特殊平行四边形

初中数学同步培优教材
目录
特殊平行四边形.........................................
§6.1 矩形.............................
§6.2 菱形................................
§6.3 正方形..................................
§6.4 梯形...................................
§6.5 综合...................................
封底 ................................................
八下第6章 特殊平行四边形
章节概述：本章是（浙教版）八年级下学期数学教材第六章，共有四节，主要内容有矩形、菱形、正方形、梯形。在生活中随处可见特殊的四边形，它们的应用非常广泛，在整个初中数学中起着承前启后的作用。它既是平行线和三角形等内容的应用和深化，又是正多边形学习的基础，也是中考的必考内容。并且《特殊的平行四边形》在中考试卷中所占的比例较大，近年的中考题还出现了一些以四边形为背景的探究题、折痕问题图形变换问题等新题型
§6.1 矩形
知识要点：
1.矩形的定义。
矩形的性质。
矩形的判定
例1：在矩形中，对角线具有的性质是（ ）
A．相等且互相垂直 B．相等且互相平分
C．互相垂直且互相平分 D．互相垂直且平分内角
解析：本题主要考查矩形中的对角线性质，要注意：因为矩形也是平行四边形，所以对角线也具有互相平分的性质。
答案：。
即时训练1：如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　　）
A 2 B 4 C 6 D 8
解析：本题结合了等腰三角形和矩形中对角线互相平分的性质
答案：B。
例2:如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是
解析：根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案
答案：∠A=90°
即时训练：下列说法错误的是（ ）．
A矩形的对角线互相平分 B矩形的对角线相等
C有一个角是直角的四边形是矩形 D有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
解析：本题主要考查矩形的定义及性质。答案：C。
例3:如图，□ABCD中，AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点，求证：四边形EFGH的矩形。
解析：本题结合了平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、矩形的判定（三个角都为90度的四边形）
即时训练：如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
⑴求证：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
解析：本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．
（1）先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC，AB=DC， ∠ABF=∠ECF，从而证得△ABF≌△ECF（AAS）
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC（对角线相等的平行四边形是矩形），得证．
例4：如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.
解析：本题属于翻折问题，要注意应用翻折后的不变量。连接A、C，则EF垂直平分AC，且AE=CE根据勾股定理，可以求出AC的长度，在直角三角形中求出OE即可．
答案：。
即时训练1：如图，矩形纸片中，，现将重合使纸片折叠压平，设折痕为，则重叠部分的面积为多少？
解析：本题属于翻折问题，要注意应用翻折后的不变量（相等的线段，相等的角），利用勾股定理列方程求解：设AF=x，先根据折叠的性质求出DF=GF、AG的值，在RT△AGF中利用勾股定理可得x的值，最后根据三角形的面积公式计算
答案：cm2
A组
若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为 。
2、给出下列四种图形：矩形、线段、等边三角形、正六边形．从对称性角度分析，其中与众不同的一种图形是：
3、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，若AE⊥BD于E，且OE∶OD＝1∶2，AE＝cm，则DE＝ cm。
4、给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②四个角都相等的四边形是矩形；③有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；④有一个角是直角的平行四边形是矩形。其中正确的命题有（ ）
A、①② B、③④ C、③ D、①②③④
5、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形
6、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
B组
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，P点在AD边上以每秒1 cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（ ）次平行于AB。
A、1 B、2 C、3 D、4
8、如图，已知矩形纸片ABCD中，AD＝9cm，AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（ ）
A、4cm、cm B、5cm、cm
C、4cm、cm D、5cm、cm
9、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，使EFGH为矩形，则这样的矩形（ ）
A、仅能作一个 B、可以作四个
C、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个
10、如图，P是矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，则PB＝ 。
11、如图，某村有一个四边形的池塘，在它的四个顶点A、B、C、D处均有一棵树，该村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问该村能否实现这一设想？ （用“能”或“不能”填空）．若填“能”，请你写出设计方案并画出图形；若填“不能”，请简要说明理由．
§6.2 菱形
知识要点：
1.菱形的定义。
2.菱形的性质。
3.菱形的判定
例1： 的平行四边形是菱形
解析：本题考查菱形定义，一种是定义法；一种是根据性质去判定。
答案：一组邻边相等；对角线互相垂直
即时训练： 的四边形是菱形
解析：本题考查菱形定义，一种是定义法；一种是根据性质去判定。
答案：四边相等；对角线互相平分、垂直
例2：已知菱形的锐角是600，边长是20cm，则较短的对角线长是 cm。
解析：本题考查菱形的对角线性质：互相垂直，最后根据含有300的直角三角形即可求出。
答案：20。
即时训练：如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝600，∠BAE＝200，则∠CEF＝ 。
解析：本题考查菱形的对角线性质：平分一组对角，并结合等边三角形、三角形全等即可：连接AC，首先证明△ABE≌△ACF，然后推出AE=AF，证明△AEF是等边三角形，最后可求出∠AFD，∠CFE的度数
答案：200
例3：如图，已知菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC=120°，求对角线BD和AC及菱形的面积。
解析：本题引出菱形面积的另一种求法：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
答案：
即时训练：若菱形的周长为20cm，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积是多少？
解析：本题引出菱形面积的另一种求法：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
答案：
例4：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：AD⊥EF。
解析：本题考查一组邻边相等的平行四边形是菱形，之后根据菱形的对角线性质即得
即时训练：如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，（1）求证四边形BDEF是菱形。（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长？
解析：本题的关键是判断四边形BDEF是菱形
（1）可根据菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明四边形BFED是平行四边形，然后再证明四边形的邻边相等即可．
（2）F是AB的中点，有了AB的长也就求出了菱形的边长BF的长，那么菱形BDEF的周长也就能求出了．
答案：（2）24cm
例5：一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形？请说明理由
解析：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．先证四边形ABCD为平行四边形，再证AD=CD，即证 ABCD为菱形．
即时训练：下列命题中：
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；
④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；
其中真命题是
解析：本题考查从对角线出发来判定平行四边形、菱形、及矩形
答案：①③④
A组
1、如图4，菱形ABCD中，∠BAD=60 ，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为 ．
2、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．
3、如图所示，菱形中，对角线相交于点，为边中点，菱形的周长为24，则的长等于 ．
4、如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是______________.
B组
5．如图，四边形ABCD是菱形，
BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．
6．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点
（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．
（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，
△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？
7．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、
点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出
发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果
可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？
（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．
8、已知：如图，C是线段BD上一点，△ABC和△ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。
§6.3 正方形
知识要点：
1.正方形的定义。
正方形的性质。
正方形的判定。
例1：填写下列表中空白部分
边 角 对角线 对称性
平行四边形 对边平行且相等 对角相等、邻角互补 互相平分 中心对称图形
矩形 互相平分且相等
菱形 对边平行且四边相等 互相平分垂直、且每一条对角线平分一组对角
正方形 四个角都是直角
解析：几种特殊平行四边形的性质
即时训练：
解析：根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系,遇到具体问题时,可以本着先判断是平行四边形,再判断是矩形或菱形,进而得到正方形.
例2： 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，点G、H分别在AB、CD上，且EF⊥GH求的值。
解析：本题主要考查正方形、三角形全等。
过点A、D作EF、GH的平行线，即可得DNGH、AMFE为平行四边形，根据条件得△ABM≌△DAN，故有AM=DN=EF=GH
答案：1
即时训练：如图，正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM是（ ）
A. 45° B.55° C.65° D. 75°
解析：本题主要考查了正方形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键：作NF⊥BC于F，∴△BEC≌△FMN
答案：B。
例3：如图 正方形的边长为2，E、F分别为边AB、AD的中点，G是CF上的一点，使得3CG=2GF，则△BEG的面积是______________.
解析：本题主要考查正方形的性质，含有中点的题型类型正确作出辅助线是关键
答案：。
即时训练： 已知：如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点，AF、BE交于点G，连结CG，试说明：ΔCGB是等腰三角形．
例4：如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．
（1）求证：DE=DF；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．
解析：本题主要考查正方形的判定
利用“HL”证明Rt△BDF≌Rt△CDE，即可得到DE=DF；
（2）由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．
即时训练： 如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
A组
1、正方形有 条对称轴．
2. 如图，正方形的对角线相交于O，∠BAC的的平分线交BD于E，若正方形的周长是20cm，则DE＝
3. 正方形ABCD中，对角线的长是10cm，点P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和是 。
4. 如图，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE、FG、HI都垂直于AD；EF、GH、IJ都垂直于AO，若S△Aij=1，则S正方形ABCD=____
若一个正方形的边长为a，则它的面积为_____；若一个正方形的对角线长为a，则它的面积为____
6. 如图，正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交BD于E 点，则∠BEC＝( )
A 45°B 60°C 70°D 75°
7. 如图，以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边ΔADE，则∠AEB＝( )
A 10°B 15°C 20°D 12.5°
如图所示，正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．请猜想EF与AP的数量关系、位置关系，并说明理由．
9 如图，E是正方形ABCD的BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，求：∠E的度数。
10.如图,正方形ABCD中,∠EBF=45°,E、F分别在边AD和CD上.求证:EF=AE+FC.
11. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．
12．如图①所示，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于F，请说明OE＝OF
对于上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，如图②所示，请你想一想，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给予说明；如果不成立，请说明理由。
13. 如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，F是OB上一点，且OE=OF，回答下列问题：
　(1)图中△OAF变到△OBE的位置，可以通过平移，旋转，翻折中的哪一种变化。
(2)猜想AF与BE之间的关系，并说明猜想的正确性。
(3)如图，若点E，F分别运动到OC，OB的延长线上，且OE=OF，(2)中的结论仍然成立吗？说明理由。
14. 如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、（＞0，＞0，＞0）．
（1）求证：=；
(2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=；
（3）若，当变化时，说明正方形ABCD的面积S随的变化情况．
B组
1、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；
④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC．其中正确结论的序号是 ．
2 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .
4. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
5. 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45 ，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
§6.4 梯形
知识要点：
1.梯形的定义。
2.梯形的性质。
3.梯形的判定
例1：梯形分为：　　　　　　　　　，　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　；
梯形有　　　条对称轴，如图中共有 个梯形．
解析：本题主要考查梯形的分类及对称性
答案：一般梯形、等腰梯形、直角梯形；0或1；18
即时训练：计算如图梯形的面积
解析：本题主要考查梯形面积的计算，并结合等腰三角形的性质
答案：50cm2。
例2：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝60°，AD＝15cm，BC＝49cm，求CD的长.
解析：本题主要考查梯形中辅助线的其中一种做法：平移一腰.
[注意]梯形中常见的添辅助线的技巧:
1.延长两腰交于一点 2.平移一腰
3.作高　 　　　　　　　　　　　　 4.平移一条对角线
5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长与一个底的延长线相交。
6.当有一腰中点时，过中点的平行线 　　　　　　　　　　　　
7.当有一腰中点时，取另一腰的中点，并连结两腰中点。
8.上下底边有中点时，过上底中点作两腰的平行线
　　　　　　　　　　　　
答案：34cm。
　
即时训练：如图2，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD于O点．若中位线长为m，求梯形ABCD的面积S．
　
解析：本题主要考查梯形中辅助线的另外一种做法：平移对角线
答案：m2
例3：探究思考：连结梯形两腰中点的线段具有的性质
已知：梯形ABCD中，AD∥BC　E、F分别为两腰AB、DC中点．
观察易得，EF∥AD．试证明之。 试猜想并证明EF与梯形各边具有的数量关系．
解析：本题考查梯形的中位线定理，通过辅助线的另外一种做法：连接AF并延长交底边BC的延长线，通过三角形中位线得证
答案：EF=(AD+BC)/2
例3：在梯形ABCD中, ∠B=∠C ，AD∥BC。
求证：梯形ABCD是等腰梯形。
解析：本题考查等腰梯形的判定：同一底上的两个角相等。通过辅助线的另外一种做法：延长两腰，后结合等腰三角形、平行线的性质可得
即时训练：如图，在四边形ABCD中，AB=DC,∠B=∠C,AD＜BC. 求证：四边形ABCD为等腰梯形。
例4：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为
解析：本题考查等腰梯形的性质、轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．解题关键是分析何时PC+PD有最小值。
答案：
即时训练：已知如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为 .
A组
1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF为梯形的中位线， EF交梯形的对角线BD、AC于M、N，图中有几条三角形的中位线（ ）


A、2条 B、3条 C、4条 D、5条
2. 如图，梯形的一条对角线BD将中位线EF分成的两部分的比为1：2，则梯形上下两底的比为（ ）


A、1：2 B、1：4 C、2：3 D、1：3
3. 若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形的一个内角是（ ）
A、90° B、60° C、45° D 、30°
4. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD+BC=10cm，则梯形的高为（ ）


A、8cm B、5cm C、10cm D、11cm
5. 如图（5），在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC=3cm，BD=4cm.作DE∥AC，交BC的延长线于E，则下列结论:
四边形ACED是平行四边形. （3）∠BDE=∠BOC=900;
BC+AD=BE=5cm; (4)梯形ABCD的高DH==2.4cm,面积为 6cm2；（5）S梯形ABCD=SΔBDE.。其中正确的有（ ）
（A）5个 （B）4个 （C）3个 （D）2个
6.如图6，梯形ABCD中，AD∥BC，AH=HC,DG=GB，GH交两腰于E、F. 则下列结论:
AE=EB，DF=FC。 (2) AD∥EF∥BC. (3)EH=GF=BC,EG=HF=AD.(4)GH=(BC-AD).
其中正确的有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）４个
7.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD的长
8.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中点．有以下四个命题：
①如果AB+DC=BC，那么∠BEC=90°； ②如果∠BEC=90°，那么AB+DC=BC；
③如果BE是∠ABC的平分线，那么∠BEC=90°；
④如果AB+DC=BC，那么BE是∠ABC的平分线．
其中正确的命题的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC， BE⊥AC于E．
求证：BE＝CD．
10．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，CE⊥AB于E，若AC⊥BD于G．
求证：CE=（AB+CD）．
11.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,M为CD的中点。求证：AM=MB.
12、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F．
求证： CE=BF．
B组
13. 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G分别是OD、OA、BC的中点，∠AOB=60°.
求证：△EFG是等边三角形。
14.如图，在四边形中，AC平分∠BAD，，，．
求AC的长．
.
15.在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。
16.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝ 90○ ，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿边AD向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形、等腰梯形？
§6.5 综合部分
知识点的综合，本部分包括本章的典型题目及综合、提高题目
例1：顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当中点四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD是矩形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确的是
解析：本题借助三角形的中位线定理，将平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定结合在一起。 解题时注意中点四边形的判定：一般中点四边形是平行四边形；如果对角线相等，则得到的中点四边形是菱形，如果对角线互相垂直，则得到的中点四边形是矩形，如果对角线相等且互相垂直，则得到的中点四边形是正方形．
答案：①④
即时训练：我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件，则可使四边形EFGH成为特殊的平行四边形，请你经过探究后直接填写答案：
①当AC=BD时，四边形EFGH为 ；
②当AC BD时，四边形EFGH为矩形；
③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为 ．
例2：在四边形ABCD中，AB//CD，，AF⊥CD于点F，AE⊥BC于点E，，求四边形ABCD的周长
解析：本题首先要判断四边形ABCD为平行四边形，之后结合通过含有30度角的直角三角形，平行线的性质及平行四边形中的等面积法即可求得
答案：10cm
即时训练：七巧板是王敏梅祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”。若已知,请你根据七巧板制作过程的认识解决下列问题：
求一只蚂蚁从点A沿A-B-C-H-E所走的路线的总长
求平行四边形EFGH的面积
例3：如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M，D在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．
解析：本题考查正方形中的旋转问题，用旋转的方法解答本题，将△ABK绕A点逆时针旋转90°就与△ADM重合，可证明△ABK≌△ADM，BK和DM是对应边，∴BK与DM的关系是互相垂直且相等，要注意线段的关系包括位置和大小两方面
答案：垂直且相等
即时训练：如图，两个正方形ABCD与AKLM（顶点按顺时针方向排列），求证：这两个正方形的中心以及线段BM、DK的中点是某正方形的顶点
例4：锐角三角形ABC中，，向外作正三角形ABD与正三角形ACE，设CD与AB交于点F，BE与AC交于点G，CD又与BE交于点P，求证：
即时训练：设有一凸四边形ABCD，AB、BC、CD、DA上分别有两点E、F；G、H；I、J，K、L，满足AF=BE，BH=CG，CJ=DI，DL=AK，若四边形EFGH是四边形，求证：
例5：以三角形ABC三边向外分别作等边三角形DAC、ABE、BCF，
求证：
在（1）中是否存在平行四边形ADFE 若存在，写出应满足的条件；若不存在，请说明理由
当满足说明条件时，四边形ADFE是矩形？
当满足说明条件时，四边形ADFE是菱形？
当满足说明条件时，四边形ADFE是正方形？
解析：本题的关键是掌握特殊四边形的判定方法和性质
答案：（2）存在平行四边形AEFD，且△ABC需满足的条件是∠BAC≠60°；
（3）当∠BAC=150°，四边形ADFE是矩形
（4）故△ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形
（5）当△ABC是顶角∠BAC是150°的等腰三角形时，四边形AEFD是正方形
即时训练：在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=8cm，CD=2cmAD=6cm。点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动;点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动（P、Q两点中有一个点运动到终点时，所有运动即终止）。设P、Q同时出发并运动了t秒。
当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值
试问：是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一般？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由
A组
如图，五边形ABCDE中，,AE=CD=AB=BC+DE=1，则这个五边形的面积等于______________
2、P是边长是1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，M，N分别是AD、DC边上的中点，MP+NP的最小值是（）
A、2 B、1 C、 D、
3、如图，EF是正方形两对边中点的连线，将沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求的度数
4、在正方形ABCD中,AB=2，E是AD边上的一点（点E与点A、D不重合）。BE的垂直平分线交AB于点M，交DC于点N，设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式
5、现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，从距离正方形的四个顶点2cm处，沿角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是_____;若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？________________________
6、在直角三角形ABC中，，AC=3，以AB为一边向三角形外做正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC=，那么求BC的长
7、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，若E，F，G，H分别是梯形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点
求证：四边形EFGH是平行四边形
当梯形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形
在(2)的条件下，梯形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形
8、如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，,M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E
求证：ME=MF
如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明
如果3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC,其他条件不变，则线段ME与线段MF的数量关系是_______________
9、如图，在等腰梯形ABCD中，，AD//BC,且AD=DC，E，F分别在AD，DC的延长线上，且DE=CF，AF，BE交于点P
求证：AF=BE
请你猜测的度数，并证明你的结论
B组
1、如图：菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的内点．已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40．若即约分数为矩形ABCD的周长，求m+n
2、如图，由平行四边形的顶点B引它的高BK和BH，已知KH=a，BD=b，求点B到三角形BKH的垂心的距离
3、四边形ABCD中，对角线AC、BD的中点分别为M、N，MN的延长线与AB边的交点为P，求证：
正方形
A组
1、4； 2、5； 3、5； 4、256；5、、；6、C ；7、B
EF=PA，且EF⊥PA
22.5°。提示：外角及等腰三角形的结合
延长DA 到G，使AG=CF，连接BG，易证△ABG≌△CBF∴∠CBG=∠ABE，BG=BE
∴∠ABE+∠AGB=90度-∠EBF=45度=∠EBF，又∵BG=BF，BE=BE，∴△BEF≌△BEG
∴EF=EG，∴AE+FC=EF
（1）证明：连接AC，∵CD⊥AD，∴AD +CD ＝AC ，∵∠ABC=90∴AB +BC ＝AC ，∴AD +CD ＝AB +BC ，∵AD +CD ＝2AB ，∴2AB ＝AB +BC ，∴AB＝BC
证明：过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形．∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE=BF．∴BE=BF+EF=AE+CD．
（1）根据正方形的性质，用AAS判定△AOF≌△BOE，全等三角形的对应边相等，OE=OF。
过程与上同
（1）根据图形特点即可得到答案；
（2）延长AF交BE于M，根据正方形性质求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，证△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，根据三角形内角和定理证出即可；
（3）延长EB交AF于N，根据正方形性质推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可证△ABF≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．
14、（1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，根据正方形的性质和平行线的性质，证△ABE≌△CDG即可；
（2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且两直角边长分别为h1、h1+h2，四边形EFGH是边长为h2的正方形，所以S=4×h1(h1+h2)+h22=2h12+2h1h2+h22=(h1+h 2)2+h12．
（3）根据题意用h2关于h1的表达式代入S，即可求出h1取何范围是S的变化．
当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；当h1=时，S取得最小值；当＜h1＜时，S随h1的增大而增大
B组
①②④⑤； 2、C
3、2
4、
5、解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴ CG= FD．………1分
同理，在Rt△DEF中，EG= FD．…………2分
∴ CG=EG．…………………3分
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分
证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG．∴ AG=CG．………………………5分
在△DMG与△FNG中，∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG．∴ MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分
在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG． ……………………………8分
证法二：延长CG至M,使MG=CG， 连接MF，ME，EC， ……………………4分
在△DCG 与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴MF∥CD∥AB．………………………5分
∴ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中， ∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．∴ △MEC为直角三角形．∵ MG = CG，∴ EG= MC．………8分
（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分
梯形
A组
1、D； 2、A； 3、B； 4、B；5、A；6、D
7、9。提示：做腰的平行线后，根据角度知三角形ABE是等腰三角形，后AE=CD
8、D
9、连接BD，根据△DBC和△ABC面积相等得：AC× BE=BC× CD，且AC=BC，故得证
10、延长AB到F，连接CF。因为AB//CD，CF=DB.所以四边形DBCF是平行四边形.所以，因为梯形ABCD是等腰梯形，所以△ACF是等腰直角三角形。 因为CE⊥AB ，CE⊥AB于E，所以EC=1/2(AB+CD)
11、过M作ME⊥AB于E ∵AB⊥BC ，AD∥BC ∴AD⊥AB ∵ME⊥AB ∴AD∥BC∥ME ∴AE：EB=DM：DC ∵M为CD中点，即DM=MC ∴AE=EB
又∵ME⊥AB ∴E既是AB的中点，又是AB的垂足，即ME为三角形AMB的中垂线 ∴AM=BM（中垂线定理）
提示：要证明CE=BF，只需证明BE=CF．根据等腰梯形的两个底角相等和角平分线定义，可以证明∠BAE=∠CDF，∠ABC=∠DCB，结合AB=CD，即可证明△ABE≌△DCF，从而证明结论．
B组
由于梯形ABCD是等腰梯形∠AOB=60°，可知△OCD与△OAB均为等边三角形．连接CE，BF根据等边三角形的性质可知△BCE与△BFC为直角三角形，再利用直角三角形的性质可知GE=BF=BC，由中位线定理可知，EF=AD=BC，故△EFG是等边三角形。
AC=17。提示：作辅助线过C作CE⊥AB，CF⊥AD构建直角三角形，求证△CFD≌△CEB，即可得DF=EB，即可求得DF，根据DF求CF，根据CF、AF求AC
腰相等的梯形是等腰梯形，作出辅助线：过D作DM垂直于AB，垂足为M，根据三角形全等的判定定理和性质，求出两腰相等
16、已有一边平行PD∥QC,只需将PQ用时间t表示出来，利用平行四边和等腰梯形的性质列出方程即可。
综合
A组
1、1； 2、B； 3、75°；DF==DG
∴∠DGF=30°．∵∠EKG+∠KGE=90°∠KGE+∠DGF=90°
∴∠EKG=∠DGF=30°．∵2∠DKG+∠GKE=180°
∴∠DKG=75°．
4、
5、
6、 解：如图，做Rt△ABC全等Rt△ADE，所以DE=3，又因为OC=OD=4√2，所以CD=8.AD=BC=5.
7、
B组
8、
9、
10、
D
A
C
B
H
G
F
E
A
B
C
D
E
F
Ａ
F
D
C
B
E
O
B
A
H
D
C
⑦
④
平行四
边形
正方形
菱形
矩形
四边形
⑤
⑥
③
②
①
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
l1
l2
l3
l4
h1
h2
h3
A
B
C
D
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3
D
F
B
A
C
E
图③
F
B
A
D
C
E
G
图①
F
B
A
D
C
E
G
图②
A
B
C
D
A
B
C
D
M