
八上第2章 特殊三角形
章节概述：特殊三角形式分三节内容，等腰三角形、等边三角形和直角三角形。本章主要知识点有等腰三角形的概念，性质：角相等，是轴对称图形，顶角的平分线所在的直线是它的对称轴，三线合一；等腰三角形的判定定理及应用。等边三角形的概念，三边相等；性质：三边相等，三角相等，每条边上三线合一。直角三角形的概念，有一个角是直角的三角形；性质，斜边上的中线是斜边的一半，30°所对的直角边等于斜边的一半；等腰直角三角形的概念；勾股定理；直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，两角互余；直角三角形的判定，HL。重要辅助线有，等腰三角形底边上的高，腰上的高及等边三角形的高线，直角三角形斜边上的中线，构造直角三角形。目标，能通过理解特殊三角形的性质，判定方法的证明过程和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，并加深对图形变换的认识. 进一步强化推理、判断、计算和作图．
§2.1 等腰三角形
§2.1.1 等腰三角形定义
知识目标：1、明确等腰三角形的含义
2、学会用等腰来解决问题
例1：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为18cm和21cm两部分，
则它的三边长为________________
解析：解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长
分两种情况讨论：当AB+AD=18，BC+DC=21或AB+AD=21，BC+DC=18，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为12，12，15或14，14，11．
解：设AD=x则，当2x+x=18时，x=6，即AB=AC=12，
∵周长是18+21=39，∴BC=15cm；
三边分别为：12、12、15 两边之和大于第三边。
当2x+x=21时，x=7，即AB=AC=14，
∵周长是18+21=39，∴BC=11cm，
三边分别为：14、14、11 两边之和大于第三边。
综上可知，答案为：12、12、15 或14、14、11
总结：此题是分类讨论题，题目中未明确给出对应的两部分，所以分成两种情况讨论。利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长，在此过程中，要考虑求出的三条边是否能构成三角形
即时练习：1.已知等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3cm，则它的腰长为______________
2. 有一个等腰三角形，三边是3x-2，4x-3，6-2x，求等腰三角形的周长。
总结：当题目中未明确给出腰时，需要进行分类讨论。
§2.1.2 等腰三角形的性质
知识目标：1、掌握等腰三角形的两个性质
2、学会用性质解决问题
例2：如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是（ B ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
解析：此题是“等边对等角”的性质的应用，通过给出的边相等找到角之间的关系，
利用三角形的内角和、外角性质与等腰三角形的“等边对等角”性质计算．
解答：解：由AB=AC、BD=BC得∠ABC=∠ACB、∠C=∠BDC，
在△ABC中，∠A=40°，∠C=∠ABC，
∴∠C=∠ABC=（180°﹣∠A）=（180°﹣40°）=70°；
在△ABD中，由∠BDC=∠A+∠ABD得
∠ABD=∠BDC﹣∠A=70°﹣40°=30度．
即时练习
1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是（ D ）
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ D ）
A．30° B．40° C．45° D．36°
例3：如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。
求证：BE=CE。
解析：证明两线段相等常用方法是证明两个三角形全等（即△ABE≌△ACE），但已知条件不足，可题目中给出等腰三角形还给出了中线，可以通过三线合一的性质得到AD是角平分线，凑足了全等条件，进而证全等
证明：∵在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AB=AC AD是∠BAC的平分线，即∠BAD=∠CAD
又∵AE=AE ∴△ABE≌△ACE（SAS）
∴BE=CE
即时练习：3、如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。
例4如图，点D和点E在BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE
解析：此题是证明两线段相等，可以通过等量减等量的方法来证明，关键在于是“谁减谁”可是BE-DE=CD-DE，也可以是其它的等量相减，这就需要添加辅助线，利用等腰三角形三线合一性质可以找出新的等量，如下证明过程。
证明：取BC中点F，连接AF
∵AB=AC
∴AF⊥BC(三线合一)
∵AD=AE,
∴DF=EF(三线合一)
∴BF-DF=CF-EF（等量减等量，差相等）
∴BD=CE
总结：证明两线段相等常用方法是证明两个三角形ABD与三角形ACE全等，当全等比较麻烦时可以考虑其它方法。
即时练习
4 .在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内的一点，且OB=OC，AO的延长线交BC于点D，证明：BD=CD
§2.1.3 等腰三角形的判定
知识目标：1、学会用等腰三角形的定义和判定定理来判断等腰三角形
2、能用等腰三角形的性质与判定解决问题
例5：已知：D、E为BC边上的点，AD=AE，BD=EC．求证：AB=AC．
解析：判断一个三角形是等腰三角形有两种方法，一是通过定义证明两边相等，二是通等腰三角形的判定定理来证明。此题是利用两边相等判定等腰三角形
证明：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=∠AEC，
在△ADB≌△AEC中，
AD=AE,∠ADB=∠AEC，BD=EC
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴AB=AC．
总结：通过给出的已知可以看出是用定义来证明三角形是等腰三角形，即证明两边相等，通常所用是三角形全等。
即时练习
在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD=CE，证明：△ABC是等腰三角形。
例6： 如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC的形状是________ 等腰三角形
．（直接写出结论，不需证明）
解析：此题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定方法等角对等边
由已知条件，结合公共边可以利用SSS判定△ABC≌△DCB，由三角形全等得角相等，可得OB=OC，所以△OBC是等腰三角形
解答：（1）证明：在△ABC和△DCB中,AB=DC,BC=CB,AC=BD
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
（2）解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠OBC=∠OCB．
∴OB=OC．
∴△OBC为等腰三角形．
故填等腰三角形．
即时练习：2如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
例7如图，△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，经过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（ A ）
A．9 B.8 C.7 D. 6
解析：本题主要利用两直线平行，内错角相等，角平分线的定义以及三角形中等角对等边的判定进行做题．
解答：解：∵∠B和∠C的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠BCF=∠ECF；
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC=∠FBD，∠EFC=∠FCB=∠ECF，
∴DF=DB，EF=EC，
即DE=DF+FE=DB+EC=9．
故选A．
即时练习：3、如图，已知BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线BO和CO相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，求△OEF的周长。
例8：如图，AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，M为CD中点，
求证：AM⊥CD
解析：要证明AM⊥CD，可以想到90度，但无法证明，但题目中给出了中点，可以想到三线合一可以证明垂直，问题转化为找等腰三角形（即△ACD是等腰三角形）
证明：连结AC，AD
∵AB=AE，∠ABC=∠AED ，BC=DE
∴△ABC≌△ADE
∴AC=AD，
∵M为CD中点，
∴AM⊥CD
即时练习：4、如图，∠BCD=∠EDC，BC=DE，∠ABC=∠AED，M为CD中点，
求证：AM⊥CD
总结：当图形内部作辅助线无法达到要求时，可以考虑在外部作辅助线。
同步突破
A组
1、已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，则它的周长为_____________
2、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠GEF=_________
3、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 ____________ 140°呢______________
4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为___________
5、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）
A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半
6、在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（ ）
A、100° B、75° C、150° D、75°或100°
7、在△ABC中，AB=AC，下列推理中错误的是……………………（ ）。
A、如果AD是中线，那么AD⊥BC，∠BAD=∠DAC
B、如果BD是高，那么BD是角平分线
C、如果AD是高，那么∠BAD=∠DAC、BD=DC
D、如果AD是角平分线，那么AD也是BC边的垂直平分线
8、三角形的三边长满足式子，那么这个三角形是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角边三角形 D、以上都不对
9、如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（3）（4）
B组
10、 如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（ ）
A 3 B 4 C 6 D 7
11、 如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长．
12、 如图，在△ABC中，AC=BC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，若∠ADC=∠CAD，则∠ABC=_________
13、 如图所示，已知AE=AC，EF∥BC，EC平分∠DEF，求证：AD⊥EC
13、如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．
§2.2 等边三角形
§2.2.1 等边三角形的概念
知识目标：1、掌握等边三角形的概念
例1：如图，△ABC,△ADE及△EFG都是等边三角形，D,G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是
解析：此类题型重在考查等边三角形三边相等的概念，利用等量代换可求出DE=AD=CD=AB，EF=GF=GA=AD。
解∵△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，
D和G分别为AC和AE的中点，DE=AD=CD=AB=2，
EF=GF=GA=AD=1。
∴图形ABCDEFG外围的周长是AB+CD+BC+DE+EF+GF+AG=4+2+4+2+1+1+1=15
故答案为15．
即时练习：如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 30a ．
§2.2.2 等边三角形的性质
知识目标：1、掌握等边三角形的三个性质
2、用等边三角形解决问题
例1：如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（ B ）
A．45° B．60° C．55° D．75°
解析：从题目已知入手，利用了等边三角形的性质：三边相等，三角等于60°，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
本题等边△ABC中，有
∠ABC=∠C=60°，AB=BC，BD=CE
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°．
故选B．
即时练习：
△ABC是等边三角形，AD是角平分线，以AD为边再画等边△ADE，DE交AB于点F，则有结论：①AD⊥BC；②EF=FD；③BE=BD。其中正确结论的个数为（ A ）
A.3 B.2 C.1 D.0
例2：一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（ C ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
解析：看到高线是中线可以想到等边三角形的三线合一根据等腰三角形的三线合一的性质，可得三边相等，则对这个三角形最准确的判断是正三角形．
故选C．
即时练习
1如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，求∠EDC的度数。
15°
§2.2.3 等边三角形的判定
知识目标：能根据给出的条件来判断等边三角形
例1，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ B ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
解析：等边三角形的判定与性质；方向角
由题意得∠ABC=60°，AB=BC
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=40海里．
故选B．
即时练习：1如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；直角三角形
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？
110°，125°，140°
例2．如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，则△DEF也是等边△，请说明理由
解析：三边相等的三角形是等边三角形，
或一个角为60°的等腰三角形，
注：在几何题中，注意不同的方法解决问题，发散思维。
方法一：在等边△ABC中
∠A=∠B=60°
AB=BC
又∵AF=BD
∴AD=BE
∴△ADF≌△BED（SAS）
∴DF=ED
同理可证DF=EF
∴△DEF为等边△
方法二：在等边△ABC中
∠A=∠B=60°，AB=BC
又∵AF=BD ∴AD=BE
∴△ADF≌△BED（SAS）
∴DF=ED，∠ADF=∠BED
∠EDF=180°-（∠BDE+∠ADF）
=180°-（∠BDE+∠BED）
=60°
∴△DEF为等边△
例3：已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN=BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的论是否仍然成立（不要求证明）．
解析：全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
（1）证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，
即：∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴AN=BM．
（2）证明：∵△CAN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB．
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE．
在△CAE和△CMF中
∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，
∴△CAE≌△CMF（ASA）．
∴CE=CF．
∴△CEF为等腰三角形．
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形．
（3）解：如右图，
∵△CMA和△NCB都为等边三角形，
∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，
∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，
∴△CMB≌△CAN，
∴AN=MB，
结论1成立，结论2不成立．
即时训练2：:图（1）中，C点为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；
如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM相等吗？说明理由；
如图（3）C点为线段AB外一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？
说明理
同步突破
A组
1．已知：如图，△ABD和△ACE均为等边三角形，且∠DAB=∠CAE=60°，那么△ADC≌△AEB的根据是（ ）
A． 边边边 B． 边角边 C． 角边角 D． 角角边
2．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
3．在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（ ）
A． 1 B． 4 C． 7 D． 10
4．如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC= 度．
5．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠ABC的大小等于 度．
★★★6．如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD= 度．
链接DC，△BCD≌△BPD
7.如图，已知DP分别是等边△ABC内、外一点，且DA=DB,AB=BP,∠DBP=∠DBC,则∠BPD的度数=
8．已知，如图，延长的各边，使得，
，顺次连接，得到为等边三角形．
求证：（1）；（2）为等边三角形．
9．含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α＜90°），再沿∠A的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，A′B′与AB相交于点E．
（1）求证：△ACM≌△A′CN；
（2）当∠α=30°时，找出ME与MB′的数量关系，并加以说明．
10．已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．
（1）求证：△AGE≌△DAB；
★★（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．
B组
1．如图，等边⊿ABC的边长为3，P为BC上一点，且∠APD=800在AC上取一点D，使AD=AP，则∠DPC的度数是（ ）
A.100 B.150 C.200 D.250
2．如图，在等边△ABC中，点O在AC上，且AO=3，CO=6，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 8
3．.若a,b,c为△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则⊿ABC是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
4.已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，
且A，E，D三点在一直线上。请你说明DA-DB=DC。
5．如图，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连结PB和PD得到△PBD。求：⑴当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长；
★★★⑵△PBD的周长的最小值。
★★★6．如图所示，△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和线段AD的长．
7．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 ．
§2.3直角三角形和勾股定理
§2.3.1 直角三角形的性质
知识目标：1、掌握直角三角形的基本性质
2、能用“斜中线性质”和“30°的锐角所对的直角边为斜边的一半”解决问题
例1：如果三角形的三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形的是（ ）
A．锐角三角形 B.直角三角形
C．钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角
解析：根据三角形内角和180度定理和三个内角的比值可以得出每个内角的相应度数。
答案：B
此题关键在于角的比例而不是边的比值。如是边的比值则三角形不存在。
即时练习：如果三角形的一个角等到于其他两个角的和，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B.直角三角形
C．钝角三角形 D.以上答案都不对
例2、如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。
解析：（1）因为AE是Rt△BAD斜边BD上中线，
由性质拓展可知：
∠AEC=2∠B。
又因为∠C=2∠B，
所以∠AEC=∠C。
（2）由（1）∠AEC=∠C，所以AE=AC，AE是Rt△BAD斜边上中线。由性质可得：
，所以，
故BD=2AC。
即时练习：2、四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点，F为BD的中点，求证；EF⊥BD
例题3：已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A=30°，求BC，CD和DE的长
解析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.在Rt△ADE中，有∠A=30°，则DE可求.
解：在Rt△ABC中
∵∠ACB=90 ∠A=30°∴
∵AB=8 ∴BC=4
∵D为AB中点，CD为中线
∴
∵DE⊥AC，∴∠AED=90°
在Rt△ADE中，，
∴
即时练习3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交AB于D，交BC于E，BE＝7，求AC的长.
7/2
§2.3.2 等腰直角三角形
知识目标：掌握等腰直角三角形的性质
例4：轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ D ）海里．
A．25 B．25 C．50 D．25
解析：根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答．
解答：解：根据题意，
∠1=∠2=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠ABC=30°+60°=90°，
∴∠CBA=75°-30°=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵BC=50×0.5=25，
∴AC=BC=25（海里）．
故选D．
总结：本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．
§2.3.3 直角三角形的全等
知识目标：直角三角形的全等条件
例4：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE
求证：OB=OC.
解析：HL
欲证OB=OC可证明∠1=∠2，由已知发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE与△CBD全等即可
证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，则∠BEC=∠CDB=90°
∴在Rt△BCE与Rt△CBD中
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)
∴∠1=∠2，∴OB=OC
即时练习1 已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE
§2.3.4勾股定理
知识目标：1、掌握勾股定理的应用
2、使用勾股定理的前提条件
例5、如果的三边长满足关系式，则
=________，=________，=________，的形状是______________.
解析：题目中给出几个非负数的和为0，可以得到每一个非负数为0，由此可以三元一次方程组，得出a，b，c的值，进而判断的形状
答案：=24，=18，=30 的形状是直角三角形。
§2.3.5直角三角形的判定
知识目标：通过三边的数量关系来判断直角三角形
例6.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=.
(1) 求AD的长；
(2) △ABC是直角三角形吗？请说明理由.
解析：(1)在中，由勾股定理CD +BD = BC 可以得CD得长，
再由勾股定理AC =AD +CD 可以得AD得长.
(2) 由（1）可得AB的长，再由勾股定理验证是否有AB =CB +AC 。
解：（1）在Rt△DBC中，
CD = BC - BD = 144/25
∴AD =AC - CD =256/25
∴AD=16/5
∴AB=5
∴△ABC是直角三角形
同步突破
A组
1、如图1，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．
2．已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A、5 B、25 C、7 D、15
3、若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
4．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F
求证：CE=DF.
5．图，已知：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F.
求证：CF=2BF.
6．如图，已知∠B=90°; ∠E=90°AC=DF FB=EC 求证：AB=DE.
7．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，N为AC中点，求证：MN⊥AC．
B组
1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，E、F分别是AB、CD的中点。求证：。
2．已知：如图，△ACD是等边三角形，AE⊥CD于E，AB⊥AC，AC＝AB，AE、BD相交于O.
求证：BC=2OD.
3．架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？
4．已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．
（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；
（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
§2.4 反思与总结
本章节我们系统地学习了等腰，等边，直角三角形；我们希望能通过本堂课的学习为同学们理清思路，抓住核心的方法，下面做个小结：
等腰三角形，概念 ；
性质 ；
判定 ；
常用等量变换及方法 。
等边三角形，概念 ；
性质 ；
判定 ；
常用等量变换及方法 。
直角三角形，概念 ；
性质 ；
判定 ；
常用等量变换及方法 。
勾股定理 ；
勾股定理的逆定理 ；
常出现的题型 。
直角三角形的判定 。
题型总结
§2.5 章节成果检测
特殊三角形章节检测
一、选择题
1．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）
（A）顶角 （B）顶角的一半
（C）顶角的2倍 （D）底角的一半
2．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，DE⊥BC于E，若EC=2，则BE=（ ）
A、8 B、6 C、10 D、4
3．△ABC中，如果两条直角边分别为3，4，则斜边上的高线是（ ）
A、 B、 C、5 D、不能确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线.则∠1与∠2的关系是（ ）
A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定
5．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（ ）
A．45° B．75° C．45°或75° D．60°
6．下列说法正确的是（ ）
A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
7．在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（ ）
A、100° B、75° C、150° D、75°或100°
8．等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
9．如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过Ｆ作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（ ）.
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
10．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点的距离是（ ）
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，则∠B= 度，∠C= 度．
12．如图，在 INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image002.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image002.gif" \* MERGEFORMATINET 中， INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image004.gif" \* MERGEFORMATINET 平分 INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image006.gif" \* MERGEFORMATINET ，则D点到AB的距离为____．
INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image008.jpg" \* MERGEFORMATINET
13．如果等腰三角形的周长为25，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是2，则这个等腰三角形的底边长为 ．
14．如图， INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image021.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image021.gif" \* MERGEFORMATINET ，AB的垂直平分线交AC于D，则 INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image023.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image023.gif" \* MERGEFORMATINET ．
INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image025.jpg" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www./webapp/resource/czpd/kczy/05-06xia/sx/1/16/kebiao/bsd/2/xtjx2/image025.jpg" \* MERGEFORMATINET
15．如图，已知是等边三角形，点是上任意一点，分别与两边垂直，等边三角形的高为，则的值为
16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以它的各边为边向外作三个等边三角形，面积分别为S1、S2、S3，已知S1=20、S3=100，则S2=__
三、解答题
17．上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向下北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
18．如图，已知：在 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image208.gif" \* MERGEFORMATINET 中， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image209.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image211.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image213.gif" \* MERGEFORMATINET ，求 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image215.gif" \* MERGEFORMATINET 的度数.
INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image217.jpg" \* MERGEFORMATINET
19．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.
20．如图，等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连结AE．
（1）△ACE≌△BCD
（2）AE∥BC．
21．已知在△ABC中，三边长，，满足等式，试判断该三角形是什么三角形，并加以证明．
22．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．
23、如图:在△ABC中，已知BD，CE分别是△ABC的AC，AB边上的高，F是DE的中点，G是BC的中点.请说明GF⊥DE的理由.
24．如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE。
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系 请证明你的结论；
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗 作出判断并说明理由。
特殊三角形讲义答案
§2.1.1 等腰三角形定义
即时练习：1、9
2、答案：解：①当3x-2是底边时，则腰长为：4x-3，6-2x
∵三角形为等腰三角形，∴4x-3=6-2x，∴x=1.5，∴4x-3=3，6-2x=3，∴等腰三角形的周长=3+3+2.5=8.5
②当4x-3是底边时，则腰长为：3x-2，6-2x
∵三角形为等腰三角形，∴3x-2=6-2x，∴x=1.6，∴3x-2=2.8，6-2x=2.8，∴4x-3=3.4，∴等腰三角形的周长=2.8+2.8+3.4=9
③当6-2x是底边时，则腰长为：3x-2，4x-3
∵三角形为等腰三角形，∴3x-2=4x-3，∴x=1，∴3x-2=1，4x-3=1，∵1=1，∴6-2x=4
∵1+1＜4，∴不能构成三角形
故答案为：8.5或9．
§2.1.2 等腰三角形的性质
即时练习：1答案：D
2答案：D
3、证明：由于AB=AC，BD=CD，AD=AD，所以△ABD≌△ACD（SSS）。
故∠BAD=∠CAD。AD平分∠BAC。
在等腰△ABC中，由“三线合一”知AD⊥BC，且AD平分BC。
4答案在△ABC中AB=AC，OB=OC，AO=AO，∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，∴BD=CD（等腰三角形三线合一）
§2.1.3 等腰三角形的判定
即时练习：1答案：△ABC的面积=AB×CE=AC×BD，
∵BD =CE，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
2、答案：（1）证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE．又
∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB=DC．
（2）解： △OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，∴△OEF为等腰三角形．
3、解：∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2，∠4=∠5，
∵OE∥AB，OF∥AC，
∴∠1=∠3，∠4=∠6，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴BE=OE，OF=FC，
∴BC=BE+EF+FC=OF+OE+EF，
∵BC=3，
∴OF+OE+EF=3
∴△OEF的周长=OF+OE+EF=3．
4、证明：延长AB，AE与CD的延长线分别相交于点F，G
∵∠ABC=∠AED，∠BCD=∠EDC
∴∠CBF=∠DEG，∠BCF=∠EDG
∵BC=DE
∴△BCF≌△DEG
∴∠CFB=∠DGE，CF=DG
∴△AFG是等腰三角形
∵M为CD中点，
∴CM=DM
∴FM=GM
∴AM⊥CD
同步突破
同步突破答案
1 16cm或17cm ，2 85°，3 40°，100°或70°，70°；20°，20°，4 50°或130°，5 A， 6 D， 7 B， 8 A， 9 D
10 解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．
故答案为：6．
11解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，∴BD=PD，CE=PE，∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．即△PDE的周长是5cm．
12解：设∠CDA=α，∵∠ADC=∠CAD，∴∠CAD=2α，而DA平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE=2α，而∠EAD=∠B+∠ADC，∴∠B=2α-α=α，又∵AC=BC，∴∠BAC=∠B=α
在△ABD中，∴∠B+∠CAB+∠CAD+∠ADC=180°，即α+α+2α+α=180°，∴α=36°．
故答案为36．
13 解：∵EF∥BC，∴∠FEC=∠DCE，因为EC平分∠DEF，∴∠FEC=∠DEC，∴∠DEC=∠DCE。∴DE=DC，∵AE=AC，AD=AD,∴△AED≌△ACD，所以∠EAD=∠CAD，∴AD⊥EC
14．解答：解：OE⊥AB．
证明：在△BAC和△ABD中，
，
∴△BAC≌△ABD．
∴∠OBA=∠OAB，
∴OA=OB．
又∵AE=BE，∴OE⊥AB．
答：OE⊥AB．
§2.2.1 等边三角形的概念
即时练习：
1、解析：根据等边三角形的三边相等，
如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x，则可依次求出等边三角形的边长，进而求出六边形周长为7x+9a，由图知最大的三角形的边长等出等边三角形的边长，进而求出六边形周长为7x+9a，由图知最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍，即x+3a=2x，求出x=3a．即可求六边形周长．
设它的边长为x，
则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，
所以六边形周长是，
2x+2（（x+a）+2（ x+2a）+（x+3a）=7x+9a，
而最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍，
即x+3a=2x，
故x=3a．
所以周长为7x+9a=30a．
§2.2.2 等边三角形的性质
即时练习1、A
2、解析：从等边三角形中可以想到三边相等三角相等，结合给出的中线会想到三线合一的性质
设∠CDE=x
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°
∵AD为中线
∴∠BAD=∠DAC=30°，∠ADC=90°
∵AD＝AE
∴∠ADE=∠AED=75°
∴∠EDC=15°
§2.2.3 等边三角形的判定
即时练习；1答案：1、根据旋转的性质，CO＝CD，角OCD＝60度，所以三角形COD为等边三角形
2、当X=150度时，角ADO也为150度，而角ODC＝60度，所以角ODA＝90度
三角形AOD为直角三角形
3、角AOC＝360-110-X＝250-X，角AOD＝角AOC-60＝190-X
角ADC＝角BOC＝X，所以，角ODA＝X-60
三角形为等腰三角形，当AO＝OD进，角AOD+2×角ODA＝180
即190-X+2×（X-60）＝180,解得X＝110度
当AO＝AD时，角AOD＝角ODA，即190-X＝X-60，解得X＝125度
当OD＝AD时，2×（190-X）+X-60＝180,解得X＝140
所以当X为110度、125度、140度时，三角形AOD是等腰三角形
2、解：（1）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，
又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．
（2）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC
又∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM．
（3）相等．
证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，
又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM．
同步突破
A组
1、 B． 2、 D． 3、D 4、120° 5、30
6、30 7、30
8、证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量代换）．
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）．
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）．
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
同理可得∠BAC=60°．
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．
9、解析：本题利用了全等三角形的判定和性质，旋转和对折后得到的图形和原来的图形全等的知识．
（1）要证△ACM≌△A'CN，根据已知，只需证∠ACM=∠A′CN．
很明显都用90°减去∠BCB′就可以得到．再加上∠A=∠A′，AC=A′C，即可证三角形全等．
（2）根据题意可知，∠MCN=∠α=30°，则∠AMC=∠MCN+∠B=60°，那么∠EMB′=60°．
而∠B′=30°，显然在Rt△MB′E中，ME=MB′
（1）证明：∵∠A=∠A′，AC=A′C，∠ACM=∠A'CN=90°﹣∠MCN，
∴△ACM≌△A'CN．
（2）解：在Rt△ABC中
∵∠B=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°．
又∵∠α=30°，∴∠MCN=30°，
∴∠ACM=90°﹣∠MCN=60°．
∴∠EMB′=∠AMC=∠A=∠MCA=60°．
∵∠B′=∠B=30°，
所以三角形MEB′是Rt△MEB′，且∠B′=30°．
所以MB′=2ME．
10、（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，
∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，
∴△AGD是等边三角形，
AG=GD=AD，∠AGD=60°．
∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，
∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，
∴△AGE≌△DAB；
（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．
∵EF∥DB，DG∥BC，
∴四边形BFED是平行四边形．
∴EF=BD，
∴EF=AE．
∵∠DBC=∠DEF，
∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．
∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．
B组
1、C 2、C 3、C
4、证明:如图
在△ABE和△CBD中，角ABE=60°-∠EBC=∠CBD, AB=CB, EB=DB
所以：这两个三角形全等
所以：AE=DC, ∠BDC=∠AEB=120°
所以：∠ADC=∠ADB=60°,即AD垂直平分BC
所以:BD=DC=AE=DE=AD/2,
所以:AD-DB=DC
5、
1.P为AC中点时，△PDC为正三角形，△PBC为直角三角形
PB=√3·PC=√3·a/2
PD=a/2
△PBD周长L=PB+PD+BD=a+√3·a/2
2.作点B关于AC对称的点B'，连DB'交AC于P，此时PB+PD=B'D，有最小值
连AD，AB'
则AD⊥AB'
AD=√3·a/2，AB'=AB=a
B'D=√7·a/2
∴L=(√7+1)a/2
即△PBD周长的最小值为(√7+1)a/2
6、解：∵△ABC的∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，
∴∠BAC+∠BDC=120°+60°=180°，
∴A，B，D，C四点共圆，
∴∠BAD=∠BCD=60°，∠ACD+∠ABD=180°，
又∵∠ABD=∠ECD，∴∠ACD+∠ECD=180°，
即∠ACE=180°即A、C、E共线，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ADB+∠ADC=∠CDE+∠ADC=∠BDC=∠ADE=60°，AD=ED，
故△ADE是等边三角形，
∴∠BAD=60°，
AD=AE=AC+AB=3+2=5．
7、解析：求三角形的周长，边长类题目，常用的方法有转化，做加，做减，此类题
涉及到不定的因素，AM,AN,不定，故先转化为定值再计算
解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC
∴△BDF≌△CND
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．
§2.3.1 直角三角形的性质
即时练习；1答案：B
2、答案：连结DE、BE，
∠ABC=90度，∠ADC=90度，
△ABC是RT△，E是AC中点，
故BE是斜边AC上的中线，
BE=AC/2，
同理DE=AC/2，
故BE=DE，
三角形BED是等腰三角形，
而F是BD中点，
EF是BD边上的中线，
故也是BD边上的高，
∴EF⊥BD。
3、解析：
连接AE
∵DE垂直平分AB
∴BE=AE
∵∠ACB=15°
∴∠AEC=30°
∵∠C＝90°
∴
∵BE=7
∴AC=3.5
§2.3.2 等腰直角三角形
§2.3.3 直角三角形的全等
即时练习1分析：由已知可以得到△DBE与△BCE全等
即可证明DE=EC又BD=BC，可知B、E在线段CD的中垂线上，故CD⊥BE。
证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°
∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中
BD=BC
BE=BE
∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）
∴DE=EC又∵BD=BC
∴E、B在CD的垂直平分线上
即BE⊥CD.
§2.3.4勾股定理
同步突破
A组
1、答案：8
2、答案：C
3、答案：C
4、在Rt△ACB与Rt△ABD中
∴Rt△ACB≌Rt△BDF（HL）
∴∠CAB=∠DBA，AC=BD
∴在Rt△CAE与Rt△BDF中
∴△CAE≌△BDF（AAS）
∴CE=DF.
5、证明：
连接AF
BE=AE，角BEF=角AEF，EF=EF
所以AEF全等于BEF
BF=AF，角B=角FAE，AF=BF
因为角BAC=120
所以角B=30，角FAE=30 ，角C=30
角FAC=90
所以CF=2AF
因为AF=BF
所以FC=2BF
6、证明： ∵BF=EC
∴BC=EF
∵∠B=∠E=90°，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（HL），
∴AB=DE
7、考点：直角三角形斜边上的中线 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
解析：根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得到AM=CM，从而可推出△AMC为等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得到MN⊥AC．
解答：证明：连接CM，AM，
∵∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，
∴CM= BD=AM．
∴△AMC为等腰三角形．
∵N为AC中点，
∴MN⊥AC．
B组
1、作DM//BC，交AB于M，作DN//EF，交AB于N，
则四边形DCBM是平行四边形，四边形DFEN也是平行四边形，
BM=CD，NE=DF=CD/2，
MN=ME+NE=BE-BM+DF=AB/2-CD+CD/2=（AB-CD）/2，
AN=AE-NE=AB/2-DF=AB/2-CD/2=（AB-CD）/2，
∴AN=MN，
N是AM中点，
∵DM//CB，
∴《DMA=〈B，（同位角相等），
∵〈A+〈B=90°，
∴〈A+〈DMA=90°，
△DAM是RT△，
N是RT△DAM斜边的中点，
∴DN=AM/2=（AB-CD）/2，
∴EF=（AB-CD）/2。
2、
∵AB=AC
∴AB=AD
∵∠BAC=90° ∠CAD=60°
∴∠BAD=150°
∴∠ADB=∠ABD=15°
∴∠ODE=60°-∠ADB=45°
勾股定理
即OD=√2DE
BC=√2AB
∵AB=CD=2DE
∴BC=2OD
3、
解析：
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
（3）设这个相等的距离为x，根据勾股定理，列出方程，求解，得出x，则梯子距离地面的距离为（24-x）米．
解答：解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：
=24米；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为（24-4）=20米，
根据勾股定理：
25=，
解得
A'B=8米．
即下端滑行了8米．
（3）设梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等为x，
根据题意，
25=，
解得，
x=17米，
即梯子顶端距离地面的高度为（24-17）=7米．
答：（1）梯子距离地面的高度为24米；
（2）梯子的底端在水平方向滑动了8米；
（3）梯子顶端距离地面的高度为7米．
4、
（1）证明：连接AD
∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点
∴AD=BC/2=BD=CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=45°
在△BDE和△ADF中，
BD=AD
∠B=∠DAE=45°
BE=AF
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF
∵∠BDE+∠ADE=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形．
（2）解：四边形AEDF面积不变．
理由：由（1）可知：S△BDE=S△ADF
而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD
∴S四边形AEDF不会发生变化．
（3）解：仍为等腰直角三角形．
理由：∵△AFD≌△BED
∴DF=DE，∠ADF=∠BDE
∵∠ADF+∠FDB=90°
∴∠BDE+∠FDB=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形．
特殊三角形章节检测参考答案
一、选择题
1．B 2．B 3．B 4．B 5．C
6．D 7．D 8．A 9．A 10．C
二、填空题
11． 77，38.5
12．4
13．7或．
14．20°
15．1
16．80
三、解答题
17． 解：∵船的速度是20海里/时，从A到B所用的时间=11﹣8=3时，
∴AB=20×3=60（海里），
∵∠NAC=40°，∠NBC=80°=∠A+∠C，
∴∠C=40°，
∴BC=AB=60（海里）．804869
18．
【解析】
试题分析：由 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image209.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image211.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image213.gif" \* MERGEFORMATINET ，根据“等边对等角”得 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image334.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image336.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image338.gif" \* MERGEFORMATINET ，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和得到 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image340.gif" \* MERGEFORMATINET ，即得 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image342.gif" \* MERGEFORMATINET ，又 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image344.gif" \* MERGEFORMATINET ，根据三角形的内角和定理即可求得结果。
由条件易得 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image334.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image336.gif" \* MERGEFORMATINET ， INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image338.gif" \* MERGEFORMATINET ，
且 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image340.gif" \* MERGEFORMATINET
∴ INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image342.gif" \* MERGEFORMATINET ，又 INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image344.gif" \* MERGEFORMATINET
∴ INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image346.gif" \* MERGEFORMATINET
∴ INCLUDEPICTURE "http://www.yx.e21.:8080/chuzhongziyuan/jxzy/shuxue/c2/sx14/01/xtjx/image348.gif" \* MERGEFORMATINET
19．
试题分析：已知∠BAC=120°，AB=AC，∠B=∠C=30°，可得AD⊥AC，有CD=2AD，AD=BD．即可得证．
在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠C=30°
∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°，
∴AD=DB，
∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD．
20．（1）∵△ABC与△EDC是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC．……3分
又∵∠BCD=∠ACB－∠ACD，∠ACE=∠DCE－∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE．…………………………………5分
∴△ACE≌△BCD．…………………………………6分
（2）∵ACE≌△BCD，
∴∠ABC=∠CAE=60°，……………………………7分
又∵∠ACB=60°，
∴∠CAE=∠ACB， …………………………………8分
∴ AE∥BC． …………………………………10分
21．解：△ABC是等边三角形．
理由：∵
∴a2+b2+c2+b2-2ab-2bc=0，
∴（a-b）2+（b-c）2=0，
∴a-b=0，，b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
22．证明：为等边三角形,
23．证明：连接GD、GE．
∵Rt△CBD中G为BC的中点，
∴GD= BC，
∵Rt△CBE中G为BC的中点，
∴GE= BC，
∴GD=GE，
∵F是DE的中点，
∴FG⊥DE．
24．解：（1）AF=BE．
证明：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60，
∴△AFC≌△BEC．
∴AF=BE．
（2）成立．理由：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°，
∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB，
即∠ACF=∠BCE．∴△AFC≌△BEC，
∴AF=BE．
A
C
D
E
B
M
A
C
D
E
B
M
A
B
E
D
C
A
B
C
D
O
第7题
A
B
C
D
E
A
B
C
D
P
A
A
C
B
D
A
A′
BA
A′
OA
16cm
cm
（第8题）
甲杯
E
G
F
D
C
B
A
同课章节目录
- 第1章 三角形的初步知识
- 1.1 认识三角形
- 1.2 定义与命题
- 1.3 证明
- 1.4 全等三角形
- 1.5 三角形全等的判定
- 1.6 尺规作图
- 第2章 特殊三角形
- 2.1 图形的轴对称
- 2.2 等腰三角形
- 2.3 等腰三角形的性质定理
- 2.4 等腰三角形的判定定理
- 2.5 逆命题和逆定理
- 2.6 直角三角形
- 2.7 探索勾股定理
- 2.8 直角三角形全等的判定
- 第3章 一元一次不等式
- 3.1 认识不等式
- 3.2 不等式的基本性质
- 3.3 一元一次不等式
- 3.4 一元一次不等式组
- 第4章 图形与坐标
- 4.1 探索确定位置的方法
- 4.2 平面直角坐标系
- 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移
- 第5章 一次函数
- 5.1 常量与变量
- 5.2 函数
- 5.3 一次函数
- 5.4 一次函数的图象
- 5.5 一次函数的简单应用