浙教版九年级数学上册第1章二次函数 试卷 （含答案）

浙教版九年级上册二次函数试卷
一、单选题
1．下列函数中，属于二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（　　）
A．x=4 B．x=﹣4 C．x=2 D．x=﹣2
3．把抛物线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知：如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则一次函数y=ax+b的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．抛物线y=-2x2经过平移到y=-2x2-4x-5，平移方法是（　　）
A．向左平移1个单位，再向上平移3各单位
B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
6．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．
①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（-2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．
上述4个判断中，正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
7．下表是二次函数 的 x,y的部分对应值：
则对于该函数的性质的判断：
①该二次函数有最大值； ②不等式y＞-1 的解集是x＜0 或x＞2；③ 方程 的两个实数根分别位于 和 之间；④当x＞0 时，函数值y 随x 的增大而增大；
其中正确的是(　　)
A．②③ B．②④ C．①③ D．①④
8．抛物线 （a，b，c为常数，且 ）经过点 和 ，且 ，当 时，y随着x的增大而减小，有下列结论：① ；②若点 ，点 都在抛物线上，则 ；③ ．其中，正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．在平面直角坐标系中，若点P的橫坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点，已知二次函数 （a，b是常数， ）的图象上有且只有一个完美点 ，且当 时，函数 的最小值为 ，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF.在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是 ；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是 ；
④四边形OECF的面积是1.
所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
11．把抛物线 沿x轴向左平移4个单位，再沿y轴向上平移3个单位后，所得新抛物线相应的函数表达式是　 　.
12．小王想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．则S与x之间的函数关系式是　 　．（不用写自变量的取值范围）
13．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　 　.
14．“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交面出名，盛面的瓷碗截面图如图 1 所示，碗体 DEC 呈抛物线状(碗体厚度不计)，点 E 是抛物线的顶点，碗底高 EF＝1cm，碗底宽 AB＝2 cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽 CD＝83cm，此时面汤最大深度 EG＝6cm，将瓷碗绕点 B 缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当 LABK＝30 时停止，此时液面 CH 到桌面的距离为　 　cm；碗内面汤的最大深度是　 　cm．
15．如图．二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③若关于x的一元二次方程的一根是3，则另一根是；④若点，，均在二次函数图象上，则．其中正确的结论的序号为　 　．
16．如图，已知函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0）．下列结论：①b2﹣4ac 0； ②当x 2时，y随x增大而增大； ③a﹣b+c 0；④抛物线过原点；⑤当0 x 4时，y 0．其中结论正确的是　 　．（填序号）
三、解答题
17．已知抛物线（b是常数）经过点.求该抛物线的解析式和顶点坐标.
18．把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线顶点坐标为（﹣3，2），求原抛物线相应的函数表达式.
19．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．
若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．
21．已知二次函数y＝2x2﹣x+1，当﹣1≤x≤1时，求函数y的最小值和最大值．彤彤的解答如下：
解：当x＝﹣1时，则y＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝4；
当x＝1时，则y＝2×12﹣1+1＝2；
所以函数y的最小值为2，最大值为4．
彤彤的解答正确吗？如果错误，写出正确的解答．
22．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，与y轴交于点B，对称轴是x=-3，求抛物线的解析式。
23．在平面直角坐标系中，点 ，点 .已知抛物线 （ 是常数），顶点为 .
（Ⅰ）当抛物线经过点 时，求顶点 的坐标；
（Ⅱ）若点 在 轴下方，当 时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论 取何值，该抛物线都经过定点 .当 时，求抛物线的解析式.
24．定义：如图1，抛物线 与 轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足 ，则称点P为抛物线 的勾股点。
（1）直接写出抛物线 的勾股点的坐标；
（2）如图2，已知抛物线C： 与 轴交于A，B两点，点P（1， ）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件 的点Q（异于点P）的坐标
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】D
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】3+
14．【答案】；
15．【答案】①②③
16．【答案】①④⑤
17．【答案】解：∵抛物线（b是常数）经过点，
∴把点A坐标代入解析式得，
解得：b=-2，
∴抛物线解析式为：，
把抛物线配方得，
抛物线的顶点坐标为（1，-4）.
18．【答案】解：把点（﹣3，2）向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（2，3），即二次函数图象的顶点坐标为（2，3），
所以原抛物线相应的函数表达式为，即
19．【答案】解：△PBQ的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化，
∵在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，
动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，
∴BP=12﹣2t，BQ=4t，
∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：y= （12﹣2t）×4t=﹣4t2+24t，（0＜t＜6）
20．【答案】解：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，则F点的坐标为（，1），
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，）；
（2）S=
∴当t=2时，S最大，最大值为1
（3）∵∠CPD=900，∴∠DPA+∠CPO=900，∴∠DPA≠900，故有以下两种情况：
①当∠PDA=900时，由勾股定理得，
又，，
，
即t2-4t-12=0，解得t1=2，t2=6（不合题意，舍去）
②当∠PAD=900时，点D在BA上，故AE=3－t，得t=3
综上，经过2秒或3秒时，△PAD是直角三角形；
（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2，
∴点D运动路线的长为2．
21．【答案】解：彤彤的解答错误，
∵
∴二次函数的的对称轴 ，
∵ ，且2＞0，
∴当 时，二次函数有最小值 ，
二次函数在 时，y随x增大而减小，二次函数在 时，y随x增大而增大，
∵ ，
∴当 时，二次函数有最大值 ，
∴二次函数的最大值为4，最小值为1．
22．【答案】解：∵对称轴是x= =-3，a=1，
∴b=6
又∵抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，
∴(-4)2+6×(-4)+c=-3，解得c=5
∴抛物线的解析式为y=x2+6x+5
23．【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线 经过点 ，∴ ，解得 .∴抛物线的解析式为 .∵ ，∴顶点 的坐标为 .（Ⅱ）抛物线 的顶点 的坐标为 .由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方， ，知点 在第四象限.过点 作 轴于点 ，则 .可知 ，即 ，解得 ， .当 时，点 不在第四象限，舍去.∴ .∴抛物线解析式为 .（Ⅲ）由 可知，当 时，无论 取何值， 都等于4.得点 的坐标为 .过点 作 ，交射线 于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，则 .∵ ， ，∴ .∴ .∵ ，∴ .∴ .∴ ， .可得点 的坐标为 或 .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .∵点 在直线 上，∴ .解得 ， .当 时，点 与点 重合，不符合题意，∴ .当点 的坐标为 时，可得直线 的解析式为 .∵点 在直线 上，∴ .解得 （舍）， .∴ .综上， 或 .故抛物线解析式为 或
24．【答案】（1）解：勾股点的坐标为（0，1）
（2）解：抛物线y=ax2+bx（a≠0）过原点（0，0），即A（0，0），
如图作PG⊥x轴于点G，连接PA,PB，
∵点P（1，），
∴ AG=1,PG=,
∴PA=2,tan∠PAB=,
∴∠PAB=60°,
∴在Rt△PAB中，AB==4,
∴点B（4，0），
设y=ax（x-4）,当x=1时，y=,
解得a=-,
∴y=-x（x-4）=-x2+x.
（3）解：① 当点Q在x轴上方，由S△ABQ=S△ABP,易知点Q的纵坐标为，
∴-x2+x=，解得x1=3,x2=1（不合题意，舍去），
∴Q（3，），
②当点Q在x轴下方，由S△ABQ=S△ABP,易知点Q的纵坐标为-，
∴-x2+x=-，解得x1=2+,x2=2-,
∴Q（2+，-）Q（2-，-），
综上，满足条件的点Q有三个：Q（3，）Q（2+，-）Q（2-，-）.