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浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 压轴题测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，
∵，，∴，∵G是BE的中点，∴，
∴，∵，∴，∴，∴，
则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，
．
故答案为：C.
2．如图△ACB，∠ACB=90°，点O是AB的中点，CD平分∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E. 记△AGO的面积为S1，△AEB的面积为S2，当 ＝ 时，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过点O作OF∥AE交CB于点F，
∵CD平分∠BCO，AE⊥CD，
易证△CEG和△COF是等腰三角形，
∴CG=CE，CO=CF，
∴OG=EF，
∵ ＝
设△ABE的面积为20a，则S1=8a，S2=20a，
∵OF∥AE
∴△OBF∽△AEB，
∴，
∴S△OBF=5a，
∵OF：AE=1：2
∴AE=2OF，
∴
∴
∴
设CE=2x，则CF=5x，EF=OG=3x，
∴BF=3x，
∴BC=CE+EF+BF=2x+3x+3x=8x，
∴.
故答案为：D.
3．如图，在四边形 中，以 为直径的 恰好经过点 ， ， 交于点 ，已知 平分 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连接OC
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠BOC=2∠CAB，
∴∠BOC=∠DAB，
∴AD∥OC，
∴△OCE∽△DAE，
∴ ，
故答案为：D.
4．如图，AB为半圆O的直径， ，点C为半圆上动点，以BC为边向形外作正方形BCDE，连接OD，则OD的最大值为
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】通过旋转观察如图，可知当 时，DO最长，设DO与 交于点M，连接CM，BD，OC.
理由： ， 都是等腰直角三角形，
，
，
，
∽ ，
： ： ，
，
点D的运动轨迹是以M为圆心 为半径的圆，
当D，M，O共线，即 时，DO最长.
，
，
四边形BCDE是正方形，
、M、E共线， ，
在 和 中，
，
≌ ，
，
的最大值 .
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
5．如图，点 是平行四边形 边 上一点，将 沿直线 翻折，点 的对应点 恰好落在 的角平分线 上，若 ， ， ，则 ， .
【答案】1；
【解析】如图，过点F作 于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵BG是 的角平分线，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴CG=BC=2，
∴DG=DC-CG=3-2=1，
延长AD交BG的延长线于H，
设AE=EF=2a，则BE=3-2a，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设BF=x，
∴ ，
解得 或 (舍)，
∴ .
故答案为：1； .
6．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是 的中点，连接AC交BD于点E，连接AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为 .
【答案】
【解析】如图，连接OC交BD于K，连接BC.
∵ ＝ ，
∴OC⊥BD，
∵BE＝4DE，
∴可以假设DE＝k.BE＝4k，则DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，
∵AB是直径，
∴∠ADK＝∠DKC＝∠ACB＝90°，
∴AD∥CK，
∴AE：EC＝DE：EK，
∴AE：6＝k：1.5k，
∴AE＝4，
∵△ECK∽△EBC，
∴EC2＝EK EB，
∴36＝1.5k×4k，
∵k＞0，
∴k＝ ，
，
故答案为 .
7．如图，在 中， ， ， 为 的中点，点 为 上一点，若四边形 为正方形（其中点 ， 分别在 ， 上），则 的面积为 .
【答案】18
【解析】∵四边形 是正方形
∵点 是 中点
∴
∴∴
∴
故答案为：18.
8．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD中（其中点E，F，G，H，K都在矩形边上），则AD长是 .
【答案】
【解析】如图1，
∵由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，
设E1F1=F1G1=F1C1=LE1=H1G1=H1M=LA1=x，A1B1=B1C1=，
∴2×（2x）2=（）2
解之：x=1
∴A1L=EF=FN=NG=2
在Rt△H1E1L中
，
如图2，
∴FG=GH=2+2=4，HK=1，
∵矩形ABCD，等腰直角三角形NGO
∴∠A=∠B=∠NGO=90°，
∵∠FGA+∠AFG=90°，∠FGA+∠BGH=90°，
∴∠AFG=∠BGH
在△AFG和△BGH中
∴△AFG≌△BGH（AAS）
∴AF=BG=x，AG=BH=y
∴x2+y2=16；
同理可证∠DFE=∠AGF，∠CKH=∠BGH，
∴△DEF∽△AFG，△BGH∽△CKH，
∴，
解之：
∵DF+AF=CH+BH ∴
∴
∴；
在Rt△AFG中 x2+y2=16即
解之：
∴.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
9．已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）.
（1）当△ABC为直角三角形时，求△ABC的面积.
（2）如图，当APBC时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求BQ的长；
（3）当以点A，B，P为顶点的三角形和△ABC相似时（不包括两个三角形全等），求m的值.
【答案】（1）解：由抛物线开口向上，则m＞0
令x=0，则y=-2，即C点坐标为（0，-2），OC=2
令y=0，则，解得x=-2或x=m，即点A（-2，0），点B（m，0）
∴OA=2，OB=m
∴AB=m+2
由勾股定理可得AC2=（-2-0）2+[0-（-2）]2=8， BC2=（m-0）2+[0-（-2）]2=m2+4
∵当为直角三角形时，仅有∠ACB=90°
∴AB2= AC2+BC2，即（m+2）2=8+m2+4，解得m=2
∴AB=m+2=4
∴的面积为：·AB·OC=×4×2=4.
（2）解：设BC所在直线的解析式为：y=kx+b
则 ，解得
∴BC所在直线的解析式为y=x-2
设直线AP的解析式为y=x+c
则有：0=×（-2）+c，即c=
∴线AP的解析式为y=x+
联立 解得x=-2（A点横坐标），x=m+2（P点横坐标）
∴点P的纵坐标为：
∴点P的坐标为（m+2，）
∴OQ=m+2
∴BQ=OQ-OB= m+2-m=2.
（3）解：∵点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）.
∴设P（x，）
∵在△ABC中，∠BAC=45°
∴当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时，有三种情况：
①（ⅰ）若△ABC∽△BAP
∴
又∵BP=AC
∴△ABC∽△BAP不符合题意；
（ⅰⅰ）若△ABP∽△CAB，
∴
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQB=90°
∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°
∴PQ=BQ=m-x
由于PQ=
∴
∴
∴x-m=0或
∴x=m（舍去），x=-m-2
∴BQ=m-（-m-2）=2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=或m=（舍去）
∴m=；
②当∠PAB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
（ⅰ）若△ABP∽△ABC，则 ，点C与点P重合，不合题意；
（ⅰⅰ）若△ABP∽△ACB，则 ，
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQA=90°
∴∠APQ=90°-∠PAB=45°
∴PQ=AQ=x+2
由于PQ=
∴
∴
∴x+2=0或
∴x=-2（舍去），x=2m
∴AQ= 2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=（舍去）或m=
∴m=；
③当∠APB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
ⅰ）过点A作PM//BC交抛物线于点M，则∠MAB=∠ABC，
∵∠MAB≠∠PAB，
∴∠PAB≠∠ABC，
∴△PAB与△BAC不相似；
ⅱ） 取点C关于x轴的对称点，连接并延长 交抛物线于点N，则∠NBA=∠CBA，
∵∠PBA≠∠NBA，
∴∠PBA≠∠CBA，
∴△PAB与△BAC不相似；
综上，m的值为m=或m=.
10．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，AD⊥BC于点D，射线CE平行AB交AD的延长线于点E，Р是射线CE上一点（在点E的右侧)，连结AP交BC于点F.
（1）求证： .
（2）若 ，求 的值.
（3）以PF为直径的圆经过 中的某一个顶点时，求所有满足条件的EP的长.
【答案】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠ACE＝180°－∠CAB＝90°．
∵∠CED＋∠ECD＝∠ACB＋∠ECD＝90°，
∴∠CED＝∠BCA．
∴△ACE∽△BAC．
（2）解：在Rt 中， .
由(1)得： ，
.即 .
.
，
.
（3）解：∵点P在点E的右侧，∠EDF＝Rt∠，
∴以PF为直径的圆不可能经过点D．
①当该圆经过点B时，如图24-1，
∠PBF＝∠BDE＝Rt∠，
∴AE∥BP． ∵CE∥AB，∴四边形ABPE是平行四边形．
∴EP＝AB＝4．
②当该圆经过点E时，如图24-2，
连结EF并延长交AB于点G，
∴∠PEF＝∠ACE＝Rt∠，四边形AGEC是矩形，
，
，
，
综上所述，EP的长是4或
11．已知，锐角三角形ABC内接于⊙O.
（1）如图1，当点A是 的中点时，
①求证：AO⊥BC.
②若BC＝8，AB＝4 ，求⊙O的半径.
（2）如图2，当AB＞AC时，连接BO并延长，交边AC于点D.若∠A＝45°， ，求 .
【答案】（1）解：①证明：连接OB，OC，设AB与BC交于点P，
∵点A是 的中点，
∴ ，
∴AB＝AC，
又∵OB＝OC，
∴AO是BC的垂直平分线，
∴AO⊥BC；
②∵AB＝AC，AP⊥BC，
∴BP＝CP＝4，
∴AP＝ ＝ ＝8，
∵BO2＝OP2+BP2，
∴BO2＝（8﹣OB）2+16，
∴BO＝5，
∴⊙O的半径为5；
（2）解：延长BD交⊙O于点H，连接CH，CO，AH，
∵ ，
∴设BO＝3a＝OC＝OH，OD＝2a，
∴DH＝a，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
，
∵∠ACH＝∠DCH，∠BAC＝∠∠BHC＝45°，
∴△ACH∽△HCD，
，
，
，
，
12．如图，已知在四边形 中， ，以 为直径的 交 于点 ， (点 在点 上方)，连结 ， ， ， 与 交于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ， .
①求 的长；
②求 .
【答案】（1）证明： 是 的直径，
.
，
.
与 都是 所对的圆周角，
，
.
（2）解：①过点 作 于点 ，如图.
， ， ，
， ，
.
， ，
.
，
，
.
，
.
，点 在点 上方，
， ，
.
由（1）知， ，
，
即 ，
.
②连接 ，如图.
， ， ，
， .
， ， ， ， .
， ，
，
.
， ，
，
，
，
.
13．如图，点F在四边形ABCD的边AB上，
（1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8时，
①如图②，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求的值；
②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG＝2时，DE＝ ▲ ．
【答案】（1）证明；在正方形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠FBO+∠OBC=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠BOC=90°，
∴∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠FBO=∠BCO，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF
（2）解；① 如图，过点O作MN∥AB交AD、BC于点M、N，
在矩形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC=90°，
∴MN∥CD，
∴四边形ABNM和DMNC为矩形，
∴MN=AB=8，设ON=a，BN=b，则OM=8-a，D
M=CN=6-b，
∵△DOM∽△BON，
∴ ，
即 ，
解得：，
∴ ，
∵PE⊥CF，
∴∠EOM+∠CON=90°，
∵∠OCN+∠CON=90°，
∴∠OCN=∠EOM，
∴△EOM∽△OCN，
∴ ，
∴即；
②．
【解析】（2）②在矩形ABCD中，AB∥CD ，AD∥BC，∠ABC=90°
∴CODFOB，DOEBOP，
∴，，∴，
∴，
∵∠ABC=90°，
∴∠BFC+∠BCF =90°
∵ ，
∴∠FOG=90°，
∴∠G+∠BFC =90°，
∴∠G=∠BCF，
∵∠PBG=∠CBF =90°，
∴PBGFBC，
∴，
∴，
∴．
14．如图
（1）（问题发现）
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）（探究证明）
如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
（3）（拓展延伸）
如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
【答案】（1）BD＝CE；BD⊥CE
（2）解：BD⊥CE，
理由：如图2，连接BD，
∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AC＝AB，AE＝AD，
∴△CEA≌△BDA（SAS），
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，
∴BD⊥CE；
（3）解：如图3，过A作AF⊥EC，
由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴ ，即 ，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，
∴BE⊥CE，
在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，
∴BD＝ ，
∵AC⊥BD，
∴S△BCD＝ AC BD＝ BC AC，
∴AC＝AE＝ ，AD＝ ，
∴AF= ，CE＝2CF＝2× ，
∴BE＝ ．
【解析】（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中， ，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
15．如图，ΔDBE内接于⊙O，BD为直径，DE＝EB，点C在⊙O（不与D，B，E重合）上，∠A＝45°，点A在直线CD上，连接AB．
（1）如图1，若点C在DE上，求证：ΔABD～ΔCBE；
（2）在（1）的条件下，DC＝6，DB＝10，求线段CE的长；
（3）若直线BC与直线DE相交于点F，当 时，求 的值。
【答案】（1）证明：∵四边形BDCE为圆内接四边形，
∴∠ADB=∠BCE，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
又∵DE=BE，
∴∠DBE=45°，
∵∠A=45°，
∴∠ABC=90°-∠A=45°=∠DBE，
∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD，
∴∠CBE=∠ABD，
∴△ADB∽△CEB；
（2）解： ∵∠BCD=90°，
∴BC= =8，
∵△ABC和△BED为等腰直角三角形，
∴AB= BC= ，BE= BD= ，
∴AD=AC-CD=8-6=2，
由(1)得△ADB∽△CEB，
∴，即 ，
解得：CE= .
（3）解： 如图1，连接DG，作EH⊥BC，
∵ ，
设DC=k，CB=3k，
由△ABC是等腰直角三角形，则BC=AC=3k，AD=2k，
∵BD为直径，
∴∠DGB=∠DGA=90°，
∵∠A=45°，
∴DG=ADsin∠A= k，
∵∠ABC=∠DBE，即∠DBG+∠CBD=∠CBH+∠CBD，
∴∠DBG=∠EBH，
∴△DBG∽△EHB，
∴，
∴EH=k，
∵DC∥EH，
∴△DCF∽△EHF，
∴；
如图2，连接DG，作EH⊥BC于点H，
∵ ，
设DC=k，CB=3k，
由△ABC是等腰直角三角形，则BC=AC=3k，AD=4k，
∵BD为直径，
∴∠DGB=∠DGA=90°，
∵∠A=45°，
∴DG= k，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠DBG=∠EBH，
∴△DBG∽△EHB，
∴，
∴EH=2k，
∵DC∥EH，
∴△DCF∽△EHF，
∴；
综上 的值为1或2.
如图，当点A在BC上方时，方法和结论都一样.
16．【问题提出】如图1， 中，线段 的端点 分别在边 和 上，若位于 上方的两条线段 和 之积等于 下方的两条线段 和 之积，即 ，则称 是 的“友好分割”线段.
（1）如图1，若 是 的“友好分割”线段， ，求 的长；
（2）【发现证明】如图2， 中，点F在 边上， 交 于D， 交 于E，连结 ，求证： 是 的“友好分割”线段；
（3）【综合运用】如图3， 是 的“友好分割”线段，连结 并延长交 的延长线于F，过点A 画 交 的外接圆于点G，连结 ，设 .
①求y关于x的函数表达式；
②连结 ，当 时，求 的值.
【答案】（1）解：设AE=x，
∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD AE=BD EC.
∵AD=2CE，AB=8，
∴2EC AE=（8-AD） EC.
∴2x=8-2EC.
∴x=4-EC，
∴AE=4-EC.
∴AC=AE+EC=4.
（2）解：∵FD//AC，
∴ .
∵FE//AB，
∴
∴ .
∴AD AE=BD EC.
∴DE是△ABC的“友好分割”线段；
（3）解：①∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD AE=BD EC.
∴ .
∵ ，
∴ .
过点C作CH//BD交DF于点H，如图，
∵CH//BD，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴y=x2.
∴y关于x的函数表达式为：y=x2；
②连接DG，如图，
∵ ，
∴ .
∵x＞0，
∴ .
即 .
∵AG∥DE，
∴ .
∴AD=EG.
∴
∴ .
∴AE=DG，∠ADE=∠GED.
∴∠BDF=∠GEF.
∵ ，
∴∠GDE=∠AED.
∵∠AED=∠CEF，
∴∠GDE=∠CEF.
∴∠BDF+∠GDE=∠GEF+∠CEF.
即∠BDG=∠GEC.
∵DE是△ABC的“友好分割”线段，
∴AD AE=BD EC.
∴
∴ .
∴△BDG∽△GEC.
∴ .
∵EG=AD，
∴ .
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1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2022-2023学年九上数学第4章 相似三角形 压轴题测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图△ACB，∠ACB=90°，点O是AB的中点，CD平分∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E. 记△AGO的面积为S1，△AEB的面积为S2，当 ＝ 时，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形 中，以 为直径的 恰好经过点 ， ， 交于点 ，已知 平分 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB为半圆O的直径， ，点C为半圆上动点，以BC为边向形外作正方形BCDE，连接OD，则OD的最大值为
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
5．如图，点 是平行四边形 边 上一点，将 沿直线 翻折，点 的对应点 恰好落在 的角平分线 上，若 ， ， ，则 ， .
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是 的中点，连接AC交BD于点E，连接AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为 .
7．如图，在 中， ， ， 为 的中点，点 为 上一点，若四边形 为正方形（其中点 ， 分别在 ， 上），则 的面积为 .
8．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD中（其中点E，F，G，H，K都在矩形边上），则AD长是 .
三、解答题（本题有8小题，第9～15题每题10分，第16题14分，共84分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
9．已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）.
（1）当△ABC为直角三角形时，求△ABC的面积.
（2）如图，当APBC时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求BQ的长；
（3）当以点A，B，P为顶点的三角形和△ABC相似时（不包括两个三角形全等），求m的值.
10．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，AD⊥BC于点D，射线CE平行AB交AD的延长线于点E，Р是射线CE上一点（在点E的右侧)，连结AP交BC于点F.
（1）求证： .
（2）若 ，求 的值.
（3）以PF为直径的圆经过 中的某一个顶点时，求所有满足条件的EP的长.
11．已知，锐角三角形ABC内接于⊙O.
（1）如图1，当点A是 的中点时，
①求证：AO⊥BC.
②若BC＝8，AB＝4 ，求⊙O的半径.
（2）如图2，当AB＞AC时，连接BO并延长，交边AC于点D.若∠A＝45°， ，求 .
12．如图，已知在四边形 中， ，以 为直径的 交 于点 ， (点 在点 上方)，连结 ， ， ， 与 交于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ， .
①求 的长；
②求 .
13．如图，点F在四边形ABCD的边AB上，
（1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8时，
①如图②，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求的值；
②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG＝2时，DE＝ ▲ ．
14．如图
（1）（问题发现）
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）（探究证明）
如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
（3）（拓展延伸）
如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
15．如图，ΔDBE内接于⊙O，BD为直径，DE＝EB，点C在⊙O（不与D，B，E重合）上，∠A＝45°，点A在直线CD上，连接AB．
（1）如图1，若点C在DE上，求证：ΔABD～ΔCBE；
（2）在（1）的条件下，DC＝6，DB＝10，求线段CE的长；
（3）若直线BC与直线DE相交于点F，当 时，求 的值。
16．【问题提出】如图1， 中，线段 的端点 分别在边 和 上，若位于 上方的两条线段 和 之积等于 下方的两条线段 和 之积，即 ，则称 是 的“友好分割”线段.
（1）如图1，若 是 的“友好分割”线段， ，求 的长；
（2）【发现证明】如图2， 中，点F在 边上， 交 于D， 交 于E，连结 ，求证： 是 的“友好分割”线段；
（3）【综合运用】如图3， 是 的“友好分割”线段，连结 并延长交 的延长线于F，过点A 画 交 的外接圆于点G，连结 ，设 .
①求y关于x的函数表达式；
②连结 ，当 时，求 的值.
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