直线与圆、圆与圆的位置关系
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九下第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系
章节概述：直线与圆、圆与圆的位置关系，是初中几何类题型中较难的部分，许多同学在学习这部分内容时，较容易忽略最基本的定义、性质，拿到题目仍感无从下手。本节课，老师将带领同学们一起系统地全面地梳理直线与圆、圆与圆的位置关系的内容，使同学们能够清晰地理解知识要点、掌握解题思路与步骤，全面突破直线与圆、圆与圆的位置关系！
§3.1 直线与圆的位置关系
教学目标：
理解相交、相切、相离的概念并掌握判断方法
掌握切线的判定、性质与定理
理解并掌握弦切角、切割线定理与割线定理
例1：已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交、相切、相离都有可能
解析：判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．特别注意：这里的5不一定是圆心到直线的距离．
解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5．此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能．故选D．
例2：△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．给出下列三个结论：①以点C为圆心，2.3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4 cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2.5 cm长为半径的圆与AB相交；则上述结论中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：此题是判断直线和圆的位置关系，需要求得直角三角形斜边上的高．先过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理得AB=5，再根据直角三角形的面积公式，求得CD=2.4．①，即d＞r，直线和圆相离，正确；②，即d=r，直线和圆相切，正确；③，d＜r，直线和圆相交，正确．共有3个正确
解：①，d＞r，直线和圆相离，正确；②，d=r，直线和圆相切，正确；③，d＜r，直线和圆相交，正确．故选D．
即时练习：
1、已知在直角坐标系中，以点A（0，3）为圆心，以3为半径作⊙A，则直线y=kx+2（k≠0）与⊙A的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．与K值有关
2、请用尺规作图：过圆上一点作已知圆的切线
3、已知：直线y=kx（k≠0）经过点（3，4）．
（1）k=
（2）将该直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原点），则m的取值范围为
例3：如图，以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D，E是BC边的中点．若AD、AB的长是方程x2-6x+8=0的两个根，则图中阴影部分的面积为
解析：本题主要考查了扇形的面积计算，一元二次方程的求解，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据方程的解判断出△AOD是等边三角形是解题的关键．先利用因式分解法解方程求出AD、AB的长，然后连接OD、BD、OE，并判定△AOD是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角可得BD⊥AC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得OE垂直平分BD，然后根据勾股定理求出BD的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，从而得到BE的长度，最后根据阴影部分的面积等于四边形OBED的面积减去扇形BOD的面积，列式进行计算即可求解．
解：x2-6x+8=0，（x-2）（x-4）=0，解得x1=2，x2=4，∴AD=2，AB=4，
∵AB是直径，∴AO=BO=AB=2，连接OD，则AO=OD=AD=2，
∴△AOD是等边三角形，连接BD，则BD⊥AC，∵E是BC边的中点，
∴DE=BE=BC，连接OE，则OE是线段BD的垂直平分线，
在Rt△AOD中，，
∵∠A=∠A，∠ADB=∠ABC=90°，∴△ABC∽△ADB，∴，即，
解得:，BE=BC=，∴S四边形OBED=2S△OBE=2××2×=，
又∠BOD=180°-∠AOD=180°-60°=120°，∴S扇形BOD=
∴S阴影部分的面积=S四边形OBED-S扇形BOD=
故答案为：
例4：如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形沿EC折叠，点B落在圆上的F点，则BE的长为
解析：本题考查的是切线的判定与性质，根据三角形全等判定CF是圆的切线，然后由翻折变换，得到对应的角与对应的边分别相等，利用切线的性质结合直角三角形，运用勾股定理求出线段的长．
解：如图：连接OF，OC．在△OCF和△OCD中，∵OF=OD，OC=OC，CF=CD，
∴△OCF≌△OCD，∴∠OFC=∠ODC=90°，∴CF是⊙O的切线．
∵∠CFE=∠B=90°，∴E，F，O三点共线．∵EF=EB，
∴在△AEO中，AO=1，AE=2-BE，EO=1+BE，
∴，解得： ；故答案是：．
例5：在正方形ABCD中，E为AD中点，AF丄BE交BE于G，交CD于F，连CG延长交AD于H．下列结论：①；②；③；④以AB为直径的圆与CH相切于点G，其中正确的是
解析：本题综合考查了切线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．解答③选项时，也可以利用相似三角形的判定与性质．
解：连接OG、OC．∵AF丄BE，∴∠ABE=∠DAF；
在Rt△ABE和Rt△DAF中，∵，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（ASA），∴AE=DF（全等三角形的对应边相等）；
又∵E为AD中点，∴F为DC的中点；∵O为AB的中点，∴OC∥AF，∴OC⊥BE，
∴∠BOC=∠GOC；在△BOC和△GOC中，∵，∴△BOC≌△GOC，
∴∠OBC=∠OGC=90°，即OG⊥CH，∴以AB为直径的圆与CH相切于点G；故④正确；
∵以AB为直径的圆与CH相切于点G，AB⊥BC，∴CG=CB；故①正确；
∵AD∥BC，∴；∵CG=CB，∴HG=HE；又∵E为AD中点，
∴AH=HE=HG，即点H为AE的中点，∴；故②正确；
∵点F是CD的中点，∴；∴（勾股定理）；
∵，∴AG=2EG，∴
∴∴
∴∴；故③正确；
综上所述，正确的说法有：①②③④．故答案是：①②③④．
即时练习：
1、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长．
2、已知：Rt△ABC中，AC⊥BC，CD为AB边上的中线，AC=6cm，BC=8cm；点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）；以点O为圆心、OC为半径的⊙O交AC于点E，EF⊥AB于F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（如图1）
（2）请分析⊙O与直线AB可能出现的不同位置关系，分别指出线段EF的取值范围．
3、三等分角仪--把材料制成如图所示的阴影部分的形状，使AB与半圆的半径CB、CD相等，PB垂直于AD．这便做成了“三等分角仪”．如果要把∠MPN三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN上，适当调整它的位置，使PB通过角的顶点P，使A点落在角的PM边上，使角的另一边与半圆相切于E点，最后通过B、C两点分别作两条射线PB、PC，则∠MPB=∠BPC=∠CPN．请用推理的方法加以证明．
4、（2012 扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
（1）①直接写出点E的坐标：
②求证：AG=CH．
（2）如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
例6：已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为
解析：考查圆与切线的位置关系及其切线角之间的关系．
解：连接BD，则∠ADB=90°，又∠BCD=130°，故∠DAB=50°，所以∠DBA=40°；又因为PD为切线，故∠PDA=∠ABD=40°，即∠PDA=40°．
例7：如图，四边形ABED内接于⊙O，E是AD延长线上的一点，若∠AOC=122°，则∠B= 度，∠EDC= 度．
解析：本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．
解：由圆周角定理得，∠B=∠AOC=61°，∵四边形ADCB内接于⊙O，∴∠EDC=∠B=61°．
即时练习：
1、如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC=35°，则∠P= 度．
2、如图，PA切⊙O于A点，C是弧AB上任意一点，∠PAB=58°，则∠C的度数是 度
例8：如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，C为弧AB上任意一点，过点C作⊙O切线交PA于点D，交PB于点E，若PA=6，则△PDE的周长为 ．
解析：本题考查了切线长定理的应用能力．
解：根据切线长定理得：CD=AD，CE=BE，PA=PB，则△PDE的周长=2PA=6×2=12．
例9：如图等腰梯形ABCD是⊙O的外切四边形，O是圆心，腰长4cm，则∠BOC= 度，梯形中位线长 cm．
解析：本题考查了切线长定理、等腰梯形的性质和梯形的中位线定理，是基础知识要熟练掌握．
解：∠BOC=180°-（∠BCO+∠CBO），=180°-（∠ABC+∠BCD），=180°-×180°，=90°，
中位线长=（AB+CD）=+=BC=4（cm）．故答案为：90°，4cm．
即时练习：
1、如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是
2、（2012 岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD= CD OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（ ）
A、①②⑤ B、②③④ C、③④⑤ D、①④⑤
例10：已知如图，P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，过P，O两点作⊙O的割线交⊙O于A、B两点，且PC=4cm，PA=3cm，则⊙O的半径R= cm
解析：此题主要运用了切割线定理的有关知识来解决问题．
解：∵PC是切线，∴PC2=PA PB；又∵PC=4，PA=3，∴16=3（3+AB），∴AB=，∴半径R=．
即时练习：
1、如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则AD=
2、已知：如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=2PB，求= ．
A组
1、如图，时钟的钟面上标有1，2，3，…，12共12个数，一条直线把钟面分成了两部分．请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是 和 ．
2、如图，为的切线，为切点，半径则＝ ．
3、如图，是的直径，是的切线，点在上，，则的长为 .
4、如图，是外一点，分别和切于是上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为多少？
５、如图，若正内接于正的内切圆，则与的面积之比．
６．如图，已知点是矩形的边上一点，，把沿折痕向上翻折，若点恰好在上，设这个点为．
（1）求的长度各是多少？
（2）若内切于以为顶点的四边形，求的面积．
B组
７．如图，在矩形中，AB=2,CD=4，圆D的半径为．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心重合，绕着点转动三角板，使它的一条直角边与圆D切于点，此时两直角边与交于两点，则的值为．
8、已知是的直径，切于点，的平分线分别交于点，交于点交于点，线段的长是一元二次方程（为常数）的两个根．
（1）求证：；
（2）求证：的直径为；
（3）求．
9、如图，从外一点作的切线，切点分别为，且直径，连接．
（1）求证：；
（2）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）若，求的长．
10、（1）已知，如图①，在平行四边形中，是对角线上的两点，且．求证：；
（2）已知，如图②，是的直径，与相切于点．连接交于点，的延长线交于点．连接，求和的度数．
§3.2 内切圆
教学目标：
掌握内切圆的定义与作图
掌握内切圆的性质
例1：如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 处．
解析：此题考查了角平分线与内心的关系
解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故填4．
例2：如图，△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，I是内心，圆I与AB、BC、AC分别相切于D、E、F点。求△ABC 的内切圆半径r。
解析：此题考查的是内切圆半径与三角形边长和面积之间的关系。
解法一：运用切线长定理求解。设AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z，则得方程组
解法二：运用等积变换求解。连结AI、BI、CI。
小结：对于直角三角形中，或；
对于普通三角形中，
即时练习：
1、如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC= 度．
2、在关于x的方程x2-2ax+b2=0中，a，b分别是一个面积为12的等腰三角形的腰与底边的长，且这个方程的两根之差的绝对值为8．则这个三角形的内切圆面积是
3、（2009 杭州）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．
①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是 ；
②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB= ．
§3.3 圆与圆的位置关系
教学目标：
掌握圆与圆的5种位置关系及判定
掌握两圆相切或相交的性质
例1：已知关于x的一元二次方程x2-2（R+r）x+d2=0没有实数根，其中R、r分别为⊙O1、⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A、外离 B、相交 C、外切 D、内切
解析：本题考查一元二次方程根的判别式和圆与圆的位置关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．
解：依题意，4（R+r）2-4d2＜0，即（R+r）2-d2＜0，则：（R+r+d）（R+r-d）＜0．∵R+r+d＞0，∴R+r-d＜0，即：d＞R+r，所以两圆外离．故选A．
例2：已知⊙O1和⊙O2相切，两圆的圆心距为9cm，⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径为（ ）
A、5cm B、13cm C、9cm或13cm D、5cm或13cm
解析：本题考查了两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有两种情况．
解：两圆相切时，有两种情况：内切和外切．当外切时，另一圆的半径=9+4=13cm；当内切时，另一圆的半径=9-4=5cm．故选D．
小结：圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离d＞R+r；②两圆外切d=R+r；③两圆相交R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含d＜R-r（R＞r）．
即时练习：
1、已知△ABC的三边分别是a、b、c，两圆的半径r1=a，r2=b，圆心距d=c，则这两个圆的位置关系是
2、圆心距为6的两圆相外切，则以这两个圆的半径为根的一元二次方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、如图，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？
例3：如图，外切于P点的⊙O1和⊙O2是半径为3cm的等圆，连心线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，AC与⊙O2相切于点C，连接PC，则PC的长为（ ）
A、cm B、cm C、3cm D、4.5cm
解析：利用切线的概念，直径对的圆周角是直角，平行线的判定和性质，勾股定理求解．
解：连接O2C，PH，AP是直径，则∠AHP=90°，由切线的概念知，∠O2CA=90°；∴PH∥O2C，
由勾股定理得，AC=，∵HP：O2C=AP：O2A，∴HP=2，由勾股定理得，AH=，
HC=AC-AH=，在直角三角形PHC中，由勾股定理得，PC=．故选A．
例4：已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，直线AB过点P交⊙O1于A，交⊙O2于B，点C、D分别为⊙O1、⊙O2上的点，且∠ACP=65°，则∠BDP= 度．
解析：两圆相切，做公切线是常用的方法．用到的知识点为：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
解：过P作两圆的公切线MN，∴∠MPA=∠ACP，∠NPB=∠PDB，∵∠MPA=∠NPB∴∠BDP=∠ACP=65°．
即时练习：
1、如图，两个等圆⊙O和⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于（ ）
A．30° A．45° A．60° A．75°
2、如图，半径为4的两等圆相外切，它们的一条外公切线与两圆围成的阴影部分中，存在的最大圆的半径等于
3、如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为
例5：已知⊙O1的半径为cm，⊙O2的半径为5cm，与⊙O1相交于点D、E．若两圆的公共弦DE的长是6cm（圆心O1、O2在公共弦DE的两侧），则两圆的圆心距O1O2的长为（ ）
A、2cm B、10cm C、2cm或10cm D、4cm
解析：主要考查了相交两圆的性质中，连心线垂直平分公共弦．要会利用该性质构造直角三角形，使用直角三角形中的勾股定理解题．
解：根据题意作图如下：∵DE=6cm，O1D=5cm，O2D=cm，O1O2垂直平分DE，∴DM=3cm，
∴O1M=6cm，O2M=4cm，∴O1O2=10cm或O1O2=2cm，∵若圆心O1、O2在公共弦DE的两侧，
∴O1O2=10cm．若圆心O1、O2在公共弦DE的同侧，∴O1O2=2cm．故选B．
例6：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过点A的直线CD分别与⊙O1、⊙O2交于C、D，经过点B的直线EF分别与⊙O1、⊙O2交于E、F，且EF∥O1O2．下列结论：①CE∥DF；②∠D=∠F；③EF=2O1O2．必定成立的有（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
解析：考查了相交两圆的性质、圆周角定理的推论、平行线的判定以及三角形的中位线定理．
解：连接AB，AE，AF，根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，得AB⊥01O2．再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得AE，AF是直径．①、根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，则∠C+∠D=180°，得CE∥DF；②、因为BD不一定是直径，所以∠F不一定是直角，错误；③、根据三角形的中位线定理，得EF=2O1O2．故选C．
即时练习：
1、半径分别为r1，r2的⊙O1和⊙O2有公共弦AB，并且AB=2a，则连心线O1O2=
2、如图，⊙O2和⊙O1相交于点A，B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则∠O1AO2= 度．
3、如图所示，一个半径为的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为
A组
1、在图中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是．
2、如图，图中圆与圆之间不同的位置关系有种．
3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．
4、如图，在中，AB=8cm，BC=6cm分别以为圆心，以AC/2的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 cm2（结果保留π）
5、如图三个半圆的半径均为R，它们的圆心A、B、C半圆均相切，设⊙D的半径为r，则R：r的值为
6、如图，已知：为的直径，与的一个交点为，直线交于两点，过的切线，交直线于点，与的延长线垂直相交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的周长．
B组
7、四个半径均为的圆如图放置，相邻两圆交点之间的距离也等于，不相邻两圆圆周上两点间的最短距离等于，则等于，图中阴影部分面积等于．（精确到）
8、如图，已知正三角形ABC的边长为6，在△ABC中作内切圆O及三个角切圆（我们把与角两边及三角形内切圆都相切的圆叫角切圆），则△ABC的内切圆O的面积为；图中阴影部分的面积为．
9、如图，M为⊙O上的一点，⊙M与⊙O相交于A、B两点，P为⊙O上任意一点，直线PA、PB分别交⊙M于C、D两点，直线CD交⊙O于E、F两点，连接PE、PF、BC，下列结论，①PE=PF；②PE2=PA PC；其中正确的有
10、如图，在平面直角坐标系内，的直角顶点，在轴的正半轴上，是轴上是两点，且，以为直径的圆分别交于点，交于点．直线交于点．
（1）求过三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线与两圆有怎样的位置关系并证明你的猜想；
（3）在中，设点是边上的一个动点，过作交于点．试问：在轴上是否存在点P，使得是一个以为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
§3.4 章节成果检测
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共计30分)
1．下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2．同一平面内两圆的半径是R和r，圆心距是d，若以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是( )
A.外离 B.相切 C.相交 D.内含
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A.35° B.70° C.110° D.140°
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围( )
A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5
C.3＜OM＜5 D.4＜OM＜5
5．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB， ∠AOC=84°，则∠E等于( )
A.42 ° B.28° C.21° D.20°
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则⊙O的直径是( )
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
7．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC、BD，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
8．已知⊙O1与⊙O2外切于点A，⊙O1的半径R=2，⊙O2的半径r=1，若半径为4的⊙C与⊙O1、⊙O2都相切，则满足条件的⊙C有( )
A.2个 B.4个 C.5个 D.6个
9．设⊙O的半径为2，圆心O到直线的距离OP=m，且m使得关于x的方程有实数根，则直线与⊙O的位置关系为( )
A.相离或相切 B.相切或相交 C.相离或相交 D.无法确定
10．如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题，每小4分，共计20分)
11．某圆柱形网球筒，其底面直径是10cm，长为80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需________________的包装膜(不计接缝，取3).
12．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.
13.如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为___________.
14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为_____________.
15．如图，两条互相垂直的弦将⊙O分成四部分，相对的两部分面积之和分别记为S1、S2，若圆心到两弦的距离分别为2和3，则|S1-S2|=__________.
三、解答题(16～21题，每题7分，22题8分，共计50分)
16．为了探究三角形的内切圆半径r与周长、面积S之间的关系，在数学实验活动中，选取等边三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行研究.⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F.
(1)用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的长，填入空格处，并计算出周长和面积S.(结果精确到0.1厘米)
(2)观察图形，利用上表实验数据分析.猜测特殊三角形的r与、S之间关系，并证明这种关系对任意三角形(图丙)是否也成立
AC BC AB r S
图甲 0.6
图乙 1.0
17．如图，以等腰三角形的一腰为直径的⊙O交底边于点，交于点，连结，并过点作，垂足为.根据以上条件写出三个正确结论(除外)是： (1)________________；(2)________________；(3)________________.
18．如图，要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面.问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？
19．如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB.经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积(面积计算结果用表示) .
20．如图，在△ABC中，∠BCA =90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点.判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由.
22．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2.E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F.
(1)求OA、OC的长；(2)求证：DF为⊙O′的切线；(3)小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形.由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”.你同意他的看法吗？请充分说明理由.
九下第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系
同步突破1答案
A组
1、（1、2、3、10、11、12）和（4、5、6、7、8、9）
2、 3、 4、6 ５、1：4
６、（1）AB=；BC= （2）
B组
７、
8、（1）易得∽，则
（2）易得，由（1）知，∴BD=AE，∴AB=BE+AE=K
（3）
9、（1）略 （2）（） （3）
10、（1）略 （2）60°，30°
同步突破2答案
A组
1、外离 2、2种 3、 4、
5、4 6、（1）略 （2）32
B组
7、 8、； 9、①②③
10、（1） （2）相切 （3）或
章节检测答案
一、1、B 2、C 3、D 4、A 5、B 6、C 7、C 8、D 9、B 10、B
二、11、12000 12、第二种 13、6cm 14、(2，0) 15、24
三、16、(1)略；
(2)由图表信息猜测，得，并且对一般三角形都成立.连接OA、OB、OC，运用面积法证明：
17、(1) BD=DC (2)∠BAD=∠CAD
(3)DE是⊙O的切线(以及AD⊥BC，弧BD=弧DG等).
18、设计方案如左图所示，在右图中，易证四边形OAO′C为正方形，OO′+O′B=25，所以圆形凳面的最大直径为25(-1)厘米.
19、扇形OAB的圆心角为45°，纸杯的表面积为44.
20、连接OP、CP，则∠OPC=∠OCP.
由题意知△ACP是直角三角形，又Q是AC的中点，因此QP=QC，∠QPC=∠QCP.
而∠OCP+∠QCP=90°，所以∠OPC+∠QPC=90°即OP⊥PQ，PQ与⊙O相切.
22、(1)在矩形OABC中，设OC=x 则OA=x+2，依题意得
解得：(不合题意，舍去) ∴OC=3， OA=5
(2)连结O′D，在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=
∴ △OCE≌△ABE ∴EA=EO ∴∠1=∠2
在⊙O′中， ∵ O′O= O′D ∴∠1=∠3
∴∠3=∠2 ∴O′D∥AE， ∵DF⊥AE ∴ DF⊥O′D
又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径 ，∴DF为⊙O′切线.
(3)不同意. 理由如下：
①当AO=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点
过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H=OC=3，∵AP1=OA=5
∴AH=4， ∴OH =1 求得点P1(1，3) 同理可得：P4(9，3)
②当OA=OP时，同上可求得：P2(4，3)，P3(4，3)
因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形.
章节概述：直线与圆、圆与圆的位置关系，是初中几何类题型中较难的部分，许多同学在学习这部分内容时，较容易忽略最基本的定义、性质，拿到题目仍感无从下手。本节课，老师将带领同学们一起系统地全面地梳理直线与圆、圆与圆的位置关系的内容，使同学们能够清晰地理解知识要点、掌握解题思路与步骤，全面突破直线与圆、圆与圆的位置关系！
§3.1 直线与圆的位置关系
教学目标：
理解相交、相切、相离的概念并掌握判断方法
掌握切线的判定、性质与定理
理解并掌握弦切角、切割线定理与割线定理
例1：已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交、相切、相离都有可能
解析：判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．特别注意：这里的5不一定是圆心到直线的距离．
解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5．此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能．故选D．
例2：△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．给出下列三个结论：①以点C为圆心，2.3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4 cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2.5 cm长为半径的圆与AB相交；则上述结论中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：此题是判断直线和圆的位置关系，需要求得直角三角形斜边上的高．先过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理得AB=5，再根据直角三角形的面积公式，求得CD=2.4．①，即d＞r，直线和圆相离，正确；②，即d=r，直线和圆相切，正确；③，d＜r，直线和圆相交，正确．共有3个正确
解：①，d＞r，直线和圆相离，正确；②，d=r，直线和圆相切，正确；③，d＜r，直线和圆相交，正确．故选D．
即时练习：
1、已知在直角坐标系中，以点A（0，3）为圆心，以3为半径作⊙A，则直线y=kx+2（k≠0）与⊙A的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．与K值有关
2、请用尺规作图：过圆上一点作已知圆的切线
3、已知：直线y=kx（k≠0）经过点（3，4）．
（1）k=
（2）将该直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原点），则m的取值范围为
例3：如图，以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D，E是BC边的中点．若AD、AB的长是方程x2-6x+8=0的两个根，则图中阴影部分的面积为
解析：本题主要考查了扇形的面积计算，一元二次方程的求解，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据方程的解判断出△AOD是等边三角形是解题的关键．先利用因式分解法解方程求出AD、AB的长，然后连接OD、BD、OE，并判定△AOD是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角可得BD⊥AC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得OE垂直平分BD，然后根据勾股定理求出BD的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，从而得到BE的长度，最后根据阴影部分的面积等于四边形OBED的面积减去扇形BOD的面积，列式进行计算即可求解．
解：x2-6x+8=0，（x-2）（x-4）=0，解得x1=2，x2=4，∴AD=2，AB=4，
∵AB是直径，∴AO=BO=AB=2，连接OD，则AO=OD=AD=2，
∴△AOD是等边三角形，连接BD，则BD⊥AC，∵E是BC边的中点，
∴DE=BE=BC，连接OE，则OE是线段BD的垂直平分线，
在Rt△AOD中，，
∵∠A=∠A，∠ADB=∠ABC=90°，∴△ABC∽△ADB，∴，即，
解得:，BE=BC=，∴S四边形OBED=2S△OBE=2××2×=，
又∠BOD=180°-∠AOD=180°-60°=120°，∴S扇形BOD=
∴S阴影部分的面积=S四边形OBED-S扇形BOD=
故答案为：
例4：如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形沿EC折叠，点B落在圆上的F点，则BE的长为
解析：本题考查的是切线的判定与性质，根据三角形全等判定CF是圆的切线，然后由翻折变换，得到对应的角与对应的边分别相等，利用切线的性质结合直角三角形，运用勾股定理求出线段的长．
解：如图：连接OF，OC．在△OCF和△OCD中，∵OF=OD，OC=OC，CF=CD，
∴△OCF≌△OCD，∴∠OFC=∠ODC=90°，∴CF是⊙O的切线．
∵∠CFE=∠B=90°，∴E，F，O三点共线．∵EF=EB，
∴在△AEO中，AO=1，AE=2-BE，EO=1+BE，
∴，解得： ；故答案是：．
例5：在正方形ABCD中，E为AD中点，AF丄BE交BE于G，交CD于F，连CG延长交AD于H．下列结论：①；②；③；④以AB为直径的圆与CH相切于点G，其中正确的是
解析：本题综合考查了切线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．解答③选项时，也可以利用相似三角形的判定与性质．
解：连接OG、OC．∵AF丄BE，∴∠ABE=∠DAF；
在Rt△ABE和Rt△DAF中，∵，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（ASA），∴AE=DF（全等三角形的对应边相等）；
又∵E为AD中点，∴F为DC的中点；∵O为AB的中点，∴OC∥AF，∴OC⊥BE，
∴∠BOC=∠GOC；在△BOC和△GOC中，∵，∴△BOC≌△GOC，
∴∠OBC=∠OGC=90°，即OG⊥CH，∴以AB为直径的圆与CH相切于点G；故④正确；
∵以AB为直径的圆与CH相切于点G，AB⊥BC，∴CG=CB；故①正确；
∵AD∥BC，∴；∵CG=CB，∴HG=HE；又∵E为AD中点，
∴AH=HE=HG，即点H为AE的中点，∴；故②正确；
∵点F是CD的中点，∴；∴（勾股定理）；
∵，∴AG=2EG，∴
∴∴
∴∴；故③正确；
综上所述，正确的说法有：①②③④．故答案是：①②③④．
即时练习：
1、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长．
2、已知：Rt△ABC中，AC⊥BC，CD为AB边上的中线，AC=6cm，BC=8cm；点O是线段CD边上的动点（不与点C、D重合）；以点O为圆心、OC为半径的⊙O交AC于点E，EF⊥AB于F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（如图1）
（2）请分析⊙O与直线AB可能出现的不同位置关系，分别指出线段EF的取值范围．
3、三等分角仪--把材料制成如图所示的阴影部分的形状，使AB与半圆的半径CB、CD相等，PB垂直于AD．这便做成了“三等分角仪”．如果要把∠MPN三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN上，适当调整它的位置，使PB通过角的顶点P，使A点落在角的PM边上，使角的另一边与半圆相切于E点，最后通过B、C两点分别作两条射线PB、PC，则∠MPB=∠BPC=∠CPN．请用推理的方法加以证明．
4、（2012 扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
（1）①直接写出点E的坐标：
②求证：AG=CH．
（2）如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
（3）在（2）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
例6：已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=130°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为
解析：考查圆与切线的位置关系及其切线角之间的关系．
解：连接BD，则∠ADB=90°，又∠BCD=130°，故∠DAB=50°，所以∠DBA=40°；又因为PD为切线，故∠PDA=∠ABD=40°，即∠PDA=40°．
例7：如图，四边形ABED内接于⊙O，E是AD延长线上的一点，若∠AOC=122°，则∠B= 度，∠EDC= 度．
解析：本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．
解：由圆周角定理得，∠B=∠AOC=61°，∵四边形ADCB内接于⊙O，∴∠EDC=∠B=61°．
即时练习：
1、如图，PA、PB切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，且∠BAC=35°，则∠P= 度．
2、如图，PA切⊙O于A点，C是弧AB上任意一点，∠PAB=58°，则∠C的度数是 度
例8：如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，C为弧AB上任意一点，过点C作⊙O切线交PA于点D，交PB于点E，若PA=6，则△PDE的周长为 ．
解析：本题考查了切线长定理的应用能力．
解：根据切线长定理得：CD=AD，CE=BE，PA=PB，则△PDE的周长=2PA=6×2=12．
例9：如图等腰梯形ABCD是⊙O的外切四边形，O是圆心，腰长4cm，则∠BOC= 度，梯形中位线长 cm．
解析：本题考查了切线长定理、等腰梯形的性质和梯形的中位线定理，是基础知识要熟练掌握．
解：∠BOC=180°-（∠BCO+∠CBO），=180°-（∠ABC+∠BCD），=180°-×180°，=90°，
中位线长=（AB+CD）=+=BC=4（cm）．故答案为：90°，4cm．
即时练习：
1、如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是
2、（2012 岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD= CD OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（ ）
A、①②⑤ B、②③④ C、③④⑤ D、①④⑤
例10：已知如图，P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，过P，O两点作⊙O的割线交⊙O于A、B两点，且PC=4cm，PA=3cm，则⊙O的半径R= cm
解析：此题主要运用了切割线定理的有关知识来解决问题．
解：∵PC是切线，∴PC2=PA PB；又∵PC=4，PA=3，∴16=3（3+AB），∴AB=，∴半径R=．
即时练习：
1、如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则AD=
2、已知：如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=2PB，求= ．
A组
1、如图，时钟的钟面上标有1，2，3，…，12共12个数，一条直线把钟面分成了两部分．请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是 和 ．
2、如图，为的切线，为切点，半径则＝ ．
3、如图，是的直径，是的切线，点在上，，则的长为 .
4、如图，是外一点，分别和切于是上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为多少？
５、如图，若正内接于正的内切圆，则与的面积之比．
６．如图，已知点是矩形的边上一点，，把沿折痕向上翻折，若点恰好在上，设这个点为．
（1）求的长度各是多少？
（2）若内切于以为顶点的四边形，求的面积．
B组
７．如图，在矩形中，AB=2,CD=4，圆D的半径为．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心重合，绕着点转动三角板，使它的一条直角边与圆D切于点，此时两直角边与交于两点，则的值为．
8、已知是的直径，切于点，的平分线分别交于点，交于点交于点，线段的长是一元二次方程（为常数）的两个根．
（1）求证：；
（2）求证：的直径为；
（3）求．
9、如图，从外一点作的切线，切点分别为，且直径，连接．
（1）求证：；
（2）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）若，求的长．
10、（1）已知，如图①，在平行四边形中，是对角线上的两点，且．求证：；
（2）已知，如图②，是的直径，与相切于点．连接交于点，的延长线交于点．连接，求和的度数．
§3.2 内切圆
教学目标：
掌握内切圆的定义与作图
掌握内切圆的性质
例1：如图，直线a、b、c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 处．
解析：此题考查了角平分线与内心的关系
解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故填4．
例2：如图，△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，I是内心，圆I与AB、BC、AC分别相切于D、E、F点。求△ABC 的内切圆半径r。
解析：此题考查的是内切圆半径与三角形边长和面积之间的关系。
解法一：运用切线长定理求解。设AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z，则得方程组
解法二：运用等积变换求解。连结AI、BI、CI。
小结：对于直角三角形中，或；
对于普通三角形中，
即时练习：
1、如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC= 度．
2、在关于x的方程x2-2ax+b2=0中，a，b分别是一个面积为12的等腰三角形的腰与底边的长，且这个方程的两根之差的绝对值为8．则这个三角形的内切圆面积是
3、（2009 杭州）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．
①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是 ；
②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB= ．
§3.3 圆与圆的位置关系
教学目标：
掌握圆与圆的5种位置关系及判定
掌握两圆相切或相交的性质
例1：已知关于x的一元二次方程x2-2（R+r）x+d2=0没有实数根，其中R、r分别为⊙O1、⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A、外离 B、相交 C、外切 D、内切
解析：本题考查一元二次方程根的判别式和圆与圆的位置关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．
解：依题意，4（R+r）2-4d2＜0，即（R+r）2-d2＜0，则：（R+r+d）（R+r-d）＜0．∵R+r+d＞0，∴R+r-d＜0，即：d＞R+r，所以两圆外离．故选A．
例2：已知⊙O1和⊙O2相切，两圆的圆心距为9cm，⊙O1的半径为4cm，则⊙O2的半径为（ ）
A、5cm B、13cm C、9cm或13cm D、5cm或13cm
解析：本题考查了两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有两种情况．
解：两圆相切时，有两种情况：内切和外切．当外切时，另一圆的半径=9+4=13cm；当内切时，另一圆的半径=9-4=5cm．故选D．
小结：圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离d＞R+r；②两圆外切d=R+r；③两圆相交R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含d＜R-r（R＞r）．
即时练习：
1、已知△ABC的三边分别是a、b、c，两圆的半径r1=a，r2=b，圆心距d=c，则这两个圆的位置关系是
2、圆心距为6的两圆相外切，则以这两个圆的半径为根的一元二次方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、如图，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？
例3：如图，外切于P点的⊙O1和⊙O2是半径为3cm的等圆，连心线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，AC与⊙O2相切于点C，连接PC，则PC的长为（ ）
A、cm B、cm C、3cm D、4.5cm
解析：利用切线的概念，直径对的圆周角是直角，平行线的判定和性质，勾股定理求解．
解：连接O2C，PH，AP是直径，则∠AHP=90°，由切线的概念知，∠O2CA=90°；∴PH∥O2C，
由勾股定理得，AC=，∵HP：O2C=AP：O2A，∴HP=2，由勾股定理得，AH=，
HC=AC-AH=，在直角三角形PHC中，由勾股定理得，PC=．故选A．
例4：已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，直线AB过点P交⊙O1于A，交⊙O2于B，点C、D分别为⊙O1、⊙O2上的点，且∠ACP=65°，则∠BDP= 度．
解析：两圆相切，做公切线是常用的方法．用到的知识点为：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
解：过P作两圆的公切线MN，∴∠MPA=∠ACP，∠NPB=∠PDB，∵∠MPA=∠NPB∴∠BDP=∠ACP=65°．
即时练习：
1、如图，两个等圆⊙O和⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于（ ）
A．30° A．45° A．60° A．75°
2、如图，半径为4的两等圆相外切，它们的一条外公切线与两圆围成的阴影部分中，存在的最大圆的半径等于
3、如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为
例5：已知⊙O1的半径为cm，⊙O2的半径为5cm，与⊙O1相交于点D、E．若两圆的公共弦DE的长是6cm（圆心O1、O2在公共弦DE的两侧），则两圆的圆心距O1O2的长为（ ）
A、2cm B、10cm C、2cm或10cm D、4cm
解析：主要考查了相交两圆的性质中，连心线垂直平分公共弦．要会利用该性质构造直角三角形，使用直角三角形中的勾股定理解题．
解：根据题意作图如下：∵DE=6cm，O1D=5cm，O2D=cm，O1O2垂直平分DE，∴DM=3cm，
∴O1M=6cm，O2M=4cm，∴O1O2=10cm或O1O2=2cm，∵若圆心O1、O2在公共弦DE的两侧，
∴O1O2=10cm．若圆心O1、O2在公共弦DE的同侧，∴O1O2=2cm．故选B．
例6：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过点A的直线CD分别与⊙O1、⊙O2交于C、D，经过点B的直线EF分别与⊙O1、⊙O2交于E、F，且EF∥O1O2．下列结论：①CE∥DF；②∠D=∠F；③EF=2O1O2．必定成立的有（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
解析：考查了相交两圆的性质、圆周角定理的推论、平行线的判定以及三角形的中位线定理．
解：连接AB，AE，AF，根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，得AB⊥01O2．再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得AE，AF是直径．①、根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，则∠C+∠D=180°，得CE∥DF；②、因为BD不一定是直径，所以∠F不一定是直角，错误；③、根据三角形的中位线定理，得EF=2O1O2．故选C．
即时练习：
1、半径分别为r1，r2的⊙O1和⊙O2有公共弦AB，并且AB=2a，则连心线O1O2=
2、如图，⊙O2和⊙O1相交于点A，B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则∠O1AO2= 度．
3、如图所示，一个半径为的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为
A组
1、在图中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是．
2、如图，图中圆与圆之间不同的位置关系有种．
3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．
4、如图，在中，AB=8cm，BC=6cm分别以为圆心，以AC/2的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 cm2（结果保留π）
5、如图三个半圆的半径均为R，它们的圆心A、B、C半圆均相切，设⊙D的半径为r，则R：r的值为
6、如图，已知：为的直径，与的一个交点为，直线交于两点，过的切线，交直线于点，与的延长线垂直相交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的周长．
B组
7、四个半径均为的圆如图放置，相邻两圆交点之间的距离也等于，不相邻两圆圆周上两点间的最短距离等于，则等于，图中阴影部分面积等于．（精确到）
8、如图，已知正三角形ABC的边长为6，在△ABC中作内切圆O及三个角切圆（我们把与角两边及三角形内切圆都相切的圆叫角切圆），则△ABC的内切圆O的面积为；图中阴影部分的面积为．
9、如图，M为⊙O上的一点，⊙M与⊙O相交于A、B两点，P为⊙O上任意一点，直线PA、PB分别交⊙M于C、D两点，直线CD交⊙O于E、F两点，连接PE、PF、BC，下列结论，①PE=PF；②PE2=PA PC；其中正确的有
10、如图，在平面直角坐标系内，的直角顶点，在轴的正半轴上，是轴上是两点，且，以为直径的圆分别交于点，交于点．直线交于点．
（1）求过三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线与两圆有怎样的位置关系并证明你的猜想；
（3）在中，设点是边上的一个动点，过作交于点．试问：在轴上是否存在点P，使得是一个以为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
§3.4 章节成果检测
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共计30分)
1．下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2．同一平面内两圆的半径是R和r，圆心距是d，若以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是( )
A.外离 B.相切 C.相交 D.内含
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )
A.35° B.70° C.110° D.140°
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围( )
A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5
C.3＜OM＜5 D.4＜OM＜5
5．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB， ∠AOC=84°，则∠E等于( )
A.42 ° B.28° C.21° D.20°
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则⊙O的直径是( )
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
7．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC、BD，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
8．已知⊙O1与⊙O2外切于点A，⊙O1的半径R=2，⊙O2的半径r=1，若半径为4的⊙C与⊙O1、⊙O2都相切，则满足条件的⊙C有( )
A.2个 B.4个 C.5个 D.6个
9．设⊙O的半径为2，圆心O到直线的距离OP=m，且m使得关于x的方程有实数根，则直线与⊙O的位置关系为( )
A.相离或相切 B.相切或相交 C.相离或相交 D.无法确定
10．如图，把直角△ABC的斜边AC放在定直线上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题，每小4分，共计20分)
11．某圆柱形网球筒，其底面直径是10cm，长为80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需________________的包装膜(不计接缝，取3).
12．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.
13.如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为___________.
14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为_____________.
15．如图，两条互相垂直的弦将⊙O分成四部分，相对的两部分面积之和分别记为S1、S2，若圆心到两弦的距离分别为2和3，则|S1-S2|=__________.
三、解答题(16～21题，每题7分，22题8分，共计50分)
16．为了探究三角形的内切圆半径r与周长、面积S之间的关系，在数学实验活动中，选取等边三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行研究.⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F.
(1)用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的长，填入空格处，并计算出周长和面积S.(结果精确到0.1厘米)
(2)观察图形，利用上表实验数据分析.猜测特殊三角形的r与、S之间关系，并证明这种关系对任意三角形(图丙)是否也成立
AC BC AB r S
图甲 0.6
图乙 1.0
17．如图，以等腰三角形的一腰为直径的⊙O交底边于点，交于点，连结，并过点作，垂足为.根据以上条件写出三个正确结论(除外)是： (1)________________；(2)________________；(3)________________.
18．如图，要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面.问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？
19．如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB.经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积(面积计算结果用表示) .
20．如图，在△ABC中，∠BCA =90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点.判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由.
22．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2.E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F.
(1)求OA、OC的长；(2)求证：DF为⊙O′的切线；(3)小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形.由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”.你同意他的看法吗？请充分说明理由.
九下第3章 直线与圆、圆与圆的位置关系
同步突破1答案
A组
1、（1、2、3、10、11、12）和（4、5、6、7、8、9）
2、 3、 4、6 ５、1：4
６、（1）AB=；BC= （2）
B组
７、
8、（1）易得∽，则
（2）易得，由（1）知，∴BD=AE，∴AB=BE+AE=K
（3）
9、（1）略 （2）（） （3）
10、（1）略 （2）60°，30°
同步突破2答案
A组
1、外离 2、2种 3、 4、
5、4 6、（1）略 （2）32
B组
7、 8、； 9、①②③
10、（1） （2）相切 （3）或
章节检测答案
一、1、B 2、C 3、D 4、A 5、B 6、C 7、C 8、D 9、B 10、B
二、11、12000 12、第二种 13、6cm 14、(2，0) 15、24
三、16、(1)略；
(2)由图表信息猜测，得，并且对一般三角形都成立.连接OA、OB、OC，运用面积法证明：
17、(1) BD=DC (2)∠BAD=∠CAD
(3)DE是⊙O的切线(以及AD⊥BC，弧BD=弧DG等).
18、设计方案如左图所示，在右图中，易证四边形OAO′C为正方形，OO′+O′B=25，所以圆形凳面的最大直径为25(-1)厘米.
19、扇形OAB的圆心角为45°，纸杯的表面积为44.
20、连接OP、CP，则∠OPC=∠OCP.
由题意知△ACP是直角三角形，又Q是AC的中点，因此QP=QC，∠QPC=∠QCP.
而∠OCP+∠QCP=90°，所以∠OPC+∠QPC=90°即OP⊥PQ，PQ与⊙O相切.
22、(1)在矩形OABC中，设OC=x 则OA=x+2，依题意得
解得：(不合题意，舍去) ∴OC=3， OA=5
(2)连结O′D，在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=
∴ △OCE≌△ABE ∴EA=EO ∴∠1=∠2
在⊙O′中， ∵ O′O= O′D ∴∠1=∠3
∴∠3=∠2 ∴O′D∥AE， ∵DF⊥AE ∴ DF⊥O′D
又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径 ，∴DF为⊙O′切线.
(3)不同意. 理由如下：
①当AO=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点
过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H=OC=3，∵AP1=OA=5
∴AH=4， ∴OH =1 求得点P1(1，3) 同理可得：P4(9，3)
②当OA=OP时，同上可求得：P2(4，3)，P3(4，3)
因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形.