一元二次方程

八下第2章
目录
封面 ..................................................1
一元二次方程
§2.1 一元二次方程的定义及解法. ......................3
§2.2 一元二次方程的应用 ..........14
§2.3 反思与总结.....................................33
封底 .................................................34
八下第2章 一元二次方程
章节概述：本章内容分为二节，第一节主要学习一元二次方程的定义和解法，本节既是方程相关内容的发展，同时又是后面二次函数内容的基础，因此本节起承上启下的作用；第二节是一元二次方程的应用，主要研究一元二次方程的列法，其中以根据题意找出等量关系为主；。学习本章的关键是掌握一元二次方程的定义和解法，通过解一元二次方程来了解根的情况，为后面学习二次函数做准备，重点是一元二次方程的公式法求解，难点是一元二次方程的应用，怎样列方程。
§2.1 一元二次方程的定义及解法
§2.1.1 一元二次方程定义
知识目标：1、明确一元二次方程的含义，并会判断一元二次方程
2、掌握二次项系数a（a≠0）
例1：下列方程中不一定是一元二次方程的是( )
A.(a-3)x2=8 (a≠3) B.ax2+bx+c=0
C.(x+3)(x-2)=x+5 D.
解析：一元二次方程的概念
答案：B
即时练习：有下列方程：① 3x2+(1+x)+1=0；② 3x2++1=0；③ 4x2=ax (其中a为常数)；④ 2x2+3x；⑤ =2x；⑥ =2x；⑦ ｜x2+2x｜=4. 其中是一元二次方程的有 。(只需填写序号)
例2，如果方程（m2-1）x2-mx+5=0是一元二次方程，则（　　）
A、m≠-1 B、m≠1 C、m≠±1 D、m≠0
解析：本题考查一元二次方程的概念，a≠0，
答案：C
即时练习：方程（m-2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m_________
例3：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是0，则（　　）
A、c=0 B、c=0，a≠0 C、c=0，b≠0 D、a≠0，b=c=0
答案：B
解析：一元二次方程的概念和代入法的应用
即时练习：已知方程有一个根是-a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A．ab B． C．a+b D．a-b
§2.1.2 一元二次方程的解法
知识目标：1、
例1：方程x2-2x=0的解为___________
解析：把方程的左边分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或 x-2=0，求出方程的解即可．
解：x2-2x=0，
x（x-2）=0，
x=0或 x-2=0，
x1=0 或x2=2
即时练习：解方程：（x-3）2+4x（x-3）=0．
解析：方程的左边提取公因式x-3，即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解．
解：原式可化为：（x-3）（x-3+4x）=0
∴x-3=0或5x-3=0
解得x1=3，x2=
2 解方程：（x+1）（x-1）=2（x+1）
3 设x1，x2是方程x（x-1）+3（x-1）=0的两根，则|x1-x2|=_______
例2：解方程：x2-7x+6=0
解析：由题已知的方程进行因式分解，将原式化为左边两式相乘，右边是0的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．
解：原式可变为：
（x-6）（x-1）=0
解方程得x1=1，x2=6．
即时练习：1 方程：x2-3x+2=0的根是__________
2解方程：
3、三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2-10x+21=0的解，则第三边的长为（　　）
A 7 B 3 C 7或3 D 无法确定
解析：将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．
解：x2-10x+21=0，
因式分解得：（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的解，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
故选A
例3解方程：64（1+x）2=100
解析：先把方程系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．
解：原式可化为（1+x）2=
解得：x1=，x2=-
即时练习：1 一元二次方程2x2-6=0的解为_________
2 一元二次方程（2x-1）2=（3-x）2的解是x1=___________,，x2=_________
3、解方程：（3y-1）2=（y-3）2．
解析：由于方程两边都是完全平方式，这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程，即可求解．
解：∵（3y-1）2=（y-3）2
∴3y-1=±（y-3），
解得y1=1，y2=-1．
例4用配方法解方程：2x2-8x+3=0．
解析：本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，把二次项系数化为1，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
解：原方程变形为x2-4x=-
∴x2-4x+4=-+4
∴(x-2)2=
∴x-2=±
∴x1=2+，x2=2-
即时练习：1配方法：x2-4x+3=（x-2）2+___________
2 若a2-2ab+b2+2（a-b）+1=0，则a-b=_________
3、解方程：
把方程的常数项移到等号的右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方得到一个可以直接开平方的式子，然后开平方计算．
解：配方得
解得x1=x2=
例5已知关于x的方程x2+3mx+m2=0的一个根是x=1，那么m=___________
解析：欲求m，可将x=1代入方程，即可得到关于m的方程，用公式法解方程即可求出m值．
解：把x=1代入方程可得m2+3m+1=0，
解得m=
即时练习：
1 已知a、b、c均为实数且+|b+1|+(c+3)2=0，求方程ax2+bx+c=0的根．
2 用适当的方法解方程3x2+5（2x+1）=0．
3 解方程：3x2- x-2=0
4、如果关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是____________
解析：先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围．
解：根据方程的求根公式可得：
==-a-1±a，
则方程的两根为-1或-2a-1，
∵-1＜0，
∴小于1的正数根只能为-2a-1，
即0＜-2a-1＜1，
解得-1＜a＜
例6若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是-2，则另一个根是
解析：欲求方程的另一个根，可将该方程的已知根-2代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出另一个根．
解：设方程的另一根为x1，又∵x2=-2．
∴x1+(-2)=-(k+3)，x1 (-2)=k
得x1=1．
即时练习：阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=-，x1 x2=根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则的值为__________
解析：根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据==，代入数值计算即可．
解：由题意知，x1+x2=-=-6，x1x2=3，
所以====10
例7 若是方程的两个根，试求的值
即时练习：设是方程的两个根，求的值
例8已知关于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A k＞且k≠2 B k≥且k≠2 C k＞且k≠2 D k≥且k≠2
解析：根据方程有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此列出关于k的不等式，解答即可．
解：∵方程为一元二次方程，
∴k-2≠0，
即k≠2，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴（2k+1）2-4（k-2）2＞0，
∴（2k+1-2k+4）（2k+1+2k-4）＞0，
∴5（4k-3）＞0，
k＞
故k＞且k≠2．
即时练习：已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
解析：（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．
解：（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4≥4，即△≥4，
∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；
（2）根据题意，得
12-1×（m+2）+（2m-1）=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为
该直角三角形的周长为1+3+=4+
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1+3+=4+
同步突破
A组
1、有下列方程：① 2x2－3=0；② =1；③ ；④ ay2+2y+c=0(其中a为常数)；⑤ (x+1)(x－3)=x2+5；⑥ x－x2=0 。其中是整式方程的有 ，是一元二次方程的有 。(只需填写序号)
2、若方程(a-1)+5x=4 是一元二次方程，则a=
3、方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__ ________，其二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________.
4、已知3是关于x的方程的一个解，则2a的值是（ ）
（A）11 （B）12 （C）13 （D）14
5、下列方程中,常数项为零的是( )
A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12；
C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+2
6、关于y的方程是my（y-1）=ny（y+1）+2化成一般形式后为y2-y-2=0，则m，n的值依次是___________
7、使分式 的值等于零的x是 ( )
（A）6 （B）-1或6 （C）-1 （D）-6
8、一元二次方程x2-ax+6=0，配方后为(x-3)2=3，则a=______________.
9、方程x2-kx-1=0的根的情况是（ ）
（A）方程有两个不相等的实数根 （B）方程有两个相等的实数根
（C）方程没有实数根 （D）方程的根的情况与的取值有关
10、已知关于x的方程有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式b2-4ac 0，常数项c 0。
B组
1、关于x的方程(m2－16)x2+(m+4)x+2m+3=0.当m_________时,是一元一次方程；当m_________时,是一元二次方程.
2、若方程中，满足和，则方程的根是（ ） （A）1，0 （B）-1，0 （C）1，-1 （D）无法确定
3、已知方程ax2+c=0(a≠0)有实数根，则a与c的关系是（ ）
A.c=0 B.c=0或a、c异号 C.c=0或a、c同号 D.c是a的整数倍
4、当a，c异号时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D.不能确定
5、用配方法证明：（1）代数式x2+2mx+2m2+1的值恒大于零；
（2）代数式-2x2+8x-12的值恒小于零；
（3）代数式－3x2－x+1的值不大于。
6、已知：关于x的方程
（1）求证；这个方程必有两个不等的实数根；
（2）若m-1=1，试证明： （x1，x2是原方程的两个根）
7、已知关于x的方程
（1）求证方程必有两个相异实数根；（2）a取何值时，方程有两个正根；
（3）a取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大；
（4）a取何值时，方程至少有一个根为零？
§2.2 一元二次方程的应用
§2.2.1 一元二次方程的实际应用
知识目标：1、根据给出的条件列出一元二次方程
例1：哈尔滨市政府为了申办2010年冬奥委，决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，希望绿地面积可以增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　）
A、19% B、20% C、21% D、22%
答案：B
即时练习：1、某小区2011年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
【答案】20%
2、某中小企业，通过上市融资，扩大再生产，2年后，总收益增加到原来的8倍，那么该企业年平均增长率为_________
答案：
解析：设平均增长率为x，当年的总收益为a，
a（1+x）2=8a，解得x=-1
例2，百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十 一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
请先填空后再列方程求解：设每件童装降价_____ 元，那么平均每天就可多售出 ______件，
现在一天可售出 _____件，每件盈利 ______元．
答案：x；2x；20+2x；40-x
解析：理解题意如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件
可知（20+2x）（40-x）=1200，解得x1=10，x2=20
要尽快减少库存，x=20
即时练习1，某厂经有关部门批准，计划生产“世博会”吉祥物“海宝”，每日最高产量为40只，且每日产品全部售出．已知生产x只吉祥物“海宝”的成本为R（元），售价每只为P（元），且R，P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170-2x，求当日产量为_________时，每日获得利润为1750元
答案：25
解析：等量关系为：售价p×销售数量x-生产x只吉祥物“海宝”的成本=1750，把相关数值代入求解即可．
∵生产x只吉祥物“海宝”的成本为R（元），售价每只为P（元），且
R，P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170-2x，
∴（170-2x）x-（500+30x）=1750，
解得 x1=25，x2=45（大于每日最高产量为40只，舍去）．
2、今年8月份，在刚果爆发的传染病很严重，若有一人感染，经过两轮传染后共有256人感染，请计算每轮传染中平均一个人传染几个人？
§2.2.2 一元二次方程与几何图形
知识目标：1、通过几何图形找到等量关系
例1： 8块相同的长方形地砖拼成面积为2400 cm2的矩形ABCD（如图），则矩形ABCD的周长为（　　）
A、200cm B、220cm C、240cm D、280cm
答案：A
解析：设小长方形的宽为xcm，则可以根据图形列出方程，解得x=10，由此计算出矩形的周长
即时练习：一个长100m宽60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加xm，那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000m2？列出方程 ________________，能否求出x的值： ________（能或不能）．
答案：(100+x)(60+140-x)=20000,能
解析：周长增加了600-2（100+60）=280，长增加x所以宽增加了（140-x）
(100+x)(60+140-x)=20000，解出方程，即可
即时练习：在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程_______
例2：如图2所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10，则CE的长为_________.
图2
解：延长DA至M，使BM⊥BE.过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形，所以BC＝BG.又∠CBE＝∠GBM，
∴Rt△BEC≌Rt△BMG.
∴BM＝BE，∠ABE＝∠ABM＝45°，
∴△ABE≌△ABM，AM＝AE＝10.
设CE＝x，则AG＝10－x,AD＝12－(10－x)＝2＋x，DE＝12－x.
在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，
∴100＝（x＋2）2＋（12－x）2，
即x2－10x＋24＝0,解之，得x1＝4，x2＝6.
故CE的长为4或6.
即时练习：如图，折叠直角梯形纸片的上底AD，点D落在底边BC上点F处，已知DC=8㎝，FC = 4㎝，则EC长 ㎝
同步突破
A组
1．某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )
A. B.
C. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289
【答案】A
2、某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
3.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )
A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000,
4、某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A、x（x+1）=2550 B、x（x-1）=2550
C、2x（x+1）=2550 D、x（x-1）=2550×2
5.如图, 在△ABC中, ∠B = 90°, 点P从点 A 开始沿AB边向点B以 1cm / s 的速度移动, Q 从点B开始沿 BC 边向C点以 2 cm / s 的速度移动, 如果点P、Q分别从A、B同时出发, 几秒钟后, △PBQ 的面积等于8 cm2
6.某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金-各种费用）为275万元？
7.随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资.尹进2008 年的月工资为2000 元，在2010 年时他的月工资增加到2420 元，他2011年的月工资按2008 到2010 年的月工资的平均增长率继续增长.尹进2011年的月工资为多少
8.某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同．
（1）求每期减少的百分率是多少？
（2）预计第一期中每减少一万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少一万立方米废气需投入4.5万元，问两期治理共需投入多少万元？
9.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。
（1）求平均每次下调的百分率。
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
10. 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点.据某事交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆.
（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同，情你计算初该市从2010年初七每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.
11. 机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，若加工一台大型机械设备润滑用油量为a千克，用油的重复利用率为q，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为b=a（1-q）千克．某企业原先加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%．该企业进行了技术革新，发现革新后润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加2%．这样加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到16千克．求：
（1）原先加工一台大型机械设备的实际耗油量为多少千克？
（2）技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
B组
1.有一块长32cm，宽24cm的长方形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是（　　）
A、3cm B、2cm
C、5cm D、4cm
2．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 ▲ m（可利用的围墙长度超过6m）．
3.如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m．
（1）鸡场的面积能达到150m2吗？
（2）鸡场的面积能达到180m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
4．用长为24 m的铝合金材料制成如图长方形窗框（不计接缝）。
当窗框的长取多少时，窗框的面积为12 m2；
当窗框的长取多少时，窗框的面积为15 m2；
能制成面积为18 m2的窗框吗？说明理由。
5．如图，客轮沿折线A-B-C，从A出发经B在到C匀速航行，货轮从AC中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批货物送达客轮。两航船同时起航，并同时到达折线A-B-C的某一点E处。已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮的速度是货轮的2倍。
（1）求出E的位置；
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里（结果保留4个有效数字）。
6、商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 ▲ 件，每件商品盈利 ▲ 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【答案】（1） 2x 50－x
（2）由题意得：（50－x）（30＋2x）=2100
化简得：x2－35x+300=0
解得：x1=15， x2=20
∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去. ∴x=20
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.
7. 某商店以6元/千克的价格购进某干果1140千克,并对其起先筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售,这批干果销售结束后,店主从销售统计中发现:甲级干果与乙级干果在销售过程中每都有销售量,且在同一天卖完;甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销售量(千克)与x的关系为;乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销售量(千克)与t的关系为,且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表:
t 1 2 3
y 2 21 44 69
(1)求a、b的值.
(2)若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售,则卖完这批干果获得的毛利润为多少元
(3)此人第几天起乙级干果每 天的销售量比甲级干果每天的销售量至少多6千克 (说明:毛利润=销售总金额-进货总金额.这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计.)
§1.4 反思与总结
一元二次方程知识点总结及应用
一、一元二次方程
1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法:
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：
公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
5、韦达定理
利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用
三、一元二次方程根的判别式
根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；
III当△<0时，一元二次方程没有实数根
四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
五、一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )。
　　直接开平方法是最基本的方法。
　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。
　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )，配方法，待定系数法）。
§1.5 章节检测
一元二次方程单元测试
一．选择题（每小题3分，共30分）
1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（ D ）
A. B.
C. D.
2.方程的根是（ D ）
A.x=2 B.x=1 C.x=1,x D.x,x
3．方程的根的情况是( A )
A.有两个不相等实根 B.有两个相等实根 C.没有实数根 D.无法确定
4．当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是（ A ）．
A.4 B.0 C.-2 D.-4
5．配方法解方程，下列配方正确的是（ A ）
A． B． C． D．
6．下面是严栋同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是……( )
A.若x2 = 4，则x＝2
B.方程x(2x－1)＝2x－1的解为x＝1
C.若x2+2x+ k = 0的一个根为1，则
D.若分式的值为零，则x＝1，2
7．物美商场把进价为1980元的某种商品按标价的八折出售，仍可获利10%，则该商品标价为（ ）
A．2160元 B．2613.6元 C．2640元 D．2722.5元
8．一元二次方程有两个相等的实数根，则等于 （　　）
A. B. 1 C.或1 D.2
9.若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A.-1或-2 B.-1或2 C.1或-2 D.1或2
10．已知m、n是方程的两个根，则（ ）
A.1991 B.1992 C.-1992 D.1999
二．填空题（每小题4分，共14分）
11.若分式的值是0，则x=______．
12．填上适当的数，使等式成立：　　　　＝－　　　．
13. 已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。
14. 写一个有两个相等的实数根的一元二次方程： ．
15.已知x2+y2-4x+6y+13=0，x，y为实数，则xy_______
16.已知a、b、c为的三边，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么这个三角形 是 。
三．解决问题
17. 解下列方程
（用配方法）
18.已知关于的方程两根的平方和比两根的积大21，求的值
答案：
解：设此方程的两根分别为X1,X2，则
(X12+X22)- X1X2=21
(X1+X2)2-3 X1X2 =21
[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21
m2-16m-17=0
m1=-1 m2=17
因为△≥0，所以m≤0，所以m＝-1
19．当为何整数时，方程有整数解．
20．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
21.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
22．已知关于x的两个一元二次方程：
方程： ①
方程： ②
(1)若方程①和②中只有一个方程有实数根；则方程①，②中没有实数根的方程是______(填方程的序号)，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，若k为正整数，解出有实数根的方程的根．
23．如图，在△ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC于D,动点P从点A出发以1cm/s的速度在线段AD上向终点D运动。设动点运动时间为ts。
（1）求AD的长
（2）当△PDC的面积为15cm 时，求t的值。
（3）动点M从点C出发以2cm/s的速度在射线CB上运动.点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动.问：是否存在t，使得PM=AP+BM？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由？
一元二次方程讲义答案
§2.1 一元二次方程的定义及性质
§2.1.1 一元二次方程定义
例1：
即时练习： ①③⑤⑥⑦ 。
例2，
即时练习1：答案：m=-2
例3：
即时练习：答案：D
§2.1.2 一元二次方程的解法
例1：
即时练习：
1解：原式可化为：（x-3）（x-3+4x）=0
∴x-3=0或5x-3=0
解得x1=3，x2=
2解：原式化为：（x+1）（x-3）=0
∴x+1=0或x-3=0
解得：x1=-1，x2=3
3解：原方程化为：x +2x-3=0
例2：
即时练习：1 解：原式化为：（x-1）（x-2）=0
∴x-1=0或x-2=0
解得：x1=1，x2=2
2解：原式化为(x-4)(2x+1)=0
∴x-4=0或2x+1=0
解得：x1=4，x2=-
3、解析：将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．
解：x2-10x+21=0，
因式分解得：（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的解，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
故选A
例3
即时练习：1 .，
2. ，
3、解方程：（3y-1）2=（y-3）2．
解析：由于方程两边都是完全平方式，这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程，即可求解．
解：∵（3y-1）2=（y-3）2
∴3y-1=±（y-3），
解得y1=1，y2=-1．
例4
即时练习：1 _-1____
2 _-1______
3、解方程：
把方程的常数项移到等号的右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方得到一个可以直接开平方的式子，然后开平方计算．
解：配方得
解得x1=x2=
例5
即时练习：
1 解： +|b+1|+(c+3)2=|a-1|+|b+1|+(c+3)2
所以：a=1，b=-1，c=-3
则有：x2-x-3=0
解之得：，
2．解：原式化为：3x2+10x+5=0．
用公式法解得：，
3.解：用公式法解得：
4、解析：先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围．
解：根据方程的求根公式可得：
==-a-1±a，
则方程的两根为-1或-2a-1，
∵-1＜0，
∴小于1的正数根只能为-2a-1，
即0＜-2a-1＜1，
解得-1＜a＜
例6
即时练习：
解析：根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据==，代入数值计算即可．
解：由题意知，x1+x2=-=-6，x1x2=3，
所以====10
例7
即时练习：解：根据题意可得：
所以：
例8
即时练习：
解析：（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．
解：（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4≥4，即△≥4，
∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；
（2）根据题意，得
12-1×（m+2）+（2m-1）=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为
该直角三角形的周长为1+3+=4+
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1+3+=4+
同步突破
A组
1、其中是整式方程的有 ①③④⑤⑥ ，是一元二次方程的有①③⑥ 。(只需填写序号)
2、-1
3、一般形式是5x2－2x+3=0，其二次项系数是 5 ，一次项系数是－2，常数项是 3 .
4、C
5、D
6、m=1，n=0
7、A
8、a=_6____________.
9、A
10． b2-4ac > 0，常数项c < 0。
B组
1.当m_=4________时,是一元一次方程；当m_≠±4________时,是一元二次方程.
2、C
3、B
4、B
5、（1）原式变为：（x+m） + m2+1
∵（x+m） ≥0；m2+1≥1
∴（x+m） + m2+1≥1＞0
即：x2+2mx+2m2+1＞0
（2）原式变为：-2[（x-2） +2]
∵（x-2） +2＞0
∴-2[（x-2） +2] ＜0
（3）∵－3x2－x+1=
∴代数式－3x2－x+1的值不大于。
6、（1）∵△=4m-4（m-1）=4m-4m+4=4＞0
∴这个方程必有两个不等的实数根
（2）若m-1=1，则方程变为：
7、（1）∵△=4a -4（a-4）=4a -4a+16=（2a-1） +15＞0
∴方程必有两个相异实数根
§2.2 一元二次方程的应用
§2.2.1 一元二次方程的实际应用
例1：
即时练习：
1、【答案】20%
2、 答案：
解析：设平均增长率为x，当年的总收益为a，
a（1+x）2=8a，解得x=-1
例2，
即时练习1，
答案：25
解析：等量关系为：售价p×销售数量x-生产x只吉祥物“海宝”的成本=1750，把相关数值代入求解即可．
∵生产x只吉祥物“海宝”的成本为R（元），售价每只为P（元），且
R，P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170-2x，
∴（170-2x）x-（500+30x）=1750，
解得 x1=25，x2=45（大于每日最高产量为40只，舍去）．
2、解设：每轮传染中平均一个人传染x个人，则在第一轮感染后总有x+1人感染，第二轮后有x（x+1）+x+1人感染。
所以有：x（x+1）+x+1=256
解得：x1=15，x2=-17（舍去）
§2.2.2 一元二次方程与几何图形
知识目标：1、通过几何图形找到等量关系
例1：
即时练习：（80+2x）（50+2x）=5400
例2：
即时练习： 3
同步突破
A组
1．【答案】A
2、【答案】C
3. 【答案】D
4、【答案】B　
5.解：设经x秒。则有PB=6-x（cm），BQ=2x（cm）
所以有（6-x）* 2x / 2 = 8
解得x=2或x=4
答：经2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8 cm2
6. 解:5000元=0.5万元.
(1)年租金为13万元时,比预定租金增加了:13-10=3(万元);
则少租出:3÷0.5=6(间).
所以,当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出:30-6=24(间).
(2)设每间商铺年租金定增加X万元时,该公司年收益为275万元,则:
每间商铺年租金增加X万元,则少租出高铺:X÷0.5=2X(间);
总收入为:(10+X)(30-2X)=-2X +10X+300;
总支出为:1(30-2X)+0.5×(2X)=30-X;
则年收益为: (-2X +10X+300)-(30-X)=-2X +11X+270.
令:275=-2X +11X+270,解之得X=0.5或5.
根据题意,这里的X应该取整数,故X=5.
所以当每年商铺年租金定为(10+5=)15万元时,公司年收益为275万元.
7. 设尹进2008到2010年的月工资的平均增长率为x,则2000（1＋x）2＝2420．
解得 ，x1＝－2.1, x2＝0.1, (2分 )x1＝－2.1与题意不合，舍去.
∴尹进2011年的月工资为2420×(1＋0.1)=2662元.
8. 解：（1）设每期减少的百分率是x，
450×（1-x）2=288，
解得：x1=1.8（舍去），x2=0.2
解得x=20%．
答：每期减少的百分率是20%．
（2）两期治理共需投入资金=450×20%×3+（450-288-450×20%）×4.5=594万元．
答：两期治理共需投入594万元．
9. （1）设平均每次下调的百分率x，则
　　6000（1－x）2=4860
　　解得：x1=0.1 x2=1.9（舍去）
　　∴平均每次下调的百分率10%
　　（2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720元
　　方案②可优惠：100×80=8000
　　∴方案①更优惠
10.（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．
根据题意，得180（1+x）2=216，
解得x1=0.095=9.5%，x2=-1.095（不合题意，舍去）．
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为9.5%．
（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为（216×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（216×90%+y）×90%+y]万辆．
根据题意得（216×90%+y）×90%+y≤231.96，
解得y≤30．
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆．
11. 解：（1）设加工一台大型机械设备润滑用油量为a千克，用油的重复利用率为q，
b=a（1-q）=90（1-60%）=36．
答：原先加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克；
（2）设技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是x千克，则用油的重复利用率60%+2%（90-x）
根据题意得：x[1-60%-2%（90-x）]=16，
解方程得：x1=80或x2=-10（舍去）．
当x=80时时重复利用率为80%．
答：技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是80千克，用油的重复利用率是80%．
B组
1.【答案】
2．【答案】
3. （1）解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的边长为（35-2x）m，
可列方程为x（35-2x）=150，
即2x2-35x+150=0，
解得x1=10，x2=7.5，
当x=10时，35-2x=15，
当x=7.5时，35-2x=20＞18（舍去）．
答：鸡场的面积能达到150m ，方案是与墙垂直的一边长为10m，与墙平行的边长为15m
（2）x(35-2x)=180
2x -35x+180=0
△=(-35) -4×2×180<0
无解
所以面积不能达到180平方米
4.（1）设长为x 则宽为8-x
则 x（8-x）=12
得， 即 长为6米
（2）设长为x 则宽为8-x
x（8-x）=15
得 即 长为5米
（3）设长为x 则宽为8-x
x（8-x）=18
＜0
所以不能制成18m2的窗框
5． （1）求出E的位置；（１）由于客轮的速度是货轮的２倍，所以客轮行驶的距离是货轮行驶距离的２倍，如果相遇点Ｅ在ＡＢ上，则Ｄ到Ｅ的距离大于或等于１００海里，ＡＥ小于或等于２００，当货轮行驶　１００海里到ＡＢ中点时，客轮已行驶２００海里到达点Ｂ，两船不可能相遇．故可知相遇点Ｅ在ＢＣ上
（２）设货轮从出发到两船相遇共航行了ｘ海里，过Ｄ作ＤＦ⊥ＢＣ于Ｆ，连结ＤＥ，则ＤＥ＝ｘ，ＡＢ＋ＢＥ＝２ｘ，ＢＥ＝２ｘ－２００；
在等腰直角三角形ＡＢＣ中，因为ＡＢ＝ＢＣ＝２００，Ｄ是ＡＢ的中点，
所以，ＤＦ＝１００，ＥＦ＝ＢＦ－ＢＥ＝１００－（２ｘ－２００）＝３００－２ｘ，
在直角三角形ＤＥＦ中，由勾股定理，得
，解之，得ｘ＝２００±，
因为２００＋＞２００，所以，ｘ＝２００－．
答：货轮从出发到两船相遇共航行了（２００－）海里．
6、【答案】（1） 2x 50－x
（2）由题意得：（50－x）（30＋2x）=2100
化简得：x2－35x+300=0
解得：x1=15， x2=20
∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去. ∴x=20
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.
7. 【答案】（1）根据表中的数据可得
21=a+b
44=4a+2b
解得 a=1，b=20 ．
（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．
-n +40n+n +20n=1140
n=19，
当n=19时，y1=399，y2=741，
毛利润=399×8+741×6-1140×6=798（元）．
（3）设从第m天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，则甲、乙级干果的销售量为m天的销售量减去m-1天的销售量，
即甲级水果第m天所卖出的水果数量：（-m +40m）-[-（m-1) +40（m-1）]=-2m+41．
乙级水果第m天所卖出的水果数量：（m +20m）-[（m-1) +20（m-1）]=2m+19，
（2m+19）-（-2m+41）≥6
解得：m≥7
第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克
一元二次方程单元测试答案
一．选择题（每小题3分，共30分）
1.答案：D
2.答案：D
3．答案：A
4．案:A
5．答案：A
6．答案：C
7．答案：D
8．答案：C
9.答案：D
10．答案：A
二．填空题（每小题4分，共14分）
11.答案：8
12．答案：，
13.答案：3，-5
14. 答案：等
15.答案：-6
16.答案：等腰三角形
三．解决问题
17. 解下列方程
答案：
18.答案：
解：设此方程的两根分别为1, 2，则
(12+22)- 12=21
(1+2)2-3 12 =21
[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21
m2-16m-17=0
m1=-1 m2=17
因为△≥0，所以m≤0，所以m＝-1
19．答案：
∵和m都是整数
∴和也是整数
(2-m)( -2m)=5=1×5
所以，2-m=1，-2m=5；………………（1）
或2-m=5，-2m=1……………………（2）
解方程组（1）：=1，m=-3
解方程组（2）：=3，m=1
综上，m=-3或1时，方程有整数解，对应的整数解分别是=1和=3
20．答案：
解：设每台冰箱的定价为(2900-50)元，则有
(2900-2500-50)(8+4)=5000
即 -6+9=0
=3
所以，每台冰箱定价为2750元。
21.答案：
解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1++（1+）=81，
整理得（1+ ） =81，
则+1=9或+1= ，
解得=8，= （舍去），
∴（1+） =（1+8） =729＞700．
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
22．答案：（1）①无
假设①有实数根则有：；假设②有实数根则有：
若①有实数根则②一定也有实数根，但只有一个有实数根则只有①无实数根
（2）因为②有实数根①无实数根则
因为k是正整数，则k=5，或k=6
当k=5时，②式变为： 解之：
当k=6时，②式变为： 解之：即：
23．
答案：
（1）∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=DC==5
∵AD =AB -BD
∴AD=
(2)AP=t，PD=12-t
解得：t=6
（3）AP=t，PD=12-t，CM=2t
要有PM=AP+BM，则PM =(AP+BM) ,又PM =PD +DM 则有：PD +DM =(AP+BM)
当0≤t≤5时，（12-t） +（5-2t） =[t+(10-2t)]
化简得：4t -24t+69=0；△<0,无解
当5＜t≤12时，（12-t） +（2t-5） =[t+(2t-10)]
化简得：4t -16t-69=0
解之：
所以当t=时有PM=AP+BM