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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列结论中，不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（b﹣d≠0），则
D．若，则a＝3，b＝4
【答案】D
【解析】、A、若，则，而，，不合题意；
B、若，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则，不合题意；
C、若（b﹣d≠0），则，则，不合题意；
D、若，设，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1， a，b的值不是3与4，符合题意．
故答案为：D．
2．如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，则DE的长度是（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】C
【解析】、由平行线分线段成比例可知
∴
解得
故答案为：C．
3．如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的高之比为（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．3：2
【答案】C
【解析】、两个相似三角形的面积之比为：
相似比为：
相似三角形对应高的比等于相似比
对应边上的高的比为：2：3
故答案为：C
4．如图，点P在ΔABC的边AC上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】、A、∵∠A=∠A，，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
C、∵∠A=∠A，，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，，
∴无法判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
故答案为：D．
5．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】、∵，
，
，
，
，
，
∴.
故答案为：C.
6．两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（ ）
A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2
【答案】C
【解析】、设较大多边形的面积为S
由两个相似多边形的相似比是3：4，可知两个相似多边形面积的相似比是9：16
∴
解得
故答案为：C．
7．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】、过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2．
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF===，
∵OH∥AE，
∴=，
∴OH=AE=，
∴OF=FH﹣OH=2﹣=，
∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，
∴=，∴AM=AF=，
∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，
∴=，
∴AN=AF=，
∴MN=AN﹣AM=﹣=，
故答案为：B．
8．如图，在正方形ABCD中放入两个相同小正方形纸片，重叠部分记为①，点E，F的位置如图所示，若D，F，E三点共线，则正方形ABCD与①的面积比为（ ）
A．9+4 B．2 C．3 D．9
【答案】A
【解析】、如图所示，
∵四边形ABCD和四边形AMHE、四边形KFGC都是正方形
∴四边形MPKD和四边形EBGQ也是正方形
延长GF与AD边交于点R，则
设AM=a，MD=b
则：RF=DK=b，AD=AM+MD=a+b，AE=AM=a，RD=a
∵
∴
又∵
∴
即：
∴
∴
即： 或 （舍）
由题意知，图形①也是正方形，边长为
∵ ，
∴
即
故答案为：A.
9．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（ ）
A．7∶5∶2 B．13∶5∶2 C．5∶3∶1 D．26∶10∶3
【答案】D
【解析】、如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，
∵H是△ABC的重心，
∴M是AC的中点，D是BC的中点，
∴G是AF的中点，
∴GM＝CF，
设CF＝a，则GM＝a，
∵CF∥BG，DE∶EC＝5∶2，D是BC的中点，
∴＝，
∴BG＝6CF＝6a，
∴BM＝a，
∵H是△ABC的重心，
∴BH＝BM＝a，
∴HG＝BG﹣BH＝6a﹣a＝a，
∴BH∶HG∶GM＝a∶a∶a＝26∶10∶3．
故答案为：D．
10．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
【答案】B
【解析】、过A作AF⊥OB于F，如图所示：
∵A（3，3 ），B（6，0），
∴AF＝3 ，OF＝3，OB＝6，
∴BF＝3，
∴OF＝BF，
∴AO＝AB，
∵tan∠AOB＝ ＝ ，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠ABO＝60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED＝∠OAB＝60°，
∴∠OCE＝∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝ ，
∴BE＝OB﹣OE＝6﹣ ＝ ，
设CE＝a，则CA＝a，CO＝6﹣a，ED＝b，则AD＝b，DB＝6﹣b，
则 ＝ ， ＝ ，
∴6b＝30a﹣5ab①，24a＝30b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b＝30b﹣30a，
∴ ＝ ，
即AC：AD＝2：3.
解法二：∵△CEO∽△EDB，△COE周长 ，△DEB周长 ，
∴相似比就是2：3，
∴CE：DE＝2：3，
即AC：AD＝2：3.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．设 ，则 = ．
【答案】10
【解析】、设 ，得： ， ．∴ = =10，故答案为10．
12．已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB BP，那么AP长为 ．
【答案】 ﹣1
【解析】、∵P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB BP，
∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，
∴AP＝ AB＝ ×2＝ ﹣1，
故答案为： ﹣1．
13．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若，AE=4，则EC等于 ．
【答案】2
【解析】、∵DE∥BC，，
∴AE：AC=AD：AB=2：3，
∴AE：EC=2：1．
∵AE=4，
∴CE=2，
故答案为2．
14．点 G 是 的重心， 过点 G 作 边的平行线与 边交于点 E 与 边交于点 F， 则 ．
【答案】
【解析】、如图所示，设AG交BC于D
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，
∴，
∵DE∥BC，
∴
∴，
∴
∴
∴
故答案为：
15．如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 mm．
【答案】48
【解析】、设该正方形的边长是a，则正确得式子=
16．如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF.若阴影部分面积是纸片面积的一半，则EF的长为 .
【答案】
【解析】、如图，设BE=m，BF=n.
∵“L”形面积为6，S阴影=6-BE BF=3，
∴mn=6，
又AC∥FB，
∴△ACE∽△FBE，
∴CE：BE=AC：FB，即，
整理，得mn-m-n=0，
即m+n=6，
∴EF2=BE2+BF2=m2+n2=（m+n）2-2mn=24，
∴EF=.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知：a：b：c＝3：4：5
（1）求代数式 的值；
（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．
【答案】（1）解：∵a：b：c=3：4：5，
∴设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），
则
（2）解：设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），代入3a﹣b+c＝10得：
9k-4k+5k=10，
解得k=1．
则a=3k=3，b=4k=4，c=5k=5．
18．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE∥AC， ＝ ．
（1）求证：DF∥BC；
（2）如果DF＝2，BE＝4，求 的值．
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴ = ，
又∵ ＝ ．
∴ = ，
∴DF∥BC
（2）解：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴CE=DF＝2，
∵BE＝4，
∴BC=4+2=6，
∵DF∥BC，
∴ ，
∴ =
19．如图，已知 ， ， .
（1）求 B大小；
（2）求DE的长度.
【答案】（1）解：∵ ，
∴∠ADE=180°－∠A－∠B=60°，
∵ ，
∴∠B=∠ADE=60°；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
20．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=2AD，CE=2AE.
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求证：DF BF=EF CF.
【答案】（1）证明：∵BD=2AD，CE=2AE，
∴AB=3AD，CE=2AE，
∴ ，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（2）∵ ，
∴DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ，
∴DF BF=EF CF.
21．如图，在 中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，连结OC，点F，E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO=∠EFM.
（1）求证：CF=EF；
（2）求证： .
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵O是AB的中点，
∴CO⊥AB，∠BOC=90°，
∴∠BCO=45°，
∠FCE=∠BCO+∠FCO=45°+∠FCO，
∠FEC=∠B+∠EFM=45°+∠EFM，
∵∠FCO=∠EFM，
∴∠FCE=∠FEC，
∴CF=EF；
（2）证明：∵EM⊥AB，
∴∠EMF=∠COF=90°，
∵EF=CF，∠FCO=∠EFM，
∴△EMF≌△FOC，
∴FM=OC=OB，
∵EM∥CO，
∴ ，
∵EM∥NO，
∴ ，
∴
22．△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；
（1）如图1，若D为BC的中点， ，求证：AF＝FD；
（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得 ；
（3）若F为AD的中点，设 ，请求出m、n之间的等量关系.
【答案】（1）解：作DG∥BE交AC于G，
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴ ＝ ＝1，
∴EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴ ＝ ，
∵ ，EG＝GC，
∴ ＝1，
∴ ＝1.
∴AF＝FD；
（2）解：作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；
（3）解：作DG∥BE交AC于G.
∵DG∥BE，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ，设AC＝a，AE＝an，EC＝a-an，EG＝m (a-an)，
∵EF∥DG，
∴ ＝ ，
∵F为AD的中点，
∴ 即 .
23．如图，在 中， ，将 绕点C旋转得到 ，连接AD.
（1）如图1，点E恰好落在线段AB上.
①求证： ；
②猜想 和 的关系，并说明理由；
（2）如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若 ， ，求CF的长.
【答案】（1）解：①∵将 绕点C旋转得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ；
② ，理由如下：
∵将 绕点C旋转得到 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ，作 于H，射线BE交线段AC于点F，则 ，
∵将 绕点C旋转得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
①当线段BE交AC于F时 ，
解得 ， （舍），
∴ ，
②当射线BE交AC于F时 ，
解得 （舍）， ，
∴ ，
综上，CF的长为3或 .
24．在△ABC中，D为AC上一点，且AC＝kAD，E是BC上一点，BD于AE相交于点O，若∠AOB+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠BAC＝120°，AB＝AC．
①找出与∠ABD相等的角，并证明；
②求的值．
（2）如图2，若BE＝2CE，求的值．
【答案】（1）解：①∠ABD＝∠CAE，理由如下：
∵∠BAC＝120°，
∴∠ADO+∠ABD＝60°，
∵∠AOB+∠BAC＝180°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ADO+∠CAE＝60°，
∴∠ABD＝∠CAE；
②如图1，
作EF⊥BC交AC于F，
设AD＝a，则AB＝AC＝ka，CD＝（k﹣1） a，设EF＝x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
∴CF＝2x，∠AFE＝∠C+∠CEF＝120°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠AFE＝∠BAC，
∵∠ABD＝∠CAE，
∴△AEF∽△BAD，
∴，，
∴，
∴x＝，
即：EF＝
∴＝；
（2）解：如图2，
作EFBD交AC于F，设AD＝a，设OD＝x，
则AC＝k a，CD＝（k﹣1） a，
∴△EFC∽△BDC，△AOD∽△AEF
∴，，
∴BD＝3EF，CF＝＝（k﹣1） a，
∴＝，
∴EF＝，
∴BD＝（2k+1） x，
∵∠CAE＝∠ACD，∠ADO＝∠ADB，
∴△AOD∽△BAD，
∴＝＝，
∴＝，
∴x＝ a
∴＝＝．
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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列结论中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若（b﹣d≠0），则 D．若，则a＝3，b＝4
2．如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，则DE的长度是（ ）
A． B． C．6 D．10
（第2题） （第4题） （第5题） （第7题）
3．如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的高之比为（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．3：2
4．如图，点P在ΔABC的边AC上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（ ）
A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2
7．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中放入两个相同小正方形纸片，重叠部分记为①，点E，F的位置如图所示，若D，F，E三点共线，则正方形ABCD与①的面积比为（ ）
A．9+4 B．2 C．3 D．9
（第8题） （第9题） （第10题）
9．如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（ ）
A．7∶5∶2 B．13∶5∶2 C．5∶3∶1 D．26∶10∶3
10．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3 ），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则AC：AD的值是（ ）
A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．设 ，则 = ．
12．已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB BP，那么AP长为 ．
13．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若，AE=4，则EC等于 ．
（第13题） （第15题） （第16题）
14．点 G 是 的重心， 过点 G 作 边的平行线与 边交于点 E 与 边交于点 F， 则 ．
15．如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是 mm．
16．如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF.若阴影部分面积是纸片面积的一半，则EF的长为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知：a：b：c＝3：4：5
（1）求代数式 的值；
（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．
18．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE∥AC， ＝ ．
（1）求证：DF∥BC；
（2）如果DF＝2，BE＝4，求 的值．
19．如图，已知 ， ， .
（1）求 B大小；
（2）求DE的长度.
20．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=2AD，CE=2AE.
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求证：DF BF=EF CF.
21．如图，在 中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，连结OC，点F，E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO=∠EFM.
（1）求证：CF=EF；
（2）求证： .
22．△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；
（1）如图1，若D为BC的中点， ，求证：AF＝FD；
（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得 ；
（3）若F为AD的中点，设 ，请求出m、n之间的等量关系.
23．如图，在 中， ，将 绕点C旋转得到 ，连接AD.
（1）如图1，点E恰好落在线段AB上.
①求证： ；
②猜想 和 的关系，并说明理由；
（2）如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若 ， ，求CF的长.
24．在△ABC中，D为AC上一点，且AC＝kAD，E是BC上一点，BD于AE相交于点O，若∠AOB+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠BAC＝120°，AB＝AC．
①找出与∠ABD相等的角，并证明；
②求的值．
（2）如图2，若BE＝2CE，求的值．
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