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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，若，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
（第2题） （第4题） （第5题） （第6题）
3．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A． B． C． D．
4．下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，，则（ ）
A．6 B．18 C．4 D．9
6．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，在矩形 中， ， ， 平分 ，与对角线 相交于点N，F是线段 的中点，则 为（ ）
A． B． C． D．
（第7题） （第8题） （第9题）
8．如图，在面积为144的正方形ABCD中放两个正方形BMON和正方形DEFG，重合的小正方形OPFQ的面积为4，若点A，O，G在同一直线上，则阴影部分面积为（ ）
A．36 B．40 C．44 D．48
9．一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大两个直角三角形纸片按图2中①、②两种方式放置，设①中的阴影部分面积为 ，②中的阴影部分面积为 ，当 时，则矩形的两边之比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（ ）
A． B． C．2－ D． －1
（第10题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知，且，则的值为 ．
12．已知点 是线段 的黄金分割点，且 ，如果 ，那么 ．
13．如图， ， ， AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 ．
14．如图，将一副三板按图所示放置，∠DAE＝∠ABC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，点E在AC上，过点A作AF∥BC交DE于点F，则＝ ．
15．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 .
16．如图， 是半圆的直径，以 弦（非直径）为对称轴将 弧折叠，点 是折叠后的弧 与 的交点，若 ，则 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知线段a，b满足 ，且a+b=14，
（1）求a，b，c的值；
（2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值．
18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P从点B出发以1cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以2cm/s的速度向点A移动，其中一个点到终点另一个点也随之停止.设它们的运动时间为t.
（1）根据题意知：CQ＝ ，CP＝ ；（用含t的代数式表示）；
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
19．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则 ＝ ．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ．
20．马路两侧有两根灯杆AB、CD，当小明站在点N处时，在灯C的照射下小明的影长正好为NB，在灯A的照射下小明的影长为NE，测得BD=24m，NB=6m，NE=2m.
（1）若小明的身高MN=1.6m，求AB的长；
（2）试判断这两根灯杆的高度是否相等，并说明理由.
21．梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：
如图（1），如果一条直线与 的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，则有 ．
任务：
（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在 中， ， ，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，CF与AD交于点E，则 ．
22．如图
（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．
23．中，，，为的中点，，是上两点，连接，交于内一点，且．
（1）如图1，求证；
（2）如图1，若，求的长；
（3）如图2，若为上任意一点，连接，求证：．
24．已知：如图，在中，，，，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得，过点A作于点F．
（1）当点E在线段AB上时，求证：；
（2）在（1）题的条件下，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）记DE交射线AC于点G，当时，求CD的长．
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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 培优测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴设x=3k，y=2k，
则，
故答案为：A．
2．如图，，若，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【解析】∵BF=3DF，∴BD=2DF，
∵，
∴=，
∴==2，
故答案为：A.
3．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线之比为1：4，
故答案为：A．
4．下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的三边长分别为：，
，，
∵，
∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别为：2，4，，
∴，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
∴，
故答案为：A．
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，，则（ ）
A．6 B．18 C．4 D．9
【答案】B
【解析】∵AE=2ED，AD=AE+DE=3DE，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
，
，
∴，
，
.
故答案为：B.
6．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F，
∴，
∵矩形AEFD与矩形ABCD相似，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
故答案为：B．
7．如图，在矩形 中， ， ， 平分 ，与对角线 相交于点N，F是线段 的中点，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，作EG⊥AC于G，
∵CE平分∠ACB，
∴EG=EB，
∴AE=AB-BE=3-EG
由CE=CE，
∴Rt△BCE≌Rt△GCE（HL）
∴CB=CG，
∴CG=4，
∵ ，
∴AG=AC-CG=5-4=1，
在Rt△AEG中， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵O和F分别是AC、CE的中点，
∴OF是△CAE的中位线，
∴ 且 ，
因为 ，
∴ ，
由矩形可知， ，
∴ ，
解得： ，
经检验，符合题意，
过N点分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，
由 ，得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
延长OF与BC交于点H，则NK+CH=CM= ，
∴△CNO的面积 .
故答案为：D.
8．如图，在面积为144的正方形ABCD中放两个正方形BMON和正方形DEFG，重合的小正方形OPFQ的面积为4，若点A，O，G在同一直线上，则阴影部分面积为（ ）
A．36 B．40 C．44 D．48
【答案】D
【解析】∵正方形ABCD的面积为144，正方形OPFQ的面积为4，
∴AB=12，OQ=2，
设正方形BMON的边长为x，则AN=12-x，NO=x，QG=12-x，
∵四边形BMON和四边形OPFQ都是正方形，
∴∠ANO=∠BNO=∠OQF=∠OQG=∠POQ=90°，
∴AN∥OQ，
∴∠NAO=∠QOG，
∴△ANO∽△OQG，
∴ ，即 ，
解得： 或 （舍去），
∴BN=8，
∴EF=12-x+2=6，
∴阴影部分面积=144-82-62+4=48，
故答案为：D.
9．一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大两个直角三角形纸片按图2中①、②两种方式放置，设①中的阴影部分面积为 ，②中的阴影部分面积为 ，当 时，则矩形的两边之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图1，设矩形的长AB=a，宽BC=b，
根据题意，得
AC= ，DE= ，tan∠BAC= ，
如图2①，
∠BCA=∠FHC，
∴FH=FC，
过点F作FG⊥BC，垂足为G，
∴∠BAC=∠GFC，HG=GC= DE= ，
∵tan∠BAC= tan∠GFC= ，
∴FG= × ，
∴ = HC×FG= × × × = ，
如图2②，
AC= ，MN=a，
∵∠BAC=∠BMN，
∴MN∥AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴ ： =
∴ = ，
∴ = ab- = ，
∵ ，
∴ = ，
∴ ，
∴a：b= ，
故答案为：C.
10．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（ ）
A． B． C．2－ D． －1
【答案】A
【解析】∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝5，AC＝3，
∴ ，
∴ △ABC 的大小和形状是唯一的，
设∠B＝α，
∵∠D与∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴∠D＝∠B＝α，
∵CE⊥DC，
∴∠DCE＝90°，
∴∠AEC＝∠DCE＋∠D＝90°＋α，
∴∠AEC的度数为定值90°＋α，
∴如图，点E在 的外接圆（以P为圆心，AP为半径）上，
如图，连接OP，OC，当点E在OP与⊙P的交点处时，OE取得最小值，
如图，在优弧AC上取一点Q，连接OC，AQ，CQ，
∵∠AEC＝90°＋α，
∴∠Q＝180°－∠AEC＝90°－α，
∴∠APC＝2∠Q＝180°－2α，
∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA＝ ＝α，
∵∠ACB＝90°，∠B＝α，
∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－α，
∴∠OAP＝∠BAC＋∠PAC＝90°，
∵PA＝PC，OA＝OC，
∴OP垂直平分AC，
∴OP⊥AC，
又∵BC⊥AC，
∴ ，
∴∠AOP＝∠B，
∵∠AOP＝∠B，∠OAP＝∠ACB，
∴ ，
∴ ，
∵直径AB＝5，
∴半径OA＝ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴OE的最小值为 ，
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知，且，则的值为 ．
【答案】12
【解析】∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x.
∵a+b-2c=9，
∴6x+5x 8x=9，
解得x=3，
∴c=12.
故答案为：12.
12．已知点 是线段 的黄金分割点，且 ，如果 ，那么 ．
【答案】2
【解析】如图，∵P是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，
即 ，
∴AP=2．
故答案为：2
13．如图， ， ， AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 ．
【答案】8.4或2或12
【解析】若 ，
∴ ，
设 ，
，
，
解得 ；
若 ，
∴ ，
设 ，
，
，
解得 ，
综上所述，BP的长度为8.4或2或12，
故答案为：8.4或2或12．
14．如图，将一副三板按图所示放置，∠DAE＝∠ABC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，点E在AC上，过点A作AF∥BC交DE于点F，则＝ ．
【答案】
【解析】过点F作FM⊥AD于点M，如图所示：
∵∠DAE＝∠ABC＝90°，
∴FM∥AC，
∴，
∵∠C＝30°，AF∥BC，
∴，
∴，
∴，
∵∠D＝45°，
∴都是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
15．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【解析】如图，
∵VB∥ED，三个正方形的边长分别为2、3、5，
∴VB：DE=AB：AD，即VB：5=2：（2+3+5）=1：5，
∴VB=1，
∵CF∥ED，
∴CF：DE=AC：AD，即CF：5=5：10
∴CF=2.5，
∵S梯形VBFC= （BV+CF） BC= ，
∴阴影部分的面积=S正方形BCQW﹣S梯形VBCF= .
故答案为：.
16．如图， 是半圆的直径，以 弦（非直径）为对称轴将 弧折叠，点 是折叠后的弧 与 的交点，若 ，则 .
【答案】
【解析】连接AC，把△ACB沿BC折叠，得到△BCF，BF交圆于点E，连接CE，
可知，AC=CF，AB=BF=8，BD=BE，AD=EF，
∵ 是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，即A、C、F在同一条直线上，
∵ ，
∴BD=BE=2，EF=AD=6，
∵∠A+∠BEC=180°，
∠FEC+∠BEC=180°，
∴∠A=∠FEC，
∠F=∠F，
∴△FEC∽A△FAB，
∴ ，
∴ ，
FC= ，
AC= ，
BC= ,
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知线段a，b满足 ，且a+b=14，
（1）求a，b，c的值；
（2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：设 ，则a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b=14，
∴3k+4k=7k=14，
解得k=2，
∴a=6，b=8，c=10
（2）解：∵b=8，c=10，x是b，c的比例中项，
∴x2=8×10=80，
解得
18．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P从点B出发以1cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以2cm/s的速度向点A移动，其中一个点到终点另一个点也随之停止.设它们的运动时间为t.
（1）根据题意知：CQ＝ ，CP＝ ；（用含t的代数式表示）；
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
【答案】（1）2t；3-t
（2）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若，则 ，即 ，解得：s，
②若，则，即，解得：s，
由动点P从点B出发以1cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以2cm/s的速度向点A移动，其中一个点到终点另一个点也随之停止，可求出t的取值范围应该为 ，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件，
故△CPQ与△CBA相似，运动的时间为或秒.
【解析】（1）经过t秒后，CQ=2t，CP=BC-BP=3-t ；
故答案为：2t，3-t；
19．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则 ＝ ．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ．
【答案】（1）证明：过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴ ＝ ，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵AD平分∠BAC
∴∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴ ＝ ；
（2）
【解析】（2）∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，
∵AD平分∠BAC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BD＝ ，
∴AD＝ ＝ ＝ ，
∴△ABD的周长＝ +3+ ＝ ．
故答案为： ．
20．马路两侧有两根灯杆AB、CD，当小明站在点N处时，在灯C的照射下小明的影长正好为NB，在灯A的照射下小明的影长为NE，测得BD=24m，NB=6m，NE=2m.
（1）若小明的身高MN=1.6m，求AB的长；
（2）试判断这两根灯杆的高度是否相等，并说明理由.
【答案】（1）∵MN∥AB，∴△MNE∽ABE，∴ = .
∵NB=6，NE=2，MN=1.6，∴ = ，∴AB=6.4（m）；
（2）这两根灯杆的高度相等，理由如下：
∵MN∥CD，BD=24，
∴ = = = ，
∴ = = = ，
∴AB=CD.
21．梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：
如图（1），如果一条直线与 的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，则有 ．
任务：
（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在 中， ， ，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，CF与AD交于点E，则 ．
【答案】（1）解：补充的证明过程如下：
，
，
（2）6
【解析】（2）根据梅涅劳斯定理得 ，
∵点D为BC的中点， ，
， ，
，
∵ ， ，
∴AD⊥BC，BD=5，
∴在 中， ，
．
故答案为6．
22．如图
（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．
【答案】（1）证明：如题图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，
∴∠ADP = ∠BPC，
∴△ADP△BPC，
，
∴ADBC = APBP，
（2）解：结论仍然成立，理由如下，
，
又，
，
，
设，
，
，
，
∴ADBC = APBP，
（3）解：，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
23．中，，，为的中点，，是上两点，连接，交于内一点，且．
（1）如图1，求证；
（2）如图1，若，求的长；
（3）如图2，若为上任意一点，连接，求证：．
【答案】（1）证明：∵，，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
又，
∴．
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴
（3）解：连接，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形和三角形外角性质即可求出 ∠FDC= ∠AEB；
（2）根据勾股定理求出BE，然后利用 BGD~ BCE求出BG。
24．已知：如图，在中，，，，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得，过点A作于点F．
（1）当点E在线段AB上时，求证：；
（2）在（1）题的条件下，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）记DE交射线AC于点G，当时，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
当时，，符合题意，
∴；
当时，点E与点B重合，点F与点C重合，此时x取得最大值，
∴，
当时，
，不符合题意，不进行讨论；
综上可得：；
（3）解：如图所示：当点G在线段AC上时，延长AF交BC于点M，作于点N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵AM平分，
∴，
由得，
，
解得：，
∴；
如图所示：当点G在AC的延长线上时，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
这种情况不存在，
∴．
【解析】【分析】（1）证明及，进而命题得证；
（2）根据得出，进而得出y与x的关系式，当x=0，求得此时DE的长，进而求得x的范围；
（3）当G在线段AC上时，延长AF交BC于M，作MN⊥AB于N，可推出CM=CD，根据AM平分∠BAC，推出MN=CM，根据面积法求得CM，从而得出CD，G点在AC的延长线上不存在。
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